Cote n° 5, pages 41–52

Cote n° 5 · batch 3 · pages 41–52 · Transcription · Cristaux et cohomologie de De Rham : généralités, correspondances Deligne et Berthelot (1965-1969) : notes manuscrites (s.d.), lettre (1965).
Datation de l’inventaire : 1965-1969
Édition de démonstration

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Applications polynomiales homogènes

titre de l'éditeur. Le feuillet 42 est la fin d'une note sur les applications polynomiales commencée dans le lot précédent (page 40 et avant), que ce lot ne peut pas lire ; les notations \(\Phi\), \(M\), \(N\) y sont fixées. Sur les premières lignes du feuillet, \(\Phi\), \(M\) et \(N\) sont soulignés, puis ne le sont plus ; « de degré \(n\) » de la première ligne est en interligne.

Une application polynomiale homogène de degré \(n\) \(\Phi : M \to N\) définit par la formule \[\Phi\Bigl(\sum_i t_i x_i\Bigr) = \sum_{p_1 + \cdots + p_r = n} \Phi_{p_1 \ldots p_r}(x_1, \ldots, x_r)\, t_1^{p_1} \cdots t_r^{p_r}\] [les \(t_i\) des indéterminées] des applications polynomiales \[\Phi_{p_1 \ldots p_r} : M \times \cdots \times M \to N\] multihomogènes de degrés \(p_1, \ldots, p_r\), d'où des applications \[\varphi_{p_1, \ldots, p_r} : \underbrace{M \times \cdots \times M}_{r} \to N\] (définies si \(r \geq 1\), \(p_1, \ldots, p_r \geq 0\), \(\sum p_i = n\)). Ces applications sont reliées par des relations \[\varphi_{p_1, \ldots, p_r}\Bigl(\sum_{1 \leq i \leq s_1} x_{1,i},\ \sum_{1 \leq i \leq s_2} x_{2,i},\ \ldots,\ \sum_{i \leq s_r} x_{r,i}\Bigr) = \sum_{\substack{\sum_{1 \leq i_1 \leq s_1} q_{1,i_1} = p_1 \\ \sum_{1 \leq i_2 \leq s_2} q_{1,i_2} = p_2 \\ \cdots \\ \sum_{1 \leq i_r \leq s_r} q_{r,s_r} = p_r}} \varphi_{q_{1,i_1}, \ldots, q_{r,s_r}}(x_{1,1}, \ldots, x_{r,s_r})\] les conditions de sommation sont écrites sous une accolade, l'une sous l'autre ; la seconde se lit \(q_{1,i_2}\) sur la page, où l'on attend \(q_{2,i_2}\), et l'indice de la dernière est écrit \(q_{r,s_r}\) tel quel il suffit […] pour […] des arguments […] note marginale de six courtes lignes, accolée à la relation, dont seuls les premiers mots se lisent

Plus relations de symétrie souligné

On suppose que l'on a […] vérifié que … la phrase s'interrompt sur des points de suspension ; le reste du feuillet est blanc

Cristaux

titre de sa main, souligné, en tête du feuillet 44. La note se poursuit au feuillet 46 ; les feuillets 45 et 47, qui en sont les versos, portent deux pages d'un tapuscrit annoté de sa main, données ci-dessous à leur place dans la numérotation

Soit \(J\) un idéal principal d'un anneau \(A\), \(J = \pi A\). Formellement pour y définir des puissances divisées, on est amené à définir des \[\frac{(\pi y)^n}{n!} = \frac{\pi^n}{n!}\, y^n = \pi^{(n)} y^n\] donc à définir des éléments \[\pi^{(n)} \in \pi A \qquad (n \geq 1)\] qui satisfassent aux conditions suivantes.

