Fonds Grothendieck, cote n° 45, pages 1–20

Groupes semi-simples

« Groupes semi-simples », inscrit à l'encre brune en haut à droite de la chemise (page 1), qui ne porte rien d'autre. Le feuillet ne reçoit pas de numéro de page

Application des s.-alg. de Cartan aux corps de dim. 1

inscrit en haut à droite d'un feuillet par ailleurs blanc (page 2), de sa main ; ce feuillet de garde ne reçoit pas de numéro de page

Lemme 1. Soit k un corps, et supposons que les conditions suivantes soient vérifiées (K commutatif) :

On a H^2(k,K)=0 dans les cas suivants

a)K un tore b)K fini étale sur k c)K une V.A. d)K groupe unipotent commutatif annulé par p.

le signe qui ouvre la ligne « On a … » est un numéro surchargé, peut-être un chiffre entouré ; il n'est pas lu. Les K des quatre cas sont repassés

Alors pour toute suite exacte de schémas en groupes alg. e \to K \to G \to G' \to e commutatifs) tels que K G, G' simples/k, , H^1(k,G) \to H^1(k,G') surjectif. « G, G' » est ajouté au-dessus de la ligne, avec une accolade

Inutile de supposer algébrique note écrite en biais dans la marge gauche, en bas du premier tiers ; lecture très incomplète

Principe de démonstration. On prend un tore maximal T de K défini sur k, et utilisant le th. de conjugaison, on voit que N_G(T) \to G' est ~~injectif~~ épim., donc on a e \to N_K(T) \to N_G(T) \to G' \to e on peut supposer T invariant dans G, fonction dans K. On se ramène aux deux cas 1) K est un tore 1') K est de dim. nilpotent. Par dévissage, on se ramène au cas évident : 2) K est fini étale/k 1'') K , et quotient d'une VA unipotent. Par dévissage avec les commutateurs successifs,

K ??? dévissage fini commutatifs longue note en biais dans la marge gauche de la moitié inférieure, en plusieurs lignes ; seuls quelques mots se lisent

dans 1'') au-dessus de la première ligne, avec un trait qui renvoie au cas 1'') de la page 3 au cas d'un groupe commutatif, et par dévissage encore au cas où ce groupe , soit pK = K, soit pK = 0, i.e. les cas 3) K une VA. 4) K unipotent comm. connexe annulé par p.

Reste le cas 2), i.e. K fini étale sur k, pas néc. commutatif, on note que l'on a une suite exacte (où \bar k est la clôture ~~algébrique~~ séparable de k) e \to K(\bar k) \to G(\bar k) \to G'(\bar k) \to e et on conclut de l'argument de -Serre, H^1(\pi, G(\bar k)) \to H^1(\pi, G'(\bar k)) surjectif si H^2(\pi,A)=0 pour tt tt \pi-module fini A. Or cette hypothèse signifie H^2(k,K) =0 pour tt K fini étale sur k, et un G simple sur k, H^i(k,G) \simeq H^i(\pi, G(\bar k)) pour tt i, en particulier encadré à droite de la formule, qui est soulignée d'un trait ondulé le lemme.

Corollaire. Supposons que H^2(k,K)=0 pour tt K fini sur k (pas néc. étale/k). Alors les ~~conditions~~ hyp. du lemme 1 sont vérifiées, donc aussi la conclusion.

Notons d'abord que si G simple sur k, alors les H^i(k,G) sont de torsion pour i>0 [car = H^i(\pi, G(\bar k))] donc tt \xi \in

H^i(k,G) provient d'un H^i(k, {}_nG). Or si G est une VA ou un tore, {}_nG est fini sur k. Cela montre que les conditions du lemme 1 sont vérifiées pour a) b) c). Reste à vérifier d). Pour ceci, on ne ~~suppose~~ utilise le fait que H^2(k,U) devient nul sur une extension de k de la forme k^{p^{-n}}, [car U splitte sur une telle extension en groupes additifs] et on va prouver le

