Cote n° 40, pages 1–20

Cote n° 40 · batch 1 · pages 1–20 · Transcription · Calculs [affines sur des] fibrés principaux affines : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : [années 1960-1970]
Édition de démonstration

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Calculs sur des fibrés principaux affinesau crayon rouge, en diagonale dans le coin supérieur gauche, le dernier mot sous des traits rouges ; on ne peut dire d'après la reproduction si ce crayon est de sa main. Tout près, à l'encre noire, « Hopf » cerclé, et deux traits obliques qui séparent le coin du texte

On se place dans la catégorie duale de la catégorie des algèbres $B$ (commutatives avec unité) sur l'anneau comm. $A$. Une telle $B$ est un groupe de la catégorie si c'est une $A$-algèbre commutative unitaire, s'est donné un hom. d'algèbres \[p_B : B \longrightarrow B \otimes_A B\] (« application diagonale ») qui soit « associative »,« d'algèbre » est écrit sous « associative », souligné avec lui pour laquelle il existe une augmentation $\varepsilon : B \to A$ […] telle que \[\delta_B x = p_B x - (x \otimes 1 + 1 \otimes x) \in J \otimes J\] (où $J = \operatorname{Ker} \varepsilon$) — cette augmentation est alors unique — et un hom d'algèbres $x \mapsto \check{x}$ satisfaisant à la condition \[x \in B, \quad p_B x = \sum y_i z_i \;\Longrightarrow\; \sum \check{y}_i z_i = \sum y_i \check{z}_i = \varepsilon(x) . 1\] un tel hom d'algèbres est alors unique, et est une involution. De plus on a \[\varepsilon(\check{x}) = \varepsilon(x)\] si $p_B x = \sum y_i \otimes z_i$, alors $p_B \check{x} = \sum_i \check{z}_i \otimes \check{y}_i$.

Si $B$ est libre de rang fini sur $B$,sic ; on attend $A$ alors ces structures se reflètent directement dans $\mathcal{U}$ par la donnée d'une loi d'algèbre (non nécessairement commutative) associative unitaire sur $A$, telle que […] il existe […] $x \mapsto \check{x}$les deux dernières lignes de la page sont encadrées et barrées ; au-dessus de la dernière, un ajout biffé lui aussi, […]

D[…] de cogèbre [unitaire] sur $A$, […] donnée par« unitaire », souligné, est ajouté au-dessus de la ligne avec un renvoi \[\Delta_{\mathcal{U}} : \mathcal{U} \longrightarrow \mathcal{U} \otimes_A \mathcal{U}, \qquad \eta_{\mathcal{U}} : \mathcal{U} \longrightarrow A\] augmentation (surjective) compatibles avec […] […] […] […] d'une augmentation $\delta_{\mathcal{U}} x$ ${}= \Delta_{\mathcal{U}} x -{}$ […]trois lignes encadrées et barrées d'une ligne ondulée qui soit commutative, associative, d'une structure d'$A$-algèbre sur $\mathcal{U}$ qui soit associative, unitaire (non nécessairement commutative) et telle que $\mathcal{U} \otimes_A \mathcal{U} \to \mathcal{U}$ soit un hom de cogèbres unitaires [ou, ce qui revient au même, que $\Delta_{\mathcal{U}}$ est un hom d'algèbres associatives unitaires]. Enfin on suppose qu'il existe un hom [de cogèbres unitaires] $x \mapsto \check{x}$, ayant la propriété suivante :« de cogèbres unitaires », souligné, est ajouté au-dessus de la ligne \[x \in \mathcal{U}, \quad \Delta_{\mathcal{U}} x = \sum y_i \otimes z_i \;\Longrightarrow\; \sum y_i \check{z}_i = \sum \check{y}_i z_i = \eta_{\mathcal{U}}(x) . 1_{\mathcal{U}} .\] Alors $x \mapsto \check{x}$ est un antiautomorphisme involutif de la structure d'algèbre de $\mathcal{U}$, et […] il est défini de façon unique par les conditions ci-dessus.

