Cote n° 46 · batch 3 · pages 41–60 · Transcription · Schémas en groupes et fibrés principau[x] (Divers) : notes manuscrites (s.d.), tapuscrit (s.d.)
Datation de l’inventaire : [vers 1966-vers 1972]
Édition de démonstration

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Notion loc. triviale :

[Corollaire \(P\) fibré projectif \(\Longleftrightarrow\) \(P\) admet loc. une section, (i.e. est loc. [triviale] (fibré projectif)), et une certaine obstruction dans \(H^2(S, \mathcal{O}_S^{*})\) est nulle…] en remarque. « triviale » est écrit au-dessus de « (fibré projectif) », biffé

Corollaire Si \(S\) régulier, \(P\) fibré projectif ssi il est loc. trivial, […] ou encore ssi ses fibres génériques le sont.

Autre façon de procéder, valable si \(S\) est strictement [loc.] factoriel [i.e. tout schéma étale dessus est [loc.] factoriel] —-

peut […] aussi […] \(p^2\) les deux corollaires et le paragraphe « Autre façon » sont embrassés à gauche par une grande accolade, avec la note marginale écrite de biais, presque verticalement ; lecture très incertaine. « loc. » est ajouté deux fois au-dessus de la ligne

Corollaire Loc Loc. isotrivialité.

(6)le « 6 » est cerclé, dans la marge, sous un trait qui barre toute la largeur de la page Déf Système linéaire [de div. sur \(X/S\)] (paramétré par un schéma \(\check{P}/S\) : i.e. loc. fppf un syst. lin. de div. paramétré par un fibré projectif. Système linéaire [\(X \to S\) f. plat et loc. prés. finie]

Dualité que Dualité pour \(X/S\) et un […], schéma de Brauer-Severi : Système linéaire (cas complet). Classe d'équivalence… la fin de la page est une suite de notes courtes, disposées sans ordre évident ; l'ordre de lecture retenu ici est incertain

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a) Relation […] Morphismes \(X \to \check{P}\) et syst. lin. de div. […] […] paramétrés par \(\check{P}\). le « a) » n'est pas écrit ; le signe au-dessus du \(\check{P}\) de la première ligne est illisible

b) Applications Syst. lin. de div. « stricts » […] […] […] paramétrés par \(\check{P}\), et relations […] sur \(S\).

\(X \to \check{P}\) une petite propriété supplémentaire de nature locale [qui est inutile si \(X\) est régulier, […] ou strictement loc. factoriel].

c) \[\underline{\mathrm{Syst.Lin}}_{X/S} \xrightarrow{\ \lambda\ } \underline{\mathrm{Pic}}_{X/S}\] morphisme naturel (ayant d'ailleurs une section canonique). Si \(X/S\) est propre à fibres géom. intègres, alors \(\lambda\) est rel. représentable comme la grassmannienne complète d'un schéma de Brauer-Severi généralisé (attention, il y a une question d'effectivité de données de descente sur un fibré fibré projectif relatif à un Module non loc. libre !].

Si, au lieu de fibres géom. intègres, on suppose seulement \(g_{*}(\mathcal{O}_X) \simeq \mathcal{O}_S\) univ., on trouve encore un morphisme représentable par un ouvert d'un fibré projectif de Brauer-Severi généralisé…

généralisation … \(X \to S\) propre … […] […] … \(\mathrm{Pic}(X/S)\) … loc. […]cinq lignes serrées dans l'angle inférieur gauche, écrites de biais, en partie barrées ; un mot souligné, peut-être un nom propre, ne se lit pas

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Donc \(\underline{\mathrm{Syst\,Lin\,div}}_{X/S}\) est représentable ssi \(\underline{\mathrm{Pic}}_{X/S}\) l'est.

Donnons-nous un syst. linéaire paramétré par \(\check{P}/S\) de Br. Sév., et considérons le \[\underline{L} \qquad\qquad \underline{L} \otimes_{\mathcal{O}_S} \mathcal{O}_{\check{P}}(1) \otimes \underline{N}\]

