Cote n° 46 · batch 2 · pages 21–40 · Transcription · Schémas en groupes et fibrés principau[x] (Divers) : notes manuscrites (s.d.), tapuscrit (s.d.)
Datation de l’inventaire : [vers 1966-vers 1972]
Édition de démonstration

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Pb \(X\) sur \(S\) de car. \(p > 0\).

a) Définir une opération « de Cartier »… \(p\)-linéaire \[\underline{\Omega}^1_{X/S} \longrightarrow\ ?\ \struck{\ill{}}(\underline{\Omega}^1_{X/S})\] qui soit transposée dans un sens convenable […] de \(\struck{\ill{}}\ \partial \mapsto \partial^{p}\) sur les \(S\)-dérivations, et compatible avec les changements de base

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
X \arrow[d] & X' \arrow[l] \arrow[d] \\
S & S' \arrow[l]
\end{tikzcd}

Il faudrait que lorsque […] […] […] […] formule, on trouve quelque chose dans […] \(\boxed{\underline{\Omega}^1_{X/S}{}^{(p)}}\) Symétrisons (Frobeniusienne de \(\underline{\Omega}^1_{X/S}\)), ce qui est l'opération de Cartier. Si les \(\omega_i\), \(d_j\) sont duales, […] […] […] […] par \(d\), \([\,,\,]\), et […] […] relation \(\langle \omega_i, d_j \rangle = \ldots\) […] soit : […] […] \[\boxed{\mathrm{Symm}^{p}(\underline{\Omega}^1_{X/S})}\ .\]

b) Montrer […] […] […] […] infinitésimaux […] […] \(1\) sur \(S\) […] […] \(\Omega\) qu. coh. sur \(S\), avec \[C : \Omega \to \mathrm{Symm}^{p}_{\mathcal{O}_S}(\Omega), \qquad d_1 : \Omega \to {\textstyle\bigwedge}^{2}_{\mathcal{O}_S} \Omega\] […] […] structures analogues […]

[…] identification […] \(d_1 = 0\) … « Verschiebung » \(V_S(X) : P_S(G) \to G\) … […] groupe commutatif \(G\) sur \(S\). la page est écrite vite, à l'encre noire, sur le verso d'une feuille ronéotypée ; la moitié des mots de liaison ne se lit pas. La note « Verschiebung » est écrite verticalement dans la marge gauche, en trois lignes très effacées, avec un « b) » ; la notation \(P_S\) est celle de la page 11. La demande de définir la Verschiebung est celle à laquelle répond le tapuscrit des pages 23 à 26

23

Tapuscrit d'une autre main, « Définition du morphisme Verschiebung », adressé à Grothendieck au tutoiement (« Je ne sais pas exactement ce que tu veux que je définisse. Cependant, comme tu affirmes avoir perdu mon tapis de l'année dernière, je vais essayer de te le revendre ») ; l'auteur n'est pas nommé. Page 1 : base le spectre d'un corps \(k\) de caractéristique \(p > 0\) ; cas d'un \(k\)-groupe commutatif affine \(G\) d'anneau \(A\) ; notations \(A^{(p)}\), \(F : A^{(p)} \to A\), \(G^{(p)}\), \(\otimes^{p}A\), \(\Delta^{p}\), \(m^{p}\). Les symboles (\(\otimes\), \(\Delta\), pointes de flèches) sont ajoutés à l'encre bleue dans les blancs laissés par la machine ; aucune annotation de sa main

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Tapuscrit, suite (p. -2) : \(\Sigma^{p}A\) (tenseurs symétriques), \(S^{p}A\) (image dans l'algèbre symétrique), les applications \(i : \Sigma^{p}A \to \otimes^{p}A\), \(q : \otimes^{p}A \to S^{p}A\), \(b : S^{p}A \to A\), \(r : \Sigma^{p}A \to A^{(p)}\) et \(j : A^{(p)} \to S^{p}A\), calculées sur une base de \(A\). Aucune annotation de sa main