Soit maintenant $C$ une $A$-algèbre. On veut expliciter ce que signifie que $C$ admet $B$ comme « groupe d'opérateurs à droite gauche » dans la catégorie $\mathcal{C}$. Cela signifie ceci :

On se donne un hom. d'algèbres unitaires \[q_C : C \longrightarrow B \otimes_A C\] satisfaisant aux conditions suivantes :

Associativité (on a commutativité du diagramme

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\begin{tikzcd}
B \otimes B \otimes C & B \otimes C \arrow[l, "\mathrm{id}_B \otimes q_C"'] \\
B \otimes C \arrow[u, "p_B \otimes \mathrm{id}_C"] & C \arrow[l, "q_C"] \arrow[u, "q_C"']
\end{tikzcd}

Unité (on a commutativité du

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\begin{tikzcd}
A \otimes C = C & B \otimes C \arrow[l, "\varepsilon \otimes \mathrm{id}_C"'] \\
 & C \arrow[ul, "\sim"] \arrow[u, "q_C"']
\end{tikzcd}

i.e. on a $q_C(y) \in 1 \otimes y + J \otimes C$ (où $J = \operatorname{Ker} \varepsilon$).

Supposons encore que $B$ soit libre de rang fini, de sorte qu'on peut lui substituer $\mathcal{U}$. Alors la donnée d'un $A$-hom $q'_C : C \to B \otimes_A C'$ équivaut (pour tous les $A$-modules $C$, $C'$) à un $A$-hom $q_{\mathcal{U}} : \mathcal{U} \to \mathrm{Hom}_A(C, C')$ [car $B \otimes_A C' \simeq \mathrm{Hom}_A(\mathcal{U}, C')$].sur l'indice de $q_{\mathcal{U}}$, des lettres surchargées Si $C$, $C'$ sont des $A$-algèbres unitaires, alors dire que $q_C$ est un hom de $A$-algèbres unitaires signifie que l'on a les conditions

\[\left\lbrace \begin{array}{l} q_{\mathcal{U}}(y) . 1_C = \eta_{\mathcal{U}}(y) . 1_{C'} \\[4pt] x, y \in C,\ u \in \mathcal{U},\ \Delta_{\mathcal{U}} u = \sum v_i \otimes w_i \;\Longrightarrow\; p_{\mathcal{U}}(u)(xy) = \sum \bigl(p_{\mathcal{U}}(v_i) x\bigr)\bigl(p_{\mathcal{U}}(w_i) y\bigr) \end{array} \right.\] $q_{\mathcal{U}}$ dans la première ligne, $p_{\mathcal{U}}$ dans la seconde, pour le même homomorphisme : tel sur la page

Si enfin $C = C'$, alors […] les conditions d'associativité et d'unité signifient que $\mathcal{U}$ […] $\mathcal{U} \to \mathrm{Hom}_A(C, C)$ est un hom de $A$-algèbres unitaires. Considérant alors $C$ comme un $\mathcal{U}$-module [unitaire] (i.e. […]), les deux conditions précédentes s'écrivent ainsi : \[\left\lbrace \begin{array}{l} u . 1_C = \eta(u) . 1_C \\[4pt] x, y \in C,\ u \in \mathcal{U},\ \Delta_{\mathcal{U}} u = \sum v_i \otimes w_i \;\Longrightarrow\; u(xy) = \sum (v_i x)(w_i y) \end{array} \right.\]

Nous voulons maintenant exprimer que $C$, considérée comme ayant un groupe d'opérateurs $B$ dans la catégorie $\mathcal{C}$ des $A$-algèbres comm. avec unité, est principal […] […] [fibré] principal [homogène] de base« fibré » et « homogène » sont écrits au-dessus de la ligne, sur des mots biffés (i.e. […] est une $A$-algèbre commutative). Cela signifie donc qu'il existe un hom de $A$-algèbres unitaires $C \otimes_A C \leftarrow B$ces lignes sont encadrées et barrées de deux lignes ondulées ; le cadre descend jusqu'à la flèche $C \otimes_A C \leftarrow B$

On suppose donc […] […] […] $A$-algèbres […] que $f : \mathcal{D} \to C$ […] un hom de $A$-algèbres unitaires $g_C : B \to C \otimes C$ […] […] le diagramme suivant $\leftarrow B \otimes C \xleftarrow{q_C} C$ ayant la propriété suivante :le haut de la page est barré de lignes horizontales et de cinq longues diagonales ; lecture très incomplète l'hom composé \[B \otimes C \xleftarrow{\ \mathrm{id}_B \otimes \Delta_C\ } B \otimes C \otimes C \xleftarrow{\ q_C \otimes \mathrm{id}_C\ } C \otimes C\] [i.e. l'hom $C \otimes C \xrightarrow{(q_C, p_2)} B \otimes C$] est un isomorphisme (de $A$-algèbres). Il revient au même de dire qu'il existe un hom de $A$-algèbres unitaires $g_C : B \to C \otimes C$ tel que l'on ait commutativité des

