Cote n° 45 · batch 3 · pages 41–60 · Transcription · Groupes semi-simples : notes manuscrites (s.d.), tapuscrit annoté (1961)
Datation de l’inventaire : 1961-[vers 1970]
Édition de démonstration

TEI P5 source — open the XML · download batch-03.fr.xml

41

\[X \quad Y \quad H \qquad \left\lbrace \begin{array}{l} [X, H] = \lambda(H) X \\ {[Y, H]} = -\lambda(H) Y \\ {[X, Y]} = H \end{array} \right. \qquad T \longrightarrow T'\] en haut à droite, sous une flèche verticale, « \(T \to T'\) » suivi d'un signe noirci suivi d'un indice \(2\), non lu ; le \(H\) de \([X,Y] = H\) surcharge une autre lettre

\([X, H]\) \(\mathcal{U} \subset\)

\(Sl(2)\) souligné deux fois ; la lecture \(Sl(2)\) est douteuse

Groupes proches réductifs = […] […] quel cas.

\(X \quad H \quad Y\) [\(X\) et \(H\) réunis par une accolade] \([X, Y] = 0\)

Algèbre de Lie de \(Sl(2, k)\) car. \(2\). \([X, H] = \lambda \ldots\) \[\left\lbrace \begin{array}{l} [H, X] = 0 \\ {[H, Y]} = 0 \\ {[X, Y]} = H \end{array} \right. \qquad \mathcal{U}\] les seconds membres des deux premières lignes sont d'abord écrits puis noircis, et remplacés par \(0\)

Normalisateur de \(k.Y = \mathcal{U}\) … \(k.Y + k.H = \mathfrak{L}\)

Normalisateur de \(k.H = \mathfrak{h}\) … \(\mathfrak{g}\) tt. entier le \(Y\) de \(k.Y\) surcharge un \(H\) noirci ; les deux « … » tiennent lieu d'une courte flèche

Algèbre de Lie de \(Spl(2, k)\) « \(Spl\) » surcharge un autre mot ; lecture douteuse \[\left\lbrace \begin{array}{l} [H', X] = X \\ {[H', Y]} = -Y \\ {[X, Y]} = 0 \end{array} \right.\] Normalisateur de \(k.Y\) … \(\mathfrak{g}\)

Normalisateur de la page s'arrête sur cette ligne inachevée

\(H^1\)

inscrit en haut à droite d'un feuillet par ailleurs blanc (page 43), de sa main ; le feuillet ne reçoit pas de numéro de page

44

Forme extérieure type

titre souligné ; le mot central revient trois fois plus bas, dans « forme extérieure type », et s'oppose aux « formes intérieures » de la fin de la page

\(G_0\) un groupe réductif type (sur \(\mathbb{Z}\)), \(\Gamma_0 = \underline{\mathrm{Aut}}_{\mathbb{Z}}(G_0)\), […], … \(E_0\) le groupe […] […], \(T_0 \subset B_0\), \(S\) schéma de base. \(E_0 = \underline{\mathrm{Ext}}(G_0)\), \(\Pi_0 = \mathrm{ad}(G_0)\) \(\Gamma_0 \simeq E_0 \cdot \Pi_0\) en haut à droite, dans un cadre ; la dernière formule est écrite en travers d'un passage noirci

\(G\) forme de \(G_0\) sur \(S\), correspondant à un principal homogène \(P\) sous \(\Gamma_S\), […] le principal homogène associé sous \(E\), qui est noté par abus de lg. \(\rho\) […] l'élément correspondant de \(H^1(S, E_0)\) [pour l'instant, on note \(\rho = \rho_G\)], […] au-dessus de « le principal », une surcharge noircie portant \(P_0\) et \(P\) ; un « \(P_0\) » et un « \(\Gamma_S\) » isolés au-dessus de la ligne

\(G_1 = G_0^{\rho}\) déduit de \(G_0\) en tordant par \(\rho\) : une telle groupe forme sera dite forme extérieure type associée à \(\rho\).