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
X \arrow[r, no head] \arrow[d, no head] & X \times_S \check{P} \arrow[d, no head] \\
S \arrow[r, no head] & \check{P}
\end{tikzcd}

section correspondante \(\xi\) de \(\underline{\mathrm{Pic}}_{X/S}\). Je dis que \(\xi\) est représentable par un \(\underline{L}\) inversible sur \(X\) ssi [\(f : X \to S\) propre, \(f_{*}(\mathcal{O}_X) = \mathcal{O}_S\) univ.] \(\check{P}\) est un fibré projectif ([…] […] par construction […]) le premier \(\underline{L}\) est au-dessus de \(X\), le produit tensoriel au-dessus de \(X \times_S \check{P}\) ; les traits du carré n'ont pas de pointes

pour la condition est suffisante, […] […] […] […] […], […] facile est nécessaire. […] donc un Module de prés. finie \(Q\) sur \(S\), et un [épi]morphisme \(\check{P} \to \mathbb{P}(Q)\), je dis que c'est un isom. […] […] \(\mathbb{P}(E)\), où \(E\) est un quotient loc. libre de \(Q\). […] […] par descente, type […] […] principe…

Remarque Partant d'un Br. Sév. […] […], on construit un \(\xi\) […] […] […] […] \(\underline{L}\) […] […] […].

[…] […] \(g_{*}(\mathcal{O}_X) \simeq \mathcal{O}_S\), de prés. finie, et \(g\) […]en haut de la marge gauche, de biais, en partie barré Si \(X/S\) admet […] […] […] […] […] […] […] […] \(X\) …en bas de la marge gauche, en cinq lignes obliques, reliées par un trait vertical au paragraphe « Remarque »

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\[\underline{N} \simeq \underline{L} \otimes \mathcal{O}_{\check{P}}(1)\] \[\underline{N} \otimes_{\mathcal{O}_S} \underline{L}^{-1} = \mathcal{M}\] […] inversible sur \(X \times_S \check{P}\), loc. au dessus de \(S\) il provient d'un module inversible sur \(\check{P}\), d'ailleurs de façon canonique, puisque \(f_{*}(\mathcal{O}_X) = \mathcal{O}_S\) [pour la […] […] que ce soit vrai univ.!], je […] supposer […] […] […]]. la page est écrite par-dessus un texte dactylographié qui transparaît du verso ; la fin, après « \(f_{*}(\mathcal{O}_X) = \mathcal{O}_S\) », est serrée et ne se lit qu'en partie

Progroupes et groupes algébriques quasi-compacts

inscrit en haut à droite d'une chemise (page 50), qui ne reçoit pas de numéro de page ; le premier mot de la deuxième ligne est surchargé, lecture « groupes » incertaine

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
\mathrm{Progr}^{!}(C'_0) \arrow[r, "\alpha"] \arrow[d, hook, "i"'] & \mathrm{Gr}(C) \arrow[r, "\simeq", "\beta"'] & \mathrm{Gr}(C') \arrow[r, "\sigma"] \arrow[d, hook, "j"] & \mathrm{Gr\,qu.cpt}(\mathrm{Sch}_{/k}) \\
\mathrm{Progr}(C'_0) \arrow[rr, "k"'] & & \mathrm{Gr\,Pro}(C'_0) &
\end{tikzcd}

au-dessus de \(\beta\), « équiv. » ; au-dessus de \(\sigma\), « pl. fid » ; à côté des flèches \(i\) et \(j\), « pl. fid ». Les flèches \(i\) et \(j\) sont dessinées comme des signes d'inclusion couchés. Après \(\mathrm{Gr\,qu.cpt}(\mathrm{Sch}_{/k})\), une flèche biffée avec son étiquette. Dans l'angle supérieur gauche, encadré : « \(! =\) ens. affine », et deux lignes biffées, « […] syst. projectifs […] »

\(\beta\) équivalence car \(\mathrm{Cart}(C) \simeq \mathrm{Cart}(C')\) \(C \cong C'\)

\(\sigma\) pl. fid trivial sur \(\mathrm{Gr}(C) \to \mathrm{Gr\,qu.cpt}(\mathrm{Sch}_{/k})\)

\(i\), \(j\) pl. fid car trivial [N.B. \(C' \subset \mathrm{Pro}(C'_0)\) est pl. fid et commute aux \(\varprojlim\) finies]

\[k \text{ pl.\ fid} \Longrightarrow \alpha \text{ pl.\ fid} \Longleftrightarrow \bigl[\sigma\alpha : \mathrm{Progr}^{!}(C'_0) \to \mathrm{Gr\,qu.cpt}(\mathrm{Sch}_{/k}) \text{ pl.\ fid.}\bigr]\] le \(k\) de tête est entouré, relié à « vrai », encadré

