Fonds Grothendieck, cote n° 45, pages 41–60

X \quad Y \quad H \qquad \left\lbrace \begin{array}{l} [X, H] = \lambda(H) X \\ {[Y, H]} = -\lambda(H) Y \\ {[X, Y]} = H \end{array} \right. \qquad T \longrightarrow T' en haut à droite, sous une flèche verticale, « T \to T' » suivi d'un signe noirci suivi d'un indice 2, non lu ; le H de [X,Y] = H surcharge une autre lettre

~~[X, H]~~ \mathcal{U} \subset

Sl(2) souligné deux fois ; la lecture Sl(2) est douteuse

Groupe = .

X \quad H \quad Y [X et H réunis par une accolade] [X, Y] = 0

Algèbre de Lie de Sl(2, k) car. 2. ~~[X, H] = \lambda \ldots~~ \left\lbrace \begin{array}{l} [H, X] = 0 \\ {[H, Y]} = 0 \\ {[X, Y]} = H \end{array} \right. \qquad \mathcal{U} les seconds membres des deux premières lignes sont d'abord écrits puis noircis, et remplacés par 0 ; « car. 2 » est une lecture douteuse

Normalisateur de k.Y = \mathcal{U} … k.Y + k.H = \mathfrak{L}

Normalisateur de k.H = \mathfrak{h} … \mathfrak{g} tt le Y de k.Y surcharge un H noirci ; les deux « … » tiennent lieu d'une courte flèche

Algèbre de Lie de Spl(2, k) « Spl » surcharge un autre mot ; lecture douteuse \left\lbrace \begin{array}{l} [H', X] = X \\ {[H', Y]} = -Y \\ {[X, Y]} = 0 \end{array} \right. Normalisateur de k.Y … \mathfrak{g}

Normalisateur de la page s'arrête sur cette ligne inachevée

H^1

inscrit en haut à droite d'un feuillet par ailleurs blanc (page 43), de sa main ; le feuillet ne reçoit pas de numéro de page

Forme type

titre souligné ; le mot central, qui revient trois fois plus bas (« forme type »), n'est pas lu

G_0 un groupe réductif type (sur \mathbb{Z}), \Gamma_0 = \underline{\mathrm{Aut}}_{\mathbb{Z}}(G_0), , … E_0 le groupe , T_0 \subset B_0, S schéma de base. E_0 = \underline{\mathrm{Ext}}(G_0), \Pi_0 = \mathrm{ad}(G_0) \Gamma_0 \simeq E_0 \cdot \Pi_0 en haut à droite, dans un cadre ; la dernière formule est écrite en travers d'un passage noirci

G forme de G_0 sur S, correspondant à un principal homogène sous \Gamma_S, le principal homogène associé sous E, qui par de \rho l'élément correspondant de H^1(S, E_0) [par , \rho = \ill{}], au-dessus de « le principal », une surcharge noircie portant P_0 et P ; un « P_0 » et un « \Gamma_S » isolés au-dessus de la ligne

G_1 = G_0^{\rho} déduit de G_0 dépendant de \rho : une telle forme dite forme type associée à \rho.

[On dit que G est une forme type s'il isom. à G_1^{\rho}, \rho \simeq \rho_G]

Si on part de \rho, [sans G], la donnée d'une G forme \rho \xrightarrow[\sim]{\ \varphi\ } \rho_G « équivalente à la » donnée d'un fibré principal homogène sous \Pi_1 = \Pi_0^{\rho}, les deux « … » soulignés le sont d'un trait ondulé ; le \Pi_1 = \Pi_0^{\rho} surcharge une première écriture

Classification des objets G à isom. près [ (G, \varphi) et (G', \varphi') étant un isom. \psi : G \to G' tel que l'isom. \rho_G \xrightarrow{\sim} \rho_{G'} compatible \rho_G et \rho_{G'} \rho ; dits intérieurs] ~~vérifiant~~ donnés par H^1(S, \Pi_1). On H^1(S, \Pi_1) \longrightarrow H^1(S, \Gamma) = \text{\uncertain{ens.}\ des classes d'\uncertain{isom.}} vues des formes de G sur S ; son ensemble : isom. près de « formes intérieures relatives à \rho ». le \Pi_1 de ces deux H^1 surcharge un premier symbole noirci ; la fin de la phrase, écrite sous la formule, est d'une lecture très incertaine

