Cote n° 43 · batch 2 · pages 21–40 · Transcription · Dualité des groupes. Jacobiennes généralisées etc : notes et copies de notes manuscrites (s.d.)
Édition de démonstration

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21page de suites exactes et de schémas, dans la continuité des pages 18 et 19 (courbe \(X\), groupe \(G\), jacobiennes généralisées) ; les formules sont données dans l'ordre de la page \[0 \to G(K)/G(C) \longrightarrow \mathcal{D}iv^{0}_{G} \ \Big|\ H^1(X, G)^{0} \to 0\] le \(H\) est écrit sur une lettre antérieure ; un trait vertical coupe cette ligne et la suivante ; entre les deux lignes, deux traits obliques en croix, dont l'un, repassé, va de \(\prod J^{0}_{\mathcal{O}_D/k}\) vers \(\mathcal{D}iv^{0}_{G}\) \[\prod_{Z\ \text{de codim}\ 2} J_{\mathcal{O}_Z/k} \to \underbrace{\prod J^{0}_{\mathcal{O}_D/k}}_{?} \xrightarrow{\ u\ } J^{0}_{K/k} \ \Big|\ \longrightarrow \mathcal{J}^{0}_{X/k} \to 0 \qquad \text{\emph{$X$ complète}}\] \(\mathcal{J}\) rend un \(J\) bouclé, distinct du \(J\) droit des autres termes, et gardé ainsi \(\mathcal{D}iv_G \quad G(K)/G(C)\)

\(\mathcal{D}iv \subset \mathcal{D}iv\) \[(G\text{-}\mathcal{D}iv) = \mathrm{Hom}\Bigl(\bigl(\prod \mathcal{J}^{0}_{\mathcal{O}_D/k}\bigr) / \mathrm{Im}\bigl(\prod_{Z\ \text{codim}\ 2} J_{\mathcal{O}_Z/k}\bigr)\Bigr)\] \[(G\text{-}\mathcal{D}iv)^{0} \underset{\text{\uncertain{plausible}}}{=} \mathrm{Hom}\bigl(\prod \mathcal{J}^{0}_{\mathcal{O}_D/k} / \mathrm{Ker}\, u\bigr)\] le second argument des \(\mathrm{Hom}\) n'est pas écrit \[\boxed{(G\text{-}\mathcal{D}iv)/(G\text{-}\mathcal{D}iv)^{0} \subset \mathrm{Hom}\bigl(H_1(J_{*}), G(\ill{})\bigr)}\] \[0 \to A' \to A \to A'' \to 0 \qquad \boxed{\text{Ex. Néron-Severi} \subset \mathrm{Hom}\bigl(H_1(J_{*}), \mathbb{G}_m\bigr)}\] sous \(A'\), \(A\), \(A''\), trois petits traits obliques ; sous le second cadre, un troisième : \[\boxed{\text{A-t-on égalité ??}}\] \[0 \to \prod G(\mathcal{O}_x)/G(C) \longrightarrow J^{0}_{G} \longrightarrow H^1(X, G)^{0} \to 0\] \[0 \to ? \to \Bigl(\sum_D J^{*}_{k(D)/k}\Bigr)^{0} \to \mathcal{J}^{0}_{X/k} \to 0 \qquad G(L)\] entre ces deux lignes, deux doubles traits obliques marqués « ? », l'un biffé ; \(k(D)\) est écrit sur une lettre antérieure. À droite, un grand arc les enferme, avec en marge : « Aucune […] […] […] […] n'existe… »

Quel était l'accouplement idélique de Tate ???

22\(X \times Y\) \(A\), \(\mathrm{Ext}^1(A, G)\)

\(D\) […] \(G\)-diviseur sur \(X \times Y\), horizontal […] fibres de \(X \times Y \to X\) au-dessus de « \(G\)-diviseur », un mot entouré, ordinaire transforme \(0\)-cycles de \(X\) en \(G\)-diviseurs sur \(Y\), et \(0\)-cycles du noyau d'Albanese en \(G\)-diviseurs principaux (?)

