Cote n° 45 · batch 1 · pages 1–20 · Transcription · Groupes semi-simples : notes manuscrites (s.d.), tapuscrit annoté (1961)
Datation de l’inventaire : 1961-[vers 1970]
Édition de démonstration

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Groupes semi-simples

« Groupes semi-simples », inscrit à l'encre brune en haut à droite de la chemise (page 1), qui ne porte rien d'autre. Le feuillet ne reçoit pas de numéro de page

Application des s.-alg. de Cartan aux corps de dim. 1

inscrit en haut à droite d'un feuillet par ailleurs blanc (page 2), de sa main ; ce feuillet de garde ne reçoit pas de numéro de page

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Lemme 1. Soit \(k\) un corps, et supposons que les conditions suivantes soient vérifiées (\(K\) commutatif) :

[…] On a \(H^2(k,K)=0\) dans les cas suivants

le signe qui ouvre la ligne « On a … » est un numéro surchargé, peut-être un chiffre entouré ; il n'est pas lu. Les \(K\) des quatre cas sont repassés

Alors pour tt […] ⌜suite exacte⌝ de ⌜schémas en⌝ (groupes alg. \[e \to K \to G \to G' \to e\] non néc. commutatifs) tels que \(K\) ⌜\(G\), \(G'\)⌝ simples\(/k\), […], \(H^1(k,G) \to H^1(k,G')\) surjectif. « \(G\), \(G'\) » est ajouté au-dessus de la ligne, avec une accolade ; « suite exacte » et « schémas en » sont écrits au-dessus de la ligne

Inutile de supposer \(G\), \(G'\) […] […] […] […] […] \(K\) lisse […] algébrique note écrite en biais dans la marge gauche, en bas du premier tiers ; lecture incomplète

Principe de démonstration. On prend un tore maximal \(T\) de \(K\) défini sur \(k\), et utilisant le th. de conjugaison, on voit que \(N_G(T) \to G'\) est surjectif ⌜épim.⌝, donc on a \[e \to N_K(T) \to N_G(T) \to G' \to e\] […] on peut supposer \(T\) invariant dans \(G\), […] fonction dans \(K\). Car nous voici ramenés aux deux cas 1) \(K\) est un tore 1') \(K\) est […] ⌜de dim.⌝ nilpotent. Par dévissage, on se ramène au cas évident : 2) \(K\) est fini étale\(/k\) 1'') \(K\) […] connexe, et ext. d'une VA par un unipotent. Par dévissage avec les commutateurs successifs, on est ramené

Faut-il supposer \(K\) linéaire ??? Le but commun : on dévisse […] […] groupe fini, et groupes groupes commutatifs connexes. (On […] commutateurs) et groupes algébriques […] […] longue note en biais dans la marge gauche de la moitié inférieure, en plusieurs lignes ; la fin ne se lit pas

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dans 1'') au-dessus de la première ligne, avec un trait qui renvoie au cas 1'') de la page 3 au cas d'un groupe commutatif, et par dévissage encore au cas où ce groupe […], soit \(pK = K\), soit \(pK = 0\), i.e. les cas 3) \(K\) une VA. 4) \(K\) unipotent comm. connexe annulé par \(p\).

Reste le cas 2), i.e. \(K\) fini étale sur \(k\), pas néc. commutatif, on note que l'on a une suite exacte (où \(\bar k\) est la clôture algébrique séparable de \(k\)) \[e \to K(\bar k) \to G(\bar k) \to G'(\bar k) \to e\] et on conclut de l'argument de Schreier–Serre, que \(H^1(\pi, G(\bar k)) \to H^1(\pi, G'(\bar k))\) surjectif si \(H^2(\pi,A)=0\) pour tt tt \(\pi\)-module fini \(A\). Or cette hypothèse signifie \(H^2(k,K)\) ⌜\(=0\)⌝ pour tt \(K\) fini étale sur \(k\), et pour un groupe \(G\) simple sur \(k\), on a \[H^i(k,G) \simeq H^i(\pi, G(\bar k))\] pour tt \(i\), en particulier \(i = 1\), […] encadré à droite de la formule, qui est soulignée d'un trait ondulé Cela prouve le lemme.

