Cote n° 46 · batch 5 · pages 81–94 · Transcription · Schémas en groupes et fibrés principau[x] (Divers) : notes manuscrites (s.d.), tapuscrit (s.d.)
Datation de l’inventaire : [vers 1966-vers 1972]
Édition de démonstration

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suite de la page 80 (lot 4) : le \(\Gamma\)-ensemble tordu \(M_f\) Quel est l'ens. \(M_f^{\Gamma}\) ? C'est l'ensemble des \(m \in M_f = M\) tels que \[f(\gamma)\,\gamma m = m \quad \text{pour tt } \gamma \qquad \text{i.e.}\] \[\boxed{\gamma m = f(\gamma)^{-1} m \quad \text{pour tt } \gamma \in \Gamma}\] On les appelle parfois éléments \(f\)-automorphes du \(G\)-\(\Gamma\)-ensemble \(M\).

Si \(M\) est muni [en plus] de structures diverses invariantes par \(\Gamma\) et \(G\), alors il en est de même de \(M_f\) (qui conserve les structures qu'il y avait sur \(M\)). Si \(M\) était p.ex. un \(G\)-groupe abélien, […] un \(\Gamma\)-groupe abélien, il en est de même de \(M_f\) etc. Dans ce cas, on peut s'intéresser, plus généralement, aux \(H^i(\Gamma, M_f)\).

Soit \(f'\) un autre cocycle […] de \(\Gamma\) à valeurs dans \(G\). Supposons \(f' \sim f\), i.e. \(f'(\gamma) = a^{-1} f(\gamma)\,\gamma a\) (\(a \in G\)). On a alors un isomorphisme \(u_a : M_{f'} \to M_f\), en faisant correspondre [posant] \[u_a m = am\] il écrit l'isomorphisme \(M_f \to M_{f^*}\), l'astérisque étant peut-être un prime ; le calcul qui suit est celui de \(M_{f'} \to M_f\) Il faut vérifier \[u_a\, \gamma_{f'} m = \gamma_f\, u_a m\] \[\text{i.e.} \qquad a f'(\gamma)\,\gamma m = f(\gamma)\,\gamma(am)\] \[\text{i.e.} \qquad a a^{-1} f(\gamma)\,\gamma(a)\,\gamma(m) = f(\gamma)\,\gamma(am) \ ;\] c'est vrai.

Si on veut que \(M_{f} \simeq M_{f'}\) pour tt \(G\)-\(\Gamma\)-ensemble \(M\), il faut que \(f \sim f'\) comme on voit en prenant \(M = G\), \(G\) y opérant par translations à gauche.

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Supposons que \(M\) soit un groupe abélien. La façon habituelle de construire des éléments de \(M_f^{\Gamma}\) (du moins en supposant \(\Gamma\) fini) est par le procédé des moyennes \[N_f\, m = \sum_{\gamma \in \Gamma} \gamma_f\, m = \sum_{\gamma \in \Gamma} f(\gamma)\,\gamma.m\] Supposons en particulier que \(G\) soit l'ens. des éléments inversibles d'un anneau \(A\), et que \(M\) soit un \(A\)-module. Soit […] […] […] \(A\) [[…] […] \(u \in A\)] définissons \[N_f u = \sum_{\gamma \in \Gamma} f(\gamma)\,\gamma(u)\] Alors \[x \in M_f^{\Gamma} \qquad \text{i.e.} \qquad f(\gamma)\,\gamma(x) = x \quad \text{si } x = N_f u\] deux mots noircis devant \(x \in M_f^{\Gamma}\) et devant le second \(x\) ; à droite, entouré : « \(N_f(u) \in A_f^{\Gamma}\) », puis « En particulier, […] » [Si le groupe \(\Gamma\) est infini, on essaie de faire des moyennes infinies, quand on arrive à leur donner un sens. C'est la […] construction des fonctions zeta-fuchsiennes de Poincaré]

Si on peut s'arranger pour trouver \(u\) tel que \(x\) soit inversible, on aura \(f(\gamma) = x\,\gamma(x)^{-1}\) donc \(f \sim 0\).

