Fonds Grothendieck, cote n° 46, pages 81–94

suite de la page 80 (lot 4) : le \Gamma-ensemble tordu M_f Quel est l'ens. M_f^{\Gamma} ? C'est l'ensemble des m \in M_f = M tels que f(\gamma)\,\gamma m = m \quad \text{pour tt } \gamma \qquad \text{i.e.} \boxed{\gamma m = f(\gamma)^{-1} m \quad \text{pour tt } \gamma \in \Gamma} On les appelle parfois éléments f-automorphes du G-\Gamma-ensemble M.

Si M est muni en plus de structures diverses invariantes par \Gamma et G, alors il en est de même de M_f (qui conserve les structures qu'il y avait sur M). Si M était p.ex. un G-groupe abélien, un \Gamma-groupe abélien, il en est de même de M_f etc. Dans ce cas, on peut s'intéresser, plus généralement, aux H^i(\Gamma, M_f).

Soit f' un autre cocycle de \Gamma à valeurs dans G. Supposons f' \sim f, i.e. f'(\gamma) = a^{-1} f(\gamma)\,\gamma a (a \in G). On a alors un isomorphisme u_a : M_{f'} \to M_f, en ~~faisant correspondre~~ posant u_a m = am il écrit l'isomorphisme M_f \to M_{f^*}, l'astérisque étant peut-être un prime ; le calcul qui suit est celui de M_{f'} \to M_f Il faut vérifier u_a\, \gamma_{f'} m = \gamma_f\, u_a m \text{i.e.} \qquad a f'(\gamma)\,\gamma m = f(\gamma)\,\gamma(am) \text{i.e.} \qquad a a^{-1} f(\gamma)\,\gamma(a)\,\gamma(m) = f(\gamma)\,\gamma(am) \ ; c'est vrai.

Si on veut que M_{f} \simeq M_{f'} pour tt G-\Gamma-ensemble M, il faut que f \sim f' comme on voit en prenant M = G, G y opérant par translations à gauche.

Supposons que M soit un groupe abélien. La façon habituelle de construire des éléments de M_f^{\Gamma} (du moins en supposant \Gamma fini) est par le procédé des moyennes N_f\, m = \sum_{\gamma \in \Gamma} \gamma_f\, m = \sum_{\gamma \in \Gamma} f(\gamma)\,\gamma.m Supposons en particulier que G soit l'ens. des éléments inversibles d'un anneau A, et que M soit un A-module. Soit A u \in A ~~définissons~~ N_f u = \sum_{\gamma \in \Gamma} f(\gamma)\,\gamma(u) Alors x \in M_f^{\Gamma} \qquad \text{i.e.} \qquad f(\gamma)\,\gamma(x) = x \quad \text{si } x = N_f u deux mots noircis devant x \in M_f^{\Gamma} et devant le second x ; à droite, entouré : « N_f(u) \in A_f^{\Gamma} », puis « En particulier, » [Si le groupe \Gamma est infini, on essaie de faire des moyennes infinies, quand on arrive à leur donner un sens. C'est la construction des fonctions zeta-fuchsiennes de Poincaré]

Si on peut s'arranger pour trouver u tel que x soit inversible, on aura f(\gamma) = x\,\gamma(x)^{-1} donc f \sim 0.

Exemple Supposons que \Gamma opère fidèlement dans un corps K. Soit A une algèbre de dimension finie sur K, et supposons que \Gamma opère dans A, de façon que \gamma(\lambda a) = (\gamma.\lambda)(\gamma.a) Je dis que alors H^1(\Gamma, G) \simeq (e), où G est le groupe des éléments inversibles de A. D'après ce qui précède, fini, il suffit de trouver un u \in A tel que \sum f(\gamma)\,\gamma u soit inversible, ce qui s'exprime par une équation