[…]

\(X \times Y\). […] \(\to \mathrm{Pic}^{*}(Y)\) \[J^{*}_{X/k} \longrightarrow \mathrm{Pic}^{*}_{G}(Y)\]

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=normal, nodes={font=\scriptsize}]
0 \arrow[r] & \text{Noyau d'Albanese} \arrow[r] \arrow[d] & Z^{0}_{X} \arrow[r] \arrow[d] & J^{0}_{X/k} \arrow[r] \arrow[d] & 0 \\
0 \arrow[r] & G(K)/G(Y) \arrow[r] & \mathcal{D}iv^{0}(Y, G) \arrow[r] & \mathrm{Pic}^{0}(Y, G) \arrow[r] & 0
\end{tikzcd}

sous \(Z^{0}_{X}\) : « \(0\)-cycles de degré \(0\) » ; sous \(J^{0}_{X/k}\) : « Albanese de \(X\) » ; sous \(\mathcal{D}iv^{0}(Y,G)\) : « alg. équiv. à \(0\) », où le \(Y\) est écrit sur un \(X\) biffé ; sous \(\mathrm{Pic}^{0}(Y,G)\) : « classes de fibrés alg. équiv. à \(0\) » ; le \(G(Y)\) de la ligne du bas est écrit sur une lettre antérieure \[0 \to \text{Noyau} \longrightarrow J^{0}_{K_Y/k} \longrightarrow \mathcal{J}^{0}_{Y/k} \to 0\]

Théorème de Rosenlicht

titre inscrit de sa main en haut à droite du feuillet chamois de la page 23, sans autre contenu

24en haut à gauche, de sa main, « 1 » (son numéro de page ; les pages 25 à 34 ne portent pas de numéro visible)

Théorème de Rosenlicht

(I), entouré Existence des Picard pour les courbes

Soit \(X\) un \(Y\)-schéma, avec

• a)\(Y\) loc. noethérien
• b)\(X\) propre sur \(Y\) (faut-il même : loc. projectif ?)
• c)\(X\) plat sur \(Y\)
• d)Les fibres de \(X\) sur \(S\) sont des courbes algébriques absolument […] et absolument [connexes] réduites [ce dernier pt n'est pas essentiel…]
• e)Le nb de composantes […] irréd. absolues des fibres de \(X\) sur \(Y\) est loc. constant sur \(Y\)

la fin de d), à partir de « et absolument », est ajoutée en marge droite ; « connexes » est écrit au-dessus d'un mot biffé en face de e), entre crochets : si on abandonne cette hypothèse, on tombe sur des phénomènes à la Néron ?!

Alors le \(S\)-schéma \(\mathrm{Pic}_{X/Y}\) relatif existe, et est simple sur \(Y\).

De plus, si le nb des composantes irréductibles absolues est \(n\), il y a un revêtement étale \(Y'\) de degré \(n\) de \(Y\) et si \(\mathbb{Z}_{Y'/Y}\) est le schéma en groupes sur \(Y\) défini par \(Y'\) (qui sur \(Y'\) devient isomorphe à \(\mathbb{Z}^n\)) on a une augmentation morphisme et […] fidèlement plate \[\mathrm{Pic}_{X/Y} \longrightarrow \mathbb{Z}_{Y'/Y}\] […], souligné, en face de ces lignes au-dessus de la ligne, relié à \(\mathbb{Z}_{Y'/Y}\) par une accolade : \(\mathbf{N}_{Y'/Y}(\mathbb{Z}_{Y'}) = \underline{\mathrm{Hom}}_Y(Y', \mathbb{Z}_Y)\) dont le noyau sera noté \(\mathrm{Pic}^{0}_{X/Y}\), d'où la suite exacte \[0 \to \mathrm{Pic}^{0}_{X/Y} \to \mathrm{Pic}_{X/Y} \to \mathbb{Z}_{Y'/Y} \to 0.\] Notons que l'on a un homomorphisme trace \[\mathbb{Z}_{Y'/Y} \longrightarrow \mathbb{Z}_Y\] donc une augmentation \[\mathrm{Pic}_{X/Y} \longrightarrow \mathbb{Z}_Y\] cette dernière ligne et la précédente sont d'une autre encre, brune

25Les fibres de \(\mathrm{Pic}^{0}_{X/S}\) sont connexes, et puisque les fibres de \(X\) sont simples ligne ajoutée en tête de page, d'une écriture plus serrée

Soit […] \(X - S\) l'ens. des pts de \(X\) qui sont non simples sur \(Y\). On va définir un morphisme \[\boxed{X - S \longrightarrow \mathrm{Pic}^{1}_{X/S}}\] où l'exposant \(1\) indique qu'il est dans la composante d'augmentation \(1\). Il suffira de le définir fonctoriellement [pour le changement de base, comme […]] morphisme \[\Gamma(X - S/Y) \longrightarrow \mathrm{Pic}^{1}(X/S)\] Or on note que une section de \(X - S\) sur \(Y\) définit un diviseur sur \(X - S\) (transversal : \(X/Y\)) vérifier ?? d'où un faisceau inversible, dont on constate que le [degré] […] est \(+1\) [car on peut supposer \(Y = \mathrm{Spec}(k)\), \(k\) alg. clos].

