Cote n° 43 · batch 11 · pages 201–207 · Transcription · Dualité des groupes. Jacobiennes généralisées etc : notes et copies de notes manuscrites (s.d.)
Édition de démonstration

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201

la page commence au milieu d'une phrase : elle continue la suite ouverte en page 170 sous la couverture « Dualité de Cartier des groupes affines et groupes formels » et poursuivie jusqu'à la page 200 (modules sur l'anneau de Dieudonné \(A\), \(F\) et \(V\)) ; aucune pagination de sa main. Écriture rapide à l'encre bleue ; la prose de liaison se lit mal, les formules et les mots soulignés mieux

\(\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2\) dual de \(P(\mathfrak{U})\) primitifs, […] […] […] […] […] […] […] […] par le noyau de \(F\). la lettre dans \(P(\,\cdot\,)\) est un U majuscule arrondi, rendu \(\mathfrak{U}\) ; la lecture est douteuse

S'il est de dim finie, le socle est fini, donc […] […] […] objet artinien [N.B. l'[…] [(indécomp.)] de la catégorie des bigèbres de Dieudonné […] artiniennes …], donc on a […] […] […] de Chevalley […] […] […] de type fini sur \(A\). De plus, la condition […] […] \(M/FM\) est de dim finie sur […] […] de longueur finie. « (indécomp.) » est écrit au-dessus de la ligne, une accolade le ramène avant « de la catégorie »

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
  & \mathcal{C} & \\
  & C_1 \arrow[u] & \\
  C_F \arrow[ur] & & C'_F \arrow[ul] \\
  & C_0 \arrow[ul] \arrow[ur] \arrow[d, no head] & \\
  & 0 &
\end{tikzcd}

schéma redessiné. Une grande accolade à gauche, marquée \(A_F\), embrasse \(\mathcal{C}\), \(C_1\) et \(C_F\) ; une autre à droite, marquée \(A_S\), embrasse \(\mathcal{C}\), \(C_1\) et \(C'_F\) ; à côté, entouré : « \(S = A - F\) ». \(A_F\) est à rapprocher du \(A_{\mathbf{F}}\) de la page 200. Sous \(C_0\) un trait vertical sans flèche descend vers un petit \(0\). Le \(\mathcal{C}\) du haut est cursif, les autres \(C\) droits

cat. formée […] engendrée dans \(C/C_0\) par l'objet \((A/FA)_{C_0}\) […]à gauche du schéma, reliée par un trait à la flèche \(C_0 \to C_F\) ; un \(\omega\) isolé au-dessous

[…] […] (cat. pleine engendr.) engendrée dans \(C_1/C_0\) par […] […] objets […] […] de \(C_1/C_0\), […] \(F\) est bijectif surjectif dans l'objet […] \(C_0\). ce texte est relié par une accolade à la flèche \(C_0 \to C'_F\)

\[C_1/C_0 \simeq C_F/C_0 \times C'_F/C_0\]

[objet […] engendré par \(A/FA\)

[objet […] engendré par \(A/VA\)

[…] objet […] simple à droite, un sigle biffé suivi de « \(F_2\) » (lecture douteuse)

limite projective d'objets artiniens

limite inductive d'objets artiniens ces deux lignes, soulignées, sont écrites en bas à droite, de part et d'autre de l'en-tête imprimé du papier ; un petit arc de cercle coupé par un trait est tracé au-dessus

Accouplements de […] Tate – Lang

de sa main, en haut à droite d'un feuillet orange de garde (page 202), qui ne porte rien d'autre et ne reçoit pas de numéro de page. Le signe entre « de » et « Tate » ressemble à un F barré

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Accouplements de Tateau feutre orange, encadré, en haut à droite

\(A\) schéma abélien sur \(S\)

\(P\) fibré principal homogène sous \(A\) (schéma projectif)

\(\underline{\mathrm{Pic}}^{*}_{A/S}\) schéma en groupes, contenant le schéma abélien \(\underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{A/S} = A'\) schéma dual de \(A\).

\(A\) opère sur lui-même par translations, donc opère sur \(\underline{\mathrm{Pic}}^{*}_{A/S}\) et par suite sur \(A'\), et opère trivialement sur \(A' = \underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{A/S}\) et \(\underline{\mathrm{Pic}}^{*}_{A/S}/\underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{A/S} = \mathrm{N.S.}_{A/S}\) \[\Bigl[\ \text{donc}\quad A \times \underbrace{\underline{\mathrm{Pic}}^{*}_{A/S}/ \underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{A/S}}_{\text{Néron--Severi}} \longrightarrow \underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{A/S} = A'\ \Bigr]\] le « \(= A'\) » est écrit sous \(\underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{A/S}\), avec un signe égal vertical

[…] \(x + \lambda . \bar{x}\), \(x \in \underline{\mathrm{Pic}}^{*}_{A/S}(T)\), \(\lambda \in A(T)\), \(\bar{x} \in \mathrm{N.S.}(T)\)en marge gauche ; les trois \(\in\) sont écrits verticalement sous \(x\), \(\lambda\), \(\bar{x}\)