[On dit que \(G\) est une forme extérieure type s'il est isom. à \(G_1^{\rho}\), […] et nécessairement \(\rho \simeq \rho_G\)]

Si on part de \(\rho\), [sans \(G\)], la donnée d'une \(G\) et d'un isom. \(\rho \xrightarrow[\sim]{\ \varphi\ } \rho_G\) « équivalente à la » donnée d'un fibré principal homogène sous \(\Pi_1 = \Pi_0^{\rho}\), la les deux « … » soulignés le sont d'un trait ondulé ; le \(\Pi_1 = \Pi_0^{\rho}\) surcharge une première écriture

Classification des objets \(G\) à isom. près [un isom. de \((G, \varphi)\) et \((G', \varphi')\) étant […] un isom. \(\psi : G \to G'\) tel que l'isom. \(\rho_G \xrightarrow{\sim} \rho_{G'}\) soit compatible avec les […] de \(\rho_G\) et \(\rho_{G'}\) avec \(\rho\) ; on […] cette […] […] sont dits intérieurs] vérifiant à classification seront donnés par \(H^1(S, \Pi_1)\). On a donc \[H^1(S, \Pi_1) \longrightarrow H^1(S, \Gamma) = \text{ens.\ des classes d'isom.}\] vues de formes de \(G\) sur \(S\) ; son image en dessous : isom. près de « formes relatives intérieures relatives à \(\rho\) ». le \(\Pi_1\) de ces deux \(H^1\) surcharge un premier symbole noirci ; un signe \(\cup\) sous le premier \(H^1\) ; la fin de la phrase, écrite sous la formule, reste d'une lecture incertaine

Distinguer […] les deux […] dans \(G_0\) et \(\Pi_0\), dans \(G\) et \(\Pi_1\) … Définir aussi la notion d'isom. extérieur d'un […]. deux notes écrites en biais dans la marge gauche

46

La fibration […] […] de \(\rho\) […] […] de groupes sur \(S\) \[e \longrightarrow \Pi_1^{\rho} \longrightarrow \Gamma_1^{\rho} \longrightarrow E_1^{\rho} \longrightarrow e \qquad \Gamma_1^{\rho} \simeq E_1^{\rho} \cdot \Pi_1^{\rho}\] qui fournit d'ailleurs \[H^0(S, E_1^{\rho}) \longrightarrow H^1(S, \Pi_1^{\rho}) \longrightarrow H^1(S, \Gamma_1^{\rho}) \longrightarrow H^1(S, E^{\rho})\] \[H^1(S, \Gamma_1^{\rho}) \simeq H^1(S, \Gamma)\] les \(\Pi\) sont des signes noircis et repassés ; les exposants \(\rho\) sont lus sur un signe peu formé

On voit A priori, l'application canonique n'est pas injective. Si ⌜Cependant⌝ l'ens. des éléments […] de \(H^1(S, \Pi_1^{\rho})\) qui donnent l'élément neutre de \(H^1(S, \Gamma_1^{\rho})\) […] […] qui est en correspondance biunivoque avec \(H^0(S, E^{\rho}) /\) Im \(H^0(S, \Gamma^{\rho})\), et triviale puisque \(\Gamma_1^{\rho}\) est un produit semi-direct. « Cependant » est écrit au-dessus d'un mot biffé en fin de ligne

Mais si \(\xi \in H^1(S, \Gamma_1^{\rho})\), on peut utiliser \(\xi\) pour tordre […] […] la situation, on trouve \[e \longrightarrow (\Pi_1^{\rho})^{\xi} \longrightarrow (\Gamma_1^{\rho})^{\xi} \longrightarrow (E_1^{\rho})^{\xi} \longrightarrow e\] \[e \longrightarrow \mathrm{Ad}(G) \longrightarrow \mathrm{Aut}(G) \longrightarrow \mathrm{Ext}(G) \longrightarrow e\] les deux suites sont reliées par des signes \(\simeq\) verticaux ; le dernier exposant de la première est noirci