(II) Partons d'un \(X\) propre et simple sur \(Y\), dont les fibres sont de dim \(1\), Soient \(X_i\) (i.e. et abst. connexes (donc abst. irréductibles)). Soit \(S\) un sous-préschéma [fermé] \(X\) plat sur \(Y\) et ne contenant aucune fibre de \(X/Y\), donc fini sur \(Y\), et plat sur \(Y\). Soit \(\mathfrak{J}\) le faisceau d'idéaux définissant \(Y\). Alors on prouve facilement que \(\mathfrak{J}\) est localement libre [c'est purement local : un faisceau cohérent sur \(X\) plat relat. à \(Y\) et […] […] une restriction à chaque fibre plate sur \(X\)…] on attendrait « définissant \(S\) » ; la lettre se lit \(Y\) en marge gauche, en face de II : fibres abst. connexes […] […] […] […] […]

26donc il s'ensuit [il s'ensuit] facile que les \(\mathfrak{J}^{n}\) […] […] \(\mathcal{O}_X/\mathfrak{J}^{n}\) sont […] plats sur \(Y\). Soit […] \(S_n\) le sous-préschéma de \(X\) défini par \(\mathfrak{J}^{n}\), et soit \(X_n = X \amalg_{S_n} Y\) le […] [\(Y\)-]préschéma obtenu en « contractant \(S_n\) en \(S\) ». Soit dorénavant \(X_S = X - S\). Donc \(X_0 = X\), et les \(X_i\) forment un système [inductif] projectif. Donc les \(\mathrm{Pic}_{X_n/S}\) forment un système inductif projectif, d'où un pro-(\(S\)-préschéma en groupes) noté \(\mathrm{Pic}_{S,X/Y}\), et qui ne dépend que de la bête formée \(S\) de \(X/Y\), […] […] […] (du moins, si \(Y\) est […] noethérien) […] résultera d'ailleurs de la construction qu'on donnera plus bas.

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
S_n \arrow[r, "i_n"] \arrow[d, "f_n"'] & X \arrow[d, "p_n"] \\
Y \arrow[r, "\varepsilon_n"] & X_n
\end{tikzcd}

à gauche de ce carré, un premier carré de même forme, hachuré et biffé ; au-dessous : \(\cdots\ X_2 \leftarrow X_1 \leftarrow X_0 = X\)

Les morphismes canoniques \(X - S \to \mathrm{Pic}^{1}_{X_n/Y}\) définissent à la limite un morphisme \[\boxed{\varphi_S \colon X - S \longrightarrow \mathrm{Pic}^{1}_{S, X/Y} \subset \mathrm{Pic}_{S, X/Y}}\]

27Théorème Soit \(G\) un \(Y\)-schéma en groupes [commutatifs] de type fini […] sur \(Y\), et \(P^{1}\) un fibré principal homogène sous \(G\) [devenant trivial par extension fid. plate quasi-compacte…], d'où un schéma en groupes \(\mathbb{Z}\)-augmenté \(P\), avec \(P^{(1)} = P^{1}\), \(P^{(0)} = G\). Considérons l'application canonique \(u \mapsto u \circ \varphi_S\) l'énoncé jusqu'ici est marqué d'un trait vertical dans la marge gauche \[\mathrm{Hom}_{\substack{Y\text{-schémas en groupes}\\ \mathbb{Z}\text{-augmentés}}}\bigl(\mathrm{Pic}_{S, X/Y}, P\bigr) \longrightarrow \mathrm{Hom}_Y(X - S, P^{1})\] Cette application est bijective

(Th. de Rosenlicht)

Corollaire 1 \[\mathrm{Hom}_{Y\text{-schémas en groupes}}\bigl(\mathrm{Pic}_{S, X/Y}, G\bigr) \xrightarrow{\ \sim\ } \mathrm{Hom}_Y(X - S, G)\]

Corollaire 2 L'homomorphisme de [Considérons] [le] [foncteur] \(\varphi^{*}_{S}\), de [(en groupes commutatifs)] la catégorie des schémas extensions des \(\mathrm{Pic}_{S, X/Y}\) par des \(Y\)-schémas en groupes commutatifs de type fini \(G\) sur \(Y\), dans la catégorie « Considérons », « foncteur » et « (en groupes commutatifs) » sont écrits dans l'interligne, au-dessus d'un passage biffé ; l'énoncé est marqué d'un trait vertical dans la marge il faut […] définition […] « […] » […] « extension » ? \(G\) plat […] ???