P\Bigl(\sum f(\gamma)\,\gamma a\Bigr) \neq 0 où P est un polynôme à coeff. dans K ~~défini~~ défini sur l'espace K-vectoriel A, par rapport aux coordonnées du point courant, par rapport d'une base. On montre d'abord que A a une base formée d'éléments invariants par \Gamma [c'est un lemme, qui n'utilise pas la structure K-\Gamma-espace vectoriel de A, et n'utilise pas que la dimension soit finie]. Si a = (a_i)_{1 \leq i \leq n}, ~~P\bigl(\sum f(\gamma)\,\gamma a\bigr) = Q\bigl(f_1(\gamma), \ldots, f_n(\gamma)\bigr) ;~~ P\Bigl(\sum f(\gamma)\,\gamma(a_\gamma)\Bigr) = R\Bigl(\bigl\lbrace \gamma a^1_\gamma, \ldots, \gamma a^n_\gamma \bigr\rbrace_{\gamma \in \Gamma}\Bigr) la première ligne est biffée ; à droite : « R un polynôme en n|\Gamma| variables » Supposons K infini. l'application a^i_\gamma = a^i pour tt \gamma (et tout i), étant données quelconques a^1, \ldots, a^n \in K, alors d'après le th. d'indépendance algébrique des automorphismes, alors R est identiquement nul, en particulier on a ~~R(\lbrace a\ldots~~ P\Bigl(\sum f(\gamma)\,\gamma(a_\gamma)\Bigr) = 0 quel que soit le choix des a_\gamma, d'où (faisant a_{\gamma_0} = 1 et a_{\gamma} = 0 si \gamma \neq \gamma_0) P(f(\gamma_0)) = 0, absurde. il écrit a_{\gamma_1} = 0 si \gamma \neq \gamma_0 / Dans le cas où K est fini, il faut utiliser le résultat de Lang…..

~~Généralisation~~ Cas particulier H^1(\Gamma, K^{*}) = 0. la formule est soulignée d'un trait ondulé Ici, il suffit de vérifier qu'on peut trouver x \in K^{*} tel que \sum f(\gamma)\,\gamma x \neq 0, et l'indépendance linéaire des automorphismes est suffisante.

Généralisation Soit \mathcal{O} un anneau semi-local noethérien, et \Gamma un groupe fini opérant fidèlement sur \mathcal{O}, et par transitivité sur les idéaux maximaux. Soit \Gamma_d le groupe de stabilité d'un idéal maximal \mathfrak{m} de \mathcal{O}, donc \Gamma_d opère dans \mathcal{O}/\mathfrak{m} = k. Soit \Gamma_i le noyau de la représentation de \Gamma_d ~~dans \mathcal{O}/\mathfrak{m}~~ par automorphismes du corps \mathcal{O}/\mathfrak{m}. Soit enfin A une \mathcal{O}-algèbre, ~~de type fini~~ ~~Alors~~ « de type fini » est ajouté au-dessus de la ligne puis biffé avec elle, et un « Alors » biffé suit \Gamma opère tel que \gamma(\lambda a) = (\gamma\lambda)(\gamma a). Alors les applications ~~\ldots l'application naturelle~~ H^1(\Gamma, A^{*}) \longrightarrow H^1(\Gamma_d, A^{*}_{\mathfrak{m}}) \longrightarrow H^1(\Gamma_i, A^{*}_{\mathfrak{m}}) après le dernier terme, quelques signes biffés d'un gribouillis sont injectives. [N.B. dans le cas le plus important, A \Gamma_i opère trivialement sur A/\mathfrak{m}A, donc H^1(\Gamma_i, (A/\mathfrak{m}A)^{*}) est formé des classes d'homomorphismes de A/\mathfrak{m}A de \Gamma_i dans (A/\mathfrak{m}A)^{*}]

