Fonds Grothendieck, cote n° 46, pages 21–40

Pb X sur S de car. p > 0.

a) Définir une opération « de Cartier »… p-linéaire \underline{\Omega}^1_{X/S} \longrightarrow\ ?\ \struck{\ill{}}(\underline{\Omega}^1_{X/S}) qui soit transposée dans un sens convenable de \struck{\ill{}}\ \partial \mapsto \partial^{p} sur les S-dérivations, et compatible avec les changements de base

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] X \arrow[d] & X' \arrow[l] \arrow[d] \\ S & S' \arrow[l] \end{tikzcd}

Il faudrait que lorsque formule, on trouve quelque chose dans \boxed{\underline{\Omega}^1_{X/S}{}^{(p)}} Symétrisons (Frobeniusienne de \underline{\Omega}^1_{X/S}), ce qui est l'opération de Cartier. Si les \omega_i, d_j sont duales, par d, [\,,\,], et relation \langle \omega_i, d_j \rangle = \ldots soit : \boxed{\mathrm{Symm}^{p}(\underline{\Omega}^1_{X/S})}\ .

b) Montrer infinitésimaux 1 sur S \Omega qu. coh. sur S, avec C : \Omega \to \mathrm{Symm}^{p}_{\mathcal{O}_S}(\Omega), \qquad d_1 : \Omega \to {\textstyle\bigwedge}^{2}_{\mathcal{O}_S} \Omega structures analogues

identification d_1 = 0 … « Verschiebung » V_S(X) : P_S(G) \to G … groupe commutatif G sur S. la page est écrite vite, à l'encre noire, sur le verso d'une feuille ronéotypée ; la moitié des mots de liaison ne se lit pas. La note « Verschiebung » est écrite verticalement dans la marge gauche, en trois lignes très effacées, avec un « b) » ; la notation P_S est celle de la page 11. La demande de définir la Verschiebung est celle à laquelle répond le tapuscrit des pages 23 à 26

Tapuscrit d'une autre main, « Définition du morphisme Verschiebung », adressé à Grothendieck au tutoiement (« Je ne sais pas exactement ce que tu veux que je définisse. Cependant, comme tu affirmes avoir perdu mon tapis de l'année dernière, je vais essayer de te le revendre ») ; l'auteur n'est pas nommé. Page 1 : base le spectre d'un corps k de caractéristique p > 0 ; cas d'un k-groupe commutatif affine G d'anneau A ; notations A^{(p)}, F : A^{(p)} \to A, G^{(p)}, \otimes^{p}A, \Delta^{p}, m^{p}. Les symboles (\otimes, \Delta, pointes de flèches) sont ajoutés à l'encre bleue dans les blancs laissés par la machine ; aucune annotation de sa main

Tapuscrit, suite (p. -2) : \Sigma^{p}A (tenseurs symétriques), S^{p}A (image dans l'algèbre symétrique), les applications i : \Sigma^{p}A \to \otimes^{p}A, q : \otimes^{p}A \to S^{p}A, b : S^{p}A \to A, r : \Sigma^{p}A \to A^{(p)} et j : A^{(p)} \to S^{p}A, calculées sur une base de A. Aucune annotation de sa main

Tapuscrit, suite (p. -3) : q.i = j.r (renvoi à Serre, Groupes algébriques et corps de classes, preuve du lemme 11, p. 62) ; diagramme commutatif d'algèbres ; l'homomorphisme \underline{r} ; définition de la Verschiebung V par F.V = \underline{p} ; F et V s'échangent dans la dualité de Cartier ; passage aux variétés algébriques. Aucune annotation de sa main

Tapuscrit, fin (p. -4) : diagramme G \to \Sigma^{p}G \to G^{(p)} (diagonale, symétrisation) ; « Le diagramme ci-dessus est donc défini pour tout groupe algébrique commutatif, affine ou non. On posera donc V = a.r et on aura V.F = p. » Aucune annotation de sa main