\(\pi^{(m)} \pi^{(n)} = \frac{(m+n)!}{m!\,n!}\, \pi^{(m+n)}\) ; et si \(\pi z = 0\), […] \(\pi^{(n)} (y+z)^n = \pi^{(n)} \uncertain{z}^n\), ce qui […] […] des \(\pi^{(n)} y\) trois lignes cernées d'un trait et biffées, premier état des conditions (1) ; dans la seconde le dernier facteur se lit \(z^n\), où le sens attend \(y^n\)

\[(1)\qquad \begin{cases} \pi^{(1)} = \pi \\ \pi^{(m)} \pi^{(n)} = \dfrac{(m+n)!}{m!\,n!}\, \pi^{(m+n)} \\ \pi^{(p)} \Bigl(\dfrac{\pi^{(q)}}{\pi}\Bigr)^{p} = \dfrac{(pq)!}{p!\,(q!)^p}\, \pi^{(pq)} \end{cases}\] le « 1 » de l'étiquette est cerclé sur la page, ici et à chaque rappel

NB. Comme \(\pi^{(q)} \in \pi A\), \(\pi^{(q)}/\pi\) est défini mod. addition d'un \(z\) tel que \(\pi z = 0\), mais comme \(\pi^{(p)} \in \pi A\), est déterminé sans ambiguïté l'élément \(\pi^{(p)} \bigl(\pi^{(q)}/\pi\bigr)^p\).

Alors on trouve une structure de puissances divisées (sur \(J = \pi A\)) « sur \(J = \pi A\) » en interligne, le \(J\) tracé ici comme un I gras \[x^{(n)} = (\pi y)^{(n)} = \pi^{(n)} y^n \qquad \text{pour } x = \pi y \in J,\] en notant que \(x^{(n)}\) ne dépend pas du choix de \(y\) t.q. \(x = \pi y\).

Exemple 1. Supposons que \(A\) soit sans torsion sur \(\mathbf{Z}\). Alors les […] relations \[\pi^n = n!\, \pi^{(n)}\] déterminent uniquement les \(\pi^{(n)}\) en fonction de \(\pi\), et leur existence équivaut au fait que \[\pi^n \in n!\, A \qquad \forall n \geq 2 .\] Les relations (1) sont satisfaites automatiquement.

Exemple 2. Supposons \(A_0 = \mathbf{Z}_{(p\mathbf{Z})}\), Alors \(\pi = p\). Alors « \(\pi = p\). Alors », précédé d'un « Alors » biffé, est écrit en bout de la ligne qui précède le titre « Exemple 2 » ; la virgule après \(\mathbf{Z}_{(p\mathbf{Z})}\) l'y rattache les conditions précédentes sont satisfaites, les \(p^n/n!\) sont des entiers \(p\)-adiques. Donc si \(A\) est […] dans laquelle tout nb premier \(q \neq p\) est inversible (i.e. les caractéristiques résiduelles sont \(p\), \(0\)), […] une algèbre sur \(A_0\), on trouve par spécialisation des \(\pi^{(n)} \in A\), \(\pi^{(n)} = p^n/n!\), qui

Tapuscrit EGA IV, § 18.13, page 23 (annoté)

titre de l'éditeur. Copie d'un tapuscrit paginé « IV-977-23 », les chiffres 977 et 23 à la main, au verso du feuillet 44. La page 22 du même tapuscrit est au feuillet 47, verso du feuillet 46, et se lit avant celle-ci : son dernier mot, « co- », se poursuit ici par « ïncide ». Les interventions à la main sont données comme biffures, ajouts et notes marginales ; les ratures propres de la dactylographie ne sont pas relevées. L'énoncé de la proposition est souligné dans le tapuscrit

ïncide avec le module de différentielles analytiques défini dans (18.13.1) ; en effet « en effet » en interligne, au-dessus d'un mot raturé à la machine (les définitions étant celles de (18.13.1)), il résulte du fait que \(\overline{\Omega}^1_{A/k}\) est de type fini et de (0, 20.4.8) que la dérivation \(\bar d_{A/k}\) se factorise en \(A \xrightarrow{d_{A/k}} \Omega^1_{A/k} \xrightarrow{u_0} \overline{\Omega}^1_{A/k}\) et que tout \(A\)-homomorphisme \(\Omega^1_{A/k} \xrightarrow{u} L\), où \(L\) est un \(A\)-module de type fini, se factorise nécessairement en \(\Omega^1_{A/k} \xrightarrow{u_0} \overline{\Omega}^1_{A/k} \xrightarrow{v} L\), si bien que \(\mathrm{Ker}(u)\) contient toujours \(\mathrm{Ker}(u_0)\), d'où notre assertion.