\(\sigma\alpha\) une équivalence \(\Longleftrightarrow\) \(\sigma\) et \(\alpha\) des équiv. \(\Longrightarrow\) […] […] schéma en groupes qu.-compact sur \(k\) admet […] […] affine

\(\Downarrow\)

\(k\) une équivalence \(\Longrightarrow\) \(\alpha\) une équivalence sous « \(k\) une équivalence », un « douteux » entouré ; sous la flèche, « pourvu que […] […] […] […] tel que le problème […] soit ens. affine, ainsi que […] ens. affine »

à droite, sous l'énoncé « … admet … affine », et relié par une longue ligne à « des équiv. » : « dans un schéma en groupes de t.f. sur \(k\) », précédé d'une double flèche vers la gauche et de « […] […] du travail »

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Tout objet de \(\mathrm{Pro\,Gr}(C'_0)\) provient d'un système projectif strict. Considérons deux tels \((G_i)_i\), \((H_j)_j\) et montrons que \[\varphi : \varprojlim_j \varinjlim_i \mathrm{Hom}_{\mathrm{gr}}(G_i, H_j) \longrightarrow \Bigl(\varprojlim_j \varinjlim_i \mathrm{Hom}(G_i, H_j)\Bigr)_{\mathrm{mult.}}\] est bijectif. En effet, comme pour \(i\), \(j\) fixés, \(\mathrm{Hom}_{\mathrm{gr}}(G_i, H_j) \to \mathrm{Hom}(G_i, H_j)\) est injectif, on voit que \(\varphi\) est injectif. Reste à Montrons que c'est surjectif, […] donc que si \((u_j) \in \varprojlim_j \varinjlim_i \mathrm{Hom}(G_i, H_j)\) est multiplicatif, alors les \[u_j : (G_i)_i \longrightarrow H_j\] proviennent donnent des \(u_j^{(i)} : G_i \to H_j\) mult. […] [si c'est vrai pour un, c'est vrai pour tous –].

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
G_j \times G_j \arrow[r] & G_i \times G_i \arrow[r] \arrow[d] & H \times H \arrow[d] \\
& G_i \arrow[r, no head] & H
\end{tikzcd}

au-dessus de \(G_j \times G_j\), un « \(G_{j} \times G_{j}\) » biffé diagramme devient comm. pour composé avec \(G_j \times G_j \to G_i \times G_i\) pour \(i\) grand, or \(G_j \times G_j \to G_i\) […] est un épim. de schémas donc l'était comme avant.

N.B. […] […] […] […] […] […] […] transition […] […] […]dans l'angle inférieur gauche, en six lignes obliques, dont une biffée ; souligné deux fois

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Lemme Tout progroupe ens. affine \((G_i)_{i \in I}\) tel que […] […] […] soient ens. affines, est ens. affine. le lemme est marqué d'un trait vertical à gauche

Dém. On peut supposer \((G_i)_{i \in I}\) système projectif strict. Par hyp. il existe un syst. projectif de schémas de prés. finie [ens. affine] \((X_j)_{j \in J}\) qui lui est isomorphe comme proschéma. On peut supposer les \(X_j \to X_0\) affines.

On a

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
(G_i) \arrow[r] \arrow[d, no head] & G_{i_0} \arrow[d] \\
(X_j) \arrow[r, no head] & X_0
\end{tikzcd}

la flèche de \(G_{i_0}\) vers \(X_0\) est oblique ; le trait vertical entre \((G_i)\) et \((X_j)\) est très court et sans pointe

Je dis que les \(G_{i_1} \to G_{i_0}\) [\((i_1 \geq i_0)\)] sont affines. En effet, \((G_i) \to\) \((X_j) \simeq (G_i) \to G_{i_1}\) se factorise par \((X_j) \to X_{j_1} \to G_{i_1}\), rendant