(*)

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\begin{tikzcd}
C \otimes C & B \otimes C \arrow[l, "{(g_C, p_2)}"'] & C \arrow[l, "q_C"'] \arrow[ll, bend left=30, "p_1"]
\end{tikzcd}

(**)

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\begin{tikzcd}
B \otimes C & C \otimes C \arrow[l, "{(q_C, p_2)}"'] & B \arrow[l, "g_C"'] \arrow[ll, bend left=30, "p_1"]
\end{tikzcd}

dans (*), entre $C \otimes C$ et $B \otimes C$, un groupe biffé illisible ; au-dessus, $(g_C, p_2)$ récrit sur une première étiquette ; une boucle de crayon relie (**) au début de la ligne suivante

Nous […] examinons […] […] les conditions, il est bien certain que $C$ soit fibré principal hom. sous $G$, […] […] […] l'objet unité $A$ de $\mathcal{C}$. Supposons donc […] un hom de $A$-algèbres [commutatives unitaires] \[h : \mathcal{D} \longrightarrow C\] rendant commutatif le diagramme

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\begin{tikzcd}
B \otimes C & C \arrow[l, "q_C"'] \\
C \arrow[u, "\mathrm{pr}_2"] & \mathcal{D} \arrow[l, "h"] \arrow[u, "h"']
\end{tikzcd}

i.e. […]

est-il vrai qu'on peut factoriser $h$ à l'aide de $h' : \mathcal{D} \to A$ (une augmentation) par la formule \[h(x) = h'(x) . 1_C \qquad ??\]

La commutativité du diagramme ci-dessus signifie simplement que $h$ prend ses valeurs dans la sous-algèbre $C'$ de $C$ formée des $x \in$ définie par \[x \in C' \iff q_C x = 1_B \otimes x\] avant $q_C x$, un groupe biffé illisible i.e. les éléments [invariants] (primitifs) de $C$ (rel. à $B$).« invariants », souligné, est ajouté au-dessus de « primitifs », entouré $C'$ est une sous-$A$-algèbre de $C$, […] on voit qu'on a tout ce qu'il faut ([…] si $C$ […] un fibré principal).lecture de cette ligne très incertaine

Le quotient de $C$ par le groupe d'opérateurs $B$ dans la catégorie $\mathcal{C}$ existe, et est donné par la sous-algèbre $C'$ de $C$ formée des éléments [invariants] […] primitifs de $C$ (par. à $B$).

Mais attention, ce résultat ne dit pas grand-chose : si on se place dans la catégorie des Schémas sur $\mathrm{Spec}(A)$, il […] par l'existence des quotients dans cette catégorie, […] si le quotient y existe, il peut être distinct de celui […] de la définition. Supposons par ex. $A$ = corps alg. clos, $C$ = algèbre […] […] linéaire $E$, $B$ = algèbre […] d'un sous-groupe de Borel $G$. Alors $E/G$ dans la catégorie des schémas existe bien et est une variété complète. Il en résulte que le quotient dans la catégorie des variétés affines est réduit au point.un grand crochet en marge gauche embrasse ce paragraphe

Le cas qui nous intéresse, […]

$\|$ [$C$ étant principal homogène] les éléments $C'$ est isomorphe à $A$ [par $\lambda \mapsto \lambda 1_C$].les deux lignes sont soulignées d'un trait ondulé et marquées d'un double trait vertical en marge

En effet, si $x$ est semi-primitif, alors le diagramme commutatif (*) donne \[x \otimes 1_C = 1_C \otimes x \quad\text{dans } C \otimes C\]

Supposons que $\lambda \mapsto \lambda 1_C$ soit un isomorphisme de $A$ sur un facteur direct du $A$-module $C$ [pour ceci, il suffit, comme on voit facilement, que $C$ soit un $A$-module libre de type […] ayant une base contenant $1_C$, par ex. que $C$ soit un $A$-module libre de type fini]. Alors la condition précédente implique facilement $x = \lambda 1_C$, où $\lambda \in A$ est déterminé de façon unique. Dans ce cas, on a donc bien ce qu'on voulait.

