Fonds Grothendieck, cote n° 43, pages 201–207

la page commence au milieu d'une phrase : elle continue la suite ouverte en page 170 sous la couverture « Dualité de Cartier des groupes affines et groupes formels » et poursuivie jusqu'à la page 200 (modules sur l'anneau de Dieudonné A, F et V) ; aucune pagination de sa main. Écriture rapide à l'encre bleue ; la prose de liaison se lit mal, les formules et les mots soulignés mieux

\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2 dual de P(\mathfrak{U}) primitifs, par le noyau de F. la lettre dans P(\,\cdot\,) est un U majuscule arrondi, rendu \mathfrak{U} ; la lecture est douteuse

S'il est de dim finie, le socle est fini, donc objet artinien [N.B. l' (indécomp.) de la catégorie des bigèbres de Dieudonné artiniennes …], donc on a de Chevalley de type fini sur A. De plus, la condition M/FM est de dim finie sur de longueur finie. « (indécomp.) » est écrit au-dessus de la ligne, une accolade le ramène avant « de la catégorie »

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & \mathcal{C} & \\ & C_1 \arrow[u] & \\ C_F \arrow[ur] & & C'_F \arrow[ul] \\ & C_0 \arrow[ul] \arrow[ur] \arrow[d, no head] & \\ & 0 & \end{tikzcd}

schéma redessiné. Une grande accolade à gauche, marquée A_F, embrasse \mathcal{C}, C_1 et C_F ; une autre à droite, marquée A_S, embrasse \mathcal{C}, C_1 et C'_F ; à côté, entouré : « S = A - F ». A_F est à rapprocher du A_{\mathbf{F}} de la page 200. Sous C_0 un trait vertical sans flèche descend vers un petit 0. Le \mathcal{C} du haut est cursif, les autres C droits

cat. formée engendrée dans C/C_0 par l'objet (A/FA)_{C_0} à gauche du schéma, reliée par un trait à la flèche C_0 \to C_F ; un \omega isolé au-dessous

(cat. pleine engendr.) engendrée dans C_1/C_0 par objets de C_1/C_0, F est ~~bijectif~~ surjectif dans l'objet C_0. ce texte est relié par une accolade à la flèche C_0 \to C'_F

C_1/C_0 \simeq C_F/C_0 \times C'_F/C_0

[objet engendré par A/FA

[objet engendré par A/VA

objet simple à droite, un sigle biffé suivi de « F_2 » (lecture douteuse)

limite projective d'objets artiniens

limite inductive d'objets artiniens ces deux lignes, soulignées, sont écrites en bas à droite, de part et d'autre de l'en-tête imprimé du papier ; un petit arc de cercle coupé par un trait est tracé au-dessus

Accouplements de Tate – Lang

de sa main, en haut à droite d'un feuillet orange de garde (page 202), qui ne porte rien d'autre et ne reçoit pas de numéro de page. Le signe entre « de » et « Tate » ressemble à un F barré

Accouplements de Tateau feutre orange, encadré, en haut à droite

A schéma abélien sur S

P fibré principal homogène sous A (schéma projectif)

\underline{\mathrm{Pic}}^{*}_{A/S} schéma en groupes, contenant le schéma abélien \underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{A/S} = A' schéma dual de A.

A opère sur lui-même par translations, donc opère sur \underline{\mathrm{Pic}}^{*}_{A/S} et par suite sur A', et opère trivialement sur A' = \underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{A/S} et \underline{\mathrm{Pic}}^{*}_{A/S}/\underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{A/S} = \mathrm{N.S.}_{A/S} \Bigl[\ \text{donc}\quad A \times \underbrace{\underline{\mathrm{Pic}}^{*}_{A/S}/ \underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{A/S}}_{\text{Néron--Severi}} \longrightarrow \underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{A/S} = A'\ \Bigr] le « = A' » est écrit sous \underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{A/S}, avec un signe égal vertical

x + \lambda . \bar{x}, x \in \underline{\mathrm{Pic}}^{*}_{A/S}(T), \lambda \in A(T), \bar{x} \in \mathrm{N.S.}(T)en marge gauche ; les trois \in sont écrits verticalement sous x, \lambda, \bar{x}