Corollaire. Supposons que \(H^2(k,K)=0\) pour tt \(K\) fini sur \(k\) (pas néc. étale\(/k\)). Alors les conditions hyp. du lemme 1 sont vérifiées, donc aussi la conclusion.

Notons d'abord que si \(G\) simple sur \(k\), alors les \(H^i(k,G)\) sont de torsion pour \(i>0\) [car \(= H^i(\pi, G(\bar k))\)] donc […] tt \(\xi \in\)

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\(H^i(k,G)\) provient d'un \(H^i(k, {}_nG)\). Or si \(G\) est une VA ou un tore, \({}_nG\) est fini sur \(k\). Cela montre que les conditions du lemme 1 sont vérifiées pour a) b) c). Reste à vérifier d). Pour ceci, on ne suppose utilise […] le fait que \(H^2(k,U)\) devient nul sur une extension de \(k\) de la forme \(k^{p^{-n}}\), [car \(U\) splitte sur une telle extension en groupes additifs] et on va prouver le

Lemme 2. Pour tt schéma en groupes \(G\) sur \(k\), le noyau de \(H^i(k,G) \to H^i(k^{p^{-n}},G)\) est égal à celui de \(H^i(k,G) \xrightarrow{F^n} H^i(k, G^{(p^n)})\) défini par \(F^n\) (\(F =\) Frob). Plus précisément, on a commutativité dans le diagramme

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\begin{tikzcd}
H^i(k,G) \arrow[r] \arrow[dr, "F^n"'] & H^i(k^{p^{-n}}, G) \arrow[d, "\wr"] \\
 & H^i(k, G^{(p^n)})
\end{tikzcd}

à la suite de \(H^i(k^{p^{-n}},G)\), sur la même ligne, un « \(\simeq H^i(k, G^{(p^n)})\) » biffé, remplacé par la flèche verticale

[Pour le voir, on est ramené au cas des \(H^0\), où c'est trivial. N.B. On n'a pas besoin que \(G\) soit représentable …].

Pourrait-on […] directement, […] […] […] […] […] au cas des groupes […] […] ??? F.N.B. note en biais dans la marge gauche, en face de l'énoncé du lemme 2, séparée du texte par un trait vertical ; lecture très incomplète. En dessous, dans la même marge, le diagramme suivant

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\begin{tikzcd}
G \arrow[d, "p"'] & G^{(p^n)} \arrow[l, "\mathrm{pr}_1"'] \arrow[d] & G \arrow[l, "F^n"'] \arrow[dl, "p"] \\
S & S \arrow[l, "\varphi_S"] &
\end{tikzcd}

dessiné dans la marge : un arc \(\varphi_G\) va de la dernière colonne à la première au-dessus du rang supérieur ; « cart. » est écrit dans le carré de gauche ; sous les deux \(S\) : « \(= \mathrm{Spec}(k)\) » et « \(\lambda \mapsto \lambda^{p^n}\) »

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Corollaire. Ledit noyau est aussi égal à l'image de \(H^i(k, \mathrm{Ker}(F_G^n))\), \(F_G^n : G \to G^{(p^n)}\) le Frobenius itéré.

Or si \(G\) est simple\(/k\), alors \(F_G^n\) est radiciel, donc son noyau est radiciel\(/k\), a fortiori fini. Cela achève de prouver le Corollaire du lemme 1.

