Fonds Grothendieck, cote n° 46, pages 41–60

Notion loc. triviale :

[Corollaire P fibré projectif \Longleftrightarrow P admet loc. une section, (i.e. est loc. triviale ~~(fibré projectif)~~), et une certaine obstruction dans H^2(S, \mathcal{O}_S^{*}) est nulle…] en remarque. « triviale » est écrit au-dessus de « (fibré projectif) », biffé

Corollaire Si S régulier, P fibré projectif ssi il est loc. trivial, ou encore ssi ses fibres génériques le sont.

Autre façon de procéder, valable si S est strictement loc. factoriel [i.e. tout schéma étale dessus est loc. factoriel] —-

peut aussi p^2 les deux corollaires et le paragraphe « Autre façon » sont embrassés à gauche par une grande accolade, avec la note marginale écrite de biais, presque verticalement ; lecture très incertaine. « loc. » est ajouté deux fois au-dessus de la ligne

Corollaire ~~Loc~~ Loc. isotrivialité.

(6)le « 6 » est cerclé, dans la marge, sous un trait qui barre toute la largeur de la page Déf Système linéaire de div. sur X/S (paramétré par un schéma \check{P}/S : i.e. loc. fppf un syst. lin. de div. paramétré par un fibré projectif. ~~Système linéaire~~ [X \to S f. plat et loc. prés. finie]

~~Dualité que~~ Dualité pour X/S et un , schéma de Brauer-Severi : Système linéaire (cas complet). Classe d'équivalence… la fin de la page est une suite de notes courtes, disposées sans ordre évident ; l'ordre de lecture retenu ici est incertain

a) Relation Morphismes X \to \check{P} et syst. lin. de div. paramétrés par \check{P}. le « a) » n'est pas écrit ; le signe au-dessus du \check{P} de la première ligne est illisible

b) ~~Applications~~ Syst. lin. de div. « stricts » paramétrés par \check{P}, et relations sur S.

X \to \check{P} une petite propriété supplémentaire de nature locale [qui est inutile si X est régulier, ou strictement loc. factoriel].

c) \underline{\mathrm{Syst.Lin}}_{X/S} \xrightarrow{\ \lambda\ } \underline{\mathrm{Pic}}_{X/S} morphisme naturel (ayant d'ailleurs une section canonique). Si X/S est propre à fibres géom. intègres, alors \lambda est rel. représentable comme la grassmannienne complète d'un schéma de Brauer-Severi généralisé (attention, il y a une question d'effectivité de données de descente sur un ~~fibré~~ fibré projectif relatif à un Module non loc. libre !].

Si, au lieu de fibres géom. intègres, on suppose seulement g_{*}(\mathcal{O}_X) \simeq \mathcal{O}_S univ., on trouve encore un morphisme représentable par un ouvert d'un fibré ~~projectif~~ de Brauer-Severi généralisé…

généralisation … X \to S propre … … \mathrm{Pic}(X/S) … loc. cinq lignes serrées dans l'angle inférieur gauche, écrites de biais, en partie barrées ; un mot souligné, peut-être un nom propre, ne se lit pas

Donc \underline{\mathrm{Syst\,Lin\,div}}_{X/S} est représentable ssi \underline{\mathrm{Pic}}_{X/S} l'est.

Donnons-nous un syst. linéaire paramétré par \check{P}/S de Br. Sév., et considérons le \underline{L} \qquad\qquad \underline{L} \otimes_{\mathcal{O}_S} \mathcal{O}_{\check{P}}(1) \otimes \underline{N}

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] X \arrow[r, no head] \arrow[d, no head] & X \times_S \check{P} \arrow[d, no head] \\ S \arrow[r, no head] & \check{P} \end{tikzcd}

section correspondante \xi de \underline{\mathrm{Pic}}_{X/S}. Je dis que \xi est représentable par un \underline{L} inversible sur X ssi [f : X \to S propre, f_{*}(\mathcal{O}_X) = \mathcal{O}_S univ.] \check{P} est un fibré projectif ( par construction ) le premier \underline{L} est au-dessus de X, le produit tensoriel au-dessus de X \times_S \check{P} ; les traits du carré n'ont pas de pointes

pour la condition est suffisante, , facile est nécessaire. donc un Module de prés. finie Q sur S, et un épimorphisme \check{P} \to \mathbb{P}(Q), je dis que c'est un isom. \mathbb{P}(E), où E est un quotient loc. libre de Q. par descente, type principe…

Remarque Partant d'un Br. Sév. , on construit un \xi \underline{L} .