Considérons \(\underline{\mathrm{Pic}}^{*}_{P/S}\), il a une « composante connexe [neutre] » \(\underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{P/S}\), […] qui est can. isom. à \(\underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{A/S} = A'\) [car \(A\), opérant trivialement] — car \(\underline{\mathrm{Pic}}^{*}_{P/S}\) […] […] à \(P\) et à \(\underline{\mathrm{Pic}}^{*}_{A/S}\) sur lequel \(A\) opère de la façon naturelle. [il est extension de \(\mathrm{N.S.}_{A/S}\) par \(\underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{A/S} = A'\), donc il lui correspond un élément de \(\underline{\mathrm{Ext}}^{1}_{S}(\mathrm{N.S.}_{A/S}, A')\), donc un […] […] [[…]] de \(\mathrm{N.S.}_{A/S}\) […] dans \(H^1(S, A')\), […] […] […] …] « neutre » est écrit au-dessus de la ligne, entre les guillemets ; en marge gauche, en face de la ligne de \(\underline{\mathrm{Ext}}^1\), un sigle biffé

Si alors on a une section de \(A'\), l'obstruction à l'obtenir à partir d'une

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classe de faisceaux inversibles locaux sur \(S\) est dans le groupe de Brauer \(H^2(S, \mathbb{G}_m)\) [se rappeler que \[H^{*}(S, \mathbb{G}_m) \underset{p}{\Longleftarrow} H^p(S, \underline{H}^q_{\mathrm{loc}}(\mathbb{G}_m))\] d'où \[H^n(S, \mathbb{G}_m) \longrightarrow H^0(S, \underline{H}^n_{\mathrm{loc}}(\mathbb{G}_m)) \quad \ldots\ ].\] la flèche de la suite spectrale est double, avec \(p\) en dessous. L'indice « loc » des deux \(\underline{H}\) est une lecture douteuse

On obtient ainsi l'accouplement de Tate \[\boxed{\;H^1(S, A) \times H^0(S, A') \longrightarrow H^2(S, \mathbb{G}_m)\;}\]

Lequel d'ailleurs se précise (chaque fois que \(S' \to S\) est fid. plat) en des accouplements \[H^1(S'/S, A) \times H^0(S, A') \longrightarrow H^2(S'/S, \mathbb{G}_m)\]

Il semble, quand \(S'\) est fini sur \(S\), et sachant que les \(\hat{H}^i(S'/S, A)\) sont définis, qu'on puisse définir aussi des accouplements \[\hat{H}^i(S'/S, A) \times \hat{H}^{1-i}(S'/S, A') \longrightarrow H^2(S'/S, \mathbb{G}_m)\] qu'il faudrait comprendre …

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[Symboles locaux …]encadré en haut à droite

\(X\) courbe projective non singulière connexe déf. sur \(k\) alg. clos, \(K = k(X)\).

Si \(f, g \in k(X)^{*}\), \(x \in X\), on définit \[\boxed{\;(f,g)_x = \frac{f^{v_x(g)}}{g^{v_x(f)}}(x)\, (-1)^{v_x(f)\,v_x(g)}\;}\]

On a

une accolade réunit (i) à (v)

si […], […] […] \(f : X \to \mathbb{G}_m\) défini […] une […] […] […] \(g \in K^{*}\)en marge gauche, en face de (ii) et (iii)

On en déduit un accouplement \[\mathrm{I}(X) \times \mathrm{I}(X) \longrightarrow K^{*} \qquad (\mathrm{I}(X),\ \text{idèles})\ \text{par}\] \[(\vec{f}, \vec{g}) = \prod_x (f_x, g_x)_x\]

On a \((\vec{f}, \vec{g}) = 1\)

les deux conditions sont réunies par une accolade

En particulier, \(K^{*}\) et \(UK^{*}\) sont orthogonaux, d'où des accouplements \[\boxed{\;K^{*} \times \mathcal{C}(X) \longrightarrow k^{*}\;}\] où \(\mathcal{C}(X)\) = classes d'idèles \(= \mathrm{I}/UK^{*}\), qui induit un accouplement \[\{f, \vec{g}\} = f\langle D \rangle \prod_{x \in \ldots} g_x(x)^{-v_x(f)}\] l'ensemble d'indices du produit est illisible, rendu \(\ldots\) si […] \(\vec{g} \in \mathcal{C}(X)\) […] principal en \(x\), \(D\) […] la classe du diviseur de \(\vec{f}\). « classes d'idèles » est écrit sous \(\mathcal{C}(X)\) ; dans « \(\mathrm{I}/UK^{*}\) » une lettre avant \(K^{*}\) est récrite. La formule de \(\{f, \vec{g}\}\) et la phrase qui la suit sont écrites à cheval sur deux cadres, la phrase dans la marge droite