Distinguer G_0 et \Pi_0, G et \Pi_1 … Réalisation la notion d'isom. intérieur deux notes écrites en biais dans la marge gauche ; lecture très incomplète

La fibration \rho groupes sur S e \longrightarrow \Pi_1^{\rho} \longrightarrow \Gamma_1^{\rho} \longrightarrow E_1^{\rho} \longrightarrow e \qquad \Gamma_1^{\rho} \simeq E_1^{\rho} \cdot \Pi_1^{\rho} qui fournit d'ailleurs H^0(S, E_1^{\rho}) \longrightarrow H^1(S, \Pi_1^{\rho}) \longrightarrow H^1(S, \Gamma_1^{\rho}) \longrightarrow H^1(S, E^{\rho}) H^1(S, \Gamma_1^{\rho}) \simeq H^1(S, \Gamma) les \Pi sont des signes noircis et repassés ; les exposants \rho sont lus sur un signe peu formé

~~On voit~~ A priori, l'application canonique n'est pas injective. Deux éléments de H^1(S, \Pi_1^{\rho}) qui donnent l'élément neutre de H^1(S, \Gamma_1^{\rho}) en correspondance biunivoque H^0(S, E^{\rho}) / H^0(S, \Gamma^{\rho}), et triviale puisque \Gamma_1^{\rho} produit semi-direct. « Deux » est écrit au-dessus d'un mot biffé en fin de ligne

Mais si \xi \in H^1(S, \Gamma_1^{\rho}), peut utiliser \xi pour tordre la situation, trouve e \longrightarrow (\Pi_1^{\rho})^{\xi} \longrightarrow (\Gamma_1^{\rho})^{\xi} \longrightarrow (E_1^{\rho})^{\xi} \longrightarrow e e \longrightarrow \mathrm{Ad}(G) \longrightarrow \mathrm{Aut}(G) \longrightarrow \mathrm{Ext}(G) \longrightarrow e les deux suites sont reliées par des signes \simeq verticaux ; le dernier exposant de la première est noirci

la question si tout automorphisme ext. de G provient d'un automorphisme . C'est vrai pour tout évidemment quand G est une forme type, [i.e. possède un sous-groupe de Borel \supset Tore maximal].

exemple corps \mathbb{R} ? Faux sur \mathbb{R} avec les formes réelles (cf. ci-dessous) : deux formes hermitiennes donnant \mathbb{R} mais non isom. écrit en biais en bas à gauche ; la première ligne est entourée

la page s'ouvre sur un tableau à trois colonnes, que l'on donne ligne par ligne

Schéma des tores maximaux de G … P/N_1 \simeq Q/N'_1 = \mathcal{C}(G)

— Borel — P/B_1 \simeq Q/B'_1 \simeq \mathcal{D}(G)

— couples de Killing — P/T_1 \simeq Q/T'_1 \simeq \mathcal{C}'(G)

— \lbracetores maximaux munis de G ; « » immersions intérieures T_1 \to G\rbrace \simeq P/T_1 le nombre 21 est écrit à gauche de cette dernière ligne ; les deux lignes entre accolades sont l'une sous l'autre, reliées par des guillemets de répétition. Une flèche courbe monte de \mathcal{C}'(G) vers \mathcal{C}(G), une flèche droite de \mathcal{C}'(G) vers \mathcal{D}(G)

fibré principal sous W_1 / fibré en fibrés principaux sous B_1/T_1 = \mathcal{C}(B_1) associé au fibré principal homogène de groupe B_1 à droite du tableau, en face des deux flèches

N.B. Soit T un tore maximal de G ; il y a correspondance biunivoque (fonctorielle en S'/S) entre les ensembles suivants

a)L'ens. des Borel contenant T b)L'ens. des isom. T_1 \to T qui sont intérieurs

\rbrace\ P/T_1 \simeq P'/T'_1 ~~P quelconque~~ De plus, considérons le sous-ensemble suivant de b) : ~~il existe application~~

b')L'ens. des isom. T_1 \to T qui sont « génériquement »