Exemple Supposons que \(\Gamma\) […] opère fidèlement dans [un] corps \(K\). Soit \(A\) une algèbre de dimension finie sur \(K\), et supposons que \(\Gamma\) opère dans \(A\), de façon que \[\gamma(\lambda a) = (\gamma.\lambda)(\gamma.a)\] Je dis que alors \(H^1(\Gamma, G) \simeq (e)\), où \(G\) est le groupe des éléments inversibles de \(A\). D'après ce qui précède, […] fini, il suffit de trouver un \(u \in A\) tel que \(\sum f(\gamma)\,\gamma u\) soit inversible, ce qui s'exprime par une équation

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\[P\Bigl(\sum f(\gamma)\,\gamma a\Bigr) \neq 0\] où \(P\) est un polynôme à coeff. dans \(K\) défini défini sur l'espace \(K\)-vectoriel \(A\), par rapport aux coordonnées […] du point courant, par rapport […] […] d'une base. On montre d'abord que \(A\) a une base formée d'éléments invariants par \(\Gamma\) [c'est un lemme, qui n'utilise pas la structure [\(K\)-\(\Gamma\)-espace] vectoriel […] de \(A\), et n'utilise pas que la dimension soit finie]. Si \(a = (a_i)_{1 \leq i \leq n}\), […] […] […] \(P\bigl(\sum f(\gamma)\,\gamma a\bigr) = Q\bigl(f_1(\gamma), \ldots, f_n(\gamma)\bigr)\) ; \[P\Bigl(\sum f(\gamma)\,\gamma(a_\gamma)\Bigr) = R\Bigl(\bigl\lbrace \gamma a^1_\gamma, \ldots, \gamma a^n_\gamma \bigr\rbrace_{\gamma \in \Gamma}\Bigr)\] la première ligne est biffée ; à droite : « \(R\) un polynôme en \(n|\Gamma|\) variables » Supposons \(K\) infini. […] l'application […] […] \(a^i_\gamma = a^i\) pour tt \(\gamma\) (et tout \(i\)), étant données quelconques \(a^1, \ldots, a^n \in K\), alors d'après le th. d'indépendance algébrique des automorphismes, alors \(R\) est identiquement nul, en particulier on a \(R(\lbrace a\ldots\) \[P\Bigl(\sum f(\gamma)\,\gamma(a_\gamma)\Bigr) = 0\] quel que soit le choix des \(a_\gamma\), d'où (faisant \(a_{\gamma_0} = 1\) et \(a_{\gamma} = 0\) si \(\gamma \neq \gamma_0\)) \(P(f(\gamma_0)) = 0\), absurde. il écrit \(a_{\gamma_1} = 0\) si \(\gamma \neq \gamma_0\) / Dans le cas où \(K\) est fini, il faut utiliser le résultat de Lang…..

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Généralisation Cas particulier \(H^1(\Gamma, K^{*}) = 0\). la formule est soulignée d'un trait ondulé Ici, il suffit de vérifier qu'on peut trouver \(x \in K^{*}\) tel que \(\sum f(\gamma)\,\gamma x \neq 0\), et l'indépendance linéaire des automorphismes est suffisante.