28des fibrés principaux homogènes sur \(X - S\) de groupes de type \(G\). Ce foncteur est pleinement fidèle. fin de l'énoncé du Corollaire 2, marquée d'un trait vertical en marge ; le \(X - S\) est écrit sur une lettre antérieure

Soient \(Q\), \(Q'\) deux telles extensions, de groupes \(G\), \(G'\). Un homom. de \(Q'\) dans \(Q\) est formé d'un homom. \(u \colon G' \to G\) et d'[un isom. de \(Q'' = Q \times_G G'\)] […] [[…] isom. de \(Q'' = Q \times_{G} G'\) avec […] […] \(\mathrm{Hom}_{S,u}(Q', Q)\), […] […] […] fibré] \(Q'\) […] ([…] […] que extensions de groupe […] \(G'\)). Il y a […] ssi \(Q'\) et \(Q''\) sont isomorphes. passage très raturé : un premier complément, biffé de plusieurs traits, est remplacé par « un isom. de \(Q'' = Q \times_G G'\) », écrit au-dessus et relié par un trait il faut préciser définition […] fibrés modifiés, attention !

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
Q & Q'' \\
X - S \arrow[r] & \mathrm{Pic}_{S, X/S}
\end{tikzcd}

croquis en marge gauche ; une flèche en pointillé monte vers \(Q\), un trait relie \(Q\) à la ligne du bas

Or \[\mathrm{Ext}^1\bigl(\mathrm{Pic}_{S}, G\bigr) \longrightarrow H^1(X - S, G)\] sous le \(\mathrm{Pic}\) du premier terme, un \(Q\) biffé ; le \(H^1\) est écrit sur un \(\mathrm{Ext}\) biffé étant un homom. de groupes, pour prouver qu'il est injectif (i.e. \(Q\) et \(Q'\) isom. ssi \(\varphi^{*}(Q)\) et \(\varphi^{*}(Q')\) le sont) on est ramené à prouver que le noyau est nul, i.e. que si \(\varphi^{*}(Q)\) est trivial, alors \(Q\) l'est. Cela résulte facilement [aussitôt] du th. de Rosenlicht. attention, il faut préciser […] […] « […] » […] fibrés

Comment ([…] \(\varphi^{*}\) est […] pleinement […] […]) […] […] […], […] […]

29est ainsi ramené à prouver que \[\mathrm{Hom}(Q, Q) \longrightarrow \mathrm{Hom}\bigl(\varphi^{*}(Q), \varphi^{*}(Q)\bigr)\] est bijectif. Or les deux s'identifient respect. à \[\mathrm{Hom}_{\text{gr.\ sur}\ Y}(\mathrm{Pic}_{S}, G) \quad\text{et}\quad \mathrm{Hom}_Y(X - S, G)\] devant le second \(\mathrm{Hom}\), un signe biffé donc est isomorphe.

En particulier

Corollaire 3 Si \(G\) est un schéma en groupes commut. de type fini sur \(Y\), […] […] […] homom. canonique injectif l'énoncé est marqué d'un trait vertical en marge \[\mathrm{Ext}^1_{\substack{\text{schémas en groupes}\\ \text{sur}\ Y}}\bigl(\mathrm{Pic}_{S, X/S}, G\bigr) \longrightarrow H^1(X - S, G)\] l'\(\mathrm{Ext}\) est écrit sur un \(H\) biffé préciser la signification…

Il semble que c'est bijectif chaque fois que \(S \to Y\) est surjectif, i.e. que les fibres de \(X/Y\) sont non propres, […] […]. Dans le cas où \(S = \emptyset\), \(G = \mathbb{G}_m\), […] […] […] pas surjectif. « bijectif » est écrit sur un mot antérieur

30page de prose rapide, sans formule centrée ; seuls les termes mathématiques et quelques mots se lisent Je remarque néanmoins que dans le cas général, pour prouver que un fibré principal \(E\) sur \(X - S\) provient d'une fibré principal extension de \(\mathrm{Pic}_S\) par \(G\), il suffit (utilisant le théorème de la descente) de le vérifier en remplaçant \(S\) par les spectres des complétés des […] anneaux locaux de […] [[…] plus, utilisant la géométrie formelle […] […]]. \(G\) […] bien […] […] […] […] […] […] formellement. […] […] […] […] […] d'un […] […] […]. Travaillant de proche en proche, on est […] à vérifier que […] […] […] [[…]] les corps résiduels de \(S\). Utilisant […] […] […] suivant on est ramené à le vérifier […] […] les clôtures algébriques des corps résiduels… Ce point […] […] […] […] d'un tiers plus […]ment.