Lemme 2. Pour tt schéma en groupes G sur k, le noyau de H^i(k,G) \to H^i(k^{p^{-n}},G) est égal à celui de H^i(k,G) \xrightarrow{F^n} H^i(k, G^{(p^n)}) défini par F^n (F = Frob). Plus précisément, on a commutativité dans le diagramme

\begin{tikzcd} H^i(k,G) \arrow[r] \arrow[dr, "F^n"'] & H^i(k^{p^{-n}}, G) \arrow[d, "\wr"] \\ & H^i(k, G^{(p^n)}) \end{tikzcd}

à la suite de H^i(k^{p^{-n}},G), sur la même ligne, un « \simeq H^i(k, G^{(p^n)}) » biffé, remplacé par la flèche verticale

[Pour le voir, on est ramené au cas des H^0, où c'est trivial . On n'a pas besoin que G soit représentable …].

Pour utiliser cas groupe ??? ~~F.N.B.~~ note en biais dans la marge gauche, en face de l'énoncé du lemme 2, séparée du texte par un trait vertical ; lecture très incomplète. En dessous, dans la même marge, le diagramme suivant

\begin{tikzcd} G \arrow[d, "p"'] & G^{(p^n)} \arrow[l, "p^n"'] \arrow[d] & G \arrow[l, "F^n"'] \arrow[dl, "p"] \\ S & S \arrow[l, "\varphi_S"] & \end{tikzcd}

dessiné dans la marge : un arc \varphi_G va de la dernière colonne à la première au-dessus du rang supérieur ; « cart. » est écrit dans le carré de gauche ; sous les deux S : « = \mathrm{Spec}(k) » et « \lambda \mapsto \lambda^{p^n} ». L'étiquette de la flèche du haut à gauche est douteuse

Corollaire. Ledit noyau est aussi égal à l'image de H^i(k, \mathrm{Ker}(F_G^n)), F_G^n : G \to G^{(p^n)} le Frobenius itéré.

Or si G est simple/k, alors F_G^n est radiciel, donc son noyau est radiciel/k, fini. Cela achève de prouver le Corollaire du lemme 1.

Lemme 3. Pour que H^1(k,G) \to H^1(k,G') soit surjectif pour tt épim. G \to G' de schémas en groupes algébriques, il suffit qu'il en soit ainsi dans les deux cas suivants :

a)G, et K = \mathrm{Ker} (comme G') simples/k b)K est radiciel.

Dém. Dans le cas général, il existe un plus grand sous-groupe radiciel I de G [noyau d'un Frobenius itéré convenable] tel que G/I et K/I \cap K sont simples/k. Considérons

\begin{tikzcd} e \arrow[r] & K \arrow[r] \arrow[d] & G \arrow[r, "d"] \arrow[d, "u"] & G/K \arrow[r] \arrow[d, "v"] & e \\ e \arrow[r] & K/K \cap I \arrow[r] & G/I \arrow[r, "d'"] & G/KI \arrow[r] & e \end{tikzcd}

~~Notons~~ d'

\begin{tikzcd} H^1(k,I) \arrow[r] \arrow[d] & H^1(k, I/I \cap K) \arrow[d] \\ H^1(k,G) \arrow[r, "d_1"] \arrow[d, "u_1"'] & H^1(k, G/K) \arrow[d, "v_1"] \\ H^1(k, G/I) \arrow[r, "d_1'"] & H^1(k, G/KI) \end{tikzcd}

Par l'hypothèse a), u_1 et d_1' sont surjectifs, et d_1' u_1 = v_1 d_1. Soit, donc, \xi' \in H^1(k, G/K), il existe \xi \in H^1(k,G) tel que \xi' et d_1(\xi) aient même image dans H^1(k, G/KI). Compte tenu formes tordues, on peut supposer \xi' = 0 [?], donc que v_1(\xi) = 0, donc provient d'un \eta \in H^1(k, KI/K) = H^1(k, I/I \cap K). Or par hypothèse b), \eta est dans l'image de H^1(k,I), et . la lecture « \xi' = 0 » est douteuse ; les lettres grecques de ce passage se distinguent mal de celles de la ligne précédente

Lemme 4. Supposons que

c) H^2(k,K) = 0 si K groupe (commutatif) fini radiciel sur k. « (commutatif) » est ajouté au-dessus de la ligne, dans une accolade

Alors pour toute suite exacte de groupes algébriques e \to K \to G \to G' \to e avec K radiciel [pas nécessairement commutatif !], H^1(k,G) \to H^1(k,G') surjectif.