Généralisation Soit \(\mathcal{O}\) un anneau semi-local noethérien, et \(\Gamma\) un groupe fini opérant fidèlement sur \(\mathcal{O}\), et par transitivité sur les idéaux maximaux. Soit \(\Gamma_d\) le […] groupe de stabilité d'un idéal maximal \(\mathfrak{m}\) de \(\mathcal{O}\), donc \(\Gamma_d\) opère dans \(\mathcal{O}/\mathfrak{m} = k\). Soit \(\Gamma_i\) le noyau de la représentation de \(\Gamma_d\) dans \(\mathcal{O}/\mathfrak{m}\) [par] automorphismes du corps \(\mathcal{O}/\mathfrak{m}\). Soit enfin \(A\) une \(\mathcal{O}\)-algèbre, […] de type fini Alors « […] de type fini » est ajouté au-dessus de la ligne puis biffé avec elle, et un « Alors » biffé suit \(\Gamma\) opère […] tel que \(\gamma(\lambda a) = (\gamma\lambda)(\gamma a)\). Alors les applications \(\ldots\) l'application naturelle \[H^1(\Gamma, A^{*}) \longrightarrow H^1(\Gamma_d, A^{*}_{\mathfrak{m}}) \longrightarrow H^1(\Gamma_i, A^{*}_{\mathfrak{m}})\] après le dernier terme, quelques signes biffés d'un gribouillis sont injectives. [N.B. […] […] dans le cas le plus important, \(A\) \(\Gamma_i\) opère trivialement sur \(A/\mathfrak{m}A\), donc \(H^1(\Gamma_i, (A/\mathfrak{m}A)^{*})\) est formé des classes d'homomorphismes […] […] [de \(A/\mathfrak{m}A\)] […] de \(\Gamma_i\) dans \((A/\mathfrak{m}A)^{*}\)]

Soient \(f, g \in Z^1(\Gamma, A)\), supposons qu'elles aient même image dans \(A_{\mathfrak{m}}\) [\(H^1(\Gamma_d\)] [i.e. il existe \(a, b \in A\), \(\lambda \in \complement\mathfrak{m}\), \(\mu \in \complement\mathfrak{m}\), tels que \(\lambda^{-1}\mu^{-1} a b = 1\) dans \(A_{\mathfrak{m}}\), i.e. il existe \(\nu \in \complement\mathfrak{m}\) tel que \(\nu ab = \nu\lambda\mu\), et tel que \(g(\sigma) = (a\lambda^{-1})^{-1} f(\sigma)\,\sigma(a\lambda^{-1})\) dans \(A_{\mathfrak{m}}\), i.e. …] le passage entre crochets est encadré et biffé d'un long trait ondulé ; lecture des formules incertaine, les lettres \(\lambda\), \(\mu\), \(\nu\) se distinguent mal, et \(\complement\mathfrak{m}\) rend un signe qui peut être « \(\in \mathfrak{m}\) »

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Soient \(\hat{\mathcal{O}}\), \(\hat{A}\) les complétés de \(\mathcal{O}\), \(A\), alors \(\Gamma\) y opère de façon canonique. Or \[\hat{\mathcal{O}} = \bigoplus_i \hat{\mathcal{O}}_{\mathfrak{m}_i} \qquad\qquad \hat{A} \simeq \bigoplus_i \underbrace{\hat{A}_{\mathfrak{m}_i}}_{B_i}\] et \(\Gamma_d\) invarie \(B_0\), tandis que \(\Gamma\) mod \(\Gamma_i\) permute les \(B_i\) entre eux de façon simplement transitive. « \(\Gamma\) mod \(\Gamma_i\) » tel qu'écrit, là où l'on attend \(\Gamma_d\) Je dis qu'il résulte que \[H^1(\Gamma, \hat{A}^{*}) \simeq H^1(\Gamma_d, \hat{A}_{\mathfrak{m}}^{*})\] d'après un lemme bien connu (valable même non commutatif). Il s'ensuit, puisque \(f\) et \(g\) définissent la même classe de \(H^1(\Gamma_d, \hat{A}_{\mathfrak{m}}^{*})\), qu'il existe un \(u \in A_{\mathfrak{m}}^{*}\) [en regardant le diagramme commutatif

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
H^1(\Gamma, A^{*}) \arrow[r] \arrow[d] & H^1(\Gamma_d, A_{\mathfrak{m}}^{*}) \arrow[d] \\
H^1(\Gamma, \hat{A}^{*}) \arrow[r, "\sim"] & H^1(\Gamma_d, \hat{A}_{\mathfrak{m}}^{*})
\end{tikzcd}

