Fonds Grothendieck, cote n° 41, pages 1–13 — transcriptionAlexandre Grothendiecktranscription automatique — première passe, non vérifiée contre les pages par une personne (2026-09-13)Opus 5 (claude-opus-5)procédure, outillage, export TEIgrothendieck.commutator.io (Commutator, Paris)Édition de démonstrationCommutatorParis2026-09-25
Le fonds Alexandre Grothendieck est sous droits. Cette transcription
est une édition de démonstration, non autorisée, produite par une
machine et non vérifiée ; aucune image du fonds n'est reproduite. La
source LaTeX dont ce fichier dérive est publiée sous https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-project.
https://grothendieck.commutator.ioFranceMontpellierUniversité de MontpellierFonds Alexandre Grothendieck (archives mathématiques, 1949–1991)41
Construction de morphismes étales (Chap. V) : notes manuscrites (s.d.)
Pages 1 à 13 de la cote, dans la
numérotation des archivistes (crayon, en bas à gauche de chaque
page) ; lot 1 de vingt pages.
Les pages absentes de la transcription ne portent pas de
mathématiques et sont omises ; le saut dans la numérotation en est
le seul enregistrement.[années 1960-1970]Datation de l'inventaire de l'Université de Montpellier, reproduite telle quelle ; les crochets sont ceux des archivistes.https://grothendieck.umontpellier.fr/41.pdfFac-similé numérique de l'Université de Montpellier. Sa
première page est une feuille de garde générée par
l'université : la page n des archivistes
est la page n+1 du PDF, et l'attribut
facs de chaque
pb tient compte de ce décalage.
Transcription mathématique du fonds, une passe de vingt pages par
conversation avec un grand modèle multimodal, sous la procédure
transcribe-grothendieck du dépôt. Le fichier
LaTeX est la source de référence ; ce TEI en est dérivé mécaniquement
par scripts/tei.mjs et n'a pas été relu.
L'édition n'est pas diplomatique : elle encode les mathématiques et
l'apparat, rien du support. Correspondance avec l'apparat de la source :
\ill devient gap[@reason='illegible']
(jamais deviné) ; \uncertain devient
unclear ; \add devient
supplied ; \struck devient
del (biffé par l'auteur) ;
\note devient note[@type='editorial']
(du transcripteur) ; \marginal devient
note[@type='authorial'][@place='margin'] (de l'auteur) ;
\page devient pb.
Les mathématiques sont transportées en TeX dans
formula[@notation='TeX'], les diagrammes
commutatifs en formula[@notation='tikz-cd'],
sans conversion. Une marque d'apparat située à l'intérieur d'une
formule (un exposant illisible, un symbole biffé) reste dans le TeX de
la formule, sous les mêmes macros.
Orthographe, ponctuation et lapsus de l'auteur sont conservés ; une
faute évidente est signalée par une note, jamais corrigée.
https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-projectfrançais, avec la notation mathématique de l'auteurPremière passe de transcription.Export TEI depuis la source LaTeX.
Morphismes étales associés à l'étude des composantes irréductibles d'un morphisme ouvert
le titre est de lui : il est écrit, souligné, sur le feuillet 1, par
ailleurs vide, sous un « Chap. VI » souligné et sous deux mots biffés dont le
premier, « Construction », est celui que les archivistes ont retenu pour leur
propre titre
Chap. VI. Dans le § de la descente, , applications,
ConstructionÉtude
suivent, soulignés et occupant deux lignes, les mots qui donnent son
titre à la section : « Morphismes étales associés à l'étude des composantes
irréductibles d'un morphisme ouvert ». Le reste du feuillet est vide
le chiffre du chapitre est un VI sur le feuillet, et non le V que porte
l'inventaire ; le groupe où les archivistes rangent la cote est celui du
Séminaire de Géométrie Algébrique
X de type fini sur Y. On dit que X est monogène sur Y si
les fibres de X sur les y \in Y sont
\mathrm{rel}^{\mathrm{t}} irréductibles ;X \to Y est ouvert.
la condition (ii) est ajoutée en interligne au-dessus de la ligne de (i),
d'une écriture plus fine
Une application \varphi : Y \to X est dite monogène s'il existe un
ouvert U de X, universellement ouvert sur Y, tel que pour tout
y \in Y, \varphi(y) soit le point générique de U \cap f^{-1}(y).
le mot entre « un ouvert U de X » et « tel que » est repris deux
fois ; la seconde main donne « universellement ouvert sur Y », qui est aussi
ce que la définition 3 de la page 11 retiendra
Si Y est noethérien, il revient au même de dire :
Pour tout y \in Y, \varphi(y) est le point générique d'une
composante \mathrm{rel}^{\mathrm{t}} irréductible de f^{-1}(y) ;
a') \Rightarrow (ii)
bloc marginal en biais le long du bord gauche, à quelque 45°,
sur cinq lignes ; il n'est pas lisible à la résolution du film au-delà de
l'implication qui l'ouvre
Si \varphi : \struck{X} \to \struck{X} est monogène, alors pour tout
changement de base Y' \to Y, l'application associée \varphi' : Y' \to X'définie de façon évidente est monogène. Ainsi l'ensemble F(Y') des
sections monogènes de X'/Y' est un foncteur contravariant en Y'.