Frobeniuseries pour faisceaux étales

inscrit et souligné en haut à droite d'une chemise (page 27), qui ne reçoit pas de numéro de page

au bas du feuillet (le dos de la chemise), quatre lignes de sa main barrées d'un quadrillage de traits obliques, avec « XV » souligné à droite ; illisibles sous les ratures

Proposition

Considérons un préschéma X/\mathbb{F}_p, et X \xleftarrow{\ \mathrm{Fr}_X\ } X Comme \mathrm{Fr}_X est un homéom. univ., on conclut que pour un faisceau F sur X et un faisceau G sur X (pour top. étale), la donnée de G \xrightarrow{\ \alpha\ } \mathrm{Fr}_X^{*}(F) équivaut à la donnée de \mathrm{Fr}_{X*}(G) \xrightarrow{\ \beta\ } F (car \mathrm{Fr}_{X*} et \mathrm{Fr}_X^{*} sont inverses foncteurs adjoints habituel).

Ainsi, la donnée de \alpha \mathrm{Fr}_{X*}(G) \xrightarrow{\ \mathrm{Fr}_{X*}(\alpha)\ } \mathrm{Fr}_{X*}\mathrm{Fr}_X^{*}(F) \xrightarrow[\ \sim\ ]{\ \mathrm{can}^{-1}\ } F , et inversement la donnée de \beta définit G \xrightarrow[\ \sim\ ]{\ \mathrm{can}^{-1}\ } \mathrm{Fr}_X^{*}\mathrm{Fr}_{X*}(G) \xrightarrow{\ \mathrm{Fr}_X^{*}(\beta)\ } \mathrm{Fr}_X^{*}(F) . Nous allons ~~identifier~~ deux lignes entourées, d'une écriture très petite, ne se lisent pas = G, définir un hom. canonique \begin{align*} &(1) \qquad F \xleftarrow{\ \mathrm{Fr}_{F/X}\ } \mathrm{Fr}_X^{*}(F) \qquad \text{i.e.} \\ &(2) \qquad \mathrm{Fr}_{X*}(F) \xrightarrow{\ \mathrm{Fr}_{F/X*}\ } F \end{align*} (qui sera d'ailleurs un isom., mais cas !). (2) définition faisceau… une accolade dans la marge gauche embrasse la première moitié de la page ; la flèche de (1) a une pointe à chaque bout, la pointe droite plus appuyée

évident. , si U est étale sur X \mathrm{Fr}_{X*}(F)(U) = F(\mathrm{Fr}_X^{*}(U)) = F(U^{(p/X)}) ~~or \mathrm{Fr}_X^{*}(U) \simeq U^{(p/X)}~~ or isom canonique fonctoriel en U U \xrightarrow[\ \sim\ ]{\ \mathrm{Fr}_{U/X}\ } U^{(p/X)} qui donne un isom. fonctoriel en U \mathrm{Fr}_{X*}(F)(U) = F(U^{(p/X)}) \xrightarrow{\ \sim\ } F(U) qui est l'hom. cherché \boxed{\mathrm{Fr}_{F/X*} : \mathrm{Fr}_{X*}(F) \longrightarrow F} dans la marge gauche, un petit carré : U \to X au-dessus de U \to X, flèches verticales \mathrm{Fr}_X et \mathrm{Fr}_U

~~Supposons que F soit représenté par X' étale sur X.~~ ~~Considérons correspondante~~ \struck{\mathrm{Fr}_{F/X}^{*} : \ill{}\,F \to \mathrm{Fr}_X^{*}F} \qquad \struck{\mathrm{Fr}_X^{*}\mathrm{Fr}_{X*}(F) \nearrow} ~~Si U est un étale sur X, définir F(U) \to \mathrm{Fr}_X^{*}(F)(U) U de \mathrm{Fr}_X^{*}(V), V étale X, \mathrm{Fr}_X^{*}\mathrm{Fr}_{X*}(F)(U) \xrightarrow{\sim} \mathrm{Fr}_{X*}(F)(V)~~ ce passage, dans un cadre, est barré de grands traits obliques