] que \(f\) et \(g\) ont même image dans \(H^1(\Gamma, \hat{A})\) donc qu'il existe un \(u \in \hat{A}^{*}\) tel que l'on ait \[g(\gamma) = u^{-1} f(\gamma)\,\gamma(u) \ :\] Par conséquent, on voit, […] […] […] puissance \(\mathfrak{m}^N\) […] […] de \(\mathcal{O}\), […] […] \(v \in A\) […] \(g(\gamma) \equiv v^{-1} f(\gamma)\,\gamma(v)\) mod \(\mathfrak{m}^N A\) le passage est encadré et barré d'un long trait ondulé

Considérons l'application […] \[\varphi : A \longrightarrow A^{\Gamma}\] définie par \[\varphi(u) = \bigl(u\,g(\gamma) - f(\gamma)\,\gamma(u)\bigr)_{\gamma \in \Gamma}\]

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Elle est linéaire par rapport à \(\mathcal{O}^{\Gamma}\). Or \(\mathcal{O}^{\Gamma}\) est un anneau semi-local noethérien, et \(\mathcal{O}\) est [un module] de type fini sur \(\mathcal{O}^{\Gamma}\) (bien connu…), enfin la topologie naturelle sur \(A\) (dans \(A^{\Gamma}\)) est la même, qu'on considère \(A\) comme [\(\mathcal{O}\)-module] ou comme \(\mathcal{O}^{\Gamma}\)-module. il écrit « \(A\) (\(\text{dans } A^{\Gamma}\)) », le \(A^{\Gamma}\) étant le but de \(\varphi\) Le noyau \(N\) de l'application \(\varphi\) a donc comme adhérence, dans \(\hat{A}\), le noyau \(\hat{N}\) de l'application déduite par continuité. […] […] […] […] […] […] […]. Soit \(v \in N\) tel que inversible. […] […] […] \(v \equiv u \ (\mathfrak{m}^r A)\) […] […] […] […] de \(\mathcal{O}\). Alors […] est aussi inversible, et on a bien \[g(\gamma) = v^{-1} f(\gamma)\,\gamma(v) .\] les lettres \(u\) et \(v\) se distinguent mal sur cette page ; « \(N\) » est ajouté au-dessus de « noyau », « de type » au-dessus de « module » digression […] […] […] si […] \(f \sim g\) mod \(\mathfrak{m}^n A\) […] […] \(f \sim g\) […] dans la marge gauche, en quatre lignes obliques à la hauteur des lignes 7 à 9 ; lecture très incertaine

Cela prouve donc que \[H^1(\Gamma, A^{*}) \to H^1(\Gamma_d, A_{\mathfrak{m}}^{*}) \quad\text{et}\quad H^1(\Gamma, A^{*}) \to H^1(\Gamma, \hat{A}^{*}) \quad\text{sont injectifs.}\] les deux lignes sont réunies à gauche par un double trait vertical

Supposons alors que \(\mathcal{O}\) soit un anneau local (donc \(\Gamma = \Gamma_d\)), montrons que le diagramme […] que

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
H^1(\Gamma, A^{*}) \arrow[r] \arrow[d, "\varphi"'] & H^1(\Gamma_i, A^{*}) \arrow[d, "\varphi_i"] \\
H^1(\Gamma, A/\mathfrak{m}^{*}) \arrow[r, "\psi"] & H^1(\Gamma_i, A/\mathfrak{m}^{*})
\end{tikzcd}

à gauche de la flèche \(\varphi\), « est injectif » biffé. Tout ce bas de page, depuis « prouvons que », est barré de longs traits obliques Supposons que nous prouvions que \(\varphi\) et \(\psi\) sont injectifs, alors il en résulte ([…] […] \(\Gamma_i\) […] \(\varphi_i\) […]

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aussi, et par suite aussi la première flèche horizontale. le haut de la page, jusqu'à « s'identifie au groupe additif \(\mathfrak{m}^n A / \mathfrak{m}^{n+1} A\) », est barré de longs traits obliques, comme le bas de la page 86 ; on le transcrit néanmoins