Considérons \underline{\mathrm{Pic}}^{*}_{P/S}, il a une « composante connexe neutre » \underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{P/S}, qui est can. isom. à \underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{A/S} = A' [car A, opérant trivialement] — car \underline{\mathrm{Pic}}^{*}_{P/S} à P et à \underline{\mathrm{Pic}}^{*}_{A/S} sur lequel A opère de la façon naturelle. [il est extension de \mathrm{N.S.}_{A/S} par \underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{A/S} = A', donc il lui correspond un élément de \underline{\mathrm{Ext}}^{1}_{S}(\mathrm{N.S.}_{A/S}, A'), donc un de \mathrm{N.S.}_{A/S} dans H^1(S, A'), …] « neutre » est écrit au-dessus de la ligne, entre les guillemets ; en marge gauche, en face de la ligne de \underline{\mathrm{Ext}}^1, un sigle biffé

Si alors on a une section de A', l'obstruction à l'obtenir à partir d'une

classe de faisceaux inversibles ~~locaux~~ sur S est dans le groupe de Brauer H^2(S, \mathbb{G}_m) [se rappeler que H^{*}(S, \mathbb{G}_m) \underset{p}{\Longleftarrow} H^p(S, \underline{H}^q_{\mathrm{loc}}(\mathbb{G}_m)) d'où H^n(S, \mathbb{G}_m) \longrightarrow H^0(S, \underline{H}^n_{\mathrm{loc}}(\mathbb{G}_m)) \quad \ldots\ ]. la flèche de la suite spectrale est double, avec p en dessous. L'indice « loc » des deux \underline{H} est une lecture douteuse

On obtient ainsi l'accouplement de Tate \boxed{\;H^1(S, A) \times H^0(S, A') \longrightarrow H^2(S, \mathbb{G}_m)\;}

Lequel d'ailleurs se précise (chaque fois que S' \to S est fid. plat) en des accouplements H^1(S'/S, A) \times H^0(S, A') \longrightarrow H^2(S'/S, \mathbb{G}_m)

Il semble, quand S' est fini sur S, et sachant que les \hat{H}^i(S'/S, A) sont définis, qu'on puisse définir aussi des accouplements \hat{H}^i(S'/S, A) \times \hat{H}^{1-i}(S'/S, A') \longrightarrow H^2(S'/S, \mathbb{G}_m) qu'il faudrait comprendre …

[Symboles locaux …]encadré en haut à droite

X courbe projective non singulière connexe déf. sur k alg. clos, K = k(X).

Si f, g \in k(X)^{*}, x \in X, on définit \boxed{\;(f,g)_x = \frac{f^{v_x(g)}}{g^{v_x(f)}}(x)\, (-1)^{v_x(f)\,v_x(g)}\;}

On a

(i)On a une application bilinéaire K^{*} \times K^{*} \to K^{*}le dernier K se lit majuscule, comme les deux premiers (ii)(f,g)_x = f(x)^{v_x(g)} = f\langle (g)_x \rangle si f : X \to \mathbb{G}_m défini en x (iii)(f,g)_x = 1 si g est une unité stricte, i.e. g(x) = 1 (iv)\displaystyle\prod_{x \in X} (f,g)_x = 1 (v)(f,g)_x\,(g,f)_x = 1

une accolade réunit (i) à (v)

si , f : X \to \mathbb{G}_m défini une g \in K^{*}en marge gauche, en face de (ii) et (iii)

On en déduit un accouplement \mathrm{I}(X) \times \mathrm{I}(X) \longrightarrow K^{*} \qquad (\mathrm{I}(X),\ \text{idèles})\ \text{par} (\vec{f}, \vec{g}) = \prod_x (f_x, g_x)_x

On a (\vec{f}, \vec{g}) = 1

si \vec{f} est principal et \vec{g} principal si \vec{f} ou \vec{g} est une unité stricte

les deux conditions sont réunies par une accolade

En particulier, K^{*} et UK^{*} sont orthogonaux, d'où des accouplements \boxed{\;K^{*} \times \mathcal{C}(X) \longrightarrow k^{*}\;} où \mathcal{C}(X) = classes d'idèles = \mathrm{I}/UK^{*}, qui induit un accouplement \{f, \vec{g}\} = f\langle D \rangle \prod_{x \in \ldots} g_x(x)^{-v_x(f)} l'ensemble d'indices du produit est illisible, rendu \ldots si \vec{g} \in \mathcal{C}(X) principal en x, D la classe du diviseur de \vec{f}. « classes d'idèles » est écrit sous \mathcal{C}(X) ; dans « \mathrm{I}/UK^{*} » une lettre avant K^{*} est récrite. La formule de \{f, \vec{g}\} et la phrase qui la suit sont écrites à cheval sur deux cadres, la phrase dans la marge droite