N.B. En général, […] il ne sera pas vrai que le quotient de $C$ par $B$ (dans $\mathcal{C}$) soit $A$, si les conditions […] pas remplies : par exemple prenant $C = B/JB$, où $J$ est un idéal de $A$, […] et définissant en prenant la $q_C$ structure d'algèbre quotient, i.e. en définissant $q_C : C \to B \otimes C$ i.e. \[q_C : B/JB \longrightarrow (B \otimes B)/J.(B \otimes B)\] en réduisant $p_B$ mod $J$. Les axiomes restent vérifiés, cependant l'algèbre des primitifs de $C$ est $A/J$, et non $A$…

Supposons maintenant que $C$ soit lui aussi un $A$-module libre (cela montre que la condition relative aux quasi-primitifs est une conséquence de l'autre condition). Je dis que pour que $\varphi$ \[\text{(**)} \qquad \varphi : C \otimes_A C \longrightarrow \mathrm{Hom}_A(\mathcal{U}, C)\] soit un isomorphisme, il faut et il suffit que l'hom analogue défini en $\varphi$ \[\psi : C \otimes \mathcal{U} \longrightarrow \mathrm{Hom}(C, C)\] par la condition \[\boxed{\ \psi(x \otimes u) . y = x\, u(y)\ }\] soit un isomorphisme.?la première lettre de $C \otimes_A C$ est surchargée ; « (**) » est écrit à gauche de la ligne de $\psi$, sans qu'on voie auquel des deux homomorphismes il se rapporte [Donc, si $B$ et $C$ sont libres de type fini, on a deux caractérisations [équivalentes] […] […] pour que $C$ soit du fait que $C$ est un fibré principal homogène sous $C$]sic ; on attend $B$. « équivalentes » est écrit au-dessus du passage biffé

Supposons en effet que $\varphi$ soit un isomorphisme, i.e. […] […] : $A' = C$, donc $C^{A'} \otimes_{A'} C^{A'}$ ${}\to{}$ $\mathrm{Hom}_{A'}(\mathcal{U}^{A'}, C^{A'})$ […] $B^{A'}$ est « fibré hom. principal sous $B = \mathcal{U}'$ » dans la catégorie des $A$-algèbres […]. Faisant le produit […] dans la catégorie des $A'$-algèbres […] le fibré […] $A' = C$, […] $C^{A'}$ ${}= C \otimes_A A'$ sur $B^{A'}$ ${}= \mathcal{U}' \otimes_A A'$ ${}= (\mathcal{U}^{A'})'$ est isomorphe : [car on a pris $A' = C$].toute la moitié inférieure de la page est barrée de longues diagonales ; lecture très incomplète

Supposons à nouveau que $B$ soit libre de type fini sur $A$, alors et exprimons le fait que $C$ est un fibré principal homogène à l'aide de $\mathcal{U}$, […]. Cela doit donc exprimer d'abord que l'hom d'algèbres \[\varphi : C \otimes C \longrightarrow \mathrm{Hom}_A(\mathcal{U}, C)\] [où la structure d'algèbre du deuxième membre est définie par

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\begin{tikzcd}
\mathcal{U} \arrow[r, "\Delta_{\mathcal{U}}"] \arrow[rrr, bend right=20, "v * w"'] & \mathcal{U} \otimes \mathcal{U} \arrow[r, "v \otimes w"] & C \otimes C \arrow[r, "\Delta_C"] & C
\end{tikzcd}

] qui est défini par $\varphi(1_C \otimes x) . (u) = \eta(u) x$ $\varphi(x \otimes 1_C)(u) = u . x$ \[\boxed{\ \varphi(x \otimes y) . u = u(x) . y\ }\] est un isomorphisme de $C \otimes C$ sur $\mathrm{Hom}_A(\mathcal{U}, C)$.

De plus, on veut que l'hom $\lambda \mapsto \lambda . 1_C$ soit un isomorphisme de $A$ sur l'ens. des éléments semi-primitifs de $C$, i.e. tels que \[u . x = \eta(u) . x\] les deux derniers alinéas sont embrassés par un grand crochet en marge gauche ; la formule est soulignée d'un trait ondulé

Catégorie $\mathcal{C}$ avec unité : […] $e$, et produits.