Est-il représentable, ? Si oui, le M sur Y est
vraisemblablement étale de type fini sur Ymais pas néc. séparé sur Y.
Soit M étale de type fini sur Y, et \varphi_M une section
application monogène pour X \times_Y M / M, qui ait les propriétés suivantes :
pour tout y \in Y et une extension alg. close \Omega de \kappa(y),
l'application
M(\Omega) \longrightarrow \{\text{composantes irréductibles de } X \otimes_Y \Omega\}
est bijective. Alors (M, \varphi_M) représente le foncteur F.
M correspond aux points génériques des fibres de X \to Y
On est ramené à prouver ceci : Soit \psi : Y \to M une application telle
que
pour tout y \in Y, \kappa(\psi(y)) = \kappa(y), i.e. \psi(y)
est rationnel sur \kappa(y) ;l'application composée \varphi : Y' \to X',
faisant correspondre à chaque y \in Y' la composante
\mathrm{rel}^{\mathrm{t}} irréd. de f^{-1}(y) correspondant à
\kappa(y) à \psi(y), est monogène.
Alors \psi(Y) est ouvert, \psi(Y) \to Y et donc \psi provient d'une section de M sur Y ;
sous cette forme, c'est évident, grâce à la condition de rationalité inscrite
dans la définition de « monogène ».
Conséquence. Si le Pb. des modules a une solution pour
X \times_Y \mathrm{Spec}(\Omega_y), il existe un ouvert U \ni y de Y tel
que le Pb. des modules ait une solution pour X|U / U.
au-dessus de \mathrm{Spec}(\Omega_y), en interligne : « une
\mathrm{Spec}(\Omega_y) » ; la formule est reprise deux fois sur la ligne
Cela nous ramène, pour l'existence, dans le cas où XY = \mathrm{Spec}(A), A local. On peut donc supposer Y = D'ailleurs, puisque : la descente des morphismes étales, on est ramené
au cas où A est complet, et on peut supposer que la fibre f^{-1}(y_0) se décompose en composantes \mathrm{rel}^{\mathrm{t}}
irréductibles.
\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
X \arrow[d, "f"] \\
Y = \mathrm{Spec}(A)
\end{tikzcd}
strictement universellement ouvert, de type fini « N.B. » entouré
au-dessus de « de type fini », A local noethérien complet, f^{-1}(y)
(irréductible).
« strictement » :
bloc en biais dans la marge de gauche, sur cinq lignes, glosant
l'adjectif entre crochets de la première ligne ; illisible au-delà du mot
répété
Supposons que f^{-1}(y) soit \xi qui
de X, il y a deux dans E_{X/Y}(y) qui
a)
E_{X/Y}(y) désigne, ici et jusqu'à la fin du dossier, l'ensemble des
composantes \mathrm{rel}^{\mathrm{t}} irréductibles de la fibre au-dessus de
y ; la notation n'est nulle part définie
Y' = \mathrm{Spec}(W), W anneau de valuation discrète = une
extension , f^{-1}(D')\mathrm{rel}^{\mathrm{t}} irréductible, donc qu'il y a coïncidence des
des fibres géométriques en f^{-1}(y). Supposons que ceci soit exclu.
Soit \xi \in E_{X/Y}(y) tel que x \in \bar{\xi}, car \bar{\xi} est ; je dis que \bar{\xi} est
\mathrm{rel}^{\mathrm{t}} irréductible.
En effet, y le pt. générique de Y, faisant une
extension finie K' sur K, et normalisant A dedans, d'où un A' fini sur
A, on note que A' est localet sa fibre générique
f^{-1}(y) (car \frac{1}{2} local complet A).
le \frac{1}{2} est son abréviation pour « semi- » : A semi-local complet
Utilisant le lemme
b), \mathrm{rel}^{\mathrm{t}} irréductible, on ; c'est
donc le cas a), absurde.