On notera que si \(\overline{\Omega}^1_{B/A}\) est un \(B\)-module de type fini, il représente le foncteur covariant \(L \rightsquigarrow \mathrm{D\acute{e}r}_A(B, L)\) dans la catégorie des \(B\)-modules de type fini. Il est clair que si \(\Omega^1_{B/A}\) lui-même est de type fini (ce qui sera par exemple le cas (0, 20.4.7) lorsque \(B\) est une \(A\)-algèbre de type fini), on a \(\overline{\Omega}^1_{B/A} = \Omega^1_{B/A}\).

Proposition (18.13.5). — Soient \(A\) un anneau topologique, […] B et C deux « B et C deux » à la main, remplaçant un mot biffé \(A\)-algèbres topologiques qui […] sont des « sont des » en interligne anneaux […] semi-locaux noethériens et dont les topologies sont les topologies préadiques, \(\rho : B \to C\) un \(A\)-homomorphisme continu. Alors :

(i) Si […] \(\overline{\Omega}^1_{C/A}\) est un \(C\)-module de type fini […], \(\overline{\Omega}^1_{C/B}\) est un \(C\)-module de type fini.

(ii) Si \(\overline{\Omega}^1_{B/A}\) est un \(B\)-module de type fini et si \(C\) est une \(B\)-algèbre finie, \(\overline{\Omega}^1_{C/A}\) est un \(C\)-module de type fini.

(iii) Supposons vérifiées, soit les hypothèses de (ii), soit […] l'hypothèse de (i) et la condition supplémentaire que \(\Omega^1_{B/A}\) est un \(B\)-module de type fini ; alors il existe deux \(C\)-homomorphismes déterminés de façon uniques style […] la note marginale, deux mots dont le second n'est pas lu, est accolée par un trait à la biffure : \(\bar u : \overline{\Omega}^1_{C/A} \to \overline{\Omega}^1_{C/B}\) et \(\bar v : \overline{\Omega}^1_{B/A} \otimes_B C \to \overline{\Omega}^1_{C/A}\) tels que le diagramme

LaTeX source

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
\Omega^1_{B/A} \otimes_B C \arrow[r, "v"] \arrow[d, "r^{\prime} \otimes 1"'] & \Omega^1_{C/A} \arrow[r, "u"] \arrow[d, "r"'] & \Omega^1_{C/B} \arrow[r] \arrow[d, "r^{\prime\prime}"'] & 0 \\
\overline{\Omega}^1_{B/A} \otimes_B C \arrow[r, "\bar v"'] & \overline{\Omega}^1_{C/A} \arrow[r, "\bar u"'] & \overline{\Omega}^1_{C/B} \arrow[r] & 0
\end{tikzcd}

numéroté (18.13.5.1) à gauche du diagramme ; la page s'arrête sur lui

Cristaux (suite)

satisfait aux conditions précédentes (1), donc une structure de puissances divisées canonique sur \(pA\).

Exemple 3. Soit \(A\) intègre, […] tel que les seules […] une ligne biffée, non lue caractéristiques résiduelles soient \(p\) et \(0\). Soit \(\pi\) un élément tel que les caractéristiques résiduelles de \(A/\pi A\) soient \(p\). À quelle condition peut-on trouver des \(\pi^{(n)}\) ? Supposons que \(A\) soit un anneau de valuation discrète. Il faut […] \(\pi^n/n! \in A\), i.e. \[v(\pi^n/n!) \geq 0 \qquad \text{pour tout } n\] i.e. \[n\, v(\pi) - v(n!) \geq 0 \qquad \text{pour tout } n .\] Soit […] \(v(p) = e\) l'indice de ramification absolu de \(A\), donc \(v(n!)\) pour un entier \(N\), \(v(N) = e\, v_p(N)\). Soit donc […] \(\rho = v(\pi)\). La condition s'écrit […] \[v(\pi) \geq e\, \frac{v_p(n!)}{n} \qquad \text{pour tout } n\] i.e. \[v(\pi) \geq e\, \lambda(p) \qquad \text{où } \lambda(p) = \sup_n \frac{v_p(n!)}{n} = \frac{1}{p-1}\] Legendre en marge droite, au-dessus de la formule donnant \(\lambda(p)\), qui est elle-même écrite en marge et rattachée au texte par une accolade est une constante ne dépendant que de \(p\), et qui est \(\leq 1\) […] \(\lambda(p)\) … Donc on trouve la condition \[v(\pi) \geq \frac{e}{p-1} .\] Supposons que \(\pi\) soit l'uniformisante, ou \(v(\pi) = 1\), on trouve la condition \[\boxed{e \leq p-1}\]