31Utilisant une technique de […] […], il semble que, on et définit […] […] un homomorphisme \[\longleftrightarrow\ H^1(X, G) \xrightarrow{\ d\ } \mathrm{Hom}_{Y\text{-gr}}(\mathbb{G}_m, G) \qquad \text{[\ill{} \emph{degré}]}\] devant la double flèche, une lettre biffée, \(Y\) en oblique dans la marge gauche, reliée par la double flèche : la définition […] […] […] […] hyp., […] \(= \mathrm{Spec}(\ill{})\), \(G = \mathbb{G}_m\) […] et on trouve que la suite \[\boxed{0 \to \mathrm{Ext}^1(\mathrm{Pic}_{X/Y}, G) \to H^1(X, G) \to \mathrm{Hom}_{Y\text{-gr}}(\mathbb{G}_m, G)}\] la barre du premier \(\mathrm{Ext}\) est un \(\mathrm{Pic}\) surchargé ; sous le second \(H^1\), l'argument se lit \(X\), suivi d'un indice […] est exacte. Je ne sais pas […] […] […] la suite exacte plus complète : \[\boxed{\to \mathrm{Ext}^2(\mathrm{Pic}_{X/Y}, G) \to H^2(X, G) \to \mathrm{Ext}^1_{Y\text{-gr}}(\mathbb{G}_m, G) \to \cdots}\] […] a […] […] […] \[\mathrm{Ext}^1(\mathbb{G}_m, G) \longrightarrow \mathrm{Ext}^{\ill{}}(\mathrm{Pic}_{X/Y}, G)\] […] la multiplication par un élément fondamental \[\xi \in \mathrm{Ext}^2_{Y\text{-groupes}}(\mathrm{Pic}_{X/Y}, \mathbb{G}_m)\] dont la définition […] […] […] […] ; il […] […] […] [cela s'il existe […] \(S \to Y\) non surjectif],

32condition toujours remplie lorsque \(S\) est local : l'on considère l'extension \[0 \to N_S \longrightarrow \mathrm{Pic}_{S, X/Y} \longrightarrow \mathrm{Pic}_{X/Y} \to 0\] d'où un \[\xi \in \mathrm{Ext}^1(\mathrm{Pic}_{X/Y}, N_S)\] puis l'extension \[0 \to \mathbb{G}_{m,Y} \longrightarrow \mathcal{E}_{X/Y/S} \longrightarrow N_S \to 0\] d'où un \[\eta \in \mathrm{Ext}^1(N_S, \mathbb{G}_{m,Y})\] et on pose \[\zeta = \eta \circ \xi\] Dans le cas où \(\zeta = 0\), i.e. par exemple s'il existe une section de \(X\) sur \(Y\) (qui […] […] […] […] \(\zeta\), […] […] […] […] […] \(\eta = 0\)] […] […] […] […] les suites exactes plausibles suivantes \[\boxed{0 \to \mathrm{Ext}^{i}(\mathrm{Pic}_{X/Y}, G) \to H^{i}(X, G) \to \mathrm{Ext}^{i-1}(\mathbb{G}_m, G) \to 0}\] la lettre notée \(\mathcal{E}\) est une majuscule ornée, écrite sur un signe biffé

33feuillet plus large, en deux colonnes ; la colonne de gauche est donnée d'abord Passant à la limite sur des \(S\) de plus en plus grands (cet […] filtrant sur \(Y\), […] […] la […]) on trouve un […] [pro-\(Y\)-][…] \[\mathrm{Pic}_{\infty\, X/Y},\] […] et un […] [pro-morphisme] […] […] fibre de \(X/Y\) \[\varphi_\infty \colon X \longrightarrow \mathrm{Pic}^{1}_{\infty}\] qui est solution d'un problème universel relatif aux pro-morphismes […] […] fibres de \(X/Y\) dans les pro-[…] [commutatifs] des \(Y\)-schémas en groupes (de type fini. […] […], si \(R_{X/Y}\) […] désigne […] […] […] sur \(Y\) défini par \(X\) \[\left\lbrace \begin{array}{l} \mathrm{Hom}(R_{X/Y}, P^{1}) \simeq \mathrm{Hom}_{Y\text{-gr}}(\mathrm{Pic}^{1}_{\infty}, P) \\ \underline{H}^{0}(R_{X/Y}, G) \xleftarrow{\ \sim\ } \mathrm{Hom}_{Y\text{-gr}}(\mathrm{Pic}_{\infty}, G) \\ \underline{H}^{1}(R_{X/Y}, G) \xleftarrow{\ \sim\ } \mathrm{Ext}^{1}_{Y\text{-gr}}(\mathrm{Pic}_{\infty}, G) \quad (\text{et } \ill{}\ \ill{}) \\ \underline{H}^{i}(R_{X/Y}, G) \xleftarrow{\ \sim\ } \mathrm{Ext}^{i}_{Y\text{-gr}}(\mathrm{Pic}_{\infty}, G) \end{array}\right.\] devant l'accolade, un « \(H^1(Z,\) » biffé ; en marge, reliées à l'accolade : « […] des faisceaux sur \(S\) » ; les \(\underline{H}\) sont soulignés d'un trait ondulé ; dans le premier \(\mathrm{Hom}\), un indice […] sous \(R\)