$G$ groupe dans $\mathcal{C}$ $p_G : G \times G \to G$

$E$ $\mathcal{C}$-espace : $\mathcal{C}$-groupe $G$ opérant : $q_E : G \times E \to E$

On dit que $E$ est formellement hom. principal si l'hom \[G \times E \xrightarrow{\ (q_E, p_2)\ } E \times E\] est un isomorphisme.$x = g(x, y)\, y$ Cela signifie aussi que l'on peut trouver un hom \[E \times E \xrightarrow{\ g_E\ } G ,\] tel que

(i)

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\begin{tikzcd}
E \times E \arrow[r, "{(g, p_2)}"] \arrow[rr, bend right=30, "p_1"'] & G \times E \arrow[r, "q_E"] & E
\end{tikzcd}

est commutatif

(ii)

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\begin{tikzcd}
G \times E \arrow[r, "{(q_E, p_2)}"] \arrow[rr, bend right=30, "p_1"'] & E \times E \arrow[r, "g_E"] & G
\end{tikzcd}

est commutatif

Si $\mathcal{C}$ est la catégorie des $A$-algèbres (commutatives avec unité), alors $G$, $E$ correspondent à des $A$-algèbres […] $B$, $C$, et on a \[\text{(*)} \qquad \left\lbrace \begin{array}{l} p_B : B \longrightarrow B \otimes B \\ q_C : C \longrightarrow B \otimes C \end{array} \right.\] et le fait que $E$ soit formellement un fibré hom. principal signifie que \[\varphi : C \otimes C \xrightarrow{\ (q_C, p_2)\ } B \otimes C\] est un isomorphisme, i.e. qu'il existe \[g_C : B \longrightarrow C \otimes C\]

rendant commutatifs les diagrammes

(i)

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\begin{tikzcd}
C \arrow[r, "q_C"] \arrow[rr, bend right=30, "p_1"'] & B \otimes C \arrow[r, "{(g_C, p_2)}"] & C \otimes C
\end{tikzcd}

(ii)

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\begin{tikzcd}[column sep=large]
B \arrow[r, "g_C"] \arrow[rr, bend right=30, "p_1"'] & C \otimes C \arrow[r, "{\varphi = (q_C, p_2)}"] & B \otimes C
\end{tikzcd}

D'autre part, on démontre en définissant \[\psi : \mathrm{Hom}_A(B, C) \longrightarrow \mathrm{Hom}_A(C, C)\] en posant $\psi(v) = \Delta_C (v \otimes \mathrm{id}_C) q_C$ :

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\begin{tikzcd}
C \arrow[r, "q_C"] \arrow[rrr, bend right=20, "\psi(v)"'] & B \otimes C \arrow[r, "v \otimes \mathrm{id}_C"] & C \otimes C \arrow[r, "\Delta_C"] & C
\end{tikzcd}

Je dis que si $\varphi$ est un isomorphisme, $\psi$ en est un. On va en effet construire, utilisant $g_C$, un hom \[\psi' : \mathrm{Hom}(C, C) \longrightarrow \mathrm{Hom}(B, C)\] qui sera inverse de $\psi$. On pose $\psi'(w) = \Delta_C (w \otimes \mathrm{id}_C) g_C$ :

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\begin{tikzcd}
B \arrow[r, "g_C"] \arrow[rrr, bend right=20, "\psi'(w)"'] & C \otimes C \arrow[r, "w \otimes \mathrm{id}_C"] & C \otimes C \arrow[r, "\Delta_C"] & C
\end{tikzcd}

On doit prouver $\psi'(\psi(v)) = v$, $\psi \psi'(w) = w$. C'est facile : $\psi\psi'(w) = {}$ $\Delta_C\bigl[(\Delta_C (w \otimes \mathrm{id}) g_C)$ $\otimes \mathrm{id}_C\bigr] q_C$

1°) $\psi \psi'(w) = w$devant « 1° », un signe griffonné

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
C \arrow[d, "q_C"] & & C \arrow[d, "p_1"] \\
B \otimes C \arrow[d, "g_C \otimes \mathrm{id}_C"] & & C \otimes C \arrow[d, "w \otimes \mathrm{id}_C"] \\
C \otimes C \otimes C \arrow[d, "w \otimes \mathrm{id}_{C \otimes C}"] & & C \otimes C \arrow[d, "\Delta_C"] \\
C \otimes C \otimes C \arrow[d, "\Delta_C \otimes \mathrm{id}_C"] & & C \\
C \otimes C \arrow[d, "\Delta_C"] & & \\
C & &
\end{tikzcd}