Tapuscrit EGA IV, § 18.13, page 22 (annoté)

titre de l'éditeur. Page « IV-977-22 » du tapuscrit dont la page 23 est au feuillet 45 ci-dessus ; elle se lit avant celle-ci. Le \(\mathfrak{r}\) souligné du tapuscrit est rendu \(\mathfrak{r}\)

(18.13.4) Le résultat de (18.13.2), joint au fait que pour une \(k\)-algèbre analytique \(A\), \(\overline{\Omega}^1_{A/k}\) soit un \(A\)-module de type fini, peut encore s'exprimer en disant que dans la catégorie des \(A\)-modules de type fini, \(\overline{\Omega}^1_{A/k}\) est un objet représentant le foncteur covariant \(L \rightsquigarrow \mathrm{D\acute{e}r}_k(A, L)\) « \((0_{\mathrm{III}}, 8.1.11)\) » ajouté à la main au-dessus de la ligne, accolé à « représentant le foncteur covariant ». Nous allons généraliser ce résultat. Considérons d'abord un anneau topologique \(A\), et une \(A\)-algèbre topologique \(B\) qui est un anneau semi-local noethérien à quoi sert l'hypothèse […] ? Prendre […] topologie plus générale ? « semi-local noethérien » cerné d'un trait, un astérisque renvoyant à la note marginale, écrite en biais, muni de sa topologie \(\mathfrak{r}\)-préadique (\(\mathfrak{r}\) étant le radical de \(B\)). Alors, pour tout \(B\)-module de type fini \(L\), toute \(A\)-dérivation \(D\) de \(B\) dans \(L\) est continue pour les topologies \(\mathfrak{r}\)-préadiques sur \(B\) et \(L\), puisque l'on a \(D(\mathfrak{r}^{j+1}) \subset \mathfrak{r}^j L\) pour tout entier \(j\) ; en vertu de (0, 20.4.8) elle s'écrit donc \(D = u \circ d_{B/A}\), où \(u : \Omega^1_{B/A} \to L\) est un homomorphisme de \(B\)-modules (nécessairement continu pour les topologies \(\mathfrak{r}\)-préadiques, et on sait que dans le cas considéré la topologie canonique « canonique » en interligne de \(\Omega^1_{B/A}\) est la topologie […] \(\mathfrak{r}\)-préadique « \(\mathfrak{r}\)-préadique » en interligne, au-dessus du mot biffé (0, 20.4.5)). Nous désignerons par \(\overline{\Omega}^1_{B/A}\) le quotient de \(\Omega^1_{B/A}\) par l'intersection des noyaux des homomorphismes \(\Omega^1_{B/A} \to L\) pour les \(B\)-modules \(L\) « \(L\) » ajouté en interligne de type fini (ou, ce qui revient au même puisque \(L\) est noethérien, l'intersection des sous-modules \(M\) de \(\Omega^1_{B/A}\) tels que \(\Omega^1_{B/A}/M\) soit de type fini). On a donc \(\mathrm{Hom}_B(\overline{\Omega}^1_{B/A}, L) = \mathrm{Hom}_B(\Omega^1_{B/A}, L)\) pour tout \(B\)-module de type fini \(L\). note marginale, insérée ici par un trait Nous désignerons par \(\bar d_{B/A}\) ou simplement \(\bar d\) l'application composée \(B \xrightarrow{d_{B/A}} \Omega^1_{B/A} \xrightarrow{r} \overline{\Omega}^1_{B/A}\) ; c'est une \(A\)-dérivation « \(A\)- » en interligne, et \(\overline{\Omega}^1_{B/A}\) est engendré par les éléments \(\bar d_{B/A}(x)\) où \(x\) parcourt \(B\), en vertu de (0, 20.4.7) ; la définition précédente montre que l'application \(v \rightsquigarrow v \circ \bar d_{B/A}\) est un isomorphisme de \(B\)-modules, fonctoriel en \(L\) \[(18.13.4.1)\qquad \mathrm{Hom}_B(\overline{\Omega}^1_{B/A}, L) \xrightarrow{\ \sim\ } \mathrm{D\acute{e}r}_A(B, L) = \mathrm{D\acute{e}r}.\mathrm{cont}_A(B, L)\] « \(= \mathrm{D\acute{e}r}.\mathrm{cont}_A(B, L)\) » ajouté à la main \(L\) étant toujours supposé de type fini. Lorsque l'on est dans les conditions de (18.13.2), le \(A\)-module \(\overline{\Omega}^1_{A/k}\) qui vient d'être défini co- la phrase se poursuit à la page 23 du tapuscrit, feuillet 45 ci-dessus