Par dévissage, on peut supposer K « de hauteur 1 ». Soit \mathfrak{k} son algèbre de

Lie, donc G opère sur \mathfrak{k}. Soit \mathfrak{h} une sous-algèbre de Cartan [existe toujours], et considérons N_G(\mathfrak{h}), alors l'argument déjà utilisé montre que N_G(\mathfrak{h}) . K = G, donc . suite exacte e \to N_K(\mathfrak{h}) \to N_G(\mathfrak{h}) \to G' \to e et peut donc supposer que G normalise \mathfrak{h}. Mais alors K normalise \mathfrak{h}, donc \mathfrak{k} , donc \mathfrak{h} = \mathfrak{k}, donc \mathfrak{k} est nilpotente. \mathfrak{k} se divise , donc [ ] K aussi se divise en groupes commutatifs [NB. [\mathfrak{h},\mathfrak{h}] est un de Lie correspondant ]. K commutatif, OK. \mathfrak{h} et \mathfrak{k} sont écrits en gothique ; le K de N_K(\mathfrak{h}) est repassé en noir sur un premier indice

puisque conjugaison sous-algèbres de Cartan note de la marge gauche, en face de la suite exacte, en cinq lignes soulignées ; elle se rattache par un trait à la phrase biffée

Lemme 5. Supposons que pour tte extension radicielle finie k' de k, on ait \mathrm{Br}(k') = 0. Alors H^i(k,K) = 0 pour i \geq 2, K groupe commutatif fini k. le K de « H^i(k,K) » et le mot « Br » sont repassés ; « Br » surcharge une autre lettre

En effet, extension \mathrm{Br}(K') = 0. fini, que K , dévissage, . deux lignes au moins sont biffées ici, dont une interlinéaire ; elles ne sont pas lues

K soit de t.m. k, ~~soit~~ isomorphes : ex. \ldots . e \to K \to G \to G' \to e G, G' tores, et Tate–Nakayama H^i(k,G) = H^i(k,G') = 0 \quad \text{pour } i > 0 [NB. = cohomologie galoisienne ]. On en conclut H^i(k,K) = 0 pour i \geq 2.

D'où le cas \alpha_p : il est bien connu H^i(k, \alpha_p) = 0 tt i.

H^i(k,\mathcal{U}) = 0 i \geq 2 \mathcal{U} longue note en biais dans la marge gauche, reliée par une flèche au bas de l'énoncé du lemme 5 ; le \mathcal{U} est ronde

Théorème. Soit k un corps \mathrm{cd}(k) \leq 1. ~~e \to K \to G \to G'~~ Alors épim. G \to G' de k. H^1(k,G) \to H^1(k,G') épimorphisme. « G \to G' de » est écrit au-dessus d'une ligne biffée qui portait une suite exacte

Soit k un corps au-dessus de l'énoncé, relié à lui par un trait

Théorème. Soit K un groupe algébrique sur k, et K' une forme sur k, localement isomorphe K. Alors H^2(k,K') = H^2(k,K')' = \{\ill{}\} \ \text{\uncertain{universellement}}. l'élément de l'ensemble entre accolades est surchargé

En effet, K' provient d'un élément de H^1(k, \mathrm{Aut\,Ext}(K)), qui précisément (localement fini ) \ldots \mathrm{Aut}(K) algébrique ) \mathrm{Aut\,Ext} est souligné, avec « Aut » biffé puis réécrit ; le second « Aut(K) » est souligné provient d'un de H^1(k, \mathrm{Aut}(K)), prouve que la K' K, [ : K], H^2(k,K')' \neq \emptyset. ~~H^2(k,~~ H^2(k,K') \neq \emptyset principal H^2(k,\mathfrak{Z}), \mathfrak{Z} le centre de K' ; K, H^2(k,\mathfrak{Z}) = 0. H^2(k,K') : , H^2(k,K')' [ ]. le \mathfrak{Z} du centre est une lettre gothique en forme de 3, transcrite une fois pour toutes ainsi

Noyau K sur le site X. Question : K provient-il d'un faisceau en groupes, i.e. c(K) \in H^2(X, \Pi(K)) est-il un H^2(X,\Pi(K))' ???

