Cote n° 41 · batch 1 · pages 1–13 · Transcription · Construction de morphismes étales (Chap. V) : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : [années 1960-1970]
Édition de démonstration

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Morphismes étales associés à l'étude des composantes irréductibles d'un morphisme ouvert

le titre est de lui : il est écrit, souligné, sur le feuillet 1, par ailleurs vide, sous un « Chap. VI » souligné et sous deux mots biffés dont le premier, « Construction », est celui que les archivistes ont retenu pour leur propre titre

1

Chap. VI. Dans le § de la descente, […], applications,

Construction Étude

suivent, soulignés et occupant deux lignes, les mots qui donnent son titre à la section : « Morphismes étales associés à l'étude des composantes irréductibles d'un morphisme ouvert ». Le reste du feuillet est vide

le chiffre du chapitre est un VI sur le feuillet, et non le V que porte l'inventaire ; le groupe où les archivistes rangent la cote est celui du Séminaire de Géométrie Algébrique

3

\(X\) de type fini sur \(Y\). On dit que \(X\) est monogène sur \(Y\) si

  1. (i)les fibres de \(X\) sur les \(y \in Y\) sont \(\mathrm{rel}^{\mathrm{t}}\) irréductibles ;
  2. (ii)\(X \to Y\) est ouvert.

la condition (ii) est ajoutée en interligne au-dessus de la ligne de (i), d'une écriture plus fine

Une application \(\varphi : Y \to X\) est dite monogène s'il existe un ouvert \(U\) de \(X\), [universellement ouvert] sur \(Y\), tel que pour tout \(y \in Y\), \(\varphi(y)\) soit le point générique de \(U \cap f^{-1}(y)\).

le mot entre « un ouvert \(U\) de \(X\) » et « tel que » est repris deux fois ; la seconde main donne « universellement ouvert sur \(Y\) », qui est aussi ce que la définition 3 de la page 11 retiendra

[Si \(Y\) est […] noethérien, il revient au même de dire :]

  1. (ii)Pour tout \(y \in Y\), \(\varphi(y)\) est le point générique d'une composante \(\mathrm{rel}^{\mathrm{t}}\) irréductible de \(f^{-1}(y)\) ;
  2. (iii)[…]

[…] a') \(\Rightarrow\) (ii) […]

bloc marginal en biais le long du bord gauche, à quelque 45°, sur cinq lignes ; il n'est pas lisible à la résolution du film au-delà de l'implication qui l'ouvre

Si \(\varphi : \struck{X} \to \struck{X}\) est monogène, alors pour tout changement de base \(Y' \to Y\), l'application associée \(\varphi' : Y' \to X'\) [définie de façon évidente] est monogène. Ainsi l'ensemble \(F(Y')\) des sections monogènes de \(X'/Y'\) est un foncteur contravariant en \(Y'\).

Est-il représentable, […] ? Si oui, le […] \(M\) sur \(Y\) est vraisemblablement étale de type fini sur \(Y\) [mais pas néc. séparé sur \(Y\)].

Soit \(M\) étale de type fini sur \(Y\), et \(\varphi_M\) une section application monogène pour \(X \times_Y M / M\), qui ait les propriétés suivantes : pour tout \(y \in Y\) et une extension alg. close \(\Omega\) de \(\kappa(y)\), l'application \[M(\Omega) \longrightarrow \{\text{composantes irréductibles de } X \otimes_Y \Omega\}\] est bijective. Alors \((M, \varphi_M)\) représente le foncteur \(F\).

[…] \(M\) correspond aux points génériques des fibres de \(X \to Y\)

4

[On est ramené à prouver ceci :] Soit \(\psi : Y \to M\) une application telle que

  1. (i)pour tout \(y \in Y\), \(\kappa(\psi(y)) = \kappa(y)\), i.e. \(\psi(y)\) est rationnel sur \(\kappa(y)\) ;
  2. (ii)l'application composée \(\varphi : Y' \to X'\), […] faisant correspondre à chaque \(y \in Y'\) la composante \(\mathrm{rel}^{\mathrm{t}}\) irréd. de \(f^{-1}(y)\) correspondant à \(\kappa(y)\) à \(\psi(y)\), est monogène.

