Une application polynomiale homogène de degré n \Phi : M \to N définit par la formule \Phi\Bigl(\sum_i t_i x_i\Bigr) = \sum_{p_1 + \cdots + p_r = n} \Phi_{p_1 \ldots p_r}(x_1, \ldots, x_r)\, t_1^{p_1} \cdots t_r^{p_r} [les t_i des indéterminées] des applications polynomiales \Phi_{p_1 \ldots p_r} : M \times \cdots \times M \to N multihomogènes de degrés p_1, \ldots, p_r, d'où des applications \varphi_{p_1, \ldots, p_r} : \underbrace{M \times \cdots \times M}_{r} \to N (définies si r \geq 1, p_1, \ldots, p_r \geq 0, \sum p_i = n). Ces applications sont reliées par des relations \varphi_{p_1, \ldots, p_r}\Bigl(\sum_{1 \leq i \leq s_1} x_{1,i},\ \sum_{1 \leq i \leq s_2} x_{2,i},\ \ldots,\ \sum_{i \leq s_r} x_{r,i}\Bigr) = \sum_{\substack{\sum_{1 \leq i_1 \leq s_1} q_{1,i_1} = p_1 \\ \sum_{1 \leq i_2 \leq s_2} q_{1,i_2} = p_2 \\ \cdots \\ \sum_{1 \leq i_r \leq s_r} q_{r,s_r} = p_r}} \varphi_{q_{1,i_1}, \ldots, q_{r,s_r}}(x_{1,1}, \ldots, x_{r,s_r}) les conditions de sommation sont écrites sous une accolade, l'une sous l'autre ; la seconde se lit q_{1,i_2} sur la page, où l'on attend q_{2,i_2}, et l'indice de la dernière est écrit q_{r,s_r} tel quel il suffit pour des arguments note marginale de six courtes lignes, accolée à la relation, dont seuls les premiers mots se lisent

Plus relations de symétrie souligné

On suppose que l'on a vérifié que … la phrase s'interrompt sur des points de suspension ; le reste du feuillet est blanc

Soit J un idéal principal d'un anneau A, J = \pi A. Formellement pour y définir des puissances divisées, on est amené à définir des \frac{(\pi y)^n}{n!} = \frac{\pi^n}{n!}\, y^n = \pi^{(n)} y^n donc à définir des éléments \pi^{(n)} \in \pi A \qquad (n \geq 1) qui satisfassent aux conditions suivantes.

\pi^{(m)} \pi^{(n)} = \frac{(m+n)!}{m!\,n!}\, \pi^{(m+n)} ; et si \pi z = 0, \pi^{(n)} (y+z)^n = \pi^{(n)} \uncertain{z}^n, ce qui des \pi^{(n)} y trois lignes cernées d'un trait et biffées, premier état des conditions (1) ; dans la seconde le dernier facteur se lit z^n, où le sens attend y^n

(1)\qquad \begin{cases} \pi^{(1)} = \pi \\ \pi^{(m)} \pi^{(n)} = \dfrac{(m+n)!}{m!\,n!}\, \pi^{(m+n)} \\ \pi^{(p)} \Bigl(\dfrac{\pi^{(q)}}{\pi}\Bigr)^{p} = \dfrac{(pq)!}{p!\,(q!)^p}\, \pi^{(pq)} \end{cases} le « 1 » de l'étiquette est cerclé sur la page, ici et à chaque rappel

NB. Comme \pi^{(q)} \in \pi A, \pi^{(q)}/\pi est défini mod. addition d'un z tel que \pi z = 0, mais comme \pi^{(p)} \in \pi A, est déterminé sans ambiguïté l'élément \pi^{(p)} \bigl(\pi^{(q)}/\pi\bigr)^p.

Alors on trouve une structure de puissances divisées (sur J = \pi A) « sur J = \pi A » en interligne, le J tracé ici comme un I gras x^{(n)} = (\pi y)^{(n)} = \pi^{(n)} y^n \qquad \text{pour } x = \pi y \in J, en notant que x^{(n)} ne dépend pas du choix de y t.q. x = \pi y.

Exemple 1. Supposons que A soit sans torsion sur \mathbf{Z}. Alors les relations \pi^n = n!\, \pi^{(n)} déterminent uniquement les \pi^{(n)} en fonction de \pi, et leur existence équivaut au fait que \pi^n \in n!\, A \qquad \forall n \geq 2 . Les relations (1) sont satisfaites automatiquement.