Lettre à Deligne sur coh. p-adique

titre de sa main sur le feuillet 48, par ailleurs blanc, qui n'a pas de numéro de page ici ; il coiffe la lettre dactylographiée des feuillets 49 à 52, la « lettre (1965) » de l'inventaire. Le double dactylographié n'a pas les flèches, restituées d'après le texte, ni les crochets de décalage ; le premier paragraphe, de « Je vous propose » à « constant \(\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}\) », est délimité par deux crochets tracés à la main dans la marge

10.12.1965 date à la main, en haut à droite

Cher Deligne,

Je vous propose une simplification pour la démonstration du théorème de dualité, qui permet d'éviter tout recours au théorème de pureté relative. Vous vous rappelez qu'on était réduit au cas où \(f : X \to Y\) est de dimension relative \(1\), \(F = A_X\) et \(G = A_Y\). Le procédé « proéédé » dans la frappe de passage à la limite de Exp VI, par. 6, permet de supposer la base noethérienne, et même si on y tien[t] de dimension finie (car de type fini sur \(\mathbf{Z}\)). On raisonne par récurrence sur \(n = \dim X\). Si \(n = 0\), on sait le vérifier. Supposons le théorème démontré en dimension \(< n\). Se localisant sur \(Y\), on peut supposer \(Y\) strictement local. Alors, si \(y\) est son point fermé, on a \(\dim(Y - y) \add{<} n\), et comme on est réduit à prouver le théorème séparément pour \(X \times_Y (Y - y)\) et \(X \times_Y y\), on gagne. — Autre remarque : le théorème de dualité peut se démontrer, essentiellement de la même façon et avec le même énoncé, pour un morphisme lisse \(f : X \to Y\) compactifiable, lorsque \(Y\) est muni d'un faisceau d'anneaux \(A\) quelconque tel que il existe un entier \(n\) premier aux caractéristiques résiduelles annulant \(A\), et \(X\) d'un faisceau d'anneaux \(B\), et \(f\) étant donné comme morphisme de \((X, B)\) dans \((Y, A)\), de sorte qu'on a un homomorphisme de faisceau d'anneaux \(f^{-1}(A) \to B\). On définit alors \[f^{!}(K^{\bullet}) = R\,\underline{\mathrm{Hom}}^{\bullet}_{f^{-1}(A)} \bigl(B,\ f^{-1}(K) \otimes T_{X/Y}\,\add{[}2d\add{]}\bigr) .\] La définition de l'homomorphisme trace et la démonstration du théorème de dualité se décomposent alors en le cas où \(f^{-1}(A) \to B\) est un isomorphisme, qui se traite comme le cas \(A = (\mathbf{Z}/n\mathbf{Z})_Y\), et le cas où \(f = \mathrm{id}\), qui est trivial. Je pense qu'il vaut le coup d'inclure cette forme générale du théorème de dualité, soit de prime abord, soit à la fin dans un numéro-rattrappage. Je n'ai pas regardé si par hasard il pourrait se déduire du cas particulier

\(A = (\mathbf{Z}/n\mathbf{Z})_Y\) comme simple corollaire, mais ça m'étonnerait. La même remarque s'applique d'ailleurs également au théorème de dualité globale, qui s'énonce pour des faisceaux d'anneaux plus généraux que le faisceau constant \(\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}\).

