Fonds Grothendieck, cote n° 40, pages 1–20 — transcriptionAlexandre Grothendiecktranscription automatique — première passe, non vérifiée contre les pages par une personne (2026-09-26)Opus 5.5 (claude-opus-5-5)procédure, outillage, export TEIgrothendieck.commutator.io (Commutator, Paris)Édition de démonstrationCommutatorParis2026-09-26
Le fonds Alexandre Grothendieck est sous droits. Cette transcription
est une édition de démonstration, non autorisée, produite par une
machine et non vérifiée ; aucune image du fonds n'est reproduite. La
source LaTeX dont ce fichier dérive est publiée sous https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-project.
https://grothendieck.commutator.ioFranceMontpellierUniversité de MontpellierFonds Alexandre Grothendieck (archives mathématiques, 1949–1991)40
Calculs [affines sur des] fibrés principaux affines : notes manuscrites (s.d.)
Pages 1 à 20 de la cote, dans la
numérotation des archivistes (crayon, en bas à gauche de chaque
page) ; lot 1 de vingt pages.
Les pages absentes de la transcription ne portent pas de
mathématiques et sont omises ; le saut dans la numérotation en est
le seul enregistrement.[années 1960-1970]Datation de l'inventaire de l'Université de Montpellier, reproduite telle quelle ; les crochets sont ceux des archivistes.https://grothendieck.umontpellier.fr/40.pdfFac-similé numérique de l'Université de Montpellier. Sa
première page est une feuille de garde générée par
l'université : la page n des archivistes
est la page n+1 du PDF, et l'attribut
facs de chaque
pb tient compte de ce décalage.
Transcription mathématique du fonds, une passe de vingt pages par
conversation avec un grand modèle multimodal, sous la procédure
transcribe-grothendieck du dépôt. Le fichier
LaTeX est la source de référence ; ce TEI en est dérivé mécaniquement
par scripts/tei.mjs et n'a pas été relu.
L'édition n'est pas diplomatique : elle encode les mathématiques et
l'apparat, rien du support. Correspondance avec l'apparat de la source :
\ill devient gap[@reason='illegible']
(jamais deviné) ; \uncertain devient
unclear ; \add devient
supplied ; \struck devient
del (biffé par l'auteur) ;
\note devient note[@type='editorial']
(du transcripteur) ; \marginal devient
note[@type='authorial'][@place='margin'] (de l'auteur) ;
\page devient pb.
Les mathématiques sont transportées en TeX dans
formula[@notation='TeX'], les diagrammes
commutatifs en formula[@notation='tikz-cd'],
sans conversion. Une marque d'apparat située à l'intérieur d'une
formule (un exposant illisible, un symbole biffé) reste dans le TeX de
la formule, sous les mêmes macros.
Orthographe, ponctuation et lapsus de l'auteur sont conservés ; une
faute évidente est signalée par une note, jamais corrigée.
https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-projectfrançais, avec la notation mathématique de l'auteurPremière passe de transcription.Export TEI depuis la source LaTeX.
Calculs sur des fibrés principaux affinesau
crayon rouge, en diagonale dans le coin supérieur gauche, le dernier mot
sous des traits rouges ; on ne peut dire d'après la reproduction si ce
crayon est de sa main. Tout près, à l'encre noire, « Hopf » cerclé, et deux
traits obliques qui séparent le coin du texte
On se place dans la catégorie duale de la catégorie des algèbres B
(commutatives avec unité) sur l'anneau comm. A. Une telle B est un
groupe de la catégorie si c'est une A-algèbre commutative unitaire,
s'est donné un hom. d'algèbresp_B : B \longrightarrow B \otimes_A B
(« application diagonale ») qui soit « associative »,« d'algèbre »
est écrit sous « associative », souligné avec lui pour laquelle il
existe une augmentation\varepsilon : B \to A telle que
\delta_B x = p_B x - (x \otimes 1 + 1 \otimes x) \in J \otimes J
(où J = \operatorname{Ker} \varepsilon) — cette augmentation est
alors unique — et un hom d'algèbresx \mapsto \check{x}
satisfaisant à la condition
x \in B, \quad p_B x = \sum y_i z_i \;\Longrightarrow\;
\sum \check{y}_i z_i = \sum y_i \check{z}_i = \varepsilon(x) . 1un tel hom d'algèbres est alors unique, et est une involution.