\(\mathcal{C}(X) \times UK^{*} \longrightarrow k^{*}\) encadré, barré en zigzag ; au-dessous, biffé : « classes d'idèles »

\[\boxed{\;K^{*}/k^{*} \times C_0(X) \longrightarrow k^{*}\;}\] sous \(K^{*}/k^{*}\) : « diviseurs […] […] » ; sous \(C_0(X)\) : « classes d'idèles de degré \(0\) »

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Voici la généralisation de Tate

\(X\) variété non singulière déf. sur \(k\) alg. clos, \(K = k(X)\)

\(A = A(X)\) var. d'Albanese, [hom. \(\varphi : X \to A(X)\)] \(\hat{A}\) variété de Picard « hom. \(\varphi : X \to A(X)\) » est écrit au-dessus de la ligne, avec une flèche qui le ramène entre les deux variétés ; le « \((X)\) » de \(A(X)\) y est surchargé, et un signe biffé précède \(\hat{A}\)

Soient \(N\) le noyau d'Albanese : \(N = \mathrm{Ker}(\mathfrak{Z}_0(X) \to A(X))\)

[…] \(\mathrm{I}\) le groupe des classes de répartitions \[\vec{f} = (f_x)_{x \in X}\] telles que il existe un diviseur \(D\) sur \(X\), avec \[(f_x)_x = [D]_x \quad \text{pour tout } x.\] On a une application \[C = \mathrm{I}/K^{*} \longrightarrow \mathrm{Pic}(X) \quad (\text{classes de diviseurs}),\] soit \(C_0\) […] l'image inverse de \(\hat{A}\) ; donc on a un homomorphisme surjectif \[C_0 \longrightarrow \hat{A}\] [\(\mathrm{I}_0\) est l'image inverse de \(C_0\) dans \(\mathrm{I}\)]. dans \(\mathrm{I}/K^{*}\), un \(k^{*}\) est écrit puis biffé avant \(K^{*}\). Le but de la flèche est surchargé ; on lit un P, rendu \(\mathrm{Pic}(X)\) d'après la parenthèse

On veut définir un accouplement \[N \times C_0 \longrightarrow k^{*}\] et pour cela, on définit un accouplement \[N \times \mathrm{I}_0 \longrightarrow k^{*}\] nul sur \(N \times K^{*}\). Soit [\(\bar{\mathfrak{z}} \in C_0\),] \[\mathfrak{z} = \sum a_i x_i \in N, \qquad \vec{f} = (f_x)_{x \in X} \in \mathrm{I}_0\] un représentant de \(\bar{\mathfrak{z}}\) tel que \(\mathrm{div}(\vec{f})\) ne rencontre pas \(\mathfrak{z}\), \(D\) le diviseur défini par \(\vec{f}\), […] \(\dot{D}\) sa classe dans \(\hat{A}\), et \(\mathfrak{z}' \in \mathfrak{Z}_0(\hat{A})\), […] \(\deg \mathfrak{z}' = 0\), tel que \(\dot{D} = S(\mathfrak{z}')\). Soit enfin \(\Theta\) un diviseur canonique sur \(X\) \(\times \hat{A}\) ne rencontrant pas \(\varphi(\mathfrak{z}) \times{}\) […] \(\mathfrak{z}'\), et considérons « \(\bar{\mathfrak{z}} \in C_0\), » est écrit au-dessus de la ligne ; sous \(x_i\) un mot biffé. Le \(X\) de \(X \times \hat{A}\) est barré d'un trait en croix, sans rien au-dessus ; même chose en page 207

207

\[\lambda = \Theta\langle \mathfrak{z}, \mathfrak{z}' \rangle\] un signe biffé devant le premier \(\mathfrak{z}\), un autre après le crochet qui est défini en notant que \(\Theta\langle \mathfrak{z} \rangle\) est un […] diviseur sur \(\hat{A}\) qui est linéairement équivalent à \(0\), car sa classe est définie par \(S\varphi(\mathfrak{z})\) […], qui est nulle ; donc on peut prendre trouver une fonction \(g\) sur \(\hat{A}\) telle que \[(g) = \Theta\langle \mathfrak{z} \rangle,\] et on pose \[\lambda = g\langle \mathfrak{z}' \rangle \qquad (\text{indépendant de } g \text{ car } \deg \mathfrak{z}' = 0)\]

D'autre part, on considère pour tout \(x \in{}\) \(X\) […] \(\mathfrak{z}\) les […] \(f_x(x)\) \(f_{x_i}(x_i)^{a_i}\), et on pose \[\mu = \prod_i f_{x_i}(x_i)^{a_i}\] on pose alors \[\langle \mathfrak{z}, \bar{\mathfrak{z}} \rangle = \lambda/\mu = \Theta\langle \mathfrak{z}, \mathfrak{z}' \rangle \Big/ \prod_i f_{x_i}(x_i)^{a_i}\]

Montrons que \(\Theta\langle \mathfrak{z}, \mathfrak{z}' \rangle\) ne dépend que de \(\dot{D}\) et \(\mathfrak{z}\) : si on change \(\Theta\) en \(\Theta + (h)\), (\(h\) fonction sur \(X\) \(\times \hat{A}\)) […] on obtient la page s'arrête ici, au premier tiers