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Tapuscrit, suite (p. -3) : \(q.i = j.r\) (renvoi à Serre, Groupes algébriques et corps de classes, preuve du lemme 11, p. 62) ; diagramme commutatif d'algèbres ; l'homomorphisme \(\underline{r}\) ; définition de la Verschiebung \(V\) par \(F.V = \underline{p}\) ; \(F\) et \(V\) s'échangent dans la dualité de Cartier ; passage aux variétés algébriques. Aucune annotation de sa main

26

Tapuscrit, fin (p. -4) : diagramme \(G \to \Sigma^{p}G \to G^{(p)}\) (diagonale, symétrisation) ; « Le diagramme ci-dessus est donc défini pour tout groupe algébrique commutatif, affine ou non. On posera donc \(V = a.r\) et on aura \(V.F = p\). » Aucune annotation de sa main

Frobeniuseries pour faisceaux étales

inscrit et souligné en haut à droite d'une chemise (page 27), qui ne reçoit pas de numéro de page

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au bas du feuillet (le dos de la chemise), quatre lignes de sa main barrées d'un quadrillage de traits obliques, avec « XV » souligné à droite ; illisibles sous les ratures

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Proposition

Considérons un préschéma \(X/\mathbb{F}_p\), et \[X \xleftarrow{\ \mathrm{Fr}_X\ } X\] Comme \(\mathrm{Fr}_X\) est un homéom. univ., on conclut que pour un faisceau \(F\) sur \(X\) et un faisceau \(G\) sur \(X\) (pour top. étale), la donnée de \(G \xrightarrow{\ \alpha\ } \mathrm{Fr}_X^{*}(F)\) équivaut à la donnée de \(\mathrm{Fr}_{X*}(G) \xrightarrow{\ \beta\ } F\) (car \(\mathrm{Fr}_{X*}\) et \(\mathrm{Fr}_X^{*}\) sont inverses […] foncteurs adjoints […] […] habituel).

Ainsi, la donnée de \(\alpha\) […] \[\mathrm{Fr}_{X*}(G) \xrightarrow{\ \mathrm{Fr}_{X*}(\alpha)\ } \mathrm{Fr}_{X*}\mathrm{Fr}_X^{*}(F) \xrightarrow[\ \sim\ ]{\ \mathrm{can}^{-1}\ } F ,\] et inversement la donnée de \(\beta\) définit \[G \xrightarrow[\ \sim\ ]{\ \mathrm{can}^{-1}\ } \mathrm{Fr}_X^{*}\mathrm{Fr}_{X*}(G) \xrightarrow{\ \mathrm{Fr}_X^{*}(\beta)\ } \mathrm{Fr}_X^{*}(F) .\] Nous allons identifier […] […] […] […] […] […] […] […] […] […] […] […] deux lignes entourées, d'une écriture très petite, ne se lisent pas […] […] […] […] \(= G\), définir un hom. canonique \[\begin{align*} &(1) \qquad F \xleftarrow{\ \mathrm{Fr}_{F/X}\ } \mathrm{Fr}_X^{*}(F) \qquad \text{i.e.} \\ &(2) \qquad \mathrm{Fr}_{X*}(F) \xrightarrow{\ \mathrm{Fr}_{F/X*}\ } F \end{align*}\] (qui sera d'ailleurs un isom., mais […] […] […] […] […] […] cas !). […] […] […] (2) […] […] définition faisceau… une accolade dans la marge gauche embrasse la première moitié de la page ; la flèche de (1) a une pointe à chaque bout, la pointe droite plus appuyée