~~\mathcal{C}(X) \times UK^{*} \longrightarrow k^{*}~~ encadré, barré en zigzag ; au-dessous, biffé : « classes d'idèles »

\boxed{\;K^{*}/k^{*} \times C_0(X) \longrightarrow k^{*}\;} sous K^{*}/k^{*} : « diviseurs » ; sous C_0(X) : « classes d'idèles de degré 0 »

Voici la généralisation de Tate

X variété non singulière déf. sur k alg. clos, K = k(X)

A = A(X) var. d'Albanese, hom. \varphi : X \to A(X) \hat{A} variété de Picard « hom. \varphi : X \to A(X) » est écrit au-dessus de la ligne, avec une flèche qui le ramène entre les deux variétés ; le « (X) » de A(X) y est surchargé, et un signe biffé précède \hat{A}

Soient N le noyau d'Albanese : N = \mathrm{Ker}(\mathfrak{Z}_0(X) \to A(X))

\mathrm{I} le groupe des classes de répartitions \vec{f} = (f_x)_{x \in X} telles que il existe un diviseur D sur X, avec (f_x)_x = [D]_x \quad \text{pour tout } x. On a une application C = \mathrm{I}/K^{*} \longrightarrow \mathrm{Pic}(X) \quad (\text{classes de diviseurs}), soit C_0 l'image inverse de \hat{A} ; donc on a un homomorphisme surjectif C_0 \longrightarrow \hat{A} [\mathrm{I}_0 est l'image inverse de C_0 dans \mathrm{I}]. dans \mathrm{I}/K^{*}, un k^{*} est écrit puis biffé avant K^{*}. Le but de la flèche est surchargé ; on lit un P, rendu \mathrm{Pic}(X) d'après la parenthèse

On veut définir un accouplement N \times C_0 \longrightarrow k^{*} et pour cela, on définit un accouplement N \times \mathrm{I}_0 \longrightarrow k^{*} nul sur N \times K^{*}. Soit \bar{\mathfrak{z}} \in C_0, \mathfrak{z} = \sum a_i x_i \in N, \qquad \vec{f} = (f_x)_{x \in X} \in \mathrm{I}_0 un représentant de \bar{\mathfrak{z}} tel que \mathrm{div}(\vec{f}) ne rencontre pas \mathfrak{z}, D le diviseur défini par \vec{f}, \dot{D} sa classe dans \hat{A}, et \mathfrak{z}' \in \mathfrak{Z}_0(\hat{A}), \deg \mathfrak{z}' = 0, tel que \dot{D} = S(\mathfrak{z}'). Soit enfin \Theta un diviseur canonique sur X \times \hat{A} ne rencontrant pas \varphi(\mathfrak{z}) \times{} \mathfrak{z}', et considérons « \bar{\mathfrak{z}} \in C_0, » est écrit au-dessus de la ligne ; sous x_i un mot biffé. Le X de X \times \hat{A} est barré d'un trait en croix, sans rien au-dessus ; même chose en page 207

\lambda = \Theta\langle \mathfrak{z}, \mathfrak{z}' \rangle un signe biffé devant le premier \mathfrak{z}, un autre après le crochet qui est défini en notant que \Theta\langle \mathfrak{z} \rangle est un diviseur sur \hat{A} qui est linéairement équivalent à 0, car sa classe est définie par S\varphi(\mathfrak{z}) , qui est nulle ; donc on peut ~~prendre~~ trouver une fonction g sur \hat{A} telle que (g) = \Theta\langle \mathfrak{z} \rangle, et on pose \lambda = g\langle \mathfrak{z}' \rangle \qquad (\text{indépendant de } g \text{ car } \deg \mathfrak{z}' = 0)

D'autre part, on considère pour tout x \in{} X \mathfrak{z} les ~~f_x(x)~~ f_{x_i}(x_i)^{a_i}, et on pose \mu = \prod_i f_{x_i}(x_i)^{a_i} on pose alors \langle \mathfrak{z}, \bar{\mathfrak{z}} \rangle = \lambda/\mu = \Theta\langle \mathfrak{z}, \mathfrak{z}' \rangle \Big/ \prod_i f_{x_i}(x_i)^{a_i}

Montrons que \Theta\langle \mathfrak{z}, \mathfrak{z}' \rangle ne dépend que de \dot{D} et \mathfrak{z} : si on change \Theta en \Theta + (h), (h fonction sur X \times \hat{A}) on obtient la page s'arrête ici, au premier tiers