g_{*}(\mathcal{O}_X) \simeq \mathcal{O}_S, de prés. finie, et g en haut de la marge gauche, de biais, en partie barré Si X/S admet X …en bas de la marge gauche, en cinq lignes obliques, reliées par un trait vertical au paragraphe « Remarque »

\underline{N} \simeq \underline{L} \otimes \mathcal{O}_{\check{P}}(1) \underline{N} \otimes_{\mathcal{O}_S} \underline{L}^{-1} = \mathcal{M} inversible sur X \times_S \check{P}, loc. au dessus de S il provient d'un module inversible sur \check{P}, d'ailleurs de façon canonique, puisque f_{*}(\mathcal{O}_X) = \mathcal{O}_S [pour la que ce soit vrai univ.!], je supposer ]. la page est écrite par-dessus un texte dactylographié qui transparaît du verso ; la fin, après « f_{*}(\mathcal{O}_X) = \mathcal{O}_S », est serrée et ne se lit qu'en partie

Progroupes et groupes algébriques quasi-compacts

inscrit en haut à droite d'une chemise (page 50), qui ne reçoit pas de numéro de page ; le premier mot de la deuxième ligne est surchargé, lecture « groupes » incertaine

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] \mathrm{Progr}^{!}(C'_0) \arrow[r, "\alpha"] \arrow[d, hook, "i"'] & \mathrm{Gr}(C) \arrow[r, "\simeq", "\beta"'] & \mathrm{Gr}(C') \arrow[r, "\sigma"] \arrow[d, hook, "j"] & \mathrm{Gr\,qu.cpt}(\mathrm{Sch}_{/k}) \\ \mathrm{Progr}(C'_0) \arrow[rr, "k"'] & & \mathrm{Gr\,Pro}(C'_0) & \end{tikzcd}

au-dessus de \beta, « équiv. » ; au-dessus de \sigma, « pl. fid » ; à côté des flèches i et j, « pl. fid ». Les flèches i et j sont dessinées comme des signes d'inclusion couchés. Après \mathrm{Gr\,qu.cpt}(\mathrm{Sch}_{/k}), une flèche biffée avec son étiquette. Dans l'angle supérieur gauche, encadré : « ! = ens. affine », et deux lignes biffées, « syst. projectifs »

\beta équivalence car ~~\mathrm{Cart}(C) \simeq \mathrm{Cart}(C')~~ C \cong C'

\sigma pl. fid trivial sur \mathrm{Gr}(C) \to \mathrm{Gr\,qu.cpt}(\mathrm{Sch}_{/k})

i, j pl. fid ~~car~~ trivial [N.B. C' \subset \mathrm{Pro}(C'_0) est pl. fid et commute aux \varprojlim finies]

k \text{ pl.\ fid} \Longrightarrow \alpha \text{ pl.\ fid} \Longleftrightarrow \bigl[\sigma\alpha : \mathrm{Progr}^{!}(C'_0) \to \mathrm{Gr\,qu.cpt}(\mathrm{Sch}_{/k}) \text{ pl.\ fid.}\bigr] le k de tête est entouré, relié à « vrai », encadré

\sigma\alpha une équivalence \Longleftrightarrow \sigma et \alpha des équiv. \Longrightarrow schéma en groupes qu.-compact sur k admet affine

\Downarrow

k une équivalence \Longrightarrow \alpha une équivalence sous « k une équivalence », un « douteux » entouré ; sous la flèche, « pourvu que tel que le problème soit ens. affine, ainsi que ens. affine »

à droite, sous l'énoncé « … admet … affine », et relié par une longue ligne à « des équiv. » : « dans un schéma en groupes de t.f. sur k », précédé d'une double flèche vers la gauche et de « du travail »

Tout objet de \mathrm{Pro\,Gr}(C'_0) provient d'un système projectif strict. Considérons deux tels (G_i)_i, (H_j)_j et montrons que \varphi : \varprojlim_j \varinjlim_i \mathrm{Hom}_{\mathrm{gr}}(G_i, H_j) \longrightarrow \Bigl(\varprojlim_j \varinjlim_i \mathrm{Hom}(G_i, H_j)\Bigr)_{\mathrm{mult.}} est bijectif. En effet, comme pour i, j fixés, \mathrm{Hom}_{\mathrm{gr}}(G_i, H_j) \to \mathrm{Hom}(G_i, H_j) est injectif, on voit que \varphi est injectif. ~~Reste à~~ Montrons que c'est surjectif, donc que si (u_j) \in \varprojlim_j \varinjlim_i \mathrm{Hom}(G_i, H_j) est multiplicatif, alors les u_j : (G_i)_i \longrightarrow H_j ~~proviennent~~ donnent des u_j^{(i)} : G_i \to H_j mult. [si c'est vrai pour un, c'est vrai pour tous –].