Il existe projection de b') sur b). \rbrace\ P'/T_1 W_1 et W \neq \rho] la dernière note est écrite en biais dans la marge gauche

De plus, les conditions suivantes sur T sont équivalentes

\alpha)T est contenu dans un Borel \beta)Il existe un isom. intérieur T_1 \to T \gamma)Il existe un isom. T_1 \to T

On dit alors que T est un « Tore de Killing ». Pour qu'il existe, il faut et il suffit que G soit isomorphe à une forme type. « Killing » surcharge un autre mot

L'image inverse de \xi \in H^1(S, G_1) dans H^1(S, B_1) est en correspondance biunivoque avec l'ens. des sous-groupes de Borel de G, modulo automorphismes intérieurs. [Je ne vois pas d'ailleurs] [i.e. on peut restreindre le groupe structural à B_1] ssi il existe un sous-groupe de Borel, dans cas, il revient au même de dire que ces deux sous-groupes de Borel de G sont toujours conjugués.

mais forme G_1 sur un type extérieur mais seulement quand il y a deux (?) fois un Borel écrit en biais dans la marge gauche

[Conjecture 3 Contre-exemple ? si S est local ?] dans un cadre, marqué d'un double trait à gauche et d'une croix à droite ; un mot entouré, au-dessus, est relié par un trait au « Contre-exemple »

L'image inverse de \xi dans H^1(S, N_1) est en correspondance biunivoque avec l'ens. des Tores maximaux de G, modulo automorphismes intérieurs. En particulier, i.e. on peut restreindre le groupe structural à N_1, ssi il existe un tore maximal ; \xi s'il en est ainsi, alors il identité tous les tores maximaux sont conjugués, [ qui exceptionnel « arithmétiques »]. un trait relie « intérieurs » à « restreindre », par-dessus un mot biffé. Le \xi en début de proposition est surchargé

vaut , W G_1 W maximal. Il semble que soit fois que S … ? deux notes en marge gauche, la seconde dans un cadre, reliée par une croix au début de la ligne « tore maximal »

Si S local, , N_1 produit semi-direct de W_1 et T_1, on a H^1(S, N_1) \twoheadrightarrow H^1(S, W_0). … un élément de H^1(S, W_0) … passage ajouté dans l'interligne, en plus petit, pris dans une accolade à gauche ; très raturé, lecture très incomplète. Au-dessus de W_1 est écrit « = W_0 », sous la flèche « sur ». Une bulle à gauche, reliée à l'accolade, porte « fibrés H^1 des T_1 tordus »

L'image inverse de \xi dans H^1(S, \bar N_1) est en correspondance biunivoque avec l'ens. des couples (T \subset B) de Killing de G, modulo autom. extérieurs. Donc il est non vide ssi il existe un tel couple, i.e. ssi il existe un Tore ~~privilégié~~ de Chevalley, ou encore un Borel de Chevalley ; [chose exceptionnelle et arithmétique] ; et , s'il en est ainsi, alors l'on a identité à un élément ssi tous les couples de Killing de G sont conjugués [et il est possible que cette condition soit vérifiée si S est local], i.e. le cas où T_1 déployé, i.e. \rho = e], de …] « Chevalley » est lu deux fois ; le signe de \rho = e est un e entouré

Question équivalente 2 vérifiée ; sur Borel Dans tout maximal de Borel B tous conjugués dans B en bas à gauche, en biais, dans un cadre ouvert, reliée par une flèche à la ligne « doit vérifier » ; lecture très incomplète

Th. Conditions équivalentes sur \xi \in H^1(S, H_1), définissant G = G_1^{\xi}.