Soient f, g \in Z^1(\Gamma, A), supposons qu'elles aient même image dans ~~A_{\mathfrak{m}}~~ H^1(\Gamma_d [i.e. il existe a, b \in A, \lambda \in \complement\mathfrak{m}, \mu \in \complement\mathfrak{m}, tels que \lambda^{-1}\mu^{-1} a b = 1 dans A_{\mathfrak{m}}, i.e. il existe \nu \in \complement\mathfrak{m} tel que \nu ab = \nu\lambda\mu, et tel que g(\sigma) = (a\lambda^{-1})^{-1} f(\sigma)\,\sigma(a\lambda^{-1}) dans A_{\mathfrak{m}}, i.e. …] le passage entre crochets est encadré et biffé d'un long trait ondulé ; lecture des formules incertaine, les lettres \lambda, \mu, \nu se distinguent mal, et \complement\mathfrak{m} rend un signe qui peut être « \in \mathfrak{m} »

Soient \hat{\mathcal{O}}, \hat{A} les complétés de \mathcal{O}, A, alors \Gamma y opère de façon canonique. Or \hat{\mathcal{O}} = \bigoplus_i \hat{\mathcal{O}}_{\mathfrak{m}_i} \qquad\qquad \hat{A} \simeq \bigoplus_i \underbrace{\hat{A}_{\mathfrak{m}_i}}_{B_i} et \Gamma_d invarie B_0, tandis que \Gamma mod \Gamma_i permute les B_i entre eux de façon simplement transitive. « \Gamma mod \Gamma_i » tel qu'écrit, là où l'on attend \Gamma_d Je dis qu'il résulte que H^1(\Gamma, \hat{A}^{*}) \simeq H^1(\Gamma_d, \hat{A}_{\mathfrak{m}}^{*}) d'après un lemme bien connu (valable même non commutatif). Il s'ensuit, puisque f et g définissent la même classe de H^1(\Gamma_d, \hat{A}_{\mathfrak{m}}^{*}), ~~qu'il existe un u \in A_{\mathfrak{m}}^{*}~~ [en regardant le diagramme commutatif

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] H^1(\Gamma, A^{*}) \arrow[r] \arrow[d] & H^1(\Gamma_d, A_{\mathfrak{m}}^{*}) \arrow[d] \\ H^1(\Gamma, \hat{A}^{*}) \arrow[r, "\sim"] & H^1(\Gamma_d, \hat{A}_{\mathfrak{m}}^{*}) \end{tikzcd}

] que f et g ont même image dans H^1(\Gamma, \hat{A}) donc qu'il existe un u \in \hat{A}^{*} tel que l'on ait g(\gamma) = u^{-1} f(\gamma)\,\gamma(u) \ : ~~Par conséquent, on voit, puissance \mathfrak{m}^N de \mathcal{O}, v \in A g(\gamma) \equiv v^{-1} f(\gamma)\,\gamma(v) mod \mathfrak{m}^N A~~ le passage est encadré et barré d'un long trait ondulé

Considérons l'application \varphi : A \longrightarrow A^{\Gamma} définie par \varphi(u) = \bigl(u\,g(\gamma) - f(\gamma)\,\gamma(u)\bigr)_{\gamma \in \Gamma}

Elle est linéaire par rapport à \mathcal{O}^{\Gamma}. Or \mathcal{O}^{\Gamma} est un anneau semi-local noethérien, et \mathcal{O} est un module de type fini sur \mathcal{O}^{\Gamma} (bien connu…), enfin la topologie naturelle sur A (dans A^{\Gamma}) est la même, qu'on considère A comme \mathcal{O}-module ou comme \mathcal{O}^{\Gamma}-module. il écrit « A (\text{dans } A^{\Gamma}) », le A^{\Gamma} étant le but de \varphi Le noyau N de l'application \varphi a donc comme adhérence, dans \hat{A}, le noyau \hat{N} de l'application déduite par continuité. . Soit v \in N tel que inversible. v \equiv u \ (\mathfrak{m}^r A) de \mathcal{O}. Alors est aussi inversible, et on a bien g(\gamma) = v^{-1} f(\gamma)\,\gamma(v) . les lettres u et v se distinguent mal sur cette page ; « N » est ajouté au-dessus de « noyau », « de type » au-dessus de « module » digression si f \sim g mod \mathfrak{m}^n A f \sim g dans la marge gauche, en quatre lignes obliques à la hauteur des lignes 7 à 9 ; lecture très incertaine