De plus on a
\varepsilon(\check{x}) = \varepsilon(x)
si p_B x = \sum y_i \otimes z_i, alors
p_B \check{x} = \sum_i \check{z}_i \otimes \check{y}_i.
SiB est libre de rang fini sur B,sic ; on
attend A alors ces structures se reflètent directement dans
\mathcal{U} par la donnée d'uneloid'algèbre(nonnécessairementcommutative)associativeunitairesurA,tellequeilexistex \mapsto \check{x}les deux dernières lignes de la page sont
encadrées et barrées ; au-dessus de la dernière, un ajout biffé lui aussi,
D de cogèbre unitaire sur A, donnée
par« unitaire », souligné, est ajouté au-dessus de la ligne avec un
renvoi\Delta_{\mathcal{U}} : \mathcal{U} \longrightarrow \mathcal{U} \otimes_A \mathcal{U},
\qquad
\eta_{\mathcal{U}} : \mathcal{U} \longrightarrow A
augmentation (surjective)
compatiblesavecd'uneaugmentation\delta_{\mathcal{U}} x{}= \Delta_{\mathcal{U}} x -{}trois lignes
encadrées et barrées d'une ligne ondulée
qui soit commutative, associative, d'une structure
d'A-algèbre sur \mathcal{U} qui soit associative,
unitaire (non nécessairement commutative) et telle que
\mathcal{U} \otimes_A \mathcal{U} \to \mathcal{U} soit un hom de cogèbres
unitaires [ou, ce qui revient au même, que \Delta_{\mathcal{U}} est un hom
d'algèbres associatives unitaires]. Enfin on suppose qu'il existe un hom
de cogèbres unitairesx \mapsto \check{x}, ayant la propriété
suivante :« de cogèbres unitaires », souligné, est ajouté au-dessus de
la lignex \in \mathcal{U}, \quad \Delta_{\mathcal{U}} x = \sum y_i \otimes z_i
\;\Longrightarrow\;
\sum y_i \check{z}_i = \sum \check{y}_i z_i = \eta_{\mathcal{U}}(x) . 1_{\mathcal{U}} .
Alors x \mapsto \check{x} est un antiautomorphisme involutif de la
structure d'algèbre de \mathcal{U}, et il est défini de
façon unique par les conditions ci-dessus.
Soit maintenant C une A-algèbre. On veut expliciter ce que
signifie que C admet B comme « groupe d'opérateurs à droite
gauche » dans la catégorie \mathcal{C}. Cela signifie ceci :
On se donne un hom. d'algèbres unitairesq_C : C \longrightarrow B \otimes_A C
satisfaisant aux conditions suivantes :
Associativité (on a commutativité du diagramme
\begin{tikzcd}
B \otimes B \otimes C & B \otimes C \arrow[l, "\mathrm{id}_B \otimes q_C"'] \\
B \otimes C \arrow[u, "p_B \otimes \mathrm{id}_C"] & C \arrow[l, "q_C"] \arrow[u, "q_C"']
\end{tikzcd}
Unité (on a commutativité du
\begin{tikzcd}
A \otimes C = C & B \otimes C \arrow[l, "\varepsilon \otimes \mathrm{id}_C"'] \\
& C \arrow[ul, "\sim"] \arrow[u, "q_C"']
\end{tikzcd}
i.e. on a q_C(y) \in 1 \otimes y + J \otimes C (où
J = \operatorname{Ker} \varepsilon).