(i)\xi \in \mathrm{Im}\, H^1(S, T_1) dans H^1(S, H_1) (i')\bar\xi \in \mathrm{Im}\, H^1(S, T'_1) dans H^1(S, \Gamma_1) / ou \bar\xi_0 \in \mathrm{Im}\, H^1(S, T'_0) dans H^1(S, \Gamma'_0) (i'')\bar\xi \in \mathrm{Im}\, H^1(S, T_1) dans H^1(S, \Gamma_1) / ou \xi_0 (ii)Il existe un couple de Killing dans G, i.e. un Borel \supset Tore max. (iii)Il existe un Tore maximal de G, ~~isom. à T_1~~ provenant d'une immersion extensible T_1 \to G (iii')Il existe une immersion intérieure de T_1 dans G.

les numéros (i), (ii), (iii) et (iii') sont entourés ; (iii) est en outre marqué d'un crochet et de traits, et une ligne biffée au-dessus de lui commençait « Tore » ; « immersion » et « extensible » sont soulignés, ce dernier deux fois ; « immersion intérieure » est souligné d'un trait ondulé

De plus, si T est un Tore maximal, conditions équivalentes. a) \exists Borel \supset T b) \exists isom. T_1 \to T extensible a) \Rightarrow c) \exists isom. T_1 \to T intérieur écrit à droite, en face de (ii) et (iii) ; « extensible » est au dessus de « intérieur », comme une variante

Démonstration. (iii') \Longleftrightarrow (i) \Longrightarrow (i') \Longleftrightarrow (ii) \qquad (iii) \Longleftrightarrow (i'') schéma d'implications sur deux rangées, que l'on résume : en haut « (iii') \Leftrightarrow (i) \Rightarrow (i') \Leftrightarrow (ii) », suivi d'un « \Leftrightarrow (iii') » biffé ; en bas « (iii) \Leftrightarrow (i'') ». Entre les deux rangées, des flèches obliques dont plusieurs sont barrées en zigzag, deux portant « triviale » et une « inutile » ; une grande courbe « triviale » joint (iii') à (iii). Des traits obliques renvoient aux lignes de droite : « que ce ne sont pas des conditions », « des du nuage ? » et, biffé, « réalisations de T_1 en \Gamma_1 et T_1 »

N.B. Supposons que T_1 soit \simeq \mathbb{G}_m^r (cas déployé). Alors tout tore T \subset G qui est contenu dans un Borel, i.e. il existe une isom. intérieure de T_1 avec T. Le bien plus, ~~c'est local~~ le schéma des isom. intérieurs de T_1 dans T pour un tel schéma de \underline{\mathrm{Isom}}_S(T_1, T) \simeq (\mathbb{Z}^{r^2})_S, qui est fini étale sur S de groupe W, donc l'est aussi diagonalisable …. Cor. Donc, si on a \mathrm{Pic}(S) = e, il existe un de G_0 sur G, transformant T_0 en T. « tout » est souligné ; « cas déployé » est souligné d'un trait ondulé ; « \mathrm{Pic}(S) = e » est précédé d'un signe « \Xi » ou d'un « Et » surchargé. La dernière ligne, écrite serrée au bas du feuillet, est d'une lecture incertaine

Question 1. Supposons que ~~G soit un~~ T \simeq T_1, dans G tore maximal contenu dans un Borel, i.e. qu'il existe un isom. intérieur T_1 \to T ?? J'en doute.

Question 2. Supposons que ~~isom. à G~~ tout tore maximal T soit contenu dans un Borel. S'ensuit-il que G \simeq G_1 ? (p. ex. S local) C'est le cas si \mathrm{Pic}(S) = 0 et si \rho = e est trivial. Est-ce vrai pour un corps k (\rho non trivial) ?? ~~Pour exemple k = \mathbb{R}, groupes unitaires~~ (C'est évident si k est un corps de Tate [H^1(k, T) = 0 pour tout tore sur k]. On a si k = \mathbb{R}, G_1 groupe unitaire correspondant à une forme non anisotrope : deux variables ??? « de Tate » est souligné ; « unitaire », entouré, est relié par un trait à « correspondant »

\rho , on notera que les normalisateurs de \Gamma_0 et (B_0, T_0) dans \Gamma_0 T_0 … mais … Dans ce cas « \xi » deux notes en biais dans la marge gauche, la première en partie encadrée et barrée d'un long trait oblique, reliée par un trait à la ligne « Question 2 » ; lecture très incomplète

Question 3. Supposons que il existe un sous-groupe de Borel B de G [i.e. que l'on peut restreindre le groupe structural de G_1 à B_1]. Alors peut-on restreindre le groupe structural à celui de G_1 à T_1, et a-t-on l'on peut trouver un sous-groupe la page s'arrête sur cette ligne ; au-dessus de « Question 3 », un signe noirci

H^1(S, T_1) H^1(S, T) \to H^1(S, B) deux formules isolées dans la marge gauche, en face de la première ligne et du milieu de la page

classification des formes intérieures munies d'un couple de Killing.