colonne de gauche : la première, où les deux flèches de chaque étage sont écrites côte à côte ($g_C$ et $\mathrm{id}_C$, $w$ et $\mathrm{id}_{C \otimes C}$, $\Delta_C$ et $\mathrm{id}_C$), les facteurs concernés marqués d'accolades ; colonne de droite : la dernière des six. Entre elles, quatre colonnes intermédiaires, reliées par des accolades, où l'on échange l'ordre des étapes : $C \otimes C \otimes C$ par $\mathrm{id}_C$ et $\Delta_C$ vers $C \otimes C$ puis $\Delta_C$ ; $C \otimes C \otimes C$ par $w$ et $\Delta_C$ ; $C \otimes C \otimes C$ par $\mathrm{id}_C$, $\Delta_C$, puis $w$, $\mathrm{id}_C$ ; $C \to B \otimes C \xrightarrow{(g_C, p_2)} C \otimes C \to C$. Deux fins de colonne sont biffées de hachures

Sur la dernière colonne, on reconnaît aussitôt qu'on a un composé identique à $w$.

2°) $\psi' \psi(v) = v$

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
B \arrow[d, "g_C"] & & B \arrow[d, "p_1"] \\
C \otimes C \arrow[d, "q_C \otimes \mathrm{id}_C"] & & B \otimes C \arrow[d, "v \otimes \mathrm{id}_C"] \\
B \otimes C \otimes C \arrow[d, "v \otimes \mathrm{id}_{C \otimes C}"] & & C \otimes C \arrow[d, "\Delta_C"] \\
C \otimes C \otimes C \arrow[d, "\Delta_C \otimes \mathrm{id}_C"] & & C \\
C \otimes C \arrow[d, "\Delta_C"] & & \\
C & &
\end{tikzcd}

même disposition : la première et la dernière des six colonnes ; les intermédiaires passent par $C \otimes C \otimes C \to C \otimes C \to C$, $B \otimes C \otimes C \xrightarrow{v,\ \Delta_C} B \otimes C$ (sic), $B \otimes C \otimes C \xrightarrow{\mathrm{id}_B,\ \Delta_C} B \otimes C \xrightarrow{v,\ \mathrm{id}_C} B \otimes C$ (sic), et $C \otimes C \xrightarrow{(q_C, p_2)} B \otimes C$ ; les « $B$ » de ces colonnes intermédiaires, là où l'on attend $C$, sont tels sur la page

Sur la dernière colonne, on voit aussitôt que le composé est identique à $v$.

Réciproquement, supposons $\psi$ un isomorphisme, montrons qu'alors $\varphi$ est un isomorphisme, du moins si on admet que $C$ admet une base finie sur $A$. Soit en effet $\psi'$ l'isomorphisme inverse de $\psi$ \[\psi' : \mathrm{Hom}_A(C, C) \longrightarrow \mathrm{Hom}(B, C)\] il s'identifie à un hom […] \[\mathrm{Hom}(C, C) \otimes B \longrightarrow C\] i.e. à un hom \[\psi'_1 : B \longrightarrow \mathrm{Hom}(\mathrm{Hom}(C, C), C)\] On veut en tirer un hom $B \to C \otimes C$ en utilisant un hom naturel \[\rho : \mathrm{Hom}(\mathrm{Hom}(C, C), C) \longrightarrow C \otimes C\] Pour construire ce dernier, on note que le premier est isomorphe : \[(C' \otimes C)' \otimes C = C \otimes C' \otimes C\] à la suite, un groupe biffé : […] $\mathrm{Hom}(C, C)$ [En général, on a […] $P \otimes \mathrm{Hom}(Q, R)$ ${}\to{}$ $\mathrm{Hom}(\mathrm{Hom}(P, Q), R)$ i.e. $P \otimes \mathrm{Hom}(Q, R)$ ${}\otimes \mathrm{Hom}(P, Q)$ ${}\to R$, défini par $(p, v, u)$ ${}\mapsto (v \circ u)(p)$],ce crochet est barré d'un trait en zigzag or l'élément unité de $C$ définit un $A$-hom naturel \[\varepsilon : C' \longrightarrow A\] d'où un hom $\rho = \mathrm{id}_C \otimes \varepsilon \otimes \mathrm{id}_C$.

Il faut prouver alors que, posant \[g_C = \rho \circ \psi'_1 : B \longrightarrow C \otimes C\] l'hom $g_C$ satisfait les relations (i) et (ii).???