~~Supposons que l'on puisse~~

À un noyau K, est associé le faisceau \mathcal{V}(K) des classes de sous-groupes de K. ~~Supposons \mathcal{V}(K) \to \mathcal{V}(K),~~ ~~\mathcal{V}(K).~~ ~~Alors on peut \mathcal{V}(K),~~ un passage de trois lignes est biffé, avec des boucles de renvoi ; au-dessus, une insertion elle aussi biffée porte « \mathcal{V}(\varphi) » Chaque fois qu'on a un de noyaux K_0 \to K ~~« injectif »~~, il définit une section de \mathcal{V}(K) [noyau image …]

~~D'ailleurs~~ Mais une section de \mathcal{V}(K) ne provient en général pas d'un sous-noyau de K, sauf celles qui sont stables par l'opération \mathrm{Nor} [« Normalisateur »]. Plus généralement, si \varphi est une section de \mathcal{V}(K), alors \mathrm{Nor}(\varphi) provient d'un sous-noyau de K, soit \underline{\mathrm{Nor}}(\varphi), exemple \mathfrak{Z}(K) = \underline{\mathrm{Nor}}(e).

~~Supposons que~~ , trouve une classe canonique H^2(X, \underline{\mathrm{Nor}}(\varphi)) l'image H^2(X, \Pi(K)) c(K) : catégorie locale

2-catégorie des faisceaux en groupes, munis d'un de noyaux avec K, \pm d'un sous-faisceau en groupes indiqués par \varphi.

Si c(K,\varphi) \in H^2(X, \underline{\mathrm{Nor}}(\varphi))', alors c(K) \in H^2(X, \Pi(K))' !

[Principe de réduction du ]

Autre principe de réduction. Supposons que un homom. de noyaux « injectif » K \to K', et K' = \widetilde{F'}, F' un faisceau en groupes.

~~Alors il existe~~ Considérons la catégorie locale des faisceaux en groupes F, munis d'un F \to F', et d'un isom. \widetilde{F} \simeq K, compatibles K \to K' et K' \simeq \widetilde{F'}. C'est une catégorie , et correspond à un noyau K'' lié suite exacte e \to K'' \to \Pi(K) \to \Pi(K') \to e . ~~Alors~~ Considérons la classe c' \in H^2(X, K''). Son image dans ~~\Pi(K)~~ H^2(X, \Pi(K)) est définie et est c(K), donc si c' \in H^2(X,K'')', alors c \in H^2(X, \Pi(K))'. \Pi(K) est écrit avec un \Pi majuscule repassé, qu'on garde tel quel ; la lecture reste douteuse. De même le \mathcal{V} du faisceau des classes de sous-groupes

K noyau algébrique sur k corps de Tsen. On veut prouver H^2(k,K) = H^2(k,K)' \simeq un élément [résultera formellement de \underline{\underline{H^2(k,K)' \neq \emptyset}}, compte tenu que H^2(k, \mathfrak{Z}(K)) = 0 !] K,

a) \dim K = 0. On raisonne par récurrence sur le degré de K. Trivial si est égal à 1. S'il est >1, par dévissage (2e principe de réduction), on est ramené aux cas suivants

(i)K étale et on est dans cas (ii)K radiciel et indécomposable par dévissage

K (trivial) [K,K] = K en particulier K sans centre. accolade à droite du cas (i), en marge K radiciel de hauteur 1 et [K,K] = 1 en particulier K sans centre.