Supposons encore que B soit libre de rang fini, de sorte qu'on peut lui
substituer \mathcal{U}. Alors la donnée d'un A-hom
q'_C : C \to B \otimes_A C' équivaut (pour tous les A-modules C, C')
à un A-hom q_{\mathcal{U}} : \mathcal{U} \to \mathrm{Hom}_A(C, C') [car
B \otimes_A C' \simeq \mathrm{Hom}_A(\mathcal{U}, C')].sur l'indice
de q_{\mathcal{U}}, des lettres surchargées Si C, C' sont des
A-algèbres unitaires, alors dire que q_C est un hom de A-algèbres
unitaires signifie que l'on a les conditions
\left\lbrace
\begin{array}{l}
q_{\mathcal{U}}(y) . 1_C = \eta_{\mathcal{U}}(y) . 1_{C'} \\[4pt]
x, y \in C,\ u \in \mathcal{U},\ \Delta_{\mathcal{U}} u = \sum v_i \otimes w_i
\;\Longrightarrow\;
p_{\mathcal{U}}(u)(xy) = \sum \bigl(p_{\mathcal{U}}(v_i) x\bigr)\bigl(p_{\mathcal{U}}(w_i) y\bigr)
\end{array}
\right.q_{\mathcal{U}} dans la première ligne, p_{\mathcal{U}} dans la
seconde, pour le même homomorphisme : tel sur la page
Si enfin C = C', alors les conditions
d'associativité et d'unité signifient que \mathcal{U}\mathcal{U} \to \mathrm{Hom}_A(C, C) est un hom de A-algèbres
unitaires. Considérant alors C comme un \mathcal{U}-moduleunitaire (i.e. ), les deux conditions précédentes
s'écrivent ainsi :
\left\lbrace
\begin{array}{l}
u . 1_C = \eta(u) . 1_C \\[4pt]
x, y \in C,\ u \in \mathcal{U},\ \Delta_{\mathcal{U}} u = \sum v_i \otimes w_i
\;\Longrightarrow\; u(xy) = \sum (v_i x)(w_i y)
\end{array}
\right.
Nous voulons maintenant exprimer que C, considérée comme ayant un groupe
d'opérateurs B dans la catégorie \mathcal{C} des A-algèbres comm. avec
unité, est principal fibré principal
homogènede base« fibré » et « homogène » sont écrits
au-dessus de la ligne, sur des mots biffés(i.e.estuneA-algèbrecommutative).Celasignifiedoncqu'ilexisteunhomdeA-algèbresunitairesC \otimes_A C \leftarrow
Bces lignes sont encadrées et barrées de deux lignes ondulées ; le
cadre descend jusqu'à la flèche C \otimes_A C \leftarrow B
OnsupposedoncA-algèbresquef : \mathcal{D} \to CunhomdeA-algèbresunitairesg_C : B \to C \otimes Clediagrammesuivant\leftarrow B \otimes C \xleftarrow{q_C} Cayantlapropriétésuivante:le haut de la page est barré de lignes horizontales et de
cinq longues diagonales ; lecture très incomplète
l'hom composé
B \otimes C \xleftarrow{\ \mathrm{id}_B \otimes \Delta_C\ } B \otimes C \otimes C
\xleftarrow{\ q_C \otimes \mathrm{id}_C\ } C \otimes C
[i.e. l'hom C \otimes C \xrightarrow{(q_C, p_2)} B \otimes C] est un
isomorphisme (de A-algèbres). Il revient au même de dire qu'il
existe un hom de A-algèbres unitairesg_C : B \to C \otimes C tel que l'on ait commutativité des
(*)
\begin{tikzcd}
C \otimes C & B \otimes C \arrow[l, "{(g_C, p_2)}"'] & C \arrow[l, "q_C"'] \arrow[ll, bend left=30, "p_1"]
\end{tikzcd}
(**)
\begin{tikzcd}
B \otimes C & C \otimes C \arrow[l, "{(q_C, p_2)}"'] & B \arrow[l, "g_C"'] \arrow[ll, bend left=30, "p_1"]
\end{tikzcd}
dans (*), entre C \otimes C et B \otimes C, un groupe biffé
illisible ; au-dessus, (g_C, p_2) récrit sur une première étiquette ; une
boucle de crayon relie (**) au début de la ligne suivante
Nous examinons les conditions, il est
biencertain que C soit fibré principal
hom. sous G, l'objet unité A
de \mathcal{C}. Supposons donc un hom de A-algèbres
commutatives unitairesh : \mathcal{D} \longrightarrow C
rendant commutatif le diagramme
\begin{tikzcd}
B \otimes C & C \arrow[l, "q_C"'] \\
C \arrow[u, "\mathrm{pr}_2"] & \mathcal{D} \arrow[l, "h"] \arrow[u, "h"']
\end{tikzcd}
i.e.