Pour ceci, —-le reste de la page est blanc

Considérons l'hyperalgèbre \[\mathcal{U} = A[X] / X^p A[X]\] sur l'anneau $A$ [de car. $p$] [avec] donnée par \[\boxed{\ \Delta X = X \otimes 1 + 1 \otimes X\ }\] [cela définit d'abord $A[X] \to A[X] \otimes A[X]$, mais $\Delta X^p = X^p \otimes 1 + 1 \otimes X^p$ est multiple dans l'idéal $A[X] \otimes X^p A[X] + X^p A[X] \otimes A[X]$], l'augmentation étant définie par […] $\boxed{\varepsilon(X) = 0}$, et l' $\vee$ par $\boxed{\check{X} = -X}$.« de car. $p$ » et « avec » sont ajoutés au-dessus de la ligne, le premier avec un renvoi

Cette hyperalgèbre est isomorphe à sa duale, à l'aide on la regarde comme […] des opérateurs duale d'un groupe dans la catégorie des $A$-algèbres commutatives.

Soit $C$ une $A$-algèbre commutative. Se faire opérer l'hyperalgèbre $\mathcal{U}$ sur $C$ revient à définir l'image $D$ de $X$, i.e. à se donner un opérateur $D$ $A$-linéaire de $C$. De plus

(i)$D^p = 0$ (exprime que $D$ définit une représentation d'$A$-algèbre de $A[X]/X^p A[X]$ dans $L_A(C, C)$),
(ii)$D(xy) = x Dy + y Dx$ (exprime que cette représentation est compatible avec $\Delta$)

donc […] trouvé : la donnée d'une $A$-dérivation de puissance $p$-ième nulle.

On veut exprimer maintenant que $C$ est un $B$-espace principal homogène dans la catégorie des $A$-algèbres commutatives. On suppose d'abord que […] que $C$ […] [est libre] un $A$-module libre (ce qui semble d'ailleurs unela lettre $B$ est surchargée et porte un accent ou un prime

conséquence de notre hypothèse), et […] rang égal nécessairement $p$. Ceci dit il faut exprimer que les \[D^i \quad (0 \leq i \leq p-1) \quad \text{forment une \emph{base} du $C$-module } \mathrm{Hom}_A(C, C)\] [où on pose $(\lambda u)(y) = \lambda(u(y))$].

Soit […] Supposons par ex. que $C$ admette une $p$-base [sur $A$] (réduite à un élément $u$), donc que \[C \simeq A[u]/(u^p - a), \qquad \text{où } a \in A .\] Posons $D u$ Alors une $A$-dérivation de $C$ est connue quand on connaît sa valeur sur $u$, qui peut être choisie arbitrairement. Définissons alors la $A$-dérivation $D$ dans $C$ par \[Du = 1\] d'où \[Du^n = n u^{n-1} .\] On a donc $D^p = 0$, donc $C$ est un $\mathcal{U}$-module. De plus, la matrice des identifions, grâce à la base $(u^i)_{0 \leq i \leq p-1}$, $\mathrm{Hom}(C, C)$ à $C^p$, par $v \mapsto (v(u^i))_{0 \leq i \leq p-1}$ [c'est un isom. de $C$-modules]. Alors La matrice des opérations des $D^i$ ($0 \leq i \leq p-1$) est \[\begin{pmatrix} 1 & u & u^2 & u^3 & \cdots & u^{p-1} \\ 0 & 1 & 2u & 3u^2 & \cdots & (p-1) u^{p-2} \\ 0 & 0 & 2.1 & 3.2.u & \cdots & (p-1)(p-2) u^{p-3} \\ 0 & 0 & 0 & 3.2.1 & \cdots & (p-1)(p-2)(p-3) u^{p-4} \\ \vdots & & & & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & (p-1) \cdots 1 \end{pmatrix}\] la dernière colonne est séparée des autres par un double trait vertical ; la ligne des points de suspension est notre

Son déterminant est égal à \[0!\, 1!\, 2! \cdots (p-1)!\] qui provient donc d'un élément non nul de $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$, donc est inversible dans $C$, i.e. les $D^i$ ($0 \leq i \leq p-1$) forment bien une base de $\mathrm{Hom}_A(C, C)$ sur $C$. Donc

Proposition. Soit $C$ une $A$-algèbre ayant une $p$-base réduite à un élément. Alors $C$ est un espace homogène fibré principal sous $\mathcal{U} = A[X]/X^p A[X]$ (de la façon explicitée plus haut).un trait vertical en marge gauche embrasse l'énoncé ; sous lui, un double trait ondulé