Exemple 2. Supposons A_0 = \mathbf{Z}_{(p\mathbf{Z})}, Alors \pi = p. Alors « \pi = p. Alors », précédé d'un « Alors » biffé, est écrit en bout de la ligne qui précède le titre « Exemple 2 » ; la virgule après \mathbf{Z}_{(p\mathbf{Z})} l'y rattache les conditions précédentes sont satisfaites, les p^n/n! sont des entiers p-adiques. Donc si A est dans laquelle tout nb premier q \neq p est inversible (i.e. les caractéristiques résiduelles sont p, 0), une algèbre sur A_0, on trouve par spécialisation des \pi^{(n)} \in A, \pi^{(n)} = p^n/n!, qui

ïncide avec le module de différentielles analytiques défini dans (18.13.1) ; en effet « en effet » en interligne, au-dessus d'un mot raturé à la machine (les définitions étant celles de (18.13.1)), il résulte du fait que \overline{\Omega}^1_{A/k} est de type fini et de (0, 20.4.8) que la dérivation \bar d_{A/k} se factorise en A \xrightarrow{d_{A/k}} \Omega^1_{A/k} \xrightarrow{u_0} \overline{\Omega}^1_{A/k} et que tout A-homomorphisme \Omega^1_{A/k} \xrightarrow{u} L, où L est un A-module de type fini, se factorise nécessairement en \Omega^1_{A/k} \xrightarrow{u_0} \overline{\Omega}^1_{A/k} \xrightarrow{v} L, si bien que \mathrm{Ker}(u) contient toujours \mathrm{Ker}(u_0), d'où notre assertion.

On notera que si \overline{\Omega}^1_{B/A} est un B-module de type fini, il représente le foncteur covariant L \rightsquigarrow \mathrm{D\acute{e}r}_A(B, L) dans la catégorie des B-modules de type fini. Il est clair que si \Omega^1_{B/A} lui-même est de type fini (ce qui sera par exemple le cas (0, 20.4.7) lorsque B est une A-algèbre de type fini), on a \overline{\Omega}^1_{B/A} = \Omega^1_{B/A}.

Proposition (18.13.5). — Soient A un anneau topologique, B et C deux « B et C deux » à la main, remplaçant un mot biffé A-algèbres topologiques qui sont des « sont des » en interligne anneaux semi-locaux noethériens et dont les topologies sont les topologies préadiques, \rho : B \to C un A-homomorphisme continu. Alors :

(i) Si \overline{\Omega}^1_{C/A} est un C-module de type fini , \overline{\Omega}^1_{C/B} est un C-module de type fini.

(ii) Si \overline{\Omega}^1_{B/A} est un B-module de type fini et si C est une B-algèbre finie, \overline{\Omega}^1_{C/A} est un C-module de type fini.

(iii) Supposons vérifiées, soit les hypothèses de (ii), soit l'hypothèse de (i) et la condition supplémentaire que \Omega^1_{B/A} est un B-module de type fini ; alors il existe deux C-homomorphismes déterminés de façon uniques style la note marginale, deux mots dont le second n'est pas lu, est accolée par un trait à la biffure : \bar u : \overline{\Omega}^1_{C/A} \to \overline{\Omega}^1_{C/B} et \bar v : \overline{\Omega}^1_{B/A} \otimes_B C \to \overline{\Omega}^1_{C/A} tels que le diagramme

numéroté (18.13.5.1) à gauche du diagramme ; la page s'arrête sur lui

satisfait aux conditions précédentes (1), donc une structure de puissances divisées canonique sur pA.

Exemple 3. Soit A intègre, tel que les seules une ligne biffée, non lue caractéristiques résiduelles soient p et 0. Soit \pi un élément tel que les caractéristiques résiduelles de A/\pi A soient p. À quelle condition peut-on trouver des \pi^{(n)} ? Supposons que A soit un anneau de valuation discrète. Il faut \pi^n/n! \in A, i.e. v(\pi^n/n!) \geq 0 \qquad \text{pour tout } n i.e. n\, v(\pi) - v(n!) \geq 0 \qquad \text{pour tout } n . Soit v(p) = e l'indice de ramification absolu de A, donc v(n!) pour un entier N, v(N) = e\, v_p(N). Soit donc \rho = v(\pi). La condition s'écrit v(\pi) \geq e\, \frac{v_p(n!)}{n} \qquad \text{pour tout } n i.e. v(\pi) \geq e\, \lambda(p) \qquad \text{où } \lambda(p) = \sup_n \frac{v_p(n!)}{n} = \frac{1}{p-1} Legendre en marge droite, au-dessus de la formule donnant \lambda(p), qui est elle-même écrite en marge et rattachée au texte par une accolade est une constante ne dépendant que de p, et qui est \leq 1 \lambda(p) … Donc on trouve la condition v(\pi) \geq \frac{e}{p-1} . Supposons que \pi soit l'uniformisante, ou v(\pi) = 1, on trouve la condition \boxed{e \leq p-1}