Prop 1) \mathrm{Fr}_{F/X}^{*} : \mathrm{Fr}_X^{*}(F) \longrightarrow F pour X, F variables est compatible aux extensions de la base quelconques commutativité dans

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] X \arrow[d, "\mathrm{Fr}_X"'] & X' \arrow[l, "g"'] \arrow[d, "\mathrm{Fr}_{X'}"] \\ X & X' \arrow[l, "g"] \end{tikzcd}

X' \xrightarrow{\ g\ } X, i.e. g^{*}(\mathrm{Fr}_X^{*}(F)) \xleftarrow{\ g^{*}(\mathrm{Fr}_{F/X}^{*})\ } g^{*}(F) \overset{\text{df}}{=} F' \mathrm{Fr}_{X'}^{*}(g^{*}(F)) = \mathrm{Fr}_{X'}^{*}(F') \xleftarrow{\ \mathrm{Fr}_{F'/X'}^{*}\ } F' les deux lignes sont reliées par « \simeq trans. » entre g^{*}(\mathrm{Fr}_X^{*}(F)) et \mathrm{Fr}_{X'}^{*}(g^{*}(F)), et une flèche oblique va de F' vers la première ligne ; le sens des flèches est tel qu'écrit, en désaccord avec celui de l'énoncé

D'autre part, si F est un faisceau constant, de la forme I_X, on a \mathrm{Fr}_X^{*}(I_X) \simeq I_X \xleftrightarrow{\ \mathrm{Fr}_{F/X}^{*} = \mathrm{id}_{I_X}\ } I_X

2) ~~Ces conditions~~ ~~X il suffit~~ Ces conditions (pour X, F variables) X' étale sur X et la fonctorialité en F, caractérisent les hom. \mathrm{Fr}_{F/X}.

NB. La condition : I_X identité, on I , on faisceau endomorphismes !dans la marge gauche, de biais

Prouvons l'assertion 2°). Comme tout F quotient d'un G représentable,

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] \mathrm{Fr}_X^{*}(G) \arrow[d] & G \arrow[l] \arrow[d, "\text{épim}"] \\ \mathrm{Fr}_X^{*}(F) & F \arrow[l] \end{tikzcd}

déterminer \mathrm{Fr}_{F/X}^{*} pour F représentable. La condition de fonctorialité X ~~variable~~ ( F) permet de nous localiser sur F et sur X, ce qui nous ramène au cas où F \to X est une immersion ouverte, puis un isom., qui est justiciable de la 2^{\text{e}} condition énoncée dans 1).

2un grand « 2 » est écrit dans la marge gauche, en regard du paragraphe suivant

Supposons \mathrm{Fr}_X = \mathrm{id} (ce qui signifie que X est défini par un anneau loc. discontinu — faisceau : \mathbb{F}_p —) p. ex. X = \operatorname{Spec} \mathbb{F}_p. Alors \mathrm{Fr}_X^{*}(F) = \mathrm{id}_X^{*}(F) \simeq F, et \mathrm{Fr}_{F/X} devient automorphisme de F. évident : l'identité F sur X = \operatorname{Spec} \mathbb{F}_p… la fin de la page, serrée au bas du feuillet, est en partie surchargée

Prop Autre caractérisation de \mathrm{Fr}_{F/X}^{*}, pour X fixé :

c'est un hom. fonctoriel en F, et pour F représentable par X' étale/X, c'est l'hom. de Frobenius habituel noté \mathrm{Fr}_{X'/X}.

Théorème de trivialité cohomologique du Frobenius absolu.

L'hom. H^0(X, F) \longrightarrow H^0(X, F), \qquad H^0(X, F) \simeq H^0(X, \mathrm{Fr}_{X*}(F)) \xrightarrow{\ H^0(\mathrm{Fr}_{F/X})\ } H^0(X, F) est l'identité, pour tout faisceau F sur X_{\text{ét}}.