Supposons Prouvons donc que \(\varphi\) est injective. Prouvons par récurrence sur \(n \geq 1\) que \[\text{si } f \sim g \ \mathrm{mod}\ \mathfrak{m}^n A \quad \text{alors} \quad f \sim g \ \mathrm{mod}\ \mathfrak{m}^{n+1} A\] Pour ceci, considérons la suite exacte de \(\Gamma\)-groupes \[e \longrightarrow N_n \longrightarrow (A/\mathfrak{m}^{n+1}A)^{*} \longrightarrow (A/\mathfrak{m}^{n}A)^{*} \longrightarrow 0\] Si \(x, y \in A^{*}\) […], leurs images dans \(A/\mathfrak{m}^n A\) sont égales si et seulement si \(x - y \in \mathfrak{m}^{n}A\) i.e. \(xy^{-1} - 1 \in \mathfrak{m}^{n}A\) […] […] i.e. \(xy^{-1} \in 1 + \mathfrak{m}^{n}A\), et donc […] […] l'identité […] mod \(\mathfrak{m}^{n+1}A\). Donc \(N_n\) s'identifie au groupe additif \(\mathfrak{m}^n A / \mathfrak{m}^{n+1} A\) […] […] […] que si \(f\), \(g\) […] tels que \[g(\gamma) = u^{-1} f(\gamma)\,\gamma(u) \qquad \gamma \in \Gamma_i \qquad (*)\] alors \(f \sim g\), i.e. […] […] d'abord faire opérer \(\Gamma\) différemment sur \(A\), par \[\gamma_f(x) = f(\gamma)\,\gamma.x\, f(\gamma)^{-1}\] \[\text{on a donc} \qquad \gamma_f(\lambda x) = f(\gamma)\,\gamma(\lambda)\,\gamma(x)\,f(\gamma)^{-1} = \gamma(\lambda)\,\gamma_f(x)\] donc \(A_f\) est un \((\mathcal{O}, \Gamma)\)-module. […] Cela étant, l'égalité \((*)\) s'écrit \[g(\gamma) f(\gamma)^{-1} = u^{-1} \gamma_f(u) \qquad \gamma \in \Gamma_i\] et on cherche \(v\) tel qu'on ait \[g(\gamma) f(\gamma)^{-1} = v^{-1} \gamma_f(v) \qquad \text{pour \emph{tt} } \gamma \in \Gamma .\]

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Or on sait que \[h(\gamma) = g(\gamma) f(\gamma)^{-1}\] est un \(1\)-cocycle de \(\Gamma\) à valeurs dans \(A_f\). On est ramené à prouver que s'il est trivial [nul] sur \(\Gamma_i\), il est trivial [nul] sur \(\Gamma\). […] […] […] […] […] […] […]. « nul » est écrit deux fois au-dessus d'un mot biffé, « trivial » Cela nous ramène donc au cas où l'un des cocycles \(f\), \(g\) est l'unité, soit \(g\). Mais alors on utilise la suite exacte dans ce cas, bien connue, \[e \longrightarrow H^1(\Gamma/\Gamma_i, G^{\Gamma_i}) \longrightarrow H^1(\Gamma, G) \longrightarrow H^1(\Gamma_i, G)\] et on est ramené à prouver que \[H^1(\Gamma/\Gamma_i, G^{\Gamma_i}) = \lbrace e \rbrace\] Or \(G^{\Gamma_i} = (A^{\Gamma_i})^{*}\). Soit \(\Gamma' = \Gamma/\Gamma_i\), \(A' = A^{\Gamma_i}\), Alors \(\mathcal{O}' = \mathcal{O}^{\Gamma_i}\). On sait que \(\mathcal{O}'\) est un anneau [local] noethérien, […] […] […] […] […] […] isomorphe : […] […] que \(\Gamma/\Gamma_i = \Gamma'\) y opère fidèlement. De plus, on sait que \(\mathcal{O}\) est un \(\mathcal{O}'\)-module noethérien, d'où résulte qu'il en est de même de \(A\), donc de \(A'\). \(A'\) est une \(\mathcal{O}'\)-algèbre, et \(\Gamma'\) y opère de façon compatible avec ses opérations sur \(\mathcal{O}'\). On est ramené à prouver \[H^1(\Gamma, A^{*}) = (e)\] […] dans le cas particulier où \(\Gamma_i = \lbrace e \rbrace\),