Je note : liés les \(\mathrm{Ext}^{i}(\mathrm{Pic}_{S, X/S}, G)\) avec les \(\mathrm{Ext}^{i}(\mathrm{Pic}^{0}_{S, X/S}, G)\) par l'intermédiaire d'habitude. Le lien se fait par la suite exacte des \(\mathrm{Ext}\) […] de \[(*) \qquad 0 \to \mathrm{Pic}^{0}_{S} \to \mathrm{Pic}_{S} \to \mathbb{Z} \to 0\] donnant une \[\begin{aligned} &\to H^0(S, G) \to \mathrm{Hom}(\mathrm{Pic}_S, G) \to \mathrm{Hom}(\mathrm{Pic}^{0}_{S}, G) \to H^1(S, G) \to \mathrm{Ext}^1(\mathrm{Pic}_S, G) \\ &\to \mathrm{Ext}^1(\mathrm{Pic}^{0}_{S}, G) \to H^2(S, G) \to \mathrm{Ext}^2(\mathrm{Pic}_S, G) \to \cdots \end{aligned}\] au-dessus de \(\mathrm{Hom}(\mathrm{Pic}_S, G)\), relié par \(\simeq\) : \(\mathrm{Hom}(X - S, G)\) ; au-dessus de \(\mathrm{Ext}^1(\mathrm{Pic}_S, G)\) : \(H^1(X - S, G)\), relié par « \(\simeq\) ? » ; au-dessus de \(\mathrm{Ext}^2(\mathrm{Pic}_S, G)\) : \(H^2(X - S, G)\), relié par « \(\simeq\) ? » ; au-dessous de la suite, un grand signe biffé

On notera que dans cette théorie, [du moins pour les […]] on n'a aucun besoin de notion de […] local […] aucune notion de la théorie des Jacobiennes locales, qui […] […] […] […] […]…

34Détailler \[0 \to \underset{\substack{\text{faisceau de}\\ \text{Picard relatif}\\ \text{\uncertain{ordinaire}\ (?)}}}{\mathrm{Pic}(X/Y)_0} \longrightarrow \underline{\mathrm{Ext}}^1\bigl(\mathrm{Pic}^{0}_{X/Y}, \mathbb{G}_m\bigr)\] « ordinaire » est souligné ; sous \(\underline{\mathrm{Ext}}^1\), le soulignement est ondulé

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=normal, nodes={font=\scriptsize}]
\underline{\mathrm{Ext}}^1(\mathrm{Pic}^{0}_{X/Y}, \mathbb{G}_m) \arrow[d, "2"] & \text{\emph{autodualité des jacobiennes}} \\
\underline{H}^{0}(Y, \mathrm{Pic}^{0}_{X/Y}) &
\end{tikzcd}

la flèche verticale, marquée « 2 », descend de l'\(\underline{\mathrm{Ext}}^1\) de la ligne précédente ; devant \(\underline{H}^{0}\), un signe biffé