[…] […] […] revient à la question si tout automorphisme ext. de \(G\) provient d'un automorphisme […]. C'est vrai pour tout […] évidemment quand \(G\) […] […] est une forme extérieure type, [i.e. […] groupe possède un sous-groupe de Borel \(\supset\) Tore maximal].

exemple […] […] corps de base ? Faux sur \(\mathbb{R}\) avec les formes tordues (gr. unitaires) : deux formes hermitiennes […] donnant le même gr. algébrique \(\mathbb{R}\) mais […] isom. écrit en biais en bas à gauche ; la première ligne est entourée

48

la page s'ouvre sur un tableau à trois colonnes, que l'on donne ligne par ligne

Fibré des tores maximaux de \(G\) … \(P/N_1 \simeq Q/N'_1 = \mathcal{C}(G)\)

— Borel — \(P/B_1 \simeq Q/B'_1 \simeq \mathcal{D}(G)\)

— couples de Killing — \(P/T_1 \simeq Q/T'_1 \simeq \mathcal{C}'(G)\)

— \(\lbrace\)tores maximaux précisés de \(G\) ; « » immersions intérieures \(T_1 \to G\rbrace\) \(\simeq P/T_1\) le nombre \(21\) est écrit à gauche de cette dernière ligne ; les deux lignes entre accolades sont l'une sous l'autre, reliées par des guillemets de répétition. Une flèche courbe monte de \(\mathcal{C}'(G)\) vers \(\mathcal{C}(G)\), une flèche droite de \(\mathcal{C}'(G)\) vers \(\mathcal{D}(G)\)

fibré principal sous \(W_1\) / fibré en fibré sous \(B_1/T_1\) \(= \mathcal{C}(B_1)\) associé au fibré principal homogène de gp \(B_1\) à droite du tableau, en face des deux flèches

N.B. Soit \(T\) un tore ⌜maximal de \(G\)⌝ ; il y a correspondance biunivoque (fonctorielle en \(S'/S\)) entre les ensembles suivants

\(\rbrace\ P/T_1 \simeq P'/T'_1\) \(P\) […] quelconque […] De plus, […] […] […] il existe ⌜considérons le sous-ens. suivant de b) :⌝ […] application

Cet […] […] Il existe une projection de b') sur b). \(\rbrace\ P'/T_1\) \(W_1\) et \(W\) sont […] l'un de l'autre. Dans ce cas \(P'\) principal homogène […] […] les deux […] […] \(\neq \rho\)] la dernière note est écrite en biais dans la marge gauche

De plus les conditions suivantes sur \(T\) sont équivalentes

On dit alors que \(T\) est un « Tore de Killing ». Pour qu'il existe, il f. et s. que \(G\) soit isomorphe à une forme extérieure type. « Killing » surcharge un autre mot

L'image inverse de \(\xi \in H^1(S, G_1)\) dans \(H^1(S, B_1)\) est en correspondance biunivoque avec l'ens. des sous-groupes de Borel de \(G\), modulo automorphismes intérieurs. Il est non vide [i.e. on peut restreindre le groupe structural à \(B_1\)] ssi il existe un sous-groupe de Borel ; dans ce cas, il en revient à dire […] ces deux s.-groupes de Borel de \(G\) sont toujours conjugués. Cela […]

[…] […] […] […] \(G\) soit une forme extérieure type, mais seulement qu'il y ait un s.-groupe de Borel

écrit en biais dans la marge gauche

[Conjecture 3 […] Contre-exemple […] […] […] […] […] […] ? si \(S\) est local ?] dans un cadre, marqué d'un double trait à gauche et d'une croix à droite ; un mot entouré, au-dessus, est relié par un trait au « Contre-exemple »

50

L'image inverse de \(\xi\) dans \(H^1(S, N_1)\) est en correspondance biunivoque avec l'ens. des Tores maximaux de \(G\), modulo automorphismes intérieurs. En particulier, Il est non vide ssi i.e. on peut restreindre le groupe structural à \(N_1\), ssi il existe un tore maximal ; \(\xi\) s'il en est ainsi, alors il se réduit à un élément ssi tous les tores maximaux sont conjugués, [ce qui […] […] […] exceptionnelle dans des situ. […], « arithmétiques »]. un trait relie « intérieurs » à « restreindre », par-dessus un mot biffé. Le \(\xi\) en début de proposition est surchargé