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
(G_i) \arrow[r] \arrow[d, leftrightarrow] & G_{i_1} \arrow[r] & G_{i_0} \arrow[d] \\
X = (X_j) \arrow[r] & X_{j_1} \arrow[r] \arrow[u] & X_0
\end{tikzcd}

commutatif du carré \(Q\), et la lettre \(Q\) est écrite à l'intérieur du carré de droite \[G_{i_2} \longrightarrow X_{j_1} \longrightarrow G_{i_1} \longrightarrow G_{i_0} \qquad \Big/ \qquad X = \varprojlim G_i \longrightarrow G_{i_1} \longrightarrow G_{i_0}\] sous \(X_{j_1} \to G_{i_1}\), « [affine] » ; un arc de \(X_{j_1}\) à \(G_{i_0}\) porte « affine » ; sous \(G_{i_2} \to X_{j_1}\), « immersion […] […] […] […] » et un arc de \(G_{i_2}\) marqué « fid. plat ». Dans la seconde suite, « fid plat » au-dessus de \(X \to G_{i_1}\) et un arc « affine » sous \(G_{i_1} \to G_{i_0}\). Dans la marge gauche, un long trait courbe et un mot souligné, […]

au dos de la chemise (page 54), seul, à l'envers au bas du feuillet et barré de trois traits : « “Revêtements” étales de groupes infinis »

Schémas de Brauer-Severi

inscrit en haut à droite d'une chemise bleue (page 55), qui ne reçoit pas de numéro de page

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La théorie des Brauer-Severi-Châtelet globale.

1. Définition d'un schéma de Brauer-Severi sur \(Y\) : […] loc. \(S\)-isomorphe à \(\mathbb{P}^r_Y\) [(i.e. […] […] […] \(Y\) […] Châtelet)]. [[…] […] propre, plat sur \(Y\), à fibres qui sont des Brauer-Severi]. Possibilité de la \(S\)-descente, propriétés. Loc.-isotrivialité.

2. Fibré projectif (associé à un faisceau loc. libre) \(=\) schéma de Châtelet sur \(Y\) muni d'un \(\underline{L}\) de rang \(1\) qui sur chaque fibre induit \(\mathcal{O}(1)\) (bon modulo.) ; Corollaire 1, si \(Y = \operatorname{Spec}(\mathcal{O})\), \(\mathcal{O}\) local complet, alors Châtelet \(=\) Brauer-Severi. Corollaire 2 Si \(Y\) est régulier, alors Br. Sév. loc. trivial \(=\) fibré projectif \(=\) Châtelet qui […] […] [est loc. trivial] […] […] […]. au-dessus de « Corollaire 1 », ajouté : « […] […] Br. Sév. loc. triv. » ; la fin de l'énoncé du corollaire 2 est biffée d'un long trait, et une ligne biffée suit : « Cor. 3 S'il existe un diviseur loc. principal […] »

Construction des diviseurs « linéaires »

3. Fibré dual, (interprétation de ses sections comme diviseurs loc. principaux sur \(X\) qui sont « hyperplans »). Cor. 1 Si \(X\) admet une section, c'est un fibré projectif [\(Y\) noeth. …] \(2\) façons de le prouver, … \(X\) [de Br.-Sév.] […] une section, […] […] […] […] donnée d'un fibré faisceau loc. libre de rang \(r\), et d'un sous faisceau loc. libre de rang \(r-1\), loc. facteur direct… Cor. 2 Autre Critère de loc. trivialité : existence de sections locales…

3 bis Fibrés des \(n\)-formes associé à […] \(X\), ses sections sur \(Y\) sont les diviseurs loc. principaux sur \(X\) dont la trace sur toute fibre (ou une fibre, si \(Y\) est connexe) est de degré \(n\). « 3 bis » est écrit en bas de la page, à l'encre plus foncée, après le § 4 et l'accolade

4. […] Soit \(X\) propre et plat sur \(Y\). […] Si \(f^{-1}(y)\) est un Br.-Sév., alors il existe un voisinage ouvert \(U\) de \(y\) t.q. \(X|U\) soit Br. Sév. Cor. Châtelet \(=\) Brauer-Severi. On prouve d'abord qu'il y a un \(U\) t.q. \(X|U\) soit Châtelet, puis on considère […] […] Châtelet \(\Rightarrow\) Br. Sév., grâce à la considération de \(\underline{\mathrm{Isom}}_Y(\mathbb{P}^r_Y, X)\).