Lemme 3. Pour que \(H^1(k,G) \to H^1(k,G')\) soit un épim. pour tt épim. \(G \to G'\) de schémas en groupes algébriques, il suffit qu'il en soit ainsi dans les deux cas suivants :

Dém. Dans le cas général, il existe un plus grand sous-groupe radiciel ⌜\(I\)⌝ de \(G\) [noyau d'un Frobenius itéré convenable] tel que \(G/I\) […] et \(K/I \cap K\) sont simples\(/k\). Considérons

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\begin{tikzcd}
e \arrow[r] & K \arrow[r] \arrow[d] & G \arrow[r, "d"] \arrow[d, "u"] & G/K \arrow[r] \arrow[d, "v"] & e \\
e \arrow[r] & K/K \cap I \arrow[r] & G/I \arrow[r, "d'"] & G/KI \arrow[r] & e
\end{tikzcd}

Notons d'[…]

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\begin{tikzcd}
H^1(k,I) \arrow[r] \arrow[d] & H^1(k, I/I \cap K) \arrow[d] \\
H^1(k,G) \arrow[r, "d_1"] \arrow[d, "u_1"'] & H^1(k, G/K) \arrow[d, "v_1"] \\
H^1(k, G/I) \arrow[r, "d_1'"] & H^1(k, G/KI)
\end{tikzcd}

Par l'hypothèse ⌜a)⌝, \(u_1\) et \(d_1'\) sont surjectifs, et \(d_1' u_1 = v_1 d_1\). […], donc si \(\xi' \in H^1(k, G/K)\), il existe \(\xi \in H^1(k,G)\) tel que \(\xi'\) et \(d_1(\xi)\) aient même image dans \(H^1(k, G/KI)\). […] : tordant par \(\xi'\), on peut supposer que \(\xi' = 0\), donc que \(v_1(\xi) = 0\), donc que \(\xi\) est […] l'image ⌜d'un⌝ \(\eta \in H^1(k, KI/K) = H^1(k, I/I \cap K)\). Or par hypothèse b), […] \(\eta\) est dans l'image de \(H^1(k,I)\), et on gagne. « \(v_1(\xi) = 0\) » est sur la page ; on attendrait \(v_1(d_1(\xi)) = 0\)

Lemme 4. Supposons que […] […]

c) \(H^2(k,K) = 0\) si \(K\) groupe ⌜(commutatif)⌝ fini radiciel sur \(k\). « (commutatif) » est ajouté au-dessus de la ligne, dans une accolade

Alors pour toute […] suite exacte de groupes algébriques \[e \to K \to G \to G' \to e\] avec \(K\) radiciel [pas néc. commutatif !], on a

\(H^1(k,G) \to H^1(k,G')\) surjectif.

Par dévissage, on peut supposer \(K\) « de hauteur 1 ». Soit \(\mathfrak{k}\) son algèbre de

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Lie, donc \(G\) opère sur \(\mathfrak{k}\). Soit \(\mathfrak{h}\) une sous-algèbre de Cartan [existe tjrs], et considérons \(N_G(\mathfrak{h})\), alors l'argument déjà utilisé montre que \(N_G(\mathfrak{h}) . K = G\), donc […] […] . une suite exacte \[e \to N_K(\mathfrak{h}) \to N_G(\mathfrak{h}) \to G' \to e\] et on peut donc supposer que \(G\) normalise \(\mathfrak{h}\). Mais alors \(K\) normalise \(\mathfrak{h}\), donc \(\mathfrak{k}\) normalise \(\mathfrak{h}\), donc \(\mathfrak{h} = \mathfrak{k}\), donc \(\mathfrak{k}\) est nilpotente. Donc \(\mathfrak{k}\) se divise […] par commutateurs, donc [par la théorie […] Cartier] \(K\) aussi se divise en groupes commutatifs [NB. \([\mathfrak{h},\mathfrak{h}]\) est une sous-\(p\)-algèbre de Lie […] correspondant au groupe des commutateurs]. On […] […] supposer \(K\) commutatif, OK. \(\mathfrak{h}\) et \(\mathfrak{k}\) sont écrits en gothique ; le \(K\) de \(N_K(\mathfrak{h})\) est repassé en noir sur un premier indice

grâce au thm de conjugaison des sous-algèbres de Cartan

note de la marge gauche, en face de la suite exacte, en cinq lignes soulignées ; elle se rattache par un trait à la phrase biffée