Le cas (i) correspond à une homom. de \pi [groupe de Galois top. de \bar k/k] dans \mathrm{Autext}(A), A groupe fini convenable. On sait qu'il se remonte à un homom. \pi \to \mathrm{Aut}(A), [Schreier, Serre] donc …

Dans le cas (ii), on considère les sections \varphi de \mathcal{V}(K) correspondant aux « s.-groupes de Cartan infinitésimaux » qui satisfont \mathrm{Nor}(\varphi) = \varphi. Par le principe de réduction 1, on est

ramené au cas où K correspond à des p-algèbres de Lie nilpotentes, puis, par le principe 2, au cas où K est commutatif, OK.

b) \dim K > 0. Par le principe 1 on est ramené (grâce aux commutateurs) au cas où K est soit commutatif [alors OK], soit K = [K,K], qui implique K affine. Par le principe [divisant par un noyau de Frobenius, et utilisant le cas a)] on est ramené au cas où K est simple/k.

~~Enfin, si , on peut~~ Prenant alors, la section \varphi de \mathcal{V}(K) correspondant aux tores maximaux, on ramené par le principe 1 au cas où le tore maximal est invariant, donc par le principe 2 aux ~~deux~~ trois cas suivants : a) K fini, déjà traité b) K unipotent connexe ~~, ,~~ Alors on est ramené par dévissage par commutateurs, au cas commutatif, qui est OK. deux lignes biffées, reliées par des traits de renvoi, précèdent « Alors on est ramené » ; un cadre vide dans la marge gauche les accompagne. Le troisième cas annoncé n'est pas lu

Cas non semi-simple

inscrit en haut à droite d'un feuillet par ailleurs blanc (page 15), de sa main, sous une ligne biffée (« Égalité ») ; le feuillet ne reçoit pas de numéro de page. « semi- » est écrit avec le signe ½, son abréviation habituelle. Le texte continue : Question de rationalité du radical, définition de la « variété des drapeaux » etc.

Soient a \in k, et G le groupe G = \left\lbrace \begin{pmatrix} x & ay & & \\ y & x & & \\ & & u & v \\ & & w & z \end{pmatrix} \;\middle|\; \begin{vmatrix} x & ay \\ y & x \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} u & v \\ w & z \end{vmatrix} \neq 0 \right\rbrace . \begin{pmatrix} x & ay & & \\ y & x & & \\ & & u & v \\ & & w & z \end{pmatrix} \rightsquigarrow \begin{pmatrix} u & v \\ w & z \end{pmatrix} \big/ (\text{centre}) est un homom. sur GP(2) dont le noyau est Z = \left\lbrace \begin{pmatrix} x & ay & & \\ y & x & & \\ & & u & 0 \\ & & 0 & u \end{pmatrix} \;\middle|\; x^2 - ay^2 = u^2 \neq 0 \right\rbrace = \text{centre de } G = \text{radical de } G . G est déf. sur k, mais si caract. = 2, a \notin k^2, Z ne l'est pas.

\exists exemples analogues pour chaque caract. p \neq 0. fiche blanche de petit format, écrite d'une main posée, plus ronde que celle des pages voisines ; les blancs des matrices sont des zéros sur la page. « GP(2) » est lu tel quel

Borel est son propre normalisateur encadré en haut de la page

(i) B normalisateur de \mathfrak{L} \iff (ii) \mathfrak{L} normalisateur de \mathfrak{L} \iff (iii) \mathrm{Drap}(G) \to \mathrm{Grass}(\mathfrak{g}) immersion la troisième équivalence est une flèche double tracée en biais de (i)–(ii) vers (iii). Sous \mathrm{Drap}(G), « = G/B » ; sous \mathrm{Grass}(\mathfrak{g}), « \supset G/\mathrm{Nor}_G(\mathfrak{L}) », relié par un trait à \mathrm{Drap}(G). \mathfrak{L} est l'algèbre de Lie de B, écrite en ronde

(i) \Rightarrow (ii) trivial, car pour grp. alg. B \mathrm{Lie}\, N_G(B) = \mathrm{Nor}_{\mathfrak{g}} \mathfrak{L}.

(ii) \Rightarrow (i), on sait B' le normalisateur B' \supset B, s'il a algèbre de Lie alors B = B'^0, donc B' normalise B connexe, donc B = B' connexe, donc B = B'.