Cela prouve donc que H^1(\Gamma, A^{*}) \to H^1(\Gamma_d, A_{\mathfrak{m}}^{*}) \quad\text{et}\quad H^1(\Gamma, A^{*}) \to H^1(\Gamma, \hat{A}^{*}) \quad\text{sont injectifs.} les deux lignes sont réunies à gauche par un double trait vertical

Supposons alors que \mathcal{O} soit un anneau local (donc \Gamma = \Gamma_d), ~~montrons que le diagramme~~ que

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] H^1(\Gamma, A^{*}) \arrow[r] \arrow[d, "\varphi"'] & H^1(\Gamma_i, A^{*}) \arrow[d, "\varphi_i"] \\ H^1(\Gamma, A/\mathfrak{m}^{*}) \arrow[r, "\psi"] & H^1(\Gamma_i, A/\mathfrak{m}^{*}) \end{tikzcd}

à gauche de la flèche \varphi, « ~~est injectif~~ » biffé. Tout ce bas de page, depuis « prouvons que », est barré de longs traits obliques ~~Supposons que nous prouvions que \varphi et \psi sont injectifs, alors il en résulte ( \Gamma_i \varphi_i~~

~~aussi, et par suite aussi la première flèche horizontale.~~ le haut de la page, jusqu'à « s'identifie au groupe additif \mathfrak{m}^n A / \mathfrak{m}^{n+1} A », est barré de longs traits obliques, comme le bas de la page 86 ; on le transcrit néanmoins

~~Supposons~~ Prouvons donc que \varphi est injective. Prouvons par récurrence sur n \geq 1 que \text{si } f \sim g \ \mathrm{mod}\ \mathfrak{m}^n A \quad \text{alors} \quad f \sim g \ \mathrm{mod}\ \mathfrak{m}^{n+1} A Pour ceci, considérons la suite exacte de \Gamma-groupes e \longrightarrow N_n \longrightarrow (A/\mathfrak{m}^{n+1}A)^{*} \longrightarrow (A/\mathfrak{m}^{n}A)^{*} \longrightarrow 0 Si x, y \in A^{*} , leurs images dans A/\mathfrak{m}^n A sont égales si et seulement si x - y \in \mathfrak{m}^{n}A i.e. xy^{-1} - 1 \in \mathfrak{m}^{n}A i.e. xy^{-1} \in 1 + \mathfrak{m}^{n}A, et donc l'identité mod \mathfrak{m}^{n+1}A. Donc N_n s'identifie au groupe additif \mathfrak{m}^n A / \mathfrak{m}^{n+1} A que si f, g tels que g(\gamma) = u^{-1} f(\gamma)\,\gamma(u) \qquad \gamma \in \Gamma_i \qquad (*) alors f \sim g, i.e. d'abord faire opérer \Gamma différemment sur A, par \gamma_f(x) = f(\gamma)\,\gamma.x\, f(\gamma)^{-1} \text{on a donc} \qquad \gamma_f(\lambda x) = f(\gamma)\,\gamma(\lambda)\,\gamma(x)\,f(\gamma)^{-1} = \gamma(\lambda)\,\gamma_f(x) donc A_f est un (\mathcal{O}, \Gamma)-module. Cela étant, l'égalité (*) s'écrit g(\gamma) f(\gamma)^{-1} = u^{-1} \gamma_f(u) \qquad \gamma \in \Gamma_i et on cherche v tel qu'on ait g(\gamma) f(\gamma)^{-1} = v^{-1} \gamma_f(v) \qquad \text{pour \emph{tt} } \gamma \in \Gamma .