On a donc trouvé une application \varphi : Y \to X monogène : tout
y \in Y l'unique composante irréd.\xi \in E_{X/Y}(y) tel que
x \in \bar{\xi}, et ce \xi est \mathrm{rel}^{\mathrm{t}} irréd. Les
conditions (i) et (ii) pour une application monogène sont satisfaites. Il
existe donc un U de X tel que U \supset \varphi(Y), les fibres de
U sur Y\mathrm{rel}^{\mathrm{t}} irréductibles.
Reste à vérifier que \varphi est continue, i.e. que l'image
inverse d'un ouvert. C'est vrai pour tout ouvert de X|U et
on voit que X \to \struck{Y} est ouvert.
un bloc de deux lignes, enfermé dans une boucle allongée au milieu de la
page, est annulé : on y lit « U = \varphi^{-1}(U) » puis
« M : Y \to Y » ; il n'est pas rendu ici
Conclusion
mais les composantes irréd.\mathrm{rel}^{\mathrm{t}}
irréd.
Si on ne suppose plus f^{-1}(y) irréductible, la construction
précédente si on de X/Y, les composantes de
f^{-1}(y), soit Y_i = \struck{\ill{}}(Y - y), les diverses
(i = 1, \ldots, n), et M' la réunion des ; alors les \varphi_i :
Y'_i \to X correspondent à des sections \varphi'_i de M'/Y', dans
M' que les X'_iM' et les Y'_i
On a démontré le
Lemme. Soit X de type fini sur Y = \mathrm{Spec}(A),
A local complet ;f^{-1}(y) comp. irréductible de
f^{-1}(y), i.e. \mathrm{rel}^{\mathrm{t}} irréductibles ;X est universellement ouvert sur Y ;la réunion il existe Y' = Y - y une
Y-préschéma telle supp. desla disparition des composantes \mathrm{rel}^{\mathrm{t}}
irréductibles par X|Y' ;X \to y de recollements = coordination des
composantes irréductibles = composantes de f^{-1}(y), puis
extension finie de la base.
Alors il existeY-préschémaM pour le rep. des comp. \mathrm{rel}^{\mathrm{t}} irréd. de X/Y.
M'/Y' soit séparé et fini,
Le Moyen Supposons que Z soit et un A \to A_1, tel que une
relative de X \times_Y Y_1, sur se spécialise ensoit
deux distinctes .
AlorsM/Y est séparé.
On a maintenant ce qu'il faut
titre souligné, un second mot biffé juste au-dessous ; la lecture
« Le Moyen » n'est pas assurée
Théorème.X ouvert de type fini sur Y. On suppose
que pour tout pt. principal x d'une fibre f^{-1}(y), il
existe un voisinage qui soit universellement ouvert et
quasi-fini sur Y[t_1, \ldots, t_{n-1}]. Condition vérifiée p. ex.
si X est plat sur Y au voisinage de x. Pour qu'il existe un Métale et séparé sur Y, indexant les composantes
irréductibles relatives de X/Y, il f. et s. que de relation
discrète
les et faisant les composantes
des relations , une Y' = \mathrm{Spec}(W) et X' = X \times_Y Y',
fini et plat de Y', V^{\circ} fini, \xi' d'une :
Pour toute relation de f^{-1}(y'), il existe un
pt. principal des qui soit dans \bar{\xi}'i.e. une comp.
de la fibre générique f^{-1}(y') ne se spécialise en deux composantes
\mathrm{abs}^{\mathrm{t}} irréductibles distinctes de la fibre spéciale ; composantes \mathrm{abs}^{\mathrm{t}} irréductibles
distinctes ne spécialiser en comp.
\mathrm{abs}^{\mathrm{t}} irréd. de f^{-1}(y').
« \mathrm{abs}^{\mathrm{t}} » est inséré en interligne au-dessus de
« irréductibles », deux fois ; c'est la première apparition dans le dossier de
l'abréviation d'« absolument », distincte de celle de « relativement »
N.B. Cela signifie que l'ensemble desles composantes
composantes irréductibles relatives de f^{-1}(\bar{y}')est
s'injecte dans celui des composantes irréductibles
distinctesrelatives de f^{-1}(y')qui est , mais
n'est pas néc. surjectif. On a cependant ceci :
Cor. Pour que M soit un ouvert étale de sur Y,
il f. et s. que l'on ait les conditions précédentes :
Pour Pour toute composantept. générique
d'une composante irréductible relative de f^{-1}(y'), il existe un pt.
générique x' d'une comp. irréd. relative de f^{-1}(y) tel que
x' \in \bar{\xi}'.
Corollaire
Remarques. 1) La condition (i) est nec. et suffit pour
l'existence d'un Mnon nec. séparé sur Y.