\(\lbrace\)Relations avec les faisceaux d'algèbres simples centrales… Groupe de Brauer global. [Consulter le cours de Serre…]\(\rbrace\)

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Soit \(\underline{E}\) faisceau loc. libre de rang \(r\). Alors \(GP(E)\) […] opère sur \(\mathbb{P}(S^n(\underline{E}))\) [et \(\mathbb{P}(S^n(\underline{E})^{\vee}) = \mathbb{P}(S^n(\check{\underline{E}}))\) […] ne dépend que de \(\mathbb{P}(\underline{E})\)] […] […] et \(GP(\underline{E})\) opère sur \(\mathbb{P}(S^n(\underline{E}))\) [[…] \(\mathbb{P}(\check{S}(\underline{E})^{\vee})\)] [via \(GP(\underline{E}) \to GP(S^n_{\mathcal{O}_Y}(\underline{E}))\)]. Faisant \(\underline{E} = \mathcal{O}_Y^{r+1}\), on trouve que \(GP(r)_Y\) opère dans \(\mathbb{P}(S^n(\mathcal{O}_Y^{r+1})^{\vee})\) [via \(GP(r)_Y \to GP(S^n_{\mathcal{O}_Y}(\mathcal{O}_Y^{r+1}))\)], donc […] fibré principal homogène sous \(GP(r)_Y\), [et […] […] […] schéma de Br.-Sév. \(X\)] […] […] […] fibré [associé] […] \(S\)-isomorphe : \(\mathbb{P}(S^n(\mathcal{O}_Y^{r+1}))\), qui est donc un schéma de Brauer-Severi. Il est loc. trivial (trivial) si \(X\) […] […] […] […] [l'est]. [On l'appelle le] schéma des \(n\)-formes de \(X\), on le dénote par \(\Phi^{n}(X)\). Compatibilité avec images inverses. le début de la page est surchargé d'ajouts interlinéaires et de passages biffés ; l'ordre de lecture retenu ici est incertain. Dans la marge gauche, « n. … »

Prenons d'abord \(X = \mathbb{P}(\underline{E})\). Alors \[\Phi^{n}(X) \overset{\text{can.}}{\simeq} \mathbb{P}\bigl(\underline{S}^{n}_{\mathcal{O}_X}(\check{\underline{E}})^{\vee}\bigr)\] [démonstration : […] […] […] […] des foncteurs, compatibles […] images inverses…, qui admettent une représentation, et par suite une notion de fibré associé ; les autres fibrés notions s'en déduisent […] […] les foncteurs].

Sections de \(\Phi\) Alors une section de \(\Phi^{(n)}(X)\) est donc définie par […] la donnée d'un […] [homomorphisme] surjectif de \(\underline{S}^{n}(\check{\underline{E}})^{\vee}\) sur un […] faisceau inversible, donc correspond à un hom. « ne s'annulant nulle part » d'un fibré inversible dans \(\underline{S}^{n}(\underline{E})\), i.e. une section de […] \((\underline{S}^{n}(\underline{E}))^{*}/\mathcal{O}_Y^{*}\) ; or une sous \((\underline{S}^{n}(\underline{E}))^{*}\), une accolade : « germes des sections de \(\underline{S}^{n}(\underline{E})\) qui ne s'annulent pas »

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section \(s\) de \(\underline{S}^{n}(\underline{E})\) s'identifie à une section de \(\underline{L}_{\underline{E}}\) sur \(X = \mathbb{P}(\underline{E})\), et […] [définit] […] un diviseur [\(\mathrm{div}(s)\)] […] sur \(X\) ; la condition que \(s\) [sur \(Y\)] ne s'annule nulle part, signifie que ce diviseur induit bien un diviseur sur chaque fibre, […] i.e. que \(s\) ne s'annule pas. D'ailleurs […] […] \(\mathrm{div}(s) = \mathrm{div}(t)\), […] si et seulement si on peut trouver \(\rho \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X^{*})\) t.q. \(t = \rho s\), or \(\rho\) s'identifie à un élément de \(\Gamma(Y, \mathcal{O}_Y^{*})\), (car \(f_{*}(\mathcal{O}_X) = \mathcal{O}_Y\)). Donc \(\mathrm{div}(s) = \mathrm{div}(t)\) \(\Longleftrightarrow\) \(s\) et \(t\) définissent la même section de \(\underline{S}^{n}(\underline{E})^{*}/\mathcal{O}_Y^{*}\).