Alors […] \(\psi(Y)\) est […] ouvert, […] \(\psi(Y) \to Y\) et donc \(\psi\) provient d'une section de \(M\) sur \(Y\) ; sous cette forme, c'est évident, grâce à la condition de rationalité inscrite dans la définition de « monogène ».

Conséquence. Si le Pb. des modules a une solution pour \(X \times_Y \mathrm{Spec}(\Omega_y)\), il existe un ouvert \(U \ni y\) de \(Y\) tel que le Pb. des modules ait une solution pour \(X|U / U\).

au-dessus de \(\mathrm{Spec}(\Omega_y)\), en interligne : « une \(\mathrm{Spec}(\Omega_y)\) » ; la formule est reprise deux fois sur la ligne

Cela nous ramène, pour l'existence, dans le cas où \(X\) \(Y = \mathrm{Spec}(A)\), \(A\) local. [On peut donc supposer […] \(Y =\) […]] D'ailleurs, puisque : la descente des morphismes étales, on est ramené au cas où \(A\) est complet, et on peut supposer que la fibre […] \(f^{-1}(y_0)\) […] se décompose en composantes \(\mathrm{rel}^{\mathrm{t}}\) irréductibles.

5

LaTeX source
\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
X \arrow[d, "f"] \\
Y = \mathrm{Spec}(A)
\end{tikzcd}

[strictement] universellement ouvert, de type fini « N.B. » entouré au-dessus de « de type fini », \(A\) local noethérien complet, \(f^{-1}(y)\) (irréductible).

« strictement » : […]

bloc en biais dans la marge de gauche, sur cinq lignes, glosant l'adjectif entre crochets de la première ligne ; illisible au-delà du mot répété

  1. (i)Supposons que \(f^{-1}(y)\) soit […] […] \(\xi\) qui […] […] de \(X\), il y a deux […] dans \(E_{X/Y}(y)\) qui […] […] a) […]

\(E_{X/Y}(y)\) désigne, ici et jusqu'à la fin du dossier, l'ensemble des composantes \(\mathrm{rel}^{\mathrm{t}}\) irréductibles de la fibre au-dessus de \(y\) ; la notation n'est nulle part définie

[…] \(Y' = \mathrm{Spec}(W)\), \(W\) anneau de valuation discrète [= une extension […]], […] [\(f^{-1}(D')\) \(\mathrm{rel}^{\mathrm{t}}\) irréductible], donc qu'il y a coïncidence des […] des fibres géométriques en \(f^{-1}(y)\). Supposons que ceci soit exclu.

  1. (ii)Soit \(\xi \in E_{X/Y}(y)\) tel que \(x \in \bar{\xi}\) [[…], car \(\bar{\xi}\) est […]] ; je dis que \(\bar{\xi}\) est \(\mathrm{rel}^{\mathrm{t}}\) irréductible.

En effet, […] […] \(y\) le pt. générique de \(Y\), faisant une extension finie \(K'\) sur \(K\), et normalisant \(A\) dedans, d'où un \(A'\) fini sur \(A\), on note que \(A'\) est local [et sa fibre générique \(f^{-1}(y)\) […]] (car \(\frac{1}{2}\) local complet \(A\)).

le \(\frac{1}{2}\) est son abréviation pour « semi- » : \(A\) semi-local complet

Utilisant le lemme b), \(\mathrm{rel}^{\mathrm{t}}\) irréductible, on […] […] ; c'est donc le cas a), absurde.

On a donc trouvé une application \(\varphi : Y \to X\) monogène : […] tout \(y \in Y\) l'unique composante irréd. \(\xi \in E_{X/Y}(y)\) tel que \(x \in \bar{\xi}\), et ce \(\xi\) est \(\mathrm{rel}^{\mathrm{t}}\) irréd. Les conditions (i) et (ii) pour une application monogène sont satisfaites. Il existe donc un […] \(U\) de \(X\) tel que \(U \supset \varphi(Y)\), les fibres de \(U\) sur \(Y\) […] \(\mathrm{rel}^{\mathrm{t}}\) irréductibles.