[N.B. Si G est une forme intérieure, deux couples (T, B), (T', B') de Killing dans G définissant le même élément de H^1(S, T_1) sont conjugués par un automorphisme intérieur. Cela signifie donc que deux éléments distincts dans H^1(S, \bar B) mod B T = T', c'est-à-dire le donné de \sigma \in W(T) qui transforme B en B', si B' est l'opposé de B rel. à T, dans la question est si un élément nul dans H^1(S, T).] « (T, B), (T', B') » est ajouté au-dessus de la ligne ; « mod B » de même ; un mot biffé et une insertion en chevron sur la ligne de « question »

La question des deux couples de Killing dans un même G sont toujours conjugués, équivaut donc à celle de savoir si H^1(S, T_1) \to H^1(S, G_1) est toujours injective. Par un contre-exemple, il semble donc que H^1(S, T_1) \to H^1(S, N_1) n'est pas toujours injective. On devrait étudier si H^1(S, T_1) \to{} = image dans H^1(S, N_1) des éléments conjugués par H^0(S, W_1) opérant de façon évidente. Je prendrai le cas où G_0 = GL(2), donc E = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}, W_0 = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} est , ~~donc W_0 \ldots W_0~~ E y opère trivialement (il que !) et W_0 = W_1, qui opère par symétrie sur T_1. « GL(2) » surcharge une autre écriture ; la page s'arrête ici

la page est une colonne d'énoncés reliés par des doubles flèches verticales, groupés par trois accolades à droite, chacune suivie d'un commentaire ; on la donne de haut en bas

H^1(S, G_1) \to H^1(S, \Gamma_1) injectif ?

~~H^1~~ \Updownarrow

\underline{\mathrm{Aut}}(G) \to \underline{\mathrm{Ext}}(G) admet toujours une section

\Updownarrow

\mathrm{Aut}(G) \to \mathrm{Ext}(G) toujours surjectif

forme extérieure G_1 donnée à gauche de la première accolade

Non : faux en général sur un corps, vrai pour les formes intérieures (\xi = e) et pour les extérieures de Tits ? commentaire à droite de la première accolade, précédé d'un grand signe tracé à la plume ; la première ligne est d'une lecture très incertaine

H^1(S, B_1) \to H^1(S, G_1) injectif

\Updownarrow

Deux sous-groupes de Borel dans un G sont toujours conjugués « dans un G » est entouré au-dessus de la ligne

\Updownarrow

Pour tt G et B, ~~le groupe~~ H^1(S, B) \to H^1(S, G) ~~est injectif~~

\Updownarrow

Pour tt G, et B, H^1(S, B) \to H^1(S, G) est bijectif « tt » est souligné deux fois dans la première de ces deux lignes

vrai pour les formes intérieures (\xi = e) et pour les de Tits. commentaire à droite de la deuxième accolade

Si \ldots de \ldots extérieur si équivalent G \to G/B triviale longue note en biais dans la marge gauche, en face de la deuxième accolade ; lecture très incomplète

H^1(S, N_1) \to H^1(S, G_1) injectif

\Updownarrow

Deux sous-groupes de Cartan dans un G toujours conjugués

\Updownarrow

Pour tt G et T, le morphisme de H^1(S, N(T)) \to H^1(S, G) injectif

\Updownarrow injectif la dernière ligne est inachevée : un trait, puis « injectif »

Semble faux même dans le corps non algébrique : deux distinct. possible, même pour les formes intérieures … commentaire à droite de la troisième accolade

Formes quadratiques, bilinéaires symétriques, etc

inscrit en haut à droite d'un feuillet par ailleurs blanc (page 60), de sa main, sur trois lignes ; le feuillet ne reçoit pas de numéro de page. La suite qu'il annonce commence avec le lot suivant