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[…] […] […] évident. […] […], si \(U\) est étale sur \(X\) \[\mathrm{Fr}_{X*}(F)(U) = F(\mathrm{Fr}_X^{*}(U)) = F(U^{(p/X)})\] or \(\mathrm{Fr}_X^{*}(U) \simeq U^{(p/X)}\) or […] […] […] isom canonique fonctoriel en \(U\) \[U \xrightarrow[\ \sim\ ]{\ \mathrm{Fr}_{U/X}\ } U^{(p/X)}\] qui donne un isom. fonctoriel en \(U\) \[\mathrm{Fr}_{X*}(F)(U) = F(U^{(p/X)}) \xrightarrow{\ \sim\ } F(U)\] […] qui est l'hom. cherché \[\boxed{\mathrm{Fr}_{F/X*} : \mathrm{Fr}_{X*}(F) \longrightarrow F}\] dans la marge gauche, un petit carré : \(U \to X\) au-dessus de \(U \to X\), flèches verticales \(\mathrm{Fr}_X\) et \(\mathrm{Fr}_U\)

Supposons que \(F\) soit représenté par \(X'\) étale sur \(X\). […] […] […] […] […] Considérons […] […] correspondante \[\struck{\mathrm{Fr}_{F/X}^{*} : \ill{}\,F \to \mathrm{Fr}_X^{*}F} \qquad \struck{\mathrm{Fr}_X^{*}\mathrm{Fr}_{X*}(F) \nearrow}\] Si \(U\) est un […] étale sur \(X\), […] définir \(F(U) \to \mathrm{Fr}_X^{*}(F)(U)\) […] […] \(U\) […] […] de \(\mathrm{Fr}_X^{*}(V)\), \(V\) étale […] \(X\), […] […] \(\mathrm{Fr}_X^{*}\mathrm{Fr}_{X*}(F)(U) \xrightarrow{\sim} \mathrm{Fr}_{X*}(F)(V)\) ce passage, dans un cadre, est barré de grands traits obliques

Prop 1) \(\mathrm{Fr}_{F/X}^{*} : \mathrm{Fr}_X^{*}(F) \longrightarrow F\) pour \(X\), \(F\) variables est compatible aux extensions de la base quelconques […] commutativité dans

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
X \arrow[d, "\mathrm{Fr}_X"'] & X' \arrow[l, "g"'] \arrow[d, "\mathrm{Fr}_{X'}"] \\
X & X' \arrow[l, "g"]
\end{tikzcd}

\(X' \xrightarrow{\ g\ } X\), i.e. […] \[g^{*}(\mathrm{Fr}_X^{*}(F)) \xleftarrow{\ g^{*}(\mathrm{Fr}_{F/X}^{*})\ } g^{*}(F) \overset{\text{df}}{=} F'\] \[\mathrm{Fr}_{X'}^{*}(g^{*}(F)) = \mathrm{Fr}_{X'}^{*}(F') \xleftarrow{\ \mathrm{Fr}_{F'/X'}^{*}\ } F'\] les deux lignes sont reliées par « \(\simeq\) trans. » entre \(g^{*}(\mathrm{Fr}_X^{*}(F))\) et \(\mathrm{Fr}_{X'}^{*}(g^{*}(F))\), et une flèche oblique va de \(F'\) vers la première ligne ; le sens des flèches est tel qu'écrit, en désaccord avec celui de l'énoncé

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D'autre part, si \(F\) est un faisceau constant, de la forme \(I_X\), on a \[\mathrm{Fr}_X^{*}(I_X) \simeq I_X \xleftrightarrow{\ \mathrm{Fr}_{F/X}^{*} = \mathrm{id}_{I_X}\ } I_X\]

2) Ces conditions […] \(X\) […] il suffit […] […] Ces conditions (pour \(X\), \(F\) variables) […] \(X'\) étale sur \(X\) […] et la fonctorialité en \(F\), caractérisent les hom. \(\mathrm{Fr}_{F/X}\).