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Lemme 5. Supposons que pour tte groupe extension ⌜radicielle⌝ finie \(k'\) de \(k\), on ait \(\mathrm{Br}(k') = 0\). Alors on a \(H^i(k,K) = 0\) pour \(i \geq 2\), \(K\) groupe commutatif fini sur \(k\). le \(K\) de « \(H^i(k,K)\) » et le mot « Br » sont repassés ; « Br » surcharge une autre lettre. L'extension et son corps de base sont écrits avec des majuscules, \(K'\) de \(K\)

N.B. En fait, inutile que \(K\) soit fini, comme on voit sans difficulté par dévissage, cf. […] […] […] […] par les groupes […] […] une ligne interlinéaire, biffée, avec une insertion elle aussi biffée ; elle n'est pas lue

\(K\) se divise en groupes qui sont, soit de t.m. sur \(k\), soit […] […] […] […] […] isomorphes : \(\alpha_p\). On sait que dans le premier cas, on a une suite exacte \[e \to K \to G \to G' \to e\] avec \(G\), \(G'\) des tores, et on […] Tate–Nakayama \[H^i(k,G) = H^i(k,G') = 0 \quad \text{pour } i > 0\] [NB. […] […] que la cohomologie plate = cohomologie galoisienne …]. On en conclut que dans ce cas \(H^i(k,K) = 0\) pour \(i \geq 2\).

Dans le cas de \(\alpha_p\) : il est bien connu […] […] que \(H^i(k, \alpha_p) = 0\) tt \(i\).

Ceci […] […] […] ainsi que \(H^i(k,\mathcal{U}) = 0\) pour \(i \geq 2\) si \(\mathcal{U}\) unipotent, \(k\) corps quelconque. Donc pour \(i \geq 2\), le […] […] qui compte, […] […] […] longue note en biais dans la marge gauche, reliée par une flèche au bas de l'énoncé du lemme 5 ; le \(\mathcal{U}\) est ronde

Théorème. Soit \(k\) un corps tel que \(\mathrm{cd}(k) \leq 1\). Alors pour tt suite exacte \(e \to K \to G \to G'\) ⌜épim. \(G \to G'\) de⌝ groupes alg. sur \(k\), \(H^1(k,G) \to H^1(k,G')\) est un épimorphisme. « épim. \(G \to G'\) de » est écrit au-dessus d'une ligne biffée qui portait une suite exacte

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Soit \(k\) un corps de Tsen. au-dessus de l'énoncé, relié à lui par une accolade

Théorème. (Soit \(K\) un groupe algébrique sur \(k\), et \(K'\) un noyau sur \(k\), localement isomorphe à \(K\). Alors \[H^2(k,K') = H^2(k,K')' = \{\ill{}\} \ \text{universellement}.\] l'élément de l'ensemble entre accolades est surchargé

En effet, \(K'\) provient d'un élément de \(H^1(k, \mathrm{Aut\,Ext}(K))\), qui par le raisonnement précédent (légitimement […], comme \(\mathrm{Aut}(K)\) n'est pas un schéma algébrique…) \(\mathrm{Aut\,Ext}\) et les deux « Aut(K) » sont soulignés provient d'un élément de \(H^1(k, \mathrm{Aut}(K))\), donc qui prouve que le noyau \(K'\) est représentable par un groupe \(K\), [loc. isom. à \(K\)], d'où déjà ⌜i.e.⌝ \(H^2(k,K')' \neq \emptyset\). Comme \(H^2(k,\) dans \(H^2(k,K') \neq \emptyset\) est un espace principal homogène sous \(H^2(k,\mathfrak{Z})\), \(\mathfrak{Z}\) le centre de \(K'\), […] […] de \(K\), on […] sait que \(H^2(k,\mathfrak{Z}) = 0\). Donc \(H^2(k,K')\) réduit à un pt, donc \(H^2(k,K')'\) aussi [[…] […] […] […] […] […]]. le \(\mathfrak{Z}\) du centre est une lettre gothique en forme de 3, transcrite une fois pour toutes ainsi

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Noyau \(K\) sur le site \(X\). Question : \(K\) provient-il d'un faisceau en groupes, i.e. \(c(K) \in H^2(X; \Pi(K))\) est-il un \(\Pi(K)\) \(H^2(X,\Pi(K))'\) ???