Or on sait que h(\gamma) = g(\gamma) f(\gamma)^{-1} est un 1-cocycle de \Gamma à valeurs dans A_f. On est ramené à prouver que s'il est ~~trivial~~ nul sur \Gamma_i, il est ~~trivial~~ nul sur \Gamma. . « nul » est écrit deux fois au-dessus d'un mot biffé, « trivial » Cela nous ramène donc au cas où l'un des cocycles f, g est l'unité, soit g. Mais alors on utilise la suite exacte dans ce cas, bien connue, e \longrightarrow H^1(\Gamma/\Gamma_i, G^{\Gamma_i}) \longrightarrow H^1(\Gamma, G) \longrightarrow H^1(\Gamma_i, G) et on est ramené à prouver que H^1(\Gamma/\Gamma_i, G^{\Gamma_i}) = \lbrace e \rbrace Or G^{\Gamma_i} = (A^{\Gamma_i})^{*}. Soit \Gamma' = \Gamma/\Gamma_i, A' = A^{\Gamma_i}, ~~Alors~~ \mathcal{O}' = \mathcal{O}^{\Gamma_i}. On sait que \mathcal{O}' est un anneau local noethérien, isomorphe : que \Gamma/\Gamma_i = \Gamma' y opère fidèlement. De plus, on sait que \mathcal{O} est un \mathcal{O}'-module noethérien, d'où résulte qu'il en est de même de A, donc de A'. A' est une \mathcal{O}'-algèbre, et \Gamma' y opère de façon compatible avec ses opérations sur \mathcal{O}'. On est ramené à prouver H^1(\Gamma, A^{*}) = (e) dans le cas particulier où \Gamma_i = \lbrace e \rbrace,

i.e. \Gamma opère fidèlement sur le corps des restes. Or on sait déjà (comme conséquence du th. d'indépendance algébrique des automorphismes, resp. le lemme de Lang) que H^1(\Gamma, A/\mathfrak{m}A^{*}) = (e). il écrit « … automorphismes, resp! le … » ; A/\mathfrak{m}A^{*}, ici et plus bas, pour (A/\mathfrak{m}A)^{*} Prouvons alors par récurrence, sur n \geq 1 que H^1(\Gamma, A/\mathfrak{m}^n A^{*}) = \lbrace e \rbrace Pour ceci, on ~~suppose~~ le suppose fait pour n \geq 1, on écrit la suite exacte e \longrightarrow N_n \longrightarrow A/\mathfrak{m}^{n+1}A^{*} \longrightarrow A/\mathfrak{m}^{n}A^{*} \longrightarrow e et on constate que ces termes sont des \Gamma-groupes, N_n est isomorphe à \mathfrak{m}^{n}A/\mathfrak{m}^{n+1}A, donc à un espace vectoriel sur k = A/\mathfrak{m}. On (en tant que \Gamma-groupe) isomorphe à k^N, donc H^1(\Gamma, k^N) = H^1(\Gamma, k)^N = 0 en vertu du théorème H^1(\Gamma, k) = 0 pour is. « k = A/\mathfrak{m} » tel qu'écrit, pour \mathcal{O}/\mathfrak{m} La suite exacte H^1(\Gamma, N_n) \longrightarrow H^1(\Gamma, A/\mathfrak{m}^{n+1}A^{*}) \longrightarrow H^1(\Gamma, A/\mathfrak{m}^{n}A)^{*} montre donc que l'on a H^1(\Gamma, A/\mathfrak{m}^{n+1}A^{*})^{*} = \lbrace e \rbrace . l'astérisque final est tel qu'écrit

On, reproduisant un raisonnement déjà fait, on en conclut que H^1(\Gamma, A^{*}) = \lbrace e \rbrace.