(18.13.4) Le résultat de (18.13.2), joint au fait que pour une k-algèbre analytique A, \overline{\Omega}^1_{A/k} soit un A-module de type fini, peut encore s'exprimer en disant que dans la catégorie des A-modules de type fini, \overline{\Omega}^1_{A/k} est un objet représentant le foncteur covariant L \rightsquigarrow \mathrm{D\acute{e}r}_k(A, L) « (0_{\mathrm{III}}, 8.1.11) » ajouté à la main au-dessus de la ligne, accolé à « représentant le foncteur covariant ». Nous allons généraliser ce résultat. Considérons d'abord un anneau topologique A, et une A-algèbre topologique B qui est un anneau semi-local noethérien à quoi sert l'hypothèse ? Prendre topologie plus générale ? « semi-local noethérien » cerné d'un trait, un astérisque renvoyant à la note marginale, écrite en biais, muni de sa topologie \mathfrak{r}-préadique (\mathfrak{r} étant le radical de B). Alors, pour tout B-module de type fini L, toute A-dérivation D de B dans L est continue pour les topologies \mathfrak{r}-préadiques sur B et L, puisque l'on a D(\mathfrak{r}^{j+1}) \subset \mathfrak{r}^j L pour tout entier j ; en vertu de (0, 20.4.8) elle s'écrit donc D = u \circ d_{B/A}, où u : \Omega^1_{B/A} \to L est un homomorphisme de B-modules (nécessairement continu pour les topologies \mathfrak{r}-préadiques, et on sait que dans le cas considéré la topologie canonique « canonique » en interligne de \Omega^1_{B/A} est la topologie \mathfrak{r}-préadique « \mathfrak{r}-préadique » en interligne, au-dessus du mot biffé (0, 20.4.5)). Nous désignerons par \overline{\Omega}^1_{B/A} le quotient de \Omega^1_{B/A} par l'intersection des noyaux des homomorphismes \Omega^1_{B/A} \to L pour les B-modules L « L » ajouté en interligne de type fini (ou, ce qui revient au même puisque L est noethérien, l'intersection des sous-modules M de \Omega^1_{B/A} tels que \Omega^1_{B/A}/M soit de type fini). On a donc \mathrm{Hom}_B(\overline{\Omega}^1_{B/A}, L) = \mathrm{Hom}_B(\Omega^1_{B/A}, L) pour tout B-module de type fini L. note marginale, insérée ici par un trait Nous désignerons par \bar d_{B/A} ou simplement \bar d l'application composée B \xrightarrow{d_{B/A}} \Omega^1_{B/A} \xrightarrow{r} \overline{\Omega}^1_{B/A} ; c'est une A-dérivation « A- » en interligne, et \overline{\Omega}^1_{B/A} est engendré par les éléments \bar d_{B/A}(x) où x parcourt B, en vertu de (0, 20.4.7) ; la définition précédente montre que l'application v \rightsquigarrow v \circ \bar d_{B/A} est un isomorphisme de B-modules, fonctoriel en L (18.13.4.1)\qquad \mathrm{Hom}_B(\overline{\Omega}^1_{B/A}, L) \xrightarrow{\ \sim\ } \mathrm{D\acute{e}r}_A(B, L) = \mathrm{D\acute{e}r}.\mathrm{cont}_A(B, L) « = \mathrm{D\acute{e}r}.\mathrm{cont}_A(B, L) » ajouté à la main L étant toujours supposé de type fini. Lorsque l'on est dans les conditions de (18.13.2), le A-module \overline{\Omega}^1_{A/k} qui vient d'être défini co- la phrase se poursuit à la page 23 du tapuscrit, feuillet 45 ci-dessus

10.12.1965 date à la main, en haut à droite

Cher Deligne,

Je vous propose une simplification pour la démonstration du théorème de dualité, qui permet d'éviter tout recours au théorème de pureté relative. Vous vous rappelez qu'on était réduit au cas où f : X \to Y est de dimension relative 1, F = A_X et G = A_Y. Le procédé « proéédé » dans la frappe de passage à la limite de Exp VI, par. 6, permet de supposer la base noethérienne, et même si on y tient de dimension finie (car de type fini sur \mathbf{Z}). On raisonne par récurrence sur n = \dim X. Si n = 0, on sait le vérifier. Supposons le théorème démontré en dimension < n. Se localisant sur Y, on peut supposer Y strictement local. Alors, si y est son point fermé, on a \dim(Y - y) \add{<} n, et comme on est réduit à prouver le théorème séparément pour X \times_Y (Y - y) et X \times_Y y, on gagne. — Autre remarque : le théorème de dualité peut se démontrer, essentiellement de la même façon et avec le même énoncé, pour un morphisme lisse f : X \to Y compactifiable, lorsque Y est muni d'un faisceau d'anneaux A quelconque tel que il existe un entier n premier aux caractéristiques résiduelles annulant A, et X d'un faisceau d'anneaux B, et f étant donné comme morphisme de (X, B) dans (Y, A), de sorte qu'on a un homomorphisme de faisceau d'anneaux f^{-1}(A) \to B. On définit alors f^{!}(K^{\bullet}) = R\,\underline{\mathrm{Hom}}^{\bullet}_{f^{-1}(A)} \bigl(B,\ f^{-1}(K) \otimes T_{X/Y}\,\add{[}2d\add{]}\bigr) . La définition de l'homomorphisme trace et la démonstration du théorème de dualité se décomposent alors en le cas où f^{-1}(A) \to B est un isomorphisme, qui se traite comme le cas A = (\mathbf{Z}/n\mathbf{Z})_Y, et le cas où f = \mathrm{id}, qui est trivial. Je pense qu'il vaut le coup d'inclure cette forme générale du théorème de dualité, soit de prime abord, soit à la fin dans un numéro-rattrappage. Je n'ai pas regardé si par hasard il pourrait se déduire du cas particulier