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i.e. \(\Gamma\) opère fidèlement sur le corps des restes. Or on sait déjà (comme conséquence du th. d'indépendance algébrique des automorphismes, resp. le lemme de Lang) que \(H^1(\Gamma, A/\mathfrak{m}A^{*}) = (e)\). il écrit « … automorphismes, resp! le … » ; \(A/\mathfrak{m}A^{*}\), ici et plus bas, pour \((A/\mathfrak{m}A)^{*}\) Prouvons alors par récurrence, sur \(n \geq 1\) que \[H^1(\Gamma, A/\mathfrak{m}^n A^{*}) = \lbrace e \rbrace\] Pour ceci, on suppose le suppose fait pour \(n \geq 1\), on écrit la suite exacte \[e \longrightarrow N_n \longrightarrow A/\mathfrak{m}^{n+1}A^{*} \longrightarrow A/\mathfrak{m}^{n}A^{*} \longrightarrow e\] et on constate que ces termes sont des \(\Gamma\)-groupes, \(N_n\) est isomorphe à \(\mathfrak{m}^{n}A/\mathfrak{m}^{n+1}A\), donc à un espace vectoriel sur \(k = A/\mathfrak{m}\). On […] […] […] (en tant que \(\Gamma\)-groupe) isomorphe à \(k^N\), donc \(H^1(\Gamma, k^N) = H^1(\Gamma, k)^N = 0\) en vertu du théorème \(H^1(\Gamma, k) = 0\) pour is. « \(k = A/\mathfrak{m}\) » tel qu'écrit, pour \(\mathcal{O}/\mathfrak{m}\) La suite exacte \[H^1(\Gamma, N_n) \longrightarrow H^1(\Gamma, A/\mathfrak{m}^{n+1}A^{*}) \longrightarrow H^1(\Gamma, A/\mathfrak{m}^{n}A)^{*}\] montre donc que l'on a \[H^1(\Gamma, A/\mathfrak{m}^{n+1}A^{*})^{*} = \lbrace e \rbrace .\] l'astérisque final est tel qu'écrit

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On, reproduisant un raisonnement déjà fait, on en conclut que \(H^1(\Gamma, A^{*}) = \lbrace e \rbrace\).