Supposons que l'on puisse définir une sous-

À un noyau \(K\), est associé le faisceau \(\mathcal{V}(K)\) des classes de sous-groupes de \(K\). Supposons que l'on ait une application \(\mathcal{V}(K) \to \mathcal{V}(K)\), telle que nous disposions d'une section de \(\mathcal{V}(K)\). Alors on peut réduire le groupe structural dans \(\mathcal{V}(K)\), un passage de trois lignes est biffé, avec des boucles de renvoi ; au-dessus, une insertion elle aussi biffée porte « \(\varphi \mapsto \mathcal{V}(\varphi)\) (normalisateur) » Chaque fois qu'on a un homom. de noyaux \(K_0 \to K\) qui est « injectif », il définit une section de \(\mathcal{V}(K)\) [noyau image …]

D'ailleurs Mais une section de \(\mathcal{V}(K)\) ne provient en général pas d'un sous-noyau de \(K\), mais seulement celles qui sont stables par l'opération \(\mathrm{Nor}\) [« Normalisateur »]. Plus généralement, si \(\varphi\) est une section de \(\mathcal{V}(K)\), alors \(\mathrm{Nor}(\varphi)\) provient d'un sous-noyau de \(K\), soit \(\underline{\mathrm{Nor}}(\varphi)\), exemple \(\mathfrak{Z}(K) = \underline{\mathrm{Nor}}(e)\).

Supposons que Si on veut, on trouve une classe canonique dans \(H^2(X, \underline{\mathrm{Nor}}(\varphi))\) dont l'image dans \(H^2(X, \Pi(K))\) existe et est \(c(K)\) : […] […] c'est la classe de la catégorie locale

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2-catégorie des faisceaux en groupes, munis d'un isom. de noyaux avec \(K\), \(\pm\) d'un sous-faisceau en groupes dans la classe indiquée par \(\varphi\).

Si \(c(K,\varphi) \in H^2(X, \underline{\mathrm{Nor}}(\varphi))'\), alors \(c(K) \in H^2(X, \Pi(K))'\) !

[Principe de réduction du […]]

Autre principe de réduction. Supposons que nous ayons un homom. de noyaux ⌜« injectif »⌝ \(K \to K'\), et que nous ayons choisi un isom. \(K' \simeq \widetilde{F'}\), où \(F'\) est un faisceau en groupes.

Alors il existe une Considérons la catégorie locale des faisceaux en groupes \(F\), munis d'un morphisme \(F \to F'\), et d'un isom. \(\widetilde{F} \simeq K\), compatibles avec \(K \to K'\) et \(K' \simeq \widetilde{F'}\). C'est une catégorie […], et correspond à un noyau \(K''\) tel que lié […] une suite exacte \[e \to K'' \to \Pi(K) \to \Pi(K') \to e .\] Alors Considérons la classe \(c' \in H^2(X, K'')\). Son image dans \(\Pi(K)\) \(H^2(X, \Pi(K))\) est définie et est \(c(K)\), donc si \(c' \in H^2(X,K'')'\), alors \(c \in H^2(X, \Pi(K))'\). \(\Pi(K)\) est écrit avec une majuscule à empattements, repassée, qu'on garde telle quelle ; la lecture reste douteuse (peut-être \(I(K)\)). De même le \(\mathcal{V}\) du faisceau des classes de sous-groupes