est-il vrai qu'on peut factoriser hà l'aide de
h' : \mathcal{D} \to A (une augmentation) par la formule
h(x) = h'(x) . 1_C \qquad ??
La commutativité du diagramme ci-dessus signifie simplement que h prend
ses valeurs dans la sous-algèbre C' de Cformée des x \in
définie par
x \in C' \iff q_C x = 1_B \otimes xavant q_C x, un groupe biffé illisible
i.e. les élémentsinvariants (primitifs) de C (rel.
à B).« invariants », souligné, est ajouté au-dessus de
« primitifs », entouréC' est une sous-A-algèbre de C, on
voit qu'on a tout ce qu'il faut ( si C un fibré
principal).lecture de cette ligne très incertaine
Le quotient de C par le groupe d'opérateurs B dans la catégorie
\mathcal{C} existe, et est donné par la sous-algèbre C' de C formée
des élémentsinvariantsprimitifs de C
(par. à B).
Mais attention, ce résultat ne dit pas grand-chose : si on se
place dans la catégorie des Schémas sur \mathrm{Spec}(A), il
par l'existence des quotients dans cette catégorie,
si le quotient y existe, il peut être distinct de celui
de la définition. Supposons par ex. A = corps alg. clos,
C = algèbre linéaireE, B = algèbre
d'un sous-groupe de Borel G. AlorsE/G dans la
catégorie des schémas existe bien et est une variété complète. Il en
résulte que le quotient dans la catégorie des variétés affines
est réduit au point.un grand crochet en marge gauche
embrasse ce paragraphe
Le cas qui nous intéresse,
\|
[C étant principal homogène] les élémentsC' est
isomorphe à A [par \lambda \mapsto \lambda 1_C].les deux
lignes sont soulignées d'un trait ondulé et marquées d'un double trait
vertical en marge
En effet, si x est semi-primitif, alors le diagramme commutatif (*)
donne
x \otimes 1_C = 1_C \otimes x \quad\text{dans } C \otimes C
Supposons que\lambda \mapsto \lambda 1_C soit un isomorphisme de
A sur un facteur direct du A-module C [pour ceci, il suffit, comme on
voit facilement, que C soit un A-module libre de typeayant une base contenant1_C, par ex. que
C soit un A-module libre de type fini]. Alors la condition précédente
implique facilement x = \lambda 1_C, où \lambda \in A est déterminé de
façon unique. Dans ce cas, on a donc bien ce qu'on voulait.
N.B. En général, il ne sera pas vrai que le quotient
de C par B (dans \mathcal{C}) soit A, si les conditions pas remplies : par exemple prenantC = B/JB, où
J est un idéal de A, et définissant en prenant
la q_C structure d'algèbre quotient, i.e. en définissant
q_C : C \to B \otimes C i.e.