6

Reste à vérifier que \(\varphi\) est continue, i.e. que […] l'image inverse […] d'un ouvert. [C'est vrai pour tout ouvert de \(X|U\) […] et on voit […]] […] que \(X \to \struck{Y}\) est […] ouvert.

un bloc de deux lignes, enfermé dans une boucle allongée au milieu de la page, est annulé : on y lit « \(U = \varphi^{-1}(U)\) […] » puis « \(M : Y \to Y\) […] » ; il n'est pas rendu ici

Conclusion […]

mais les composantes irréd. \(\mathrm{rel}^{\mathrm{t}}\) irréd.

Si on ne suppose plus \(f^{-1}(y)\) irréductible, […] […] la construction précédente […] [si on […]] […] de \(X/Y\), […] les composantes de \(f^{-1}(y)\), soit \(Y_i = \struck{\ill{}}(Y - y)\), les diverses \((i = 1, \ldots, n)\), et \(M'\) la réunion des […] ; alors les \(\varphi_i : Y'_i \to X\) […] correspondent à des sections \(\varphi'_i\) de \(M'/Y'\), dans […] \(M'\) […] que les \(X'_i\) […] \(M'\) et les \(Y'_i\) […]

7

On a démontré le

Lemme. Soit \(X\) de type fini sur \(Y = \mathrm{Spec}(A)\),

  1. (i)\(A\) […] local complet ;
  2. (ii)\(f^{-1}(y)\) […] comp. irréductible de \(f^{-1}(y)\), i.e. \(\mathrm{rel}^{\mathrm{t}}\) irréductibles ;
  3. (iii)\(X\) est universellement ouvert sur \(Y\) ;
  4. (iv)la réunion il existe \(Y' = Y - y\) une \(Y\)-préschéma telle […] […] [supp. des] […] la disparition des composantes \(\mathrm{rel}^{\mathrm{t}}\) irréductibles par \(X|Y'\) ;
  5. (v)\(X \to y\) […] de recollements [= coordination] des composantes irréductibles […] = composantes de \(f^{-1}(y)\), puis [extension finie] de la base.

Alors il existe […] \(Y\)-préschéma \(M\) […] pour le rep. des comp. \(\mathrm{rel}^{\mathrm{t}}\) irréd. de \(X/Y\).

[\(M'/Y'\) soit séparé et fini,]

Le Moyen […] Supposons que […] \(Z\) soit […] […] […] […] et un […] \(A \to A_1\), tel que […] une relative de \(X \times_Y Y_1\), sur […] [se spécialise en] soit deux distinctes […].

Alors \(M/Y\) est séparé.

On a maintenant […] ce qu'il faut […]

titre souligné, un second mot biffé juste au-dessous ; la lecture « Le Moyen » n'est pas assurée

8

Théorème. \(X\) […] ouvert de type fini sur \(Y\). On suppose […] que pour tout pt. principal \(x\) d'une fibre \(f^{-1}(y)\), il existe un voisinage […] […] qui soit universellement ouvert et [quasi-]fini sur \(Y[t_1, \ldots, t_{n-1}]\). [Condition vérifiée p. ex. si \(X\) est plat sur \(Y\) au voisinage de \(x\).] Pour qu'il existe un \(M\) étale et séparé sur \(Y\), […] indexant les composantes irréductibles relatives de \(X/Y\), il f. et s. que […] […] de relation discrète […]

[[…] les […] […] et […] faisant […] les composantes des relations […]], une \(Y' = \mathrm{Spec}(W)\) et \(X' = X \times_Y Y'\), […] fini et plat de \(Y'\), […] \(V^{\circ}\) fini, \(\xi'\) d'une […] :

  1. (ii)Pour toute relation […] de \(f^{-1}(y')\), il existe un pt. principal des […] qui soit dans \(\bar{\xi}'\) [i.e. une comp. […] de la fibre générique \(f^{-1}(y')\) ne se spécialise en deux composantes \(\mathrm{abs}^{\mathrm{t}}\) irréductibles distinctes de la fibre spéciale] ;
  2. (iii)[…] composantes \(\mathrm{abs}^{\mathrm{t}}\) irréductibles distinctes […] ne […] spécialiser en […] comp. \(\mathrm{abs}^{\mathrm{t}}\) irréd. de \(f^{-1}(y')\).