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\(K\) noyau algébrique sur \(k\) corps de Tsen. On veut prouver \(H^2(k,K) \simeq H^2(k,K)' \simeq\) un élément [résultera formellement de \(\underline{\underline{H^2(k,K)' \neq \emptyset}}\), compte tenu que \(H^2(k, \mathfrak{Z}(K)) = 0\) !] Raisonnement sur dimension de \(K\), […] […] […] et

a) \(\dim K = 0\). On raisonne par récurrence sur le degré de \(K\). Trivial s'il est égal à \(1\). S'il est \(>1\), par dévissage ⌜(2e principe de réduction)⌝, on est ramené aux cas suivants

\(K\) […] […] (trivial) \([K,K] = K\) en particulier \(K\) sans centre. accolade à droite du cas (i), en marge \(K\) radiciel de hauteur \(1\) et \([K,K] = 1\) en particulier \(K\) sans centre.

Le cas (i) correspond à un homom. de \(\pi\) [groupe de Galois top. de \(\bar k/k\)] dans \(\mathrm{Autext}(A)\), \(A\) groupe fini convenable. On sait qu'il se remonte à un homom. \(\pi \to \mathrm{Aut}(A)\), [Schreier, Serre] donc on gagne …

Dans le cas (ii), on considère les sections \(\varphi\) de \(\mathcal{V}(K)\) correspondant aux « s.-groupes de Cartan ⌜infinitésimaux⌝ »

[…] […] qui satisfont \(\mathrm{Nor}(\varphi) = \varphi\). […] Par le principe de réduction \(1\), on est

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ramené au cas où \(K\) correspond à des \(p\)-algèbres de Lie nilpotentes, puis, par le principe 2, au cas où \(K\) est commutatif, on gagne.

b) \(\dim K > 0\). Par le principe 2 […] on est ramené (grâce aux commutateurs) au cas où \(K\) est soit commutatif [qui est OK], soit \(K = [K,K]\), qui implique \(K\) affine. […] Par le même principe [divisant par un noyau de Frobenius, et utilisant le cas a)] on est ramené au cas où \(K\) est simple\(/k\).

Enfin, si […] […], on peut […] le […] Prenant alors, la section \(\varphi\) de \(\mathcal{V}(K)\) correspondant aux tores maximaux, on […] est ramené ⌜par le principe 1⌝ au cas où le tore maximal est […] invariant, donc par le principe 2 aux deux ⌜trois⌝ cas suivants : a) \(K\) fini, déjà traité b) \(K\) […] unipotent connexe […] […] […] […] […] par le […] […] […] radiciel, […] tore […], […] […] […] Alors on est ramené par dévissage par commutateurs, au cas commutatif, qui est OK. deux lignes biffées, reliées par des traits de renvoi, précèdent « Alors on est ramené » ; un cadre vide dans la marge gauche les accompagne. Le troisième cas annoncé n'est pas lu, sinon dans ces lignes biffées

Cas non semi-simple

inscrit en haut à droite d'un feuillet par ailleurs blanc (page 15), de sa main, sous une ligne biffée (« Égalité […] […] ») ; le feuillet ne reçoit pas de numéro de page. « semi- » est écrit avec le signe ½, son abréviation habituelle. Le texte continue : Question de rationalité du radical, définition de la « variété des drapeaux » etc.

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Soient \(a \in k\), et \(G\) le groupe \[G = \left\lbrace \begin{pmatrix} x & ay & & \\ y & x & & \\ & & u & v \\ & & w & z \end{pmatrix} \;\middle|\; \begin{vmatrix} x & ay \\ y & x \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} u & v \\ w & z \end{vmatrix} \neq 0 \right\rbrace .\] \[\begin{pmatrix} x & ay & & \\ y & x & & \\ & & u & v \\ & & w & z \end{pmatrix} \rightsquigarrow \begin{pmatrix} u & v \\ w & z \end{pmatrix} \big/ (\text{centre})\] est un homom. sur \(GP(2)\) dont le noyau est \[Z = \left\lbrace \begin{pmatrix} x & ay & & \\ y & x & & \\ & & u & 0 \\ & & 0 & u \end{pmatrix} \;\middle|\; x^2 - ay^2 = u^2 \neq 0 \right\rbrace = \text{centre de } G = \text{radical de } G .\] \(G\) est déf. sur \(k\), mais si caract. \(= 2\), \(a \notin k^2\), \(Z\) ne l'est pas.