Vaut dans […] \(W\), \(W\) […] […] \(G_1\) avec un tore maximal. Il semble que que ce soit vrai chaque fois que \(S\) est local … ? deux notes en marge gauche, la seconde dans un cadre, reliée par une croix au début de la ligne « tore maximal »

[…] Si \(S\) local, […], \(N_1\) produit semi-direct de \(W_1\) et \(T_1\), on a \(H^1(S, N_1) \twoheadrightarrow H^1(S, W_0)\). Le Inversement […] […] […] […] […] […] […] des Tores […] : expliciter quel élément de \(H^1(S, W_0)\) donne l'image de \(\xi\) … passage ajouté dans l'interligne, en plus petit, pris dans une accolade à gauche ; très raturé, lecture très incomplète. Au-dessus de \(W_1\) est écrit « \(= W_0\) », sous la flèche « sur ». Une bulle à gauche, reliée à l'accolade, porte « fibrés […] […] […] \(H^1\) des \(T_1\) tordus »

L'image inverse de \(\xi\) dans \(H^1(S, \bar N_1)\) est en correspondance biunivoque avec l'ens. des couples \((T \subset B)\) de de Killing de \(G\), modulo autom. extérieurs. Donc il est non vide ssi il existe un tel couple, i.e. s'il existe un Tore privilégié de Chevalley, ou encore un Borel de Chevalley ; [chose exceptionnelle […] […] dans un cas arithmétique] ; et […] […], s'il en est ainsi, alors il se réduit à un élément ssi tous les couples de Killing de \(G\) sont conjugués [et il est possible que cette condition doive vérifiée sur […] […] local], i.e. évidemment le cas si on suppose de plus \(T_1\) déployé, i.e. \(\rho = e\)], par […] […] de […] …] « Chevalley » est lu deux fois ; le signe de \(\rho = e\) est un \(e\) entouré

Question équivalente : 2 sous-gr. […] de Chevalley […] […] des Borel sont conjugués] Deux tores maximaux d'un Borel \(B\) sont-ils toujours conjugués \(B\) dans \(B\)

en bas à gauche, en biais, dans un cadre ouvert, reliée par une flèche à la ligne « doit vérifier » ; lecture très incomplète

52

Th. Conditions équivalentes sur \(\xi \in H^1(S, H_1)\), définissant \(G = G_1^{\xi}\).

les numéros (i), (ii), (iii) et (iii') sont entourés ; (iii) est en outre marqué d'un crochet et de traits, et une ligne biffée au-dessus de lui commençait « Tore » ; « immersion » et « extensible » sont soulignés, ce dernier deux fois ; « immersion intérieure » est souligné d'un trait ondulé

De plus, si \(T\) est un Tore maximal, conditions équivalentes. a) \(\exists\) Borel \(\supset T\) b) \(\exists\) isom. \(T_1 \to T\) extensible a) \(\Rightarrow\) c) \(\exists\) isom. \(T_1 \to T\) intérieur écrit à droite, en face de (ii) et (iii) ; « extensible » est au dessus de « intérieur », comme une variante

Démonstration. \[(iii') \Longleftrightarrow (i) \Longrightarrow (i') \Longleftrightarrow (ii) \qquad (iii) \Longleftrightarrow (i'')\] schéma d'implications sur deux rangées, que l'on résume : en haut « (iii') \(\Leftrightarrow\) (i) \(\Rightarrow\) (i') \(\Leftrightarrow\) (ii) », suivi d'un « \(\Leftrightarrow\) (iii') » biffé ; en bas « (iii) \(\Leftrightarrow\) (i'') ». Entre les deux rangées, des flèches obliques dont plusieurs sont barrées en zigzag, deux portant « triviale » et une « inutile » ; une grande courbe « triviale » joint (iii') à (iii). Des traits obliques renvoient aux lignes de droite : « […] que ce ne sont pas des conditions […] », « […] des […] du nuage ? » et, biffé, « réalisations de \(T_1\) en \(\Gamma_1\) et \(T_1\) »