De plus, \(s \mapsto \mathrm{div}(s)\) est compatible avec localisation sur \(S\). D'où : on a une application injective de \[\Phi^{(n)}(X)(Y) = \Gamma\bigl(Y, \underline{S}^{n}(\underline{E})^{*}/\mathcal{O}_Y^{*}\bigr)\] dans l'ens. des diviseurs loc. principaux [positifs] sur \(X\) qui induisent un diviseur sur chaque fibre un diviseur, « [positif] de degré \(n\) ». Appelons de tels diviseurs sur \(X\) des « diviseurs transversaux de degré \(n\) ». Je dis que l'application précédente est surjective, i.e. que tout diviseur transversal \(D\) de degré \(n\) provient d'une section de \(\Phi^{(n)}(X)\). En effet, soit \(\underline{L} = \underline{L}(D)\) le faisceau inversible défini par

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\(D\), […] […] la question étant locale [sur \(Y\)], on peut supposer que \(\underline{L} \simeq \mathcal{O}_X(k)\) pour \(k\) convenable, d'autre part on voit aussitôt, puisque \(\underline{L}|f^{-1}(y) \simeq \mathcal{O}_{f^{-1}(y)}(k)\), que \(k = n\). Donc \(D\) est le diviseur d'une section de \(\mathcal{O}_X(k)\).

Ainsi, on a […] trouvé un isomorphisme [canonique] \[\Phi^{(n)}(\mathbb{P}(\underline{E})) \xrightarrow{\ \sim\ } \mathcal{D}^{(n)}(X/Y) .\] Cet isomorphisme est fonctoriel, compatible avec images inverses. D'autre part, la notion de « diviseur [loc. principal positif] transversal » est compatible à descente [car c'est la notion de : fibré inversible, muni d'une section régulière qui est non div. de \(0\) et non diviseur de \(0\) sur chaque fibre]. De plus, la notion de degré d'un diviseur sur un schéma algébrique de Severi-Brauer a un sens [[…] […] […] […]], invariante par extension du corps de base, d'où la notion de diviseur [positif] […] transversal de degré \(n\) sur un sch. Brauer. Cette notion est compatible à la descente. D'où le

Théorème Les sections de \(\Phi^{(n)}(X)\) (\(X\) un sch. Sév. Br.) sont les diviseurs [positifs] transversaux de degré \(n\) de \(X/Y\).

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Exemple de diviseurs transversaux. Soit \(X\) de type fini sur \(Y\), […] \(R_0(X)\) le faisceau total des fractions de \(\mathcal{O}_X\), \(R_0\) Alors \(\Gamma\bigl(R_0(X)^{*}/\mathcal{O}_X^{*}\bigr) \simeq\) […] idéaux fractionnaires divisoriels loc. principaux de \(X\) \(\simeq\) diviseurs loc. principaux sur \(X\). « idéaux fractionnaires » remplace, au-dessus de la ligne, un « groupe » et un « […] des diviseurs » biffés ; « loc. » est ajouté au-dessus de « principaux » Soit \(\underline{I}\) un idéal de \(R_0(X)\), on donne des conditions pour qu'il soit principal divisoriel loc. principal transversal \(\xi\). On suppose \(\underline{I}\) positif, i.e. \(\underline{I} \subset \mathcal{O}_X\), et on suppose […] […] que \(\underline{I}\) est un idéal de \(\mathcal{O}_X\), \(\xi\) donc correspond à un sous-schéma \(X'\) de \(X\).

Proposition Supposons \(X\) plat sur \(Y\), \(X\), \(Y\) loc. noeth., soit \(X'\) un sous-schéma fermé de \(X\). On suppose \(X\) plat sur \(Y\). Soit \(x \in X'\), [\(y\) son image dans \(Y\)]. Pour que \(X'\) soit divisoriel et transversal […] [\(Y\)-transversal] en \(x\), il faut et il suffit que l'on ait les conditions suivantes

(i) \(X'\) est \(Y\)-plat en \(x\)

(ii) \(X' \otimes k(y)\) est divisoriel […] en \(x\) dans \(X \otimes k(y)\).

l'énoncé est marqué d'un trait vertical à gauche

Démonstration. Nécessité On peut supposer \(\mathcal{O}_{X'} = \mathcal{O}_X/\varphi\mathcal{O}_X\), \(\varphi \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\), \(\varphi\) […] […] […] [une fonction] […] divisorielle, et \(\varphi\) induisant dans les fibres des fonctions divisorielles. Alors […] […] […] exacte \[0 \to \mathcal{O}_X \xrightarrow{\ \varphi\ } \mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_{X'} \to 0 ,\] [et si \(z \in Y\)] […] […] \[0 \to \mathcal{O}_X \otimes k(z) \xrightarrow{\ \varphi\ } \mathcal{O}_X \otimes k(z) \to \mathcal{O}_{X'} \otimes k(z) \to\] au début de la dernière ligne, « \(\to \mathcal{O}_{X'} \to\) […] » biffé ; la page s'arrête ici