La multiplicité […] […] […] par les faisceaux de Weil [sur \(Y\)]. Ceci dit, on […] avoir […] des […] convenables \[\underline{\underline{H}}^{*}(X_S/Y, G) \xleftarrow{\ \sim\ } \underline{\underline{\mathrm{Ext}}}^{*}_{Y}(\mathrm{Pic}_S, G)\] sous le second terme, une flèche marquée « 2 » descend vers \(\underline{\underline{\mathrm{Ext}}}^{*}(\mathrm{Pic}^{0}_{S}, G)\), suivi de […] […] doublement soulignés ; les soulignements doubles sont les siens D'autre part on a [des] suites spectrales, \[\begin{aligned} \mathrm{Ext}^{*}(\mathrm{Pic}_S, G) &\Longleftarrow H^{p}\bigl(Y, \underline{\underline{\mathrm{Ext}}}^{q}(\mathrm{Pic}_S, G)\bigr) \\ \underline{H}^{*}(X_S/Y, G) &\Longleftarrow H^{p}\bigl(Y, \underline{\underline{H}}^{q}(X_S/Y, G)\bigr) \end{aligned}\] d'où […] substituant une suite spectrale \(H^{*}(X_S/Y, G) \Longleftarrow H^{p}\bigl(Y, \underline{\underline{\mathrm{Ext}}}^{q}(\mathrm{Pic}_S, G)\bigr)\) d'où une […] […] […] […] la formule encadrée et la ligne qui la suit sont barrées d'un trait en zigzag et d'un trait oblique compatible […] résultat plausible \[H^{*}(X_S/Y, G) \simeq \mathrm{Ext}^{*}_{S}(\mathrm{Pic}_S, G)\] \(0 \to H^1(Y, \underline{\mathrm{Hom}}(\mathrm{Pic}_S, G))\)

Adèles des préschémas

titre inscrit de sa main en haut à droite du feuillet chamois de la page 35, sans autre contenu

36\(\mathbb{S}_\infty\) schéma d'anneaux [affine] sur \(\mathbb{Z}\), si \(A\) est un anneau, on a \[\mathbb{S}_\infty(A) = A[[t]]^{**}\] l'argument de \(\mathbb{S}_\infty\) est écrit sur une lettre biffée ; \(\mathbb{S}\) rend son \(S\) barré, à la manière d'une lettre double (séries formelles d'augmentation \(1\)) où l'addition est la multiplication des séries formelles, et le produit est la convolution \(*\). Il y a aussi des opérations \(\lambda^{i}\). Rappelons, \[(1 + at) * f(t) = f(at) \qquad \text{i.e.} \qquad \{1 + at\}\{f(t)\} = \{f(at)\}\] à l'encre rouge, en oblique dans la marge gauche : Relations entre séries formelles et vecteurs de Witt Si \(A\) est de car \(p > 0\), on aura un endomorphisme \(F\) de \(\mathbb{S}_\infty(A)\) [provenant de l'endomorphisme de Frobenius de \(\mathbb{S}_\infty\, \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\)] \[F\Bigl(\sum a_i t^{i}\Bigr) = \sum a_i^{p} t^{i}\] et on aura \[f(t)^{p} = F(f)(t^{p})\] devant cette formule, un début biffé, « \(F(f(t))\) » Cela conduit alors à poser \[V(f)(t) = f(t^{p})\] [\(V\) est un endomorphisme additif] et on aura \[FV(\{f\}) = VF(\{f\}) = p\{f\}\] N.B. \(F\) est aussi un endomorphisme pour la structure d'anneau.

[…] […] par exemple \[(1 + x t^{p^{i}}) * f(t) = F^{i}(f)(x t^{p^{i}}) \qquad\quad (1 + at)^{p^{i}} * f = f(at)^{p^{i}}\] car si \(x = a^{p^{i}}\), le premier membre est \(1 + x\) \[= F^{i}(f)(a^{p^{i}} t^{p^{i}}) = F^{i}(f)(x t^{p^{i}}).\] dans la première formule, le \(x\) est écrit sur un \(a\)

Sans restriction […] de caractéristique, on a un morphisme d'anneaux \[\psi \colon \mathbb{S}_\infty \longrightarrow \mathbb{W}_\infty \qquad \text{[anneau de Witt pour le nb premier } p\text{]}\] « ? » en marge gauche qui […] […] […] morphisme additif déterminé par \[\psi(\{1 + at\}) = \varepsilon(a) = (a, 0, 0, \ldots)\]

37(cela montre […] […] […] l'application des « représentants multiplicatifs » est fonctorielle, i.e. provient d'un morphisme de \(\mathbb{Z}\)-schémas \(\mathbb{G}_m \to \mathbb{W}_\infty\)).