\(\exists\) exemples analogues pour chaque caract. \(p \neq 0\). fiche blanche de petit format, écrite d'une main posée, plus ronde que celle des pages voisines ; les blancs des matrices sont des zéros sur la page. « \(GP(2)\) » est lu tel quel

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Borel est son propre normalisateur encadré en haut de la page

(i) \(B\) normalisateur de \(\mathfrak{L}\) \(\iff\) (ii) \(\mathfrak{L}\) normalisateur de \(\mathfrak{L}\) \(\iff\) (iii) \(\mathrm{Drap}(G) \to \mathrm{Grass}(\mathfrak{g})\) monom. la troisième équivalence est une flèche double tracée en biais de (i)–(ii) vers (iii). Sous \(\mathrm{Drap}(G)\), « \(= G/B\) » ; sous \(\mathrm{Grass}(\mathfrak{g})\), « \(\supset G/\mathrm{Nor}_G(\mathfrak{L})\) », relié par un trait à \(\mathrm{Drap}(G)\). \(\mathfrak{L}\) est l'algèbre de Lie de \(B\), écrite en ronde

(i) \(\Rightarrow\) (ii) trivial, car ⌜pour grp. […] \(B\)⌝ \(\mathrm{Lie}\, N_G(B) = \mathrm{Nor}_{\mathfrak{g}} \mathfrak{L}\).

(ii) \(\Rightarrow\) (i), on sait \(B'\) le normalisateur \(B' \supset B\), s'il a \(=\) algèbre de Lie alors \(B = B'^0\), donc \(B'\) normalise \(B\) connexe, donc \(B \subset B'\) connexe, donc \(B = B'\).

(iii) \(\iff\) (ii), ⌜trivial⌝ en prenant les définitions en les la suite est prise dans un cadre et barrée de deux longues diagonales ; elle se lit en partie tores maximaux localisés en \(B\) resp. \(\mathfrak{L}\), \[\mathfrak{g}/\mathfrak{L} \longrightarrow \mathrm{Grass}(\mathfrak{g}) \ (\ill{}) , \qquad \check{\mathrm{H}}\mathrm{om}(\mathfrak{L}, \mathfrak{g}/\mathfrak{L})\] […] \(X\) […] \(D_X(\mathfrak{L})\), […] […] dont le noyau est \(\mathrm{Nor}_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{L})/\mathfrak{L}\). Donc (iii) signifie que \(\mathrm{Drap}(G) \to \mathrm{Grass}(\mathfrak{g})\) […] non ramifié, donc il en résulte que […] […], on […] normalisateur […] une flèche courbe va de \(\mathfrak{g}/\mathfrak{L}\) au \(\check{\mathrm{H}}\mathrm{om}\)

Ces conditions ne sont pas toujours vérifiées, par ex. \(SL(2)\) en car. \(2\) les met en défaut.

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[…] sous-schéma fermé en haut à droite, relié par un trait à « \(K \subset G\) »

Corollaire. Dans le cas où \(K \subset G\), \(G\) de t. multiplicatif de t.f. sur \(S\), [\(\exists\) \(n\) tel que \(K \subset {}_nG\), où \({}_nG\) est fini sur \(S\)] \(K\) est fini sur \(S\).