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] G_j \times G_j \arrow[r] & G_i \times G_i \arrow[r] \arrow[d] & H \times H \arrow[d] \\ & G_i \arrow[r, no head] & H \end{tikzcd}

au-dessus de G_j \times G_j, un « G_{j} \times G_{j} » biffé diagramme devient comm. pour composé avec G_j \times G_j \to G_i \times G_i pour i grand, or ~~G_j \times G_j \to G_i~~ est un épim. de schémas donc l'était comme avant.

N.B. transition dans l'angle inférieur gauche, en six lignes obliques, dont une biffée ; souligné deux fois

Lemme Tout progroupe ~~ens. affine~~ (G_i)_{i \in I} tel que soient ens. affines, est ens. affine. le lemme est marqué d'un trait vertical à gauche

~~Dém.~~ On peut supposer (G_i)_{i \in I} système projectif strict. Par hyp. il existe un syst. projectif de schémas de prés. finie ens. affine (X_j)_{j \in J} qui lui est isomorphe comme proschéma. On peut supposer les X_j \to X_0 affines.

On a

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] (G_i) \arrow[r] \arrow[d, no head] & G_{i_0} \arrow[d] \\ (X_j) \arrow[r, no head] & X_0 \end{tikzcd}

la flèche de G_{i_0} vers X_0 est oblique ; le trait vertical entre (G_i) et (X_j) est très court et sans pointe

Je dis que les G_{i_1} \to G_{i_0} (i_1 \geq i_0) sont affines. En effet, ~~(G_i) \to~~ (X_j) \simeq (G_i) \to G_{i_1} se factorise par (X_j) \to X_{j_1} \to G_{i_1}, rendant

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] (G_i) \arrow[r] \arrow[d, leftrightarrow] & G_{i_1} \arrow[r] & G_{i_0} \arrow[d] \\ X = (X_j) \arrow[r] & X_{j_1} \arrow[r] \arrow[u] & X_0 \end{tikzcd}

commutatif du carré Q, et la lettre Q est écrite à l'intérieur du carré de droite G_{i_2} \longrightarrow X_{j_1} \longrightarrow G_{i_1} \longrightarrow G_{i_0} \qquad \Big/ \qquad X = \varprojlim G_i \longrightarrow G_{i_1} \longrightarrow G_{i_0} sous X_{j_1} \to G_{i_1}, « [affine] » ; un arc de X_{j_1} à G_{i_0} porte « affine » ; sous G_{i_2} \to X_{j_1}, « immersion » et un arc de G_{i_2} marqué « fid. plat ». Dans la seconde suite, « fid plat » au-dessus de X \to G_{i_1} et un arc « affine » sous G_{i_1} \to G_{i_0}. Dans la marge gauche, un long trait courbe et un mot souligné,

au dos de la chemise (page 54), seul, à l'envers au bas du feuillet et barré de trois traits : « “Revêtements” étales de groupes infinis »

Schémas de Brauer-Severi

inscrit en haut à droite d'une chemise bleue (page 55), qui ne reçoit pas de numéro de page

La théorie des Brauer-Severi-Châtelet globale.

1. Définition d'un schéma de Brauer-Severi sur Y : loc. S-isomorphe à \mathbb{P}^r_Y (i.e. Y Châtelet). [ propre, plat sur Y, à fibres qui sont des Brauer-Severi]. Possibilité de la S-descente, propriétés. Loc.-isotrivialité.

2. Fibré projectif (associé à un faisceau loc. libre) = schéma de Châtelet sur Y muni d'un \underline{L} de rang 1 qui sur chaque fibre induit \mathcal{O}(1) (bon modulo.) ; Corollaire 1, si Y = \operatorname{Spec}(\mathcal{O}), \mathcal{O} local complet, alors Châtelet = Brauer-Severi. Corollaire 2 Si Y est régulier, alors Br. Sév. loc. trivial = ~~fibré~~ projectif = Châtelet qui est loc. trivial . au-dessus de « Corollaire 1 », ajouté : « Br. Sév. loc. triv. » ; la fin de l'énoncé du corollaire 2 est biffée d'un long trait, et une ligne biffée suit : « ~~Cor. 3 S'il existe un diviseur loc. principal~~ »

Construction des diviseurs « linéaires »