Cela est clair néanmoins à étudier \[H^1(\Gamma, A^{*})\] quand \(\mathcal{O}\) est un anneau local, \(\Gamma\) opère trivialement sur \(\mathcal{O}/\mathfrak{m}\), et \(A\) est une \((\mathcal{O}\text{-}\Gamma)\)-algèbre. Supposons de plus que \(\Gamma\) opère trivialement sur \(A/\mathfrak{m}A\). […] plus généralement supposons que \(A^{\Gamma} \to A/\mathfrak{m}A\) […] surjectif [[…] […] […] […] si \(A = M_n(\mathcal{O})\), \(\Gamma\) […] trivialement sur \(\mathcal{O}/\mathfrak{m}\), […] […] surjectif…] dans la marge gauche, en huit lignes obliques, reliées par un double trait à « Supposons de plus que » ; « surjectif » est souligné deux fois Soit \(p\) la caractéristique de \(k = \mathcal{O}/\mathfrak{m}\), et soit \(\Lambda\) le un sous-groupe de Sylow de type \(p\) de \(\Gamma\) (\(\Lambda = \lbrace e \rbrace\) si la caractéristique est nulle). Je dis que l'application \[H^1(\Gamma, A^{*}) \longrightarrow H^1(\Gamma, A/\mathfrak{m}A^{*}) \times H^1(\Lambda, A^{*})\] est bijective est injective (en particulier, si […] […] \(\Lambda\) […] […] […] \(p\), […] \[H^1(\Gamma, A^{*}) \longrightarrow H^1(\Gamma, A/\mathfrak{m}A^{*}) \quad\text{est injectif)}\] Soient \(f\) et \(g\) cocycles deux cocycles dont les images dans \(H^1(\Gamma, A/\mathfrak{m}A^{*})\) et \(H^1(\Lambda, A^{*})\) […] […] […] ; il faut montrer qu'ils sont \(\sim\), […] […] […] supposer [[…]] \(g(\gamma) = 1\) pour tt \(\gamma\). Soit […] Ceci revient alors […] […] que \(f\) est \(\sim 0\) […] […] \(A/\mathfrak{m}^{n}A^{*}\) pour tout \(n\). On raisonne par récurrence sur \(n\), supposons l'assertion prouvée pour un \(n \geq 1\). le « \(1\) » de \(g(\gamma) = 1\) est surchargé ; « […] » ajouté au-dessus de la ligne, en fin de ligne

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La suite exacte de coh. montre que \(f\) est dans l'image de \[H^1(\Gamma, \mathfrak{m}^{n}A/\mathfrak{m}^{n+1}A) \longrightarrow H^1(\Gamma, A/\mathfrak{m}^{n+1}A^{*})\] [dans \(A/\mathfrak{m}^{n+1}A^{*}\)] i.e. est \(\sim\) à un cocycle de la forme […] \[1 + g(\gamma)\] où \[g(\gamma) \in \mathfrak{m}^{n}A \quad \text{satisfait à} \qquad g(\gamma\gamma') \equiv g(\gamma) + \gamma g(\gamma') \quad (\mathfrak{m}^{n+1}A)\] Par hypothèse, on On peut dans le raisonnement supposer \(\mathfrak{m}^{n+1} = 0\). Donc L'hypothèse […] signifie que \[1 + g(\gamma) = u^{-1}\gamma(u) \qquad \text{pour } \gamma \in \Lambda\] \[\text{i.e.} \qquad \gamma(u) - u = u\,g(\gamma) \qquad \text{pour } \gamma \in \Lambda .\] Or \(\mathfrak{m}\,g(\gamma) = 0\), … \(u\,g(\gamma) = \varepsilon(u)\,g(\gamma)\) i.e. \(g(\gamma) = \gamma(\varepsilon(u)^{-1}u) - \varepsilon(u)^{-1}u\) … ce qui montre que \(\Gamma\) opère trivialement sur \(\mathcal{O}/\mathfrak{m}\) !) bloc encadré et barré de traits obliques ; le « \(\mathfrak{m}\) » de « \(\mathfrak{m}\,g(\gamma) = 0\) » est peut-être un autre signe Cela signifie que […] \(g(\gamma)\) est \(\sim 0\) dans \(H^1(\Lambda, A)\) (additif !). […] Or, \(A\) est un \((\Gamma\text{-}\mathcal{O})\)-module de longueur finie, […] […] […] […] […] […] […] \(M\) […] que l'application \(H^1(\Gamma, M) \to H^1(\Lambda, M)\) est injective. […] […] \(M\) […] […] […] […] tout le bas de la page, depuis « Cela signifie », est barré de longs traits obliques ; les deux dernières lignes sont en outre biffées chacune d'un trait […] \(\mathfrak{m}M = M\), […] \(\mathfrak{m}M = 0\) […] \(\Gamma\) […] […] \(H^1(\Gamma, M) \to H^1(\Lambda, M)\) […] […] […] […] […] […] injectif. la marge gauche porte, verticalement et en partie barrée d'un trait oblique, une note de huit lignes courtes ; lecture très incertaine