Corollaire 1 Si F est un faisceau en groupes, H^1(X, F) \simeq H^1(X, \mathrm{Fr}_{X*}(F)) \xrightarrow{\ H^1(\mathrm{Fr}_{F/X})\ } H^1(X, F) est l'identité.

Corollaire 2 Si F^{\bullet} est un complexe de faisceaux ~~abéliens~~ de A-Modules, (~~A un faisceau~~ A un anneau ), R\Gamma_X(F^{\bullet}) \simeq R\Gamma_X(\mathrm{Fr}_{X*}(F^{\bullet})) \xrightarrow{\ R\Gamma_X(\mathrm{Fr}_{F^{\bullet}/X})\ } R\Gamma_X(F^{\bullet}) est l'identité dans la catégorie dérivée D(A) de la catégorie des A-modules. En particulier H^i(X, F) \to H^i(X, F) est l'identité. dans chacun des trois énoncés, la flèche oblique H^0(\mathrm{Fr}_{F/X}) (resp. H^1, R\Gamma_X) part de la ligne inférieure et aboutit au second terme de la ligne supérieure ; on l'a mise en ligne

Les corollaires résultent du th. en utilisant le calcul de R^1\Gamma_X resp. de R\Gamma_X par résolutions. / Pour prouver le th., on l'hom. H^0(X, F) \xrightarrow{\ H^0(\mathrm{Fr}_{F/X})\ } H^0(X, F) fonctoriel en F. Quand , , c'est l'identité, puisque si F le faisceau trivial… condition.

\mathbb{S} catégorie produits fibrés. \mathcal{M} ens. de morphismes , changements de base (un ), défini pour tout X \in \mathrm{Ob}\,\mathbb{S} une catégorie X_{\text{ét}}. ( topologie standard),

Supposons que X_{\text{ét}}, pour tout f : X \to Y dans \mathbb{S}, foncteur Y_{\text{ét}} \xrightarrow{\ f^{*}\ } X_{\text{ét}} compatible « cartésien ». Considérons un \mathbf{F} endom. du foncteur identique de \mathbb{S}.

a) Pour tout X \in \mathbb{S}, \mathbf{F}_X : X \to X une équivalence \mathbf{F}_X^{*} : \widetilde{X}_{\text{ét}} \to \widetilde{X}_{\text{ét}} et p : X' \to X dans \mathcal{M}, X' \to X'^{(p/S)} , i.e. le :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] X' \arrow[d, "p"'] & X'^{(p/X)} \arrow[l] \arrow[d] & X' \arrow[l, "\mathrm{Fr}_{X'/X}"'] \arrow[dl, "p"] \arrow[ll, bend right=30, "\mathbf{F}_{X'}"'] \\ X & X \arrow[l, "\mathbf{F}_X"] & \end{tikzcd}

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] X' \arrow[d, "\mathbf{F}_{X'}"'] & X' \arrow[l, "\mathbf{F}_{X'}"'] \arrow[d, "p"] \\ X & X \arrow[l, "\mathbf{F}_X"] \end{tikzcd}

est cartésien.

b) \Longleftrightarrow queentouré, au-dessus de « Dém. » Dém. Le foncteur \mathbf{F}_X^{*} : X_{\text{ét}} \to X_{\text{ét}} est isomorphe au foncteur identique, d'où résulte que le morphisme \mathbf{F}_X^{*} : \widetilde{X}_{\text{ét}} \to \widetilde{X}_{\text{ét}} est une équivalence, qui induit isomorphisme foncteurs identiques , isomorphismes donnés par \mathbf{F}_{-/X} sur les faisceaux représentables. Donc b) \Longrightarrow a). de Toposà droite de la ligne de « Dém. », souligné, avec un signe de vérification la page est de la même encre bleue que les précédentes, sur le verso d'un feuillet dactylographié. La lettre notée ici \mathbf{F} (un F double, proche de son \mathrm{Fr} sans le r) désigne un endomorphisme du foncteur identique qu'il distingue du Frobenius ; lecture de la notation incertaine