NB. La condition […] : \(I_X\) […] […] […] identité, on […] […] […] \(I\) […] […] […] […] […] […] […], on […] […] faisceau […] […] endomorphismes !dans la marge gauche, de biais

Prouvons l'assertion 2°). Comme tout \(F\) […] […] quotient d'un \(G\) représentable, […] […] […] […]

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
\mathrm{Fr}_X^{*}(G) \arrow[d] & G \arrow[l] \arrow[d, "\text{épim}"] \\
\mathrm{Fr}_X^{*}(F) & F \arrow[l]
\end{tikzcd}

[…] déterminer \(\mathrm{Fr}_{F/X}^{*}\) pour \(F\) représentable. La condition de fonctorialité […] \(X\) variable ([…] […] \(F\)) permet de nous localiser sur \(F\) et sur \(X\), ce qui nous ramène au cas où \(F \to X\) est une immersion ouverte, puis un isom., qui est justiciable de la \(2^{\text{e}}\) condition énoncée dans 1).

\(2\)un grand « 2 » est écrit dans la marge gauche, en regard du paragraphe suivant

Supposons \(\mathrm{Fr}_X = \mathrm{id}\) (ce qui signifie que \(X\) est défini par un anneau loc. […] […] discontinu — […] […] […] […] […] […] […] faisceau […] […] […] : […] […] \(\mathbb{F}_p\) —) p. ex. \(X = \operatorname{Spec} \mathbb{F}_p\). Alors […] […] […] […] […] […] […] \(\mathrm{Fr}_X^{*}(F) = \mathrm{id}_X^{*}(F) \simeq F\), et \(\mathrm{Fr}_{F/X}\) devient […] automorphisme de \(F\). […] […] […] […] évident : […] […] l'identité […] […] \(F\) […] […] sur \(X = \operatorname{Spec} \mathbb{F}_p\)… la fin de la page, serrée au bas du feuillet, est en partie surchargée

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Prop Autre caractérisation de \(\mathrm{Fr}_{F/X}^{*}\), pour \(X\) fixé :

c'est un hom. fonctoriel en \(F\), et pour \(F\) représentable [par \(X'\) étale\(/X\)], c'est l'hom. de Frobenius habituel noté \(\mathrm{Fr}_{X'/X}\).

Théorème de trivialité cohomologique du Frobenius absolu.

L'hom. \[H^0(X, F) \longrightarrow H^0(X, F), \qquad H^0(X, F) \simeq H^0(X, \mathrm{Fr}_{X*}(F)) \xrightarrow{\ H^0(\mathrm{Fr}_{F/X})\ } H^0(X, F)\] est l'identité, pour tout faisceau \(F\) sur \(X_{\text{ét}}\).

Corollaire 1 Si \(F\) est un faisceau en groupes, \[H^1(X, F) \simeq H^1(X, \mathrm{Fr}_{X*}(F)) \xrightarrow{\ H^1(\mathrm{Fr}_{F/X})\ } H^1(X, F)\] est l'identité.

Corollaire 2 Si \(F^{\bullet}\) est un [complexe de] faisceaux abéliens [de \(A\)-Modules], (\(A\) un faisceau […] […] […] \(A\) un anneau […] […]), \[R\Gamma_X(F^{\bullet}) \simeq R\Gamma_X(\mathrm{Fr}_{X*}(F^{\bullet})) \xrightarrow{\ R\Gamma_X(\mathrm{Fr}_{F^{\bullet}/X})\ } R\Gamma_X(F^{\bullet})\] est l'identité [dans] la catégorie dérivée \(D(A)\) de la catégorie des \(A\)-modules. En particulier \(H^i(X, F) \to H^i(X, F)\) est l'identité. dans chacun des trois énoncés, la flèche oblique \(H^0(\mathrm{Fr}_{F/X})\) (resp. \(H^1\), \(R\Gamma_X\)) part de la ligne inférieure et aboutit au second terme de la ligne supérieure ; on l'a mise en ligne

Les corollaires résultent du th. en utilisant le calcul de \(R^1\Gamma_X\) resp. de \(R\Gamma_X\) par résolutions. / Pour prouver le th., on […] […] […] […] […] […] […] […] […] […] […] l'hom. \[H^0(X, F) \xrightarrow{\ H^0(\mathrm{Fr}_{F/X})\ } H^0(X, F)\] […] fonctoriel en \(F\). Quand […], […] […] […], c'est l'identité, puisque si \(F\) […] le faisceau […] […] […] […] […] trivial… […] […] […] […] […] […] […] condition.