3. Fibré dual, (interprétation de ses sections comme diviseurs loc. principaux sur X qui sont « hyperplans »). Cor. 1 Si X admet une section, c'est un fibré projectif [Y noeth. …] 2 façons de le prouver, … X de Br.-Sév. une section, donnée d'un ~~fibré~~ faisceau loc. libre de rang r, et d'un sous faisceau loc. libre de rang r-1, loc. facteur direct… Cor. 2 ~~Autre~~ Critère de loc. trivialité : existence de sections locales…

3 bis Fibrés des n-formes associé à X, ses sections sur Y sont les diviseurs loc. principaux sur X dont la trace sur toute fibre (ou une fibre, si Y est connexe) est de degré n. « 3 bis » est écrit en bas de la page, à l'encre plus foncée, après le § 4 et l'accolade

4. Soit X propre et plat sur Y. Si f^{-1}(y) est un Br.-Sév., alors il existe un voisinage ouvert U de y t.q. X|U soit Br. Sév. Cor. Châtelet = Brauer-Severi. On prouve d'abord qu'il y a un U t.q. X|U soit Châtelet, puis on considère Châtelet \Rightarrow Br. Sév., grâce à la considération de \underline{\mathrm{Isom}}_Y(\mathbb{P}^r_Y, X).

\lbraceRelations avec les faisceaux d'algèbres simples centrales… Groupe de Brauer global. [Consulter le cours de Serre…]\rbrace

Soit \underline{E} faisceau loc. libre de rang r. Alors ~~GP(E) opère sur~~ \mathbb{P}(S^n(\underline{E})) et \mathbb{P}(S^n(\underline{E})^{\vee}) = \mathbb{P}(S^n(\check{\underline{E}})) ne dépend que de \mathbb{P}(\underline{E}) et GP(\underline{E}) opère sur \mathbb{P}(S^n(\underline{E})) \mathbb{P}(\check{S}(\underline{E})^{\vee}) [via GP(\underline{E}) \to GP(S^n_{\mathcal{O}_Y}(\underline{E}))]. Faisant \underline{E} = \mathcal{O}_Y^{r+1}, on trouve que GP(r)_Y opère dans \mathbb{P}(S^n(\mathcal{O}_Y^{r+1})^{\vee}) via GP(r)_Y \to GP(S^n_{\mathcal{O}_Y}(\mathcal{O}_Y^{r+1})), donc fibré principal homogène sous GP(r)_Y, et schéma de Br.-Sév. X fibré associé S-isomorphe : \mathbb{P}(S^n(\mathcal{O}_Y^{r+1})), qui est donc un schéma de Brauer-Severi. Il est loc. trivial (trivial) si X l'est. On l'appelle le schéma des n-formes de X, on le dénote par \Phi^{n}(X). Compatibilité avec images inverses. le début de la page est surchargé d'ajouts interlinéaires et de passages biffés ; l'ordre de lecture retenu ici est incertain. Dans la marge gauche, « n. … »

Prenons d'abord X = \mathbb{P}(\underline{E}). Alors \Phi^{n}(X) \overset{\text{can.}}{\simeq} \mathbb{P}\bigl(\underline{S}^{n}_{\mathcal{O}_X}(\check{\underline{E}})^{\vee}\bigr) [démonstration : des foncteurs, compatibles images inverses…, qui admettent une représentation, et par suite une notion de fibré associé ; les autres ~~fibrés~~ notions s'en déduisent les foncteurs].

~~Sections de \Phi~~ Alors une section de \Phi^{(n)}(X) est donc définie par la donnée d'un homomorphisme surjectif de \underline{S}^{n}(\check{\underline{E}})^{\vee} sur un faisceau inversible, donc correspond à un hom. « ne s'annulant nulle part » d'un fibré inversible dans \underline{S}^{n}(\underline{E}), i.e. une section de (\underline{S}^{n}(\underline{E}))^{*}/\mathcal{O}_Y^{*} ; or une sous (\underline{S}^{n}(\underline{E}))^{*}, une accolade : « germes des sections de \underline{S}^{n}(\underline{E}) qui ne s'annulent pas »

section s de \underline{S}^{n}(\underline{E}) s'identifie à une section de \underline{L}_{\underline{E}} sur X = \mathbb{P}(\underline{E}), et définit un diviseur \mathrm{div}(s) sur X ; la condition que s [sur Y] ne s'annule nulle part, signifie que ce diviseur induit bien un diviseur sur chaque fibre, i.e. que s ne s'annule pas. D'ailleurs \mathrm{div}(s) = \mathrm{div}(t), si et seulement si on peut trouver \rho \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X^{*}) t.q. t = \rho s, or \rho s'identifie à un élément de \Gamma(Y, \mathcal{O}_Y^{*}), (car f_{*}(\mathcal{O}_X) = \mathcal{O}_Y). Donc \mathrm{div}(s) = \mathrm{div}(t) \Longleftrightarrow s et t définissent la même section de \underline{S}^{n}(\underline{E})^{*}/\mathcal{O}_Y^{*}.