N.B. Supposons que \(T_1\) soit \(\simeq \mathbb{G}_m^r\) (cas déployé). Alors tout tore \(T \subset G\) qui est tore […] […] […] […] contenu dans un Borel, […] i.e. il existe une isom. intérieure de \(T_1\) avec \(T\). Le quotient ⌜bien mieux⌝, étant local le schéma des isom. intérieurs de \(T_1\) dans \(T\) est un sous-schéma de \(\underline{\mathrm{Isom}}_S(T_1, T) \simeq (\mathbb{Z}^{r^2})_S\), qui est fini étale sur \(S\) de groupe \(W\), donc l'est aussi diagonalisable …. Cor. Donc, si on a, Et si \(\mathrm{Pic}(S) = e\), il existe un isom. de Tits de \(G_0\) sur \(G\), transformant \(T_0\) en \(T\).

« tout » est souligné ; « cas déployé » est souligné d'un trait ondulé ; « \(\mathrm{Pic}(S) = e\) » est précédé d'un signe « \(\Xi\) » ou d'un « Et » surchargé. La dernière ligne, écrite serrée au bas du feuillet, est d'une lecture incertaine

54

Question 1. Supposons que \(G\) soit un \(T\) qui soit ⌜soit⌝ \(\simeq T_1\), dans \(G\) \(T\) est-il contenu dans un Borel, i.e. est-ce qu'il existe un isom. intérieur \(T_1 \to T\) ?? J'en doute.

Question 2. Supposons que \(T\) soit isom. à \(G\) […] tout tore maximal \(T\) soit contenu dans un Borel. S'ensuit-il que \(G \simeq G_1\) ? […] […] […] […] (p. ex. \(S\) local) C'est le cas si \(\mathrm{Pic}(S) = 0\) et si \(\rho\) \(= e\) est trivial. Est-ce vrai si \(k\) est un corps (\(\rho\) non trivial) ?? Par exemple \(k = \mathbb{R}\), groupes unitaires (C'est évident si \(k\) est un corps de Tate [\(H^1(k, T) = 0\) pour tout tore sur \(k\)]. Que trouve-t-il pour \(k = \mathbb{R}\), le groupe \(G_1\) le groupe ⌜anisotrope⌝ unitaire spécial : deux variables ??? « de Tate » est souligné ; un mot entouré, au-dessus de « unitaire », y est relié par un trait

\(\rho\) Dist. N.B., on notera que le normalisateur de \((B_0, T_0)\) dans \(\Gamma_0\) […] est \(T_0\) — mais […] […] […] […] […] […] […] […] […] […] […] … Dans ce cas […] \(\rho = e\) deux notes en biais dans la marge gauche, la première en partie encadrée et barrée d'un long trait oblique, reliée par un trait à la ligne « Question 2 » ; lecture très incomplète

Question 3. Supposons qu'il existe un sous-groupe de Borel \(B\) de \(G\) [i.e. qu'on peut restreindre le groupe structural de \(G_1\) à \(B_1\)]. Alors peut-on réduire le groupe structural à celui de \(G_1\) à \(T_1\), et \(=\) est-il […] vrai que l'on peut trouver un sous-groupe

la page s'arrête sur cette ligne ; au-dessus de « Question 3 », un signe noirci

56

\(H^1(S, T_1)\) \(H^1(S, T) \to H^1(S, B)\) deux formules isolées dans la marge gauche, en face de la première ligne et du milieu de la page

classification des formes intérieures munies d'un couple de Killing.