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Caractéristiques. Si […] […] \(0 \to M' \to M \to M'' \to 0\) […] […] […] surjectif […] bloc encadré et biffé ; à droite, embrassé d'une accolade : « provient des faits que, si » \(\nu = [\Gamma : \Lambda]\), la multiplication par \(\nu\) induit une bijection dans \(A\) (car ce […] […] […] dans les \(\mathfrak{m}^{i}A/\mathfrak{m}^{i+1}A\)). Par suite, on […] […] […] […] un \(v \in A\) […] \(\gamma v - v = u\,g(\gamma)\) pour tout \(\gamma \in \Gamma\) ces deux phrases, entre l'accolade et le bloc biffé, sont barrées de traits obliques, la dernière encadrée et biffée

Soit \(v \in A^{\Gamma}\) tel que \(\varepsilon(v) = \varepsilon(u)\), on a donc \[g(\gamma) = \gamma(v^{-1}u) - v^{-1}u\] d'où \(g \sim 0\) dans \(H^1(\Lambda, A)\) (additif). Comme \(\nu = [\Gamma : \Lambda]\) est tel que \(x \mapsto \nu x\) dans \(A\) est bijectif (car il l'est dans les \(\mathfrak{m}^{i}A/\mathfrak{m}^{i+1}A\), qui sont des espaces vectoriels sur \(k\)) l'homomorphisme \[H^1(\Gamma, A) \longrightarrow H^1(\Lambda, A)\] est injectif, donc il existe \(w \in A\) tel que \[g(\gamma) = \gamma(w) - w \qquad \text{pour \emph{tout} } \gamma \in \Gamma .\] Donc \(1 + g(\gamma) = \ldots\) \(w g\) On peut […] ([…] […] […] […] \(A^{\Gamma}\)) supposer \(w \in A^{*}\), […] et […] […] \(\varepsilon(w) = 1\). Alors […]. Soit alors \[g(\gamma) = \varepsilon(w)\,g(\gamma) = w\,g(\gamma), \quad \text{d'où}\] \[g(\gamma) = w^{-1}\gamma(w) - 1 \quad \text{d'où}\] \[1 + g(\gamma) = w^{-1}\gamma(w)\] donc \(1 + g(\gamma) \sim 0\) dans \(H^1(\Gamma, A^{*})\).

Contre-exemples à passage au quotient

inscrit en haut à droite d'une chemise grise (page 93), qui ne reçoit pas de numéro de page ; les mots « passage au quotient » sont d'une lecture incertaine

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Impossibilité des passages aux quotients en haut à droite, dans un angle tracé à la plume

\(G = GP(N)_S\) opérant sur \(\mathbb{P}^N_S\) \(S = \operatorname{Spec} k\)

\(V\) ouvert de \(\mathbb{P}^N_S\) invariant sur lequel \(G\) opère librement, supposons que \(V/G\) existe « effectivement ». Alors on montre que le faisceau sur \(V/G = W\) déduit de \(\underline{L} = \underline{\mathcal{O}}(N+1) \simeq \bigl(\underline{\Omega}^{N}_{\mathbb{P}^N_S/S}\bigr)^{-1}\) par « descente » est ample sur \(W\) [utiliser le fait que \(G\) n'a pas d'homomorphismes non triviaux dans \(\mathbb{G}_m\), et que tout ouvert affine de \(\mathbb{P}^N_S\) est complémentaire d'une hypersurface, […] donc défini par une section d'un \(\underline{L}^{\otimes m}\) (\(m > 0\))]. A fortiori, \(W\) est quasi-projectif ; […] donc si \(G\) opère [librement] dans \(V\) […] […] […] […] […] […] ; \(V/G\) n'existe pas.

[…] [so as] to free creation […] from the […] weight of […] concepts […] and […] […] and […] tools ces lignes en anglais, au bas de la page, sont barrées de longs traits obliques et portent plusieurs corrections interlinéaires, elles-mêmes biffées ; on lit notamment « the heavy weight of », « conceptual background and technical » (biffés) et « tools »