q_C : B/JB \longrightarrow (B \otimes B)/J.(B \otimes B)
en réduisant p_B mod J. Les axiomes restent vérifiés, cependant
l'algèbre des primitifs de C est A/J, et non A…
Supposons maintenant que C soit lui aussi un A-module libre (cela
montre que la condition relative aux quasi-primitifs est une
conséquence de l'autre condition). Je dis que pour que \varphi\text{(**)} \qquad \varphi : C \otimes_A C \longrightarrow \mathrm{Hom}_A(\mathcal{U}, C)soit un isomorphisme, il faut et il suffit que l'hom
analogue défini en \varphi\psi : C \otimes \mathcal{U} \longrightarrow \mathrm{Hom}(C, C)par la condition\boxed{\ \psi(x \otimes u) . y = x\, u(y)\ }soit un isomorphisme.?la première lettre de
C \otimes_A C est surchargée ; « (**) » est écrit à gauche de la ligne
de \psi, sans qu'on voie auquel des deux homomorphismes il se rapporte
[Donc, si B et C sont libres de type fini, on a deux caractérisations
équivalentes pour que C soit du fait que
C est un fibré principal homogène sous C]sic ; on
attend B. « équivalentes » est écrit au-dessus du passage biffé
Supposonseneffetque\varphisoitunisomorphisme,i.e.:A' = C,doncC^{A'} \otimes_{A'} C^{A'}{}\to{}\mathrm{Hom}_{A'}(\mathcal{U}^{A'}, C^{A'})B^{A'}est«fibréhom.principalsousB = \mathcal{U}'»danslacatégoriedesA-algèbres.FaisantleproduitdanslacatégoriedesA'-algèbreslefibréA' = C,C^{A'}{}= C \otimes_A A'surB^{A'}{}= \mathcal{U}' \otimes_A A'{}= (\mathcal{U}^{A'})'estisomorphe:[caronaprisA' = C].toute la moitié inférieure de la page est barrée de
longues diagonales ; lecture très incomplète
Supposons à nouveau que B soit libre de type fini sur A,
alors et exprimons le fait que C est un fibré principal
homogène à l'aide de \mathcal{U}, . Cela doit donc
exprimer d'abord que l'hom d'algèbres
\varphi : C \otimes C \longrightarrow \mathrm{Hom}_A(\mathcal{U}, C)
[où la structure d'algèbre du deuxième membre est définie par
\begin{tikzcd}
\mathcal{U} \arrow[r, "\Delta_{\mathcal{U}}"] \arrow[rrr, bend right=20, "v * w"'] & \mathcal{U} \otimes \mathcal{U} \arrow[r, "v \otimes w"] & C \otimes C \arrow[r, "\Delta_C"] & C
\end{tikzcd}
]
qui est défini par
\varphi(1_C \otimes x) . (u) = \eta(u) x\varphi(x \otimes 1_C)(u) = u . x\boxed{\ \varphi(x \otimes y) . u = u(x) . y\ }
est un isomorphisme de C \otimes C sur
\mathrm{Hom}_A(\mathcal{U}, C).
De plus, on veut que l'hom \lambda \mapsto \lambda . 1_C soit un
isomorphisme de A sur l'ens. des éléments semi-primitifs de C,
i.e. tels que
u . x = \eta(u) . xles deux derniers alinéas sont embrassés par un grand crochet en
marge gauche ; la formule est soulignée d'un trait ondulé
Catégorie \mathcal{C} avec unité : e, et produits.
G groupe dans \mathcal{C}p_G : G \times G \to G
E\mathcal{C}-espace : \mathcal{C}-groupe G opérant :
q_E : G \times E \to E
On dit que E est formellement hom. principal si l'hom
G \times E \xrightarrow{\ (q_E, p_2)\ } E \times E
est un isomorphisme.x = g(x, y)\, y Cela signifie
aussi que l'on peut trouver un hom
E \times E \xrightarrow{\ g_E\ } G ,
tel que
(i)
\begin{tikzcd}
E \times E \arrow[r, "{(g, p_2)}"] \arrow[rr, bend right=30, "p_1"'] & G \times E \arrow[r, "q_E"] & E
\end{tikzcd}
est commutatif
(ii)
\begin{tikzcd}
G \times E \arrow[r, "{(q_E, p_2)}"] \arrow[rr, bend right=30, "p_1"'] & E \times E \arrow[r, "g_E"] & G
\end{tikzcd}
est commutatif
Si \mathcal{C} est la catégorie des A-algèbres (commutatives avec
unité), alors G, E correspondent à des A-algèbres B, C, et on a
\text{(*)} \qquad
\left\lbrace
\begin{array}{l}
p_B : B \longrightarrow B \otimes B \\
q_C : C \longrightarrow B \otimes C
\end{array}
\right.