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\(\mathbb{S}\) catégorie […] produits fibrés. \(\mathcal{M}\) ens. de morphismes […] […] […] […], […] changements de base (un […] […]), défini pour tout \(X \in \mathrm{Ob}\,\mathbb{S}\) une catégorie \(X_{\text{ét}}\). ([…] […] topologie standard),

Supposons que \(X_{\text{ét}}\), […] […] […] […] […] […] […] pour tout \(f : X \to Y\) dans \(\mathbb{S}\), […] foncteur \[Y_{\text{ét}} \xrightarrow{\ f^{*}\ } X_{\text{ét}}\] compatible […] « cartésien ». Considérons […] un […] \(\mathbf{F}\) endom. du foncteur identique de \(\mathbb{S}\).

a) Pour tout \(X \in \mathbb{S}\), \(\mathbf{F}_X : X \to X\) […] une équivalence […] \(\mathbf{F}_X^{*} : \widetilde{X}_{\text{ét}} \to \widetilde{X}_{\text{ét}}\) […] […] et \(p : X' \to X\) dans \(\mathcal{M}\), […] […] \(X' \to X'^{(p/S)}\) […] […] […], i.e. le […] :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
X' \arrow[d, "p"'] & X'^{(p/X)} \arrow[l] \arrow[d] & X' \arrow[l, "\mathrm{Fr}_{X'/X}"'] \arrow[dl, "p"] \arrow[ll, bend right=30, "\mathbf{F}_{X'}"'] \\
X & X \arrow[l, "\mathbf{F}_X"] &
\end{tikzcd}

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
X' \arrow[d, "\mathbf{F}_{X'}"'] & X' \arrow[l, "\mathbf{F}_{X'}"'] \arrow[d, "p"] \\
X & X \arrow[l, "\mathbf{F}_X"]
\end{tikzcd}

est cartésien.

b) \(\Longleftrightarrow\) queentouré, au-dessus de « Dém. » Dém. Le foncteur \(\mathbf{F}_X^{*} : X_{\text{ét}} \to X_{\text{ét}}\) est isomorphe au foncteur identique, d'où résulte que le morphisme \(\mathbf{F}_X^{*} : \widetilde{X}_{\text{ét}} \to \widetilde{X}_{\text{ét}}\) est une équivalence, qui induit […] isomorphisme […] […] […] foncteurs identiques […], […] […] […] isomorphismes donnés par […] […] \(\mathbf{F}_{-/X}\) sur les faisceaux représentables. Donc b) \(\Longrightarrow\) a). […] de Toposà droite de la ligne de « Dém. », souligné, avec un signe de vérification la page est de la même encre bleue que les précédentes, sur le verso d'un feuillet dactylographié. La lettre notée ici \(\mathbf{F}\) (un F double, proche de son \(\mathrm{Fr}\) sans le r) désigne un endomorphisme du foncteur identique qu'il distingue du Frobenius ; lecture de la notation incertaine

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\(\mathbf{F}_{\alpha}^{*}(\mathbf{F}_{X}^{*}(X')) \longrightarrow \mathbf{F}_{\alpha}^{*}(X')\) \(\mathbf{F}_{X}^{*}(F)\) deux lignes en haut à gauche, raturées ; au-dessus de la première, « \(\mathbf{F}_{\alpha'}\) » et une flèche courbe

\(\mathbf{F}_X\) ?un signe dans la marge, à gauche du paragraphe suivant, peut-être un renvoi Peut-être que a) implique aussi b), […] […] […] s'en […] […] […] renforce a) […] exigeant que \(\mathbf{F}_X\) commute […] propriétés dites […] tout changement de base ([…] […] […], […] […] […] […] \(\mathbf{F}_X : X \to X\) !).