~~\mathbf{F}_{\alpha}^{*}(\mathbf{F}_{X}^{*}(X')) \longrightarrow \mathbf{F}_{\alpha}^{*}(X')~~ ~~\mathbf{F}_{X}^{*}(F)~~ deux lignes en haut à gauche, raturées ; au-dessus de la première, « \mathbf{F}_{\alpha'} » et une flèche courbe

\mathbf{F}_X ?un signe dans la marge, à gauche du paragraphe suivant, peut-être un renvoi Peut-être que a) implique aussi b), s'en renforce a) exigeant que \mathbf{F}_X commute propriétés dites tout changement de base ( , \mathbf{F}_X : X \to X !).

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] X' \arrow[d, "p"'] & X'^{(p/S)} \arrow[l] \arrow[d] & X' \arrow[l, "\sim"'] \arrow[dl, "p"] \\ X & X \arrow[l, "\mathbf{F}_X"] & \end{tikzcd}

au-dessus du diagramme, « \exists isom » et une flèche courbe \mathbf{F}_{X'}, barrée

La définition de \mathbf{F}_{X'/X}^{*} (X' \in \mathrm{Ob}\,X_{\text{ét}}) (comme ) faisceaux \mathbf{F}_{F/X} fonctoriel en F conditions, identité propriétés). faisceaux constants : \mathbf{F}_X^{*}(I_{X'}) = I_X \xrightarrow[\ \mathrm{id}_{I_X}\ ]{\ \mathbf{F}_{F/X}^{*}\ } I_X en remplaçant . Car ~~fonctorialité~~ I \to identité… compatibilité \mathbf{F}_{F/X} par changement de base compatibilité changement de base quelconques. Le compatibilité F, : la caractérisation.

, + fonctorialité

également

les deux lignes réunies par un trait vertical à gauche sont en partie biffées d'un long trait ondulé Il implique l'identité sur les H^0, H^i, R\Gamma_X…

chemise (page 37) : en haut à droite, un titre souligné, barré et illisible, puis trois lignes, « Variances / G-- / ( ) », barrées d'un quadrillage de traits obliques ; le feuillet ne reçoit pas de numéro de page. Au dos (page 38), seul, à l'envers au bas du feuillet : « Steinberg »

Brauer-Severi

inscrit et souligné en haut d'une chemise (page 39), avec au-dessous « Dans Chap VI » ; le feuillet ne reçoit pas de numéro de page

~~Systèmes linéaires et~~ Schémas de Brauer-Severi

Déf Schéma de Brauer-Severi P/S : il devient un fibré projectif loc. fppf.

~~Remarques~~

Proposition 1 Un tel P est projectif et lisse sur S. Le faisceau \underline{\omega}^{-1}_{X/S} est ample rel. à S.

Proposition 2 ~~Si P/S une section, alors P~~ Pour que P soit un fibré projectif, il ~~faut et suffit~~ faut et suffit qu'il existe un \underline{P} de degré 1 sur faisceau inversible de degré 1 sur chaque fibre, =, \underline{L}^{\otimes(r+1)} \otimes \underline{\Omega}^{r}_{X/S} soit trivial : l'image inverse d'un faisceau inv. sur S.

Cela signifie que le résultat de classification donné au I pour \mathrm{Pic}(P) reste valable… Corollaire Les signification.

Construction de \underline{\mathrm{Div}}^{1}_{P/S} = \check{P} et projective / Déf P/S projectivement , dans la marge gauche, écrit verticalement, dans deux cadres reliés par une accolade au texte des propositions

[Proposition] Si P admet une section sur S, c'est un fibré projectif : utiliser le théorème de descente (et dualité des projectifs).

… Toutefois si tout Module loc. libre sur S est libre (p. ex. S local) . la dernière ligne est barrée en deux reprises, avec au-dessus « principal » ; la page s'arrête ici