[N.B. Si \(G\) est une forme intérieure, deux couples \((T, B)\), \((T', B')\) de Killing dans \(G\) définissant le même élément de \(H^1(S, T_1)\) sont-ils conjugués par un automorphisme intérieur. Cela équivaut à dire que deux […] ont même élément dans \(H^1(S, \bar B)\) mod \(B\) […] si \(T = T'\), c'est la donnée de \(\sigma \in W(T)\) qui transforme \(B\) en \(B'\), si \(B'\) est l'opposé de \(B\) rel. à \(T\), alors la question est de savoir si si l'image ⌜de \(\sigma\)⌝ est un élément nul de \(H^1(S, T)\).] « \((T, B)\), \((T', B')\) » est ajouté au-dessus de la ligne ; « mod \(B\) » de même

La question des deux couples de Killing dans un même \(G\) sont tjrs conjugués, équivaut donc à celle de savoir si \(H^1(S, T_1) \to H^1(S, G_1)\) est tjrs injective. Par un contre-exemple, il semble […] montrer que \(H^1(S, T_1) \to H^1(S, N_1)\) n'est pas tjrs injective. Or deux éléments de \(H^1(S, T_1)\) ont la \(=\) image dans \(H^1(S, N_1)\) ssi ils sont conjugués par \(H^0(S, W_1)\) opérant de façon évidente. Je prendrai le cas où \(G_0 = GL(2)\), donc \(E = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\), \(W_0 = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\) est commutatif, donc \(W_0 \ldots W_0\) […] \(E\) y opère trivialement (il […] […] !) et \(W_0 = W_1\), qui opère par symétrie sur \(T_1\). « \(GL(2)\) » surcharge une autre écriture ; la page s'arrête ici

58

la page est une colonne d'énoncés reliés par des doubles flèches verticales, groupés par trois accolades à droite, chacune suivie d'un commentaire ; on la donne de haut en bas

\(H^1(S, G_1) \to H^1(S, \Gamma_1)\) injectif ?

\(H^1\) \(\Updownarrow\)

\(\underline{\mathrm{Aut}}(G) \to \underline{\mathrm{Ext}}(G)\) admet tjrs une section

\(\Updownarrow\)

\(\mathrm{Aut}(G) \to \mathrm{Ext}(G)\) tjrs surjectif

forme extérieure \(G_1\) donnée à gauche de la première accolade

Non : faux en général sur un corps, vrai pour les formes intérieures (\(\xi = e\)) et pour les extérieures de Tits. commentaire à droite de la première accolade

\(H^1(S, B_1) \to H^1(S, G_1)\) injectif

\(\Updownarrow\)

Deux sous-groupes de Borel ⌜dans un \(G\)⌝ tjrs conjugués « dans un \(G\) » est entouré au-dessus de la ligne

\(\Updownarrow\)

Pour tt \(G\) et \(B\), le morphisme de \(H^1(S, B) \to H^1(S, G)\) est injectif

\(\Updownarrow\)

Pour tt \(G\), et \(B\), le morphisme de \(H^1(S, B) \to H^1(S, G)\) est bijectif « tt » est souligné deux fois dans la première de ces deux lignes

vrai pour les formes intérieures (\(\xi = e\)) et pour les extérieures de Tits. commentaire à droite de la deuxième accolade

Si […] extérieure, […] […] […] […] […] équivalent […] […] […] \(G \to G/B\) […] […] triviale longue note en biais dans la marge gauche, en face de la deuxième accolade ; lecture très incomplète

\(H^1(S, N_1) \to H^1(S, G_1)\) injectif

\(\Updownarrow\)

Deux sous-groupes de Cartan dans un \(G\) tjrs conjugués

\(\Updownarrow\)

Pour tt. \(G\) et \(T\), le morphisme de \(H^1(S, N(T)) \to H^1(S, G)\) trivial

\(\Updownarrow\) […] injectif la dernière ligne est inachevée : un trait, puis « injectif »

Semble faux même dans le corps non algébrique : deux distinct. possibles, même pour les formes les intérieures … commentaire à droite de la troisième accolade

Formes quadratiques, bilinéaires symétriques, etc

inscrit en haut à droite d'un feuillet par ailleurs blanc (page 60), de sa main, sur trois lignes ; le feuillet ne reçoit pas de numéro de page. La suite qu'il annonce commence avec le lot suivant