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
X' \arrow[d, "p"'] & X'^{(p/S)} \arrow[l] \arrow[d] & X' \arrow[l, "\sim"'] \arrow[dl, "p"] \\
X & X \arrow[l, "\mathbf{F}_X"] &
\end{tikzcd}

au-dessus du diagramme, « \(\exists\) isom » et une flèche courbe \(\mathbf{F}_{X'}\), barrée

La définition de \(\mathbf{F}_{X'/X}^{*}\) [\((X' \in \mathrm{Ob}\,X_{\text{ét}})\)] (comme […]) faisceaux […] \(\mathbf{F}_{F/X}\) […] […] […] fonctoriel en \(F\) […] […] […] conditions, […] […] […] […] […] […] identité […] […] propriétés). […] […] […] faisceaux constants : \[\mathbf{F}_X^{*}(I_{X'}) = I_X \xrightarrow[\ \mathrm{id}_{I_X}\ ]{\ \mathbf{F}_{F/X}^{*}\ } I_X\] […] […] […] en remplaçant […] […] […] […] […]. Car […] fonctorialité \(I \to\) identité… compatibilité […] \(\mathbf{F}_{F/X}\) par changement de base compatibilité […] changement de base […] quelconques. Le compatibilité […] […] […] \(F\), […] : la caractérisation.

[…], + fonctorialité […] […] […]

également […] […] […] […] […] […]

[…] […] […] […] […] les deux lignes réunies par un trait vertical à gauche sont en partie biffées d'un long trait ondulé Il implique l'identité sur les \(H^0\), […] […] […] \(H^i\), \(R\Gamma_X\)…

chemise (page 37) : en haut à droite, un titre souligné, barré et illisible, puis trois lignes, « Variances […] / […] \(G\)-[…]-[…] / ([…] […]) », barrées d'un quadrillage de traits obliques ; le feuillet ne reçoit pas de numéro de page. Au dos (page 38), seul, à l'envers au bas du feuillet : « Steinberg »

Brauer-Severi

inscrit et souligné en haut d'une chemise (page 39), avec au-dessous « Dans Chap VI » ; le feuillet ne reçoit pas de numéro de page

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[…] Systèmes linéaires et […] [Schémas] de Brauer-Severi

Déf Schéma de Brauer-Severi […] \(P/S\) : il devient un fibré projectif loc. fppf.

Remarques

Proposition 1 Un tel \(P\) est projectif et lisse sur \(S\). Le faisceau […] \(\underline{\omega}^{-1}_{X/S}\) est ample rel. à \(S\).

Proposition 2 Si \(P/S\) […] […] […] une section, alors \(P\) Pour que \(P\) soit un fibré projectif, il faut et suffit faut et suffit qu'il existe un \(\underline{P}\) […] […] de degré \(1\) sur […] faisceau inversible […] […] de degré \(1\) sur chaque fibre, […] […] […] […] […] \(=\), […] […] […] \(\underline{L}^{\otimes(r+1)} \otimes \underline{\Omega}^{r}_{X/S}\) soit trivial : […] […] l'image inverse d'un faisceau inv. sur \(S\).

Cela signifie […] que le résultat de classification donné au […] I pour \(\mathrm{Pic}(P)\) […] reste valable… Corollaire Les […] […] […] […] signification.

Construction de \(\underline{\mathrm{Div}}^{1}_{P/S} = \check{P}\) et […] […] projective / Déf \(P/S\) projectivement […], […] […] […] […] […]dans la marge gauche, écrit verticalement, dans deux cadres reliés par une accolade au texte des propositions

[Proposition] Si \(P\) admet une section [sur \(S\)], c'est un fibré projectif : utiliser le théorème de descente [(et dualité des projectifs)].

… Toutefois […] […] si tout Module loc. libre sur \(S\) est libre (p. ex. \(S\) local) […] […] […] […] […] […] […]. la dernière ligne est barrée en deux reprises, avec au-dessus « principal » ; la page s'arrête ici