39\[0 \to K^{*} \longrightarrow \prod_{\text{local}} K_x^{*} \longrightarrow J_C^{(\bar k)} \to 0\] un grand « ? » entouré, en haut à droite dans un cadre arrondi, à gauche : Énoncé de passage à la limite \[\begin{array}{ll} \hat H^{*}(\Gamma, K^{*}) = 0 & \text{par le théorème de \ill{} global} \\ \hat H^{*}(\Gamma, K_x^{*}) = 0 & \text{\quad " \qquad local} \end{array}\] d'où \[\hat H^{*}(\Gamma, J_C^{(\bar k)}) = 0 \qquad \text{\uncertain{géométriques}}\] En particulier \(C^{*}(\Gamma, J_C(\ill{}))\) est une résolution de \(J\). \(H^0(C^{*}(\Gamma, J_C(\bar k)))\) \[C^{*}(\Gamma, J_C^{(\bar k)}) \quad \text{est une \emph{résolution} de} \quad H^0(\Gamma, J_C^{(\bar k)})\] Or […] […], on sait que \(H^1(\Gamma, K^{*}) = 0\) \[\begin{aligned} H^0(\Gamma, J_C(\bar k)) &= H^0\Bigl(\prod_{\substack{\text{local}\\ x \in X}} K_x^{*}\Bigr) \Big/ \mathrm{Im}\, H^0(K^{*}) \\ &= \Bigl(\prod_{\substack{\text{local}\\ x' \in X'}} K'^{*}_{x'}\Bigr) \Big/ K'^{*} = J_{C'}(\bar k) \end{aligned}\] C'est bien une résolution (Mais qui ne sont pas « admissibles ») de \(\pi\)-groupes

D'où \[H^{*}(\pi, J_{C'}(\bar k)) \Longleftarrow H^{p}\bigl(H^{q}(\pi, \underbrace{C^{*}(\Gamma, J_C(\bar k))}_{C^{*}(\Gamma, J_C)(\bar k)})\bigr)\] \[q > 0 \qquad H^{q}(\pi, C^{*}(\Gamma, J_C)(\bar k)) = H^{q}(\pi, C^{*}(\Gamma, \mathbb{Z})) = 0 \quad (\text{Lang})\] au-dessus du second membre, « \(C^{*}C\) » biffé \[q = 0 \qquad C^{*}(\Gamma, J_C(\bar k))^{\pi} = C^{*}(\Gamma, J_C(k))\] en marge droite : « trivial car \(C^{*}(\Gamma, \mathbb{Z}) \simeq \mathbb{Z}^{(\Gamma)}\) », suivi d'un crochet et d'un trait ondulé

40page écrite tête-bêche par rapport à la numérotation des archivistes ; formules éparses, données de haut en bas dans le sens de l'écriture \[H^{p}\bigl(k, \underline{\underline{H}}^{q}(\Gamma, J_{C'})\bigr) \Longleftarrow H^{p}(k, J_C) \qquad J_C(k)\] entre les deux membres, un signe biffé ; devant \(J_C(k)\), un signe biffé d'un trait oblique \[H^{p}\bigl(H^{q}(k, \underline{\underline{C}}^{*}(\Gamma, J_{C'}))\bigr)\] \[\underset{q = 0}{H^{p}}\bigl(C^{*}(\Gamma, J_{C'})\bigr) = H^{p}(\Gamma, J_{C'})\] \[J_{C'}(\bar k) \qquad \underline{C}(\Gamma^{n}, J_{C'})(\bar k) \qquad \text{\emph{résolution} de } J_C(\bar k) \text{ \uncertain{par} des } \pi\text{-\uncertain{modules}}\] \(\Gamma\) \(\pi\) \[H^{*}(\pi, J_C(\bar k)) \Longleftarrow H^{p}\bigl(H^{q}(\pi, \underline{C}(\Gamma^{\cdot}, J_{C'})(\bar k))\bigr)\] \[\begin{array}{ll} \| & \\ J_C(k) & H^{q}(\pi, \underline{C}(\Gamma^{\cdot}, \mathbb{Z})) \underset{q > 0}{=} 0 \end{array}\] \[H^0(\Gamma, J_{C'}(\bar k)) \qquad C(\Gamma^{\cdot}, J_{C'}) \qquad H^{p}(\Gamma, J_{C'}(k))\] devant \(C(\Gamma^{\cdot}, J_{C'})\), un « \(H^0(\) » biffé \[\underline{C} \qquad \Gamma \qquad C(\Gamma^{n}, J^{\cdot}_{C'})\] \[J_C(\bar k) \to \underline{J_{C'}(\bar k)} \longrightarrow J_{C'}(\bar k)^{\Gamma} \longrightarrow J_{C'}(\bar k)^{\Gamma^{2}}\] \[(\delta\varphi)(\underset{\uparrow\,\gamma}{x}) = \varphi(\gamma x) - \varphi(x) \qquad \tau_\gamma \varphi - \varphi\]