De plus, s \mapsto \mathrm{div}(s) est compatible avec localisation sur S. D'où : on a une application injective de \Phi^{(n)}(X)(Y) = \Gamma\bigl(Y, \underline{S}^{n}(\underline{E})^{*}/\mathcal{O}_Y^{*}\bigr) dans l'ens. des diviseurs loc. principaux positifs sur X qui induisent ~~un diviseur~~ sur chaque fibre un diviseur, « positif de degré n ». Appelons de tels diviseurs sur X des « diviseurs transversaux de degré n ». Je dis que l'application précédente est surjective, i.e. que tout diviseur transversal D de degré n provient d'une section de \Phi^{(n)}(X). En effet, soit \underline{L} = \underline{L}(D) le faisceau inversible défini par

D, la question étant locale sur Y, on peut supposer que \underline{L} \simeq \mathcal{O}_X(k) pour k convenable, d'autre part on voit aussitôt, puisque \underline{L}|f^{-1}(y) \simeq \mathcal{O}_{f^{-1}(y)}(k), que k = n. Donc D est le diviseur d'une section de \mathcal{O}_X(k).

Ainsi, on a trouvé un isomorphisme canonique \Phi^{(n)}(\mathbb{P}(\underline{E})) \xrightarrow{\ \sim\ } \mathcal{D}^{(n)}(X/Y) . Cet isomorphisme est fonctoriel, compatible avec images inverses. D'autre part, la notion de « diviseur loc. principal positif transversal » est compatible à descente [car c'est la notion de : fibré inversible, muni d'une section régulière qui est non div. de 0 et non diviseur de 0 sur chaque fibre]. De plus, la notion de degré d'un diviseur sur un schéma algébrique de Severi-Brauer a un sens ~~[ ]~~, invariante par extension du corps de base, d'où la notion de diviseur positif transversal de degré n sur un sch. Brauer. Cette notion est compatible à la descente. D'où le

Théorème Les sections de \Phi^{(n)}(X) (X un sch. Sév. Br.) sont les diviseurs positifs transversaux de degré n de X/Y.

Exemple de diviseurs transversaux. Soit X ~~de type fini~~ sur Y, R_0(X) le faisceau total des fractions de \mathcal{O}_X, ~~R_0~~ Alors \Gamma\bigl(R_0(X)^{*}/\mathcal{O}_X^{*}\bigr) \simeq idéaux fractionnaires divisoriels loc. principaux de X \simeq diviseurs loc. principaux sur X. « idéaux fractionnaires » remplace, au-dessus de la ligne, un « ~~groupe~~ » et un « ~~des diviseurs~~ » biffés ; « loc. » est ajouté au-dessus de « principaux » Soit \underline{I} un idéal de R_0(X), on donne des conditions pour qu'il soit ~~principal~~ divisoriel loc. principal transversal \xi. On suppose \underline{I} positif, i.e. \underline{I} \subset \mathcal{O}_X, et on suppose que \underline{I} est un idéal de \mathcal{O}_X, \xi donc correspond à un sous-schéma X' de X.

Proposition Supposons X plat sur Y, X, Y loc. noeth., soit X' un sous-schéma fermé de X. On suppose X plat sur Y. Soit x \in X', [y son image dans Y]. Pour que X' soit divisoriel et transversal Y-transversal en x, il faut et il suffit que l'on ait les conditions suivantes

(i) X' est Y-plat en x

(ii) X' \otimes k(y) est divisoriel en x dans X \otimes k(y).

l'énoncé est marqué d'un trait vertical à gauche

Démonstration. Nécessité On peut supposer \mathcal{O}_{X'} = \mathcal{O}_X/\varphi\mathcal{O}_X, \varphi \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X), \varphi une fonction divisorielle, et \varphi induisant dans les fibres des fonctions divisorielles. Alors exacte 0 \to \mathcal{O}_X \xrightarrow{\ \varphi\ } \mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_{X'} \to 0 , et si z \in Y 0 \to \mathcal{O}_X \otimes k(z) \xrightarrow{\ \varphi\ } \mathcal{O}_X \otimes k(z) \to \mathcal{O}_{X'} \otimes k(z) \to au début de la dernière ligne, « ~~\to \mathcal{O}_{X'} \to~~ » biffé ; la page s'arrête ici