et le fait que E soit formellement un fibré hom. principal
signifie que
\varphi : C \otimes C \xrightarrow{\ (q_C, p_2)\ } B \otimes C
est un isomorphisme, i.e. qu'il existe
g_C : B \longrightarrow C \otimes C
rendant commutatifs les diagrammes
(i)
\begin{tikzcd}
C \arrow[r, "q_C"] \arrow[rr, bend right=30, "p_1"'] & B \otimes C \arrow[r, "{(g_C, p_2)}"] & C \otimes C
\end{tikzcd}
(ii)
\begin{tikzcd}[column sep=large]
B \arrow[r, "g_C"] \arrow[rr, bend right=30, "p_1"'] & C \otimes C \arrow[r, "{\varphi = (q_C, p_2)}"] & B \otimes C
\end{tikzcd}
D'autre part, on démontre en définissant
\psi : \mathrm{Hom}_A(B, C) \longrightarrow \mathrm{Hom}_A(C, C)
en posant \psi(v) = \Delta_C (v \otimes \mathrm{id}_C) q_C :
\begin{tikzcd}
C \arrow[r, "q_C"] \arrow[rrr, bend right=20, "\psi(v)"'] & B \otimes C \arrow[r, "v \otimes \mathrm{id}_C"] & C \otimes C \arrow[r, "\Delta_C"] & C
\end{tikzcd}
Je dis que si\varphiest un isomorphisme, \psien est un. On va en effet construire, utilisant g_C, un hom
\psi' : \mathrm{Hom}(C, C) \longrightarrow \mathrm{Hom}(B, C)
qui sera inverse de \psi. On pose
\psi'(w) = \Delta_C (w \otimes \mathrm{id}_C) g_C :
\begin{tikzcd}
B \arrow[r, "g_C"] \arrow[rrr, bend right=20, "\psi'(w)"'] & C \otimes C \arrow[r, "w \otimes \mathrm{id}_C"] & C \otimes C \arrow[r, "\Delta_C"] & C
\end{tikzcd}
On doit prouver \psi'(\psi(v)) = v, \psi \psi'(w) = w. C'est facile :
\psi\psi'(w) = {}\Delta_C\bigl[(\Delta_C (w \otimes \mathrm{id}) g_C)\otimes \mathrm{id}_C\bigr] q_C
\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
C \arrow[d, "q_C"] & & C \arrow[d, "p_1"] \\
B \otimes C \arrow[d, "g_C \otimes \mathrm{id}_C"] & & C \otimes C \arrow[d, "w \otimes \mathrm{id}_C"] \\
C \otimes C \otimes C \arrow[d, "w \otimes \mathrm{id}_{C \otimes C}"] & & C \otimes C \arrow[d, "\Delta_C"] \\
C \otimes C \otimes C \arrow[d, "\Delta_C \otimes \mathrm{id}_C"] & & C \\
C \otimes C \arrow[d, "\Delta_C"] & & \\
C & &
\end{tikzcd}
colonne de gauche : la première, où les deux flèches de chaque étage
sont écrites côte à côte (g_C et \mathrm{id}_C, w et
\mathrm{id}_{C \otimes C}, \Delta_C et \mathrm{id}_C), les facteurs
concernés marqués d'accolades ; colonne de droite : la dernière des six.
Entre elles, quatre colonnes intermédiaires, reliées par des accolades, où
l'on échange l'ordre des étapes : C \otimes C \otimes C par
\mathrm{id}_C et \Delta_C vers C \otimes C puis \Delta_C ;
C \otimes C \otimes C par w et \Delta_C ; C \otimes C \otimes C par
\mathrm{id}_C, \Delta_C, puis w, \mathrm{id}_C ; C \to B \otimes C
\xrightarrow{(g_C, p_2)} C \otimes C \to C. Deux fins de colonne sont
biffées de hachures
Sur la dernière colonne, on reconnaît aussitôt qu'on a un composé
identique à w.