« \(\mathrm{abs}^{\mathrm{t}}\) » est inséré en interligne au-dessus de « irréductibles », deux fois ; c'est la première apparition dans le dossier de l'abréviation d'« absolument », distincte de celle de « relativement »

9

N.B. Cela signifie que [l'ensemble des] les composantes composantes irréductibles [relatives] de \(f^{-1}(\bar{y}')\) est […] s'injecte dans celui des composantes irréductibles distinctes [relatives] de \(f^{-1}(y')\) [qui est […]], mais […] n'est pas néc. surjectif. On a cependant ceci :

Cor. Pour que \(M\) soit un ouvert étale de sur \(Y\), il f. et s. que l'on ait […] les conditions précédentes :

  1. (iii)Pour Pour toute composante [pt. générique d'une] composante irréductible relative de \(f^{-1}(y')\), il existe un pt. générique \(x'\) d'une comp. irréd. relative de \(f^{-1}(y)\) tel que \(x' \in \bar{\xi}'\).

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Corollaire

Remarques. 1) La condition (i) […] est nec. et suffit pour l'existence d'un \(M\) non nec. séparé sur \(Y\).

2) La condition (i) et (iii) est […] satisfaite si \(f\) est une application […] [(iii) est satisfaite. De plus,] […] séparable. De plus, si \(f\) est propre, […] […] des composantes irréductibles relatives [[…] déf. / \(\kappa(y)\)] […] et les conditions […]. Alors la conjonction de (ii) et (iii) […] se ramène aux conditions suivantes :

  1. a)[…] (i) […] […] d'une composante \(\mathrm{rel}^{\mathrm{t}}\) irréd. […] une spécialisation […] ;
  2. b)[…] ;
  3. c)\(M\) existe […]

Et Alors \(M\) est propre sur \(Y\).

11

Prop. 1° Soit \(f : X \to Y\) un morphisme […] loc. […] [de type fini] dont les fibres sont […] irréductibles. [Pour tout \(y \in Y\), soit \(\varphi(y)\) le pt. générique de \(X_y\).] Conditions équivalentes :

  1. (i)\(\varphi\) soit […] continue ;
  2. (ii)\(f\) soit ouvert […], […] si \(Y\) est loc. noeth., \(f\) de type fini ;
  3. (iii)\(y \in \overline{\{y'\}} \Longrightarrow \varphi(y) \in \overline{\varphi(\{y'\})}\).

Dém. […] […]

[(iii bis)] Pour tout \(y\), \(y'\) tels que […] \(y \in \overline{\{y'\}}\), et \(x\) au-dessus de \(y\), il existe \(x'\) au-dessus de \(y'\) tel que \(x \in \overline{\{x'\}}\).

la condition (iii bis) est encadrée sur le feuillet

En effet, […] (ii) \(\Rightarrow\) (iii bis) : on […] \(x' = \varphi(y')\), et \(x\) au-dessus de \(y\) […]. Il existe \(x'\) […] au-dessus de \(y'\) tel que […]. […] (ii) \(\Rightarrow\) (iii bis)), […] […] (ii)\(\circ\) \(\Leftrightarrow\) (ii), […] alors \(\varphi^{-1}(U) = f(U)\). De plus (ii) \(\Rightarrow\) (iii) banal.

Déf. 2 On dit alors que \(f\) est […] universellement monogène. Définition de universellement monogène.

Déf. 3 Une […] partie […] \(\varphi : Y \to X\) est dite […] monogène s'il existe un […] \(U\) de \(X\), universellement monogène sur \(Y\), tel que \(\varphi\) soit […] section de \(U/Y\).

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[…] \(U' \subset U\) tel que […] \(U' \to Y\) soit surjectif, satisfaisant = propriétés la propriété monogène. Elle s'énonce aussi à ceci : pour tout \(y \in Y\), \(\varphi(y)\) est un pt. générique [d'une composante] de \(X_y\), et il existe un […] voisinage […] tel que \(U\) soit universellement ouvert […] et […] ses fibres […] aux pts. de […] sont […] […]. Ce sont là des propriétés locales sur \(Y\).