Cela est clair néanmoins à étudier H^1(\Gamma, A^{*}) quand \mathcal{O} est un anneau local, \Gamma opère trivialement sur \mathcal{O}/\mathfrak{m}, et A est une (\mathcal{O}\text{-}\Gamma)-algèbre. Supposons de plus que \Gamma opère trivialement sur A/\mathfrak{m}A. plus généralement supposons que A^{\Gamma} \to A/\mathfrak{m}A surjectif [ si A = M_n(\mathcal{O}), \Gamma trivialement sur \mathcal{O}/\mathfrak{m}, surjectif…] dans la marge gauche, en huit lignes obliques, reliées par un double trait à « Supposons de plus que » ; « surjectif » est souligné deux fois Soit p la caractéristique de k = \mathcal{O}/\mathfrak{m}, et soit \Lambda le un sous-groupe de Sylow ~~de type~~ p de \Gamma (\Lambda = \lbrace e \rbrace si la caractéristique est nulle). Je dis que l'application H^1(\Gamma, A^{*}) \longrightarrow H^1(\Gamma, A/\mathfrak{m}A^{*}) \times H^1(\Lambda, A^{*}) ~~est bijective~~ est injective (en particulier, si \Lambda p, H^1(\Gamma, A^{*}) \longrightarrow H^1(\Gamma, A/\mathfrak{m}A^{*}) \quad\text{est injectif)} Soient f et g ~~cocycles~~ deux cocycles dont les images dans H^1(\Gamma, A/\mathfrak{m}A^{*}) et H^1(\Lambda, A^{*}) ; il faut montrer qu'ils sont \sim, supposer g(\gamma) = 1 pour tt \gamma. ~~Soit~~ Ceci revient alors que f est \sim 0 A/\mathfrak{m}^{n}A^{*} pour tout n. On raisonne par récurrence sur n, supposons l'assertion prouvée pour un n \geq 1. le « 1 » de g(\gamma) = 1 est surchargé ; « » ajouté au-dessus de la ligne, en fin de ligne

La suite exacte de coh. montre que f est dans l'image de H^1(\Gamma, \mathfrak{m}^{n}A/\mathfrak{m}^{n+1}A) \longrightarrow H^1(\Gamma, A/\mathfrak{m}^{n+1}A^{*}) dans A/\mathfrak{m}^{n+1}A^{*} i.e. est \sim à un cocycle de la forme 1 + g(\gamma) où g(\gamma) \in \mathfrak{m}^{n}A \quad \text{satisfait à} \qquad g(\gamma\gamma') \equiv g(\gamma) + \gamma g(\gamma') \quad (\mathfrak{m}^{n+1}A) ~~Par hypothèse, on~~ On peut dans le raisonnement supposer \mathfrak{m}^{n+1} = 0. ~~Donc~~ L'hypothèse signifie que 1 + g(\gamma) = u^{-1}\gamma(u) \qquad \text{pour } \gamma \in \Lambda \text{i.e.} \qquad \gamma(u) - u = u\,g(\gamma) \qquad \text{pour } \gamma \in \Lambda . Or \mathfrak{m}\,g(\gamma) = 0, … u\,g(\gamma) = \varepsilon(u)\,g(\gamma) i.e. g(\gamma) = \gamma(\varepsilon(u)^{-1}u) - \varepsilon(u)^{-1}u … ce qui montre que \Gamma opère trivialement sur \mathcal{O}/\mathfrak{m} !) bloc encadré et barré de traits obliques ; le « \mathfrak{m} » de « \mathfrak{m}\,g(\gamma) = 0 » est peut-être un autre signe Cela signifie que g(\gamma) est \sim 0 dans H^1(\Lambda, A) (additif !). Or, A est un (\Gamma\text{-}\mathcal{O})-module de longueur finie, M que l'application H^1(\Gamma, M) \to H^1(\Lambda, M) est injective. M tout le bas de la page, depuis « Cela signifie », est barré de longs traits obliques ; les deux dernières lignes sont en outre biffées chacune d'un trait \mathfrak{m}M = M, \mathfrak{m}M = 0 \Gamma H^1(\Gamma, M) \to H^1(\Lambda, M) injectif. la marge gauche porte, verticalement et en partie barrée d'un trait oblique, une note de huit lignes courtes ; lecture très incertaine