Il me semble que la relation de nature transcendante qui lie la cohomologie de De-Rham ou de Hodge aux cohomologies \(\ell\)-adiques, lorsque le corps de base est \(\mathbf{C}\), via la cohomologie entière, devrait avoir un analogue lorsque le corps de base est alg. clos « alg clos » ajouté à la main valué complet non archimédien, à corps résiduel de caractéristique \(p\), et corps des fractions \(K\) « \(K\) » ajouté à la main de caractéristique zéro, savoir que \(H^{*}(X, \mathbf{Z}_p)\) doit s'envoyer alors de façon \(\mathbf{Z}_p\)-linéaire dans la cohomologie de De Rham \(H^{*}(X)\), qui serait isomorphe alors à \(H^{*}(X, \mathbf{Z}_p) \otimes_{\mathbf{Z}_p} K\). Pour définir un tel homomorphisme, on pourrait penser à utiliser l'espace rigide-analytique au sens de Tate défini par \(X\) (NB c'est un site qui ne peut être défini par une topologie au sens ordinaire, ce qui explique les difficultés conceptuelles initiales de Tate pour arriver à définir la notion d'espace rigide-analytique), soit \(X^{\mathrm{an}}\). On espère que les arguments habituels prouveront que pour des faisceaux de torsion, la cohomologie de \(X_{\text{ét}}\) coïncide avec celle de \(X^{\mathrm{an}}\), et un excès d'optimisme nous ferait espérer que la cohomologie de \(X^{\mathrm{an}}\) à coefficients constants \(\mathbf{Z}_p\) est bien la limite projective des cohomologies à coefficients dans les \(\mathbf{Z}/p^n\mathbf{Z}\), donc coïncide avec la cohomologie \(p\)-adique \(H(X_{\text{ét}}, \mathbf{Z}_p)\) (définie précisément comme une limite analogue). Si cela était vrai, l'immersion canonique de \(\mathbf{Z}_p\) dans les fonctions constantes sur \(X^{\mathrm{an}}\) semblerait permettre d'envoyer \(H(X^{\mathrm{an}}, \mathbf{Z}_p)\) dans la cohomologie de De Rham de \(X^{\mathrm{an}}\), qui par Gaga rigide-analytique n'est autre que celle de \(X\). L'« excès » plus haut serait justifié essentiellement par un « lemme

de Poincaré » rigide-analytique, disant que sur \(X^{\mathrm{an}}\), le complexe de De-Rham est bien une résolution du faisceau des fonctions constantes à valeurs dans le corps de base. Notez bien que c'est certainement trivial pour l'analytique \(p\)-adique ordinaire, étant une simple question de séries convergeantes dans ce cas, mais que la question pour la topologie rigide-analytique (qui est beaucoup plus grossière) est plus délicate. Je vous avoue d'ailleurs que j'ai de grands doutes que les choses marchent aussi simplement que ça, i.e. que la cohomologie rigide-analytique à coefficients constants tout bêtes donne les « bons » nombres de Betti. Je crois me rappeler que Tate m'avait dit que c'était déjà faux pour le \(H^1\) des courbes elliptiques — il faudrait lui demander quel était son argument ; apparemment, on trouverait un peu plus que pour la cohomologie étale, mais quand même pas toute la cohomologie. Il reste plausible néanmoins, quoi qu'il en soit, que la topologie rigide-analytique aura son rôle à jouer dans ces questions.

Notez qu'en caractéristique \(p > 0\), on a un homomorphisme évident de \(H^{*}(X, \mathbf{F}_p)\) dans la cohomologie de De-Rham, comme on voit en calculant cette dernière pour la cohomologie étale et non pour la cohomologie de Zariski (ce qui donne le même résultat, puisque les composantes du complexe de De Rham sont quasi-cohérents), et utilisant la suite spectrale en cohomologie étale \[H^{*}(X) \Leftarrow H^p\bigl(X, \underline{H}^q(\underline{\Omega})\bigr) .\] Cet homomorphisme se factorise d'ailleurs à travers \(H^{*}(X, \mathbf{F}_p) \to H^{*}(X, \underline{O}_X)\), ce dernier s'envoyant dans \(H^{*}(X)\) grace à l'homomorphisme de puissance \(p\)-ème \(f \rightsquigarrow f^p\), induisant un isomorphisme \(\underline{O}_X \simeq \underline{H}^0(\underline{\Omega})\). Le composé des homomorphismes canoniques \(H^n(X, \underline{O}_X) \to H^n(X) \to H^n(X, \underline{O}_X)\) (ce dernier

résultant de l'autre suite spectrale pour la cohomologie de De Rham) ne peut guère être autre chose que l'homomorphisme de Frobenius. Il faut dire que tout ça est bien éculé, et qu'on ne pourra dire des choses vraiment intéressantes et nouvelles qu'en faisant appel à la « vraie » cohomologie \(p\)-adique.

Bien cordialement