Si \(I(X/S) \to\) l'ens. des […] monogènes de \(X\) sur \(S\), alors \[I(X \times_S S' / S') \longrightarrow\] contravariant en \(S'\) de façon évidente. Est-il représentable ???

LaTeX source
\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
X \arrow[dd] & & X_M \arrow[ll] \arrow[dd] & \\
& X' \arrow[ul] \arrow[dd] & & X'_{m'} \arrow[ll] \arrow[ul] \arrow[dd] \\
S & & M \arrow[ll] & \\
& S' = \mathrm{Spec}(\Omega) \arrow[ul] & & m' \arrow[ll] \arrow[ul]
\end{tikzcd}

ce cube est tracé au crayon, plus pâle que le reste du feuillet ; le montant de gauche porte deux annotations, \(\kappa(s)\) en haut et \(\kappa(s')\) en bas, reliées par un trait à \(S\) et à \(S'\)

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Lemme. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme [plat] de type fini [en effet […]], universellement ouvert […], avec \(Y\) local noeth. Soit \(x\) le point générique […] \(y \in Y\). Alors il existe un […] voisinage \(U\) […] tel que \(U \cap f^{-1}(y)\) soit dans \(f^{-1}(y)\) et [tel que pour […] la réunion des composantes] […] \(y'\) […] […] [un pt. générique] \(x'\) d'une composante de \(f^{-1}(y') \cap U\), il existe une composante un pt. générique \(x\) d'une composante de […] \(f^{-1}(y)\) […] qui soit spécialisation de \(x'\).

tout ce lemme est annulé par deux longues diagonales qui se croisent au milieu du feuillet ; il se lit néanmoins, et il est donné

LaTeX source
\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
X \arrow[d] & X' = X \times_Y Y' \arrow[l] \arrow[d] \\
Y & Y' \arrow[l]
\end{tikzcd}

\(x_1 \in E_{X/Y}(y)\), \(x_2 \in \ill{}\), \(\bar{\xi} = \mathrm{Im}(\overline{\xi'}) \ni x\)

LaTeX source
\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
X \arrow[d, "f"] & X' = X \times_Y Y' \arrow[l] \arrow[d, "f'"] & X'' = X \times_Y Y'' \arrow[l] \arrow[d] \\
Y & Y' \arrow[l] & Y'' \arrow[l]
\end{tikzcd}

à côté de chaque colonne il écrit les points qui l'accompagnent : \(x \leftarrow \xi\) au-dessus de \(y \leftarrow \eta\) pour la première, \(x' \leftarrow \xi'\) au-dessus de \(y' \leftarrow \eta'\) pour la deuxième, \(y'' \leftarrow \eta''\) pour la troisième

Hyp. \[\begin{cases} x \in E_{X/Y}(y) \\ \xi \in E_{X/Y}(\eta) \\ x \in \bar{\xi} \\ y' \text{ sur } y \\ \eta' \text{ sur } \eta \\ y' \in \overline{\eta'} \end{cases}\]

Concl.

  1. a)Si \(x' \in E_{X'/Y'}(y')\) […] [au-dessus de] \(x\), il existe \(\xi' \in E_{X'/Y'}(\eta')\) […] \(\xi\) tel que \(x' \in \overline{\xi'}\) ;
  2. b)Si \(\xi' \in E_{X'/Y'}(\eta')\) […] \(\xi\), il existe \(x' \in E_{X'/Y'}(y')\) […] \(x\) tel que \(x' \in \overline{\xi'}\).

une flèche partant de la marge gauche vient buter sur l'accolade de a) et b) ; elle porte « Si \(Y'\) […] sur \(Y\) et \(y'\) […] »

[…] plus que […] […]. Vérifier !

Concl' \(\Gamma_{X'/Y'}(y', \eta') \to E_{X'/Y'}(y')\) \(\Gamma_{X'/Y'}(y', \eta') \to E_{X'/Y'}(\eta')\) […] surjectif

ces deux dernières lignes, et le mot qui les suit, sont annulés par une grande boucle