~~Caractéristiques. Si 0 \to M' \to M \to M'' \to 0 surjectif~~ bloc encadré et biffé ; à droite, embrassé d'une accolade : « provient des faits que, si » \nu = [\Gamma : \Lambda], la multiplication par \nu induit une bijection dans A (car ce dans les \mathfrak{m}^{i}A/\mathfrak{m}^{i+1}A). ~~Par suite, on un v \in A \gamma v - v = u\,g(\gamma) pour tout \gamma \in \Gamma~~ ces deux phrases, entre l'accolade et le bloc biffé, sont barrées de traits obliques, la dernière encadrée et biffée

Soit v \in A^{\Gamma} tel que \varepsilon(v) = \varepsilon(u), on a donc g(\gamma) = \gamma(v^{-1}u) - v^{-1}u d'où g \sim 0 dans H^1(\Lambda, A) (additif). Comme \nu = [\Gamma : \Lambda] est tel que x \mapsto \nu x dans A est bijectif (car il l'est dans les \mathfrak{m}^{i}A/\mathfrak{m}^{i+1}A, qui sont des espaces vectoriels sur k) l'homomorphisme H^1(\Gamma, A) \longrightarrow H^1(\Lambda, A) est injectif, donc il existe w \in A tel que g(\gamma) = \gamma(w) - w \qquad \text{pour \emph{tout} } \gamma \in \Gamma . Donc ~~1 + g(\gamma) = \ldots w g~~ On peut ( A^{\Gamma}) supposer w \in A^{*}, et \varepsilon(w) = 1. Alors . ~~Soit alors~~ g(\gamma) = \varepsilon(w)\,g(\gamma) = w\,g(\gamma), \quad \text{d'où} g(\gamma) = w^{-1}\gamma(w) - 1 \quad \text{d'où} 1 + g(\gamma) = w^{-1}\gamma(w) donc 1 + g(\gamma) \sim 0 dans H^1(\Gamma, A^{*}).

Contre-exemples à passage au quotient

inscrit en haut à droite d'une chemise grise (page 93), qui ne reçoit pas de numéro de page ; les mots « passage au quotient » sont d'une lecture incertaine

Impossibilité des passages aux quotients en haut à droite, dans un angle tracé à la plume

G = GP(N)_S opérant sur \mathbb{P}^N_S S = \operatorname{Spec} k

V ouvert de \mathbb{P}^N_S invariant sur lequel G opère librement, supposons que V/G existe « effectivement ». Alors on montre que le faisceau sur V/G = W déduit de \underline{L} = \underline{\mathcal{O}}(N+1) \simeq \bigl(\underline{\Omega}^{N}_{\mathbb{P}^N_S/S}\bigr)^{-1} par « descente » est ample sur W [utiliser le fait que G n'a pas d'homomorphismes non triviaux dans \mathbb{G}_m, et que tout ouvert affine de \mathbb{P}^N_S est complémentaire d'une hypersurface, donc défini par une section d'un \underline{L}^{\otimes m} (m > 0)]. A fortiori, W est quasi-projectif ; donc si G opère librement dans V ; V/G n'existe pas.

~~so as to free creation from the weight of concepts and and tools~~ ces lignes en anglais, au bas de la page, sont barrées de longs traits obliques et portent plusieurs corrections interlinéaires, elles-mêmes biffées ; on lit notamment « the heavy weight of », « conceptual background and technical » (biffés) et « tools »