~~(iii) \Leftarrow (ii)~~ trivial définitions la suite est prise dans un cadre et barrée de deux longues diagonales ; elle se lit en partie tores maximaux localisés B \mathfrak{L}, \mathfrak{g}/\mathfrak{L} \longrightarrow \mathrm{Grass}(\mathfrak{g}) \ (\ill{}) , \qquad \check{H}\ldots(\mathfrak{L}, \mathfrak{g}/\mathfrak{L}) X D_X(\mathfrak{L}), est égal à \mathrm{Nor}_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{L})/\mathfrak{L}. Donc (iii) signifie que \mathrm{Drap}(G) \to \mathrm{Grass}(\mathfrak{g}) est vérifiée, il en résulte que , normalisateur

Ces conditions ne sont pas toujours vérifiées, par ex. SL(2) en car. 2 les met en défaut.

pas fermé en haut à droite, relié par un trait à « K \subset G »

Corollaire. Dans le cas où K \subset G, G de t. multiplicatif de t.f. sur S, [\exists tel que K \subset {}_nG, où {}_nG est fini sur S] K est fini sur S.

Donc si résidu kif kif Nakayama !

la page est barrée de deux longues diagonales

Reste : prouver le lemme sous-groupe . On utilise le

Lemme de Chevalley. Soit G groupe de t.f. affine sur k, H ss-groupe de G. Alors \exists repr. linéaire de G sur un espace V, et un x \in V^{*}, tel que H soit le stabilisateur de \bar x dans le proj. correspondant …

1) B normalisateur de \mathfrak{L} \iff \mathfrak{L} normalisateur de \mathfrak{L} \iff (\mathrm{Drap}(G) \to \mathrm{Grass}(\mathfrak{g})) monomorphisme [faux par ex. pour G semi-simple non (excepté Gl(2,k), k de car. 2)]

~~b) B \mathfrak{L}~~

1') \mathrm{Drap}(G) \to \mathrm{Grass}(\mathfrak{g}) injectif ?? pas radiciel C'est vrai pour G = Sl(2) , mais moins intéressant monomorphisme

2) T \subset G tore maximal donné, \mathrm{Drap}_T(G) schéma des Borels contenant T, est-il vrai que \mathrm{Drap}_T(G) \to \mathrm{Grass}(\mathfrak{g}) est un monomorphisme ? « tore maximal » est encerclé au-dessus de « donné » ; la question est entourée d'une longue boucle qui continue sur la ligne suivante ~~Comme~~ Il suffit k] que fini soit injectif. , que \mathrm{Drap}(G) \to \mathrm{Grass}(\mathfrak{g}) soit

, ~~si B \supset T~~ On est ramené au cas G semi-simple, et certain que B est T . \prod_{\alpha \in S} P_\alpha, où les P_\alpha correspondant P_\alpha \mathfrak{g}_\alpha \subset \mathfrak{L}, déterminés par B.

Théorème. G réductif, C un sous-groupe de Cartan, H un sous-schéma en groupes de G, simple/S, à fibres connexes, contenant C, \mathfrak{h} \subset \mathfrak{g} sa sous-alg. de Lie. Alors H est déterminé de façon unique par C et \mathfrak{h} et les conditions précédentes, i.e. tout autre ss-groupe H_1 satisfaisant aux conditions et tel que \mathfrak{h}_1 = \mathfrak{h}, est égal à H.

~~Lorsque les~~ Soit T le tore maximal de C. les conditions infinitésimales [ un \mathfrak{t} = \mathrm{Lie}(T)] de T opérant sur \mathfrak{g}/\mathfrak{h} \neq 0 sur chaque fibre, que chaque fibre \mathfrak{h} est son propre normalisateur, alors par Exposé Demazure, il s'ensuit que H = \mathrm{Nor}_G(\mathfrak{h})^0, et rigide. Dans le cas général soit \mathfrak{Z} le centre réductif de G, contenu dans T, donc dans H. Ceci : divisant par \mathfrak{Z}, on est ramené à la situation où \mathfrak{Z} = 0. Alors \mathfrak{t} opère fidèlement la page est barrée de deux longues diagonales ; la phrase s'arrête au bas du feuillet et continue dans le lot suivant