2) La condition (i) et (iii) est satisfaite si f est une
application (iii) est satisfaite. De plus,séparable. De plus, si f est propre, des
composantes irréductibles relatives déf. / \kappa(y) et
les conditions . Alors la conjonction de (ii) et (iii) se
ramène aux conditions suivantes :
(i) d'une composante \mathrm{rel}^{\mathrm{t}}
irréd. une spécialisation ; ;M existe
Et Alors M est propre sur Y.
Prop. 1° Soit f : X \to Y un morphisme loc. de type fini dont les fibres sont
irréductibles. Pour tout y \in Y, soit \varphi(y) le
pt. générique de X_y. Conditions équivalentes :
\varphisoit continue ;f soit ouvert , si Y est loc. noeth.,
f de type fini ;y \in \overline{\{y'\}} \Longrightarrow \varphi(y) \in
\overline{\varphi(\{y'\})}.
Dém.
(iii bis) Pour tout y, y' tels que y \in
\overline{\{y'\}}, et x au-dessus de y, il existe x' au-dessus de y'
tel que x \in \overline{\{x'\}}.
la condition (iii bis) est encadrée sur le feuillet
En effet, (ii) \Rightarrow (iii bis) : on x' = \varphi(y'),
et x au-dessus de y. Il existe x' au-dessus de y' tel que
. (ii) \Rightarrow (iii bis)),
(ii)\circ\Leftrightarrow (ii), alors
\varphi^{-1}(U) = f(U). De plus (ii) \Rightarrow (iii) banal.
Déf. 2 On dit alors que f est universellement monogène.
Définition de universellement monogène.
Déf. 3 Une partie\varphi : Y \to X
est dite monogène s'il existe un U de X,
universellement monogène sur Y, tel que \varphi soit section de
U/Y.
U' \subset U tel que U' \to Y soit surjectif,
satisfaisant = propriétés la propriété monogène. Elle s'énonce
aussi à ceci : pour tout y \in Y, \varphi(y) est un pt. générique
d'une composante de X_y, et il existe un voisinage
tel que U soit universellement ouvert et ses fibres
aux pts. de sont . Ce sont là des propriétés
locales sur Y.
Si I(X/S) \to l'ens. des monogènes de X sur S, alors
I(X \times_S S' / S') \longrightarrow
contravariant en S' de façon évidente. Est-il représentable ???
ce cube est tracé au crayon, plus pâle que le reste du feuillet ; le
montant de gauche porte deux annotations, \kappa(s) en haut et \kappa(s') en
bas, reliées par un trait à S et à S'
Lemme. Soit f : X \to Y un morphisme plat de type fini
en effet , universellement ouvert, avec Y local
noeth. Soit x le point génériquey \in Y. Alors il existe un
voisinageU tel que U \cap f^{-1}(y) soit dans
f^{-1}(y) et tel que pour la réunion des composantesy'un pt. génériquex' d'une composante de
f^{-1}(y') \cap U, il existe une composante un pt. générique x
d'une composante de f^{-1}(y) qui soit
spécialisation de x'.
tout ce lemme est annulé par deux longues diagonales qui se croisent au
milieu du feuillet ; il se lit néanmoins, et il est donné
\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
X \arrow[d] & X' = X \times_Y Y' \arrow[l] \arrow[d] \\
Y & Y' \arrow[l]
\end{tikzcd}
\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
X \arrow[d, "f"] & X' = X \times_Y Y' \arrow[l] \arrow[d, "f'"] & X'' = X \times_Y Y'' \arrow[l] \arrow[d] \\
Y & Y' \arrow[l] & Y'' \arrow[l]
\end{tikzcd}
à côté de chaque colonne il écrit les points qui l'accompagnent :
x \leftarrow \xi au-dessus de y \leftarrow \eta pour la première,
x' \leftarrow \xi' au-dessus de y' \leftarrow \eta' pour la deuxième,
y'' \leftarrow \eta'' pour la troisième
Hyp.\begin{cases}
x \in E_{X/Y}(y) \\
\xi \in E_{X/Y}(\eta) \\
x \in \bar{\xi} \\
y' \text{ sur } y \\
\eta' \text{ sur } \eta \\
y' \in \overline{\eta'}
\end{cases}
Concl.
Si x' \in E_{X'/Y'}(y')au-dessus dex, il existe
\xi' \in E_{X'/Y'}(\eta')\xi tel que x' \in \overline{\xi'} ;Si \xi' \in E_{X'/Y'}(\eta')\xi, il existe
x' \in E_{X'/Y'}(y')x tel que x' \in \overline{\xi'}.
une flèche partant de la marge gauche vient buter sur l'accolade de a) et
b) ; elle porte « Si Y' sur Y et y' »