Donc si […] […] […] […] réduit au corps résiduel kif kif avec version par Nakayama !

la page est barrée de deux longues diagonales

Reste : prouver le lemme sur tout ss-groupe d'un diagonalisable sur un corps. On utilise le

Lemme de Chevalley. Soit \(G\) groupe ⌜de t.f.⌝ affine sur \(k\), \(H\) ss-groupe de \(G\). Alors \(\exists\) repr. linéaire de \(G\) dans un \(V\), et un \(x \in V^{*}\), tel que \(H\) soit le stabilisateur de \(\bar x\) dans le proj. correspondant …

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1) \(B\) normalisateur de \(\mathfrak{L}\) \(\iff\) \(\mathfrak{L}\) normalisateur de \(\mathfrak{L}\) \(\iff\) (\(\mathrm{Drap}(G) \to \mathrm{Grass}(\mathfrak{g})\)) monomorphisme [faux par ex. pour \(G\) semi-simple non adjoint (excepté \(Gl(2,k)\), \(k\) de car. \(2\))] « monomorphisme » porte une surcharge à la fin du mot

b) \(B\) connu quand on connaît \(\mathfrak{L}\)

1') \(\mathrm{Drap}(G) \to \mathrm{Grass}(\mathfrak{g})\) injectif ?? pas radiciel C'est vrai pour \(G = Sl(2)\) […], mais moins intéressant que de savoir si c'est un monomorphisme

2) \(T \subset G\) ⌜tore maximal⌝ donné, \(\mathrm{Drap}_T(G)\) schéma des Borels contenant \(T\), est-il vrai que \(\mathrm{Drap}_T(G) \to \mathrm{Grass}(\mathfrak{g})\) est un monomorphisme ? « tore maximal » est encerclé au-dessus de « donné » ; la question est entourée d'une longue boucle qui continue sur la ligne suivante Comme Il suffit [comme \(\mathrm{Drap}_T(G)\) est étale sur \(k\)] que ce soit injectif. À fortiori, que \(\mathrm{Drap}(G) \to \mathrm{Grass}(\mathfrak{g})\) le soit.

Or, si \(B \supset T\) On est ramené au cas \(G\) semi-simple, et alors on note que \(B\) est engendré par ⌜égal à⌝ \(T . \prod_{\alpha \in S} P_\alpha\), où ⌜les⌝ les \(P_\alpha\) \(P_\alpha\) ⌜correspondent⌝ aux racines […] […] \(P_\alpha\) […] […] aux \(\mathfrak{g}_\alpha \subset \mathfrak{L}\), […] déterminés par \(B\). la fin de la page est tachée d'encre et en partie effacée

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Théorème. \(G\) schéma en groupes réductif, \(C\) un sous-groupe de Cartan, \(H\) un sous-schéma en groupes de \(G\), simple\(/S\), à fibres connexes, contenant \(C\), \(\mathfrak{h}\) ⌜\(\subset \mathfrak{g}\)⌝ […] sa sous-alg. de Lie. Alors \(H\) est déterminé de façon unique par \(C\) et \(\mathfrak{h}\) et les conditions précédentes, i.e. tout autre ⌜ss-⌝groupe \(H_1\) satisfaisant aux conditions et tel que \(\mathfrak{h}_1 = \mathfrak{h}\), est égal à \(H\).

Lorsque les Soit \(T\) le tore maximal de \(C\). Lorsque les conditions infinitésimales [[…] un \(\mathfrak{t} = \mathrm{Lie}(T)\)] de \(T\) opérant sur \(\mathfrak{g}/\mathfrak{h}\) sont \(\neq 0\) sur chaque fibre, de sorte que sur chaque fibre \(\mathfrak{h}\) est son propre normalisateur, alors par Exposé de Demazure, il s'ensuit que \(H = \mathrm{Nor}_G(\mathfrak{h})^0\), et on gagne. Dans le cas général soit \(\mathfrak{Z}\) le centre réductif de \(G\), contenu dans \(T\), donc dans \(H\). Ceci posé : divisant par \(\mathfrak{Z}\), […] on est ramené à la situation où \(\mathfrak{Z} = 0\). Alors \(\mathfrak{t}\) opère fidèlement la page est barrée de deux longues diagonales ; la phrase s'arrête au bas du feuillet et continue dans le lot suivant. « ss- » de « ss-groupe » est écrit au-dessus de la ligne