en haut à gauche, de sa main, « 1 » (son numéro de page ; les pages 25 à 34 ne portent pas de numéro visible)

Théorème de Rosenlicht

(I), entouré Existence des Picard pour les courbes

Soit X un Y-schéma, avec

la fin de d), à partir de « et absolument », est ajoutée en marge droite ; « connexes » est écrit au-dessus d'un mot biffé en face de e), entre crochets : si on abandonne cette hypothèse, on tombe sur des phénomènes à la Néron ?!

Alors le S-schéma \mathrm{Pic}_{X/Y} relatif existe, et est simple sur Y.

De plus, si le nb des composantes irréductibles absolues est n, il y a un revêtement étale Y' de degré n de Y et si \mathbb{Z}_{Y'/Y} est le schéma en groupes sur Y défini par Y' (qui sur Y' devient isomorphe à \mathbb{Z}^n) on a une augmentation morphisme et fidèlement plate \mathrm{Pic}_{X/Y} \longrightarrow \mathbb{Z}_{Y'/Y} , souligné, en face de ces lignes au-dessus de la ligne, relié à \mathbb{Z}_{Y'/Y} par une accolade : \mathbf{N}_{Y'/Y}(\mathbb{Z}_{Y'}) = \underline{\mathrm{Hom}}_Y(Y', \mathbb{Z}_Y) dont le noyau sera noté \mathrm{Pic}^{0}_{X/Y}, d'où la suite exacte 0 \to \mathrm{Pic}^{0}_{X/Y} \to \mathrm{Pic}_{X/Y} \to \mathbb{Z}_{Y'/Y} \to 0. Notons que l'on a un homomorphisme trace \mathbb{Z}_{Y'/Y} \longrightarrow \mathbb{Z}_Y donc une augmentation \mathrm{Pic}_{X/Y} \longrightarrow \mathbb{Z}_Y cette dernière ligne et la précédente sont d'une autre encre, brune

\mathbb{S}_\infty schéma d'anneaux affine sur \mathbb{Z}, si A est un anneau, on a \mathbb{S}_\infty(A) = A[[t]]^{**} l'argument de \mathbb{S}_\infty est écrit sur une lettre biffée ; \mathbb{S} rend son S barré, à la manière d'une lettre double (séries formelles d'augmentation 1) où l'addition est la multiplication des séries formelles, et le produit est la convolution *. Il y a aussi des opérations \lambda^{i}. Rappelons, (1 + at) * f(t) = f(at) \qquad \text{i.e.} \qquad \{1 + at\}\{f(t)\} = \{f(at)\} à l'encre rouge, en oblique dans la marge gauche : Relations entre séries formelles et vecteurs de Witt Si A est de car p > 0, on aura un endomorphisme F de \mathbb{S}_\infty(A) [provenant de l'endomorphisme de Frobenius de \mathbb{S}_\infty\, \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}] F\Bigl(\sum a_i t^{i}\Bigr) = \sum a_i^{p} t^{i} et on aura f(t)^{p} = F(f)(t^{p}) devant cette formule, un début biffé, « F(f(t)) » Cela conduit alors à poser V(f)(t) = f(t^{p}) [V est un endomorphisme additif] et on aura FV(\{f\}) = VF(\{f\}) = p\{f\} N.B. F est aussi un endomorphisme pour la structure d'anneau.

par exemple (1 + x t^{p^{i}}) * f(t) = F^{i}(f)(x t^{p^{i}}) \qquad\quad (1 + at)^{p^{i}} * f = f(at)^{p^{i}} car si x = a^{p^{i}}, le premier membre est 1 + x = F^{i}(f)(a^{p^{i}} t^{p^{i}}) = F^{i}(f)(x t^{p^{i}}). dans la première formule, le x est écrit sur un a

Sans restriction de caractéristique, on a un morphisme d'anneaux \psi \colon \mathbb{S}_\infty \longrightarrow \mathbb{W}_\infty \qquad \text{[anneau de Witt pour le nb premier } p\text{]} « ? » en marge gauche qui morphisme additif déterminé par \psi(\{1 + at\}) = \varepsilon(a) = (a, 0, 0, \ldots)