Questions. 1) Soit $C$ comme plus haut. Déterminer les façons possibles de […] […] [$C$] définir la $C$-hyperalgèbre Hom formée $\mathrm{Hom}_A(C, C)$ à partir d'une sous-$A$-hyperalgèbre $\mathcal{U}$ (libre de rang $p$ sur $A$). Déterminer les $\mathcal{U}$ pour lesquels qui sont isomorphes à l'algèbre enveloppante [[…] $A$, […] […]] […] d'une $p$-algèbre de Lie [telle] (libre de rang 1, d'une) $p$-algèbre pour une puissance $p$-ième nulle.les ajouts interlinéaires de ces deux dernières lignes sont serrés et en partie illisibles ; l'ordre de lecture est incertain

2) Déterminons les classes à isomorphismes près d'espaces […] principaux homogènes sous $B$.sous la ligne, un double trait de séparation

Soit $C$ une $A$-algèbre [libre de rang $p$], munie d'une $A$-dérivation $D$ telle que $D^p = 0$, et que les $D^i$ ($0 \leq i \leq p-1$) forment une base de $\mathrm{Hom}_A(C, C)$ sur $C$. Alors l'ensemble des éléments de $C$ annulés par $D$ est $A$. En effet, tout sous-$A$-module $M$ de $C$ qui est [libre de rang $m$ et] facteur direct dans $C$, s'identifie à l'ensemble des zéros de [$(M^\circ)^\circ$] l'ens. $M^\circ$ des $v \in \mathrm{Hom}(C, C)$ qui s'annulent sur $M$ (évident), et $M^\circ$ est un sous-$C$-module libre de rang $p - m$ dans $\mathrm{Hom}(C, C)$, […] qui est facteur direct […] des sous-$C$-modules ; […] […] si […] […] $u_i$ dans $M^\circ$ [forment la base d'un sous-module $L$ de $\mathrm{Hom}(C, C)$] libre de […] […] qui […] facteurs directs, alors nécessairement $L = M^\circ$, d'où $M = L^\circ$, i.e. $M$ est l'ens. des éléments de $C$ annulés par les $u_i$. […] applique cecien marge gauche, deux notes tournées, reliées au texte par une accolade : « […] […] sous-$A$-modules […] $A$ : $C$ » et, plus bas, « Lemme […] » ; lecture très incertaine

: $M = A$, et on a $u_i = D^i$ ($1 \leq i \leq p-1$) […], etc —-

S'il existe des Corollaire Il existe dans $C$ un élément [$u$] […] tel que $Du = 1$, et $u$ est unique à addition près d'un élément de $A$.un trait vertical en marge gauche embrasse l'énoncé

L'unicité résulte du fait que […] […] […] $D(u - u') = 0$ […] implique $u - u' \in A$.

Montrons enfin que l'on peut trouver $u$ avec $Du = 1$. En effet, la question étant locale, on […] $A$ local, l'image de $D$ est donc un sous-$A$-module de $C$, isomorphe à $C / \operatorname{Ker} D \simeq C/A$, donc libre de rang $p - 1$. Je dis qu'il contient $A$, i.e. que $D(C)^\circ$ contenu dans $A^\circ$, i.e. que si $v = \sum_{0 \leq i \leq p-1} \lambda_i D^i$ est nul sur $D(C)$, alors $\lambda_0 = 0$. Or l'hypothèse sur $v$ signifie que $vD = 0$, i.e. $\lambda_0 = \lambda_1 = \cdots = \lambda_{p-2} = 0$, OK.tout ce passage, depuis « $A$ local », est entouré d'un cadre et traversé de deux longues obliques ; il n'est pas clair qu'il soit annulé

Si $x \in C$, on a $x^p \in A$ si $x \in C$ car $Dx^p = 0$.

Si $u$ est tel que $Du = 1$, alors les $u^i$ ($0 \leq i \leq p-1$) forment une base de $C$ sur $A$. […] […] […] est locale, […]

En effet, il existe [tel] un $A$-endomorphisme $\Theta$ de $C$ tel que $\Theta(1) = 0$ et $\Theta(u) = 1$ ([…] $C$ […]). On a $\Theta = \sum \lambda_i D^i = \ill{}$ […] $Du = 1$, […] $u = \Theta \ill{}$, $1 \leq i \leq p-1$note écrite dans la marge de gauche, tournée d'un quart de tour ; elle se rapporte à la preuve de l'existence de $u$ ; lecture très incomplète. La suite, « $A$ est local. Montrons d'abord que les $u^i$ … sont libres sur $A$ », ouvre la page 21 (lot 2)