2°) \psi' \psi(v) = v
\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
B \arrow[d, "g_C"] & & B \arrow[d, "p_1"] \\
C \otimes C \arrow[d, "q_C \otimes \mathrm{id}_C"] & & B \otimes C \arrow[d, "v \otimes \mathrm{id}_C"] \\
B \otimes C \otimes C \arrow[d, "v \otimes \mathrm{id}_{C \otimes C}"] & & C \otimes C \arrow[d, "\Delta_C"] \\
C \otimes C \otimes C \arrow[d, "\Delta_C \otimes \mathrm{id}_C"] & & C \\
C \otimes C \arrow[d, "\Delta_C"] & & \\
C & &
\end{tikzcd}
même disposition : la première et la dernière des six colonnes ; les
intermédiaires passent par C \otimes C \otimes C \to C \otimes C \to C,
B \otimes C \otimes C \xrightarrow{v,\ \Delta_C} B \otimes C (sic),
B \otimes C \otimes C \xrightarrow{\mathrm{id}_B,\ \Delta_C} B \otimes C
\xrightarrow{v,\ \mathrm{id}_C} B \otimes C (sic), et
C \otimes C \xrightarrow{(q_C, p_2)} B \otimes C ; les « B » de ces
colonnes intermédiaires, là où l'on attend C, sont tels sur la page
Sur la dernière colonne, on voit aussitôt que le composé est identique à
v.
Réciproquement, supposons \psiun isomorphisme, montrons
qu'alors\varphiest un isomorphisme, du moins si on admet que
C admet une base finie sur A. Soit en effet \psi' l'isomorphisme
inverse de \psi\psi' : \mathrm{Hom}_A(C, C) \longrightarrow \mathrm{Hom}(B, C)
il s'identifie à un hom
\mathrm{Hom}(C, C) \otimes B \longrightarrow C
i.e. à un hom
\psi'_1 : B \longrightarrow \mathrm{Hom}(\mathrm{Hom}(C, C), C)
On veut en tirer un hom B \to C \otimes C en utilisant un hom naturel
\rho : \mathrm{Hom}(\mathrm{Hom}(C, C), C) \longrightarrow C \otimes C
Pour construire ce dernier, on note que le premier est isomorphe :
(C' \otimes C)' \otimes C = C \otimes C' \otimes Cà la suite, un groupe biffé : \mathrm{Hom}(C, C)[Engénéral,onaP \otimes \mathrm{Hom}(Q, R){}\to{}\mathrm{Hom}(\mathrm{Hom}(P, Q), R)i.e.P \otimes \mathrm{Hom}(Q, R){}\otimes \mathrm{Hom}(P, Q){}\to R,définipar(p, v, u){}\mapsto (v \circ u)(p)],ce crochet est
barré d'un trait en zigzag or l'élément unité de
C définit un A-hom naturel
\varepsilon : C' \longrightarrow A
d'où un hom \rho = \mathrm{id}_C \otimes \varepsilon \otimes \mathrm{id}_C.
Il faut prouver alors que, posant
g_C = \rho \circ \psi'_1 : B \longrightarrow C \otimes C
l'hom g_C satisfait les relations (i) et (ii).???
Pour ceci, —-le reste de la page est blanc
Considérons l'hyperalgèbre
\mathcal{U} = A[X] / X^p A[X]
sur l'anneau Ade car. pavec donnée par
\boxed{\ \Delta X = X \otimes 1 + 1 \otimes X\ }
[cela définit d'abord A[X] \to A[X] \otimes A[X], mais
\Delta X^p = X^p \otimes 1 + 1 \otimes X^p est multiple dans
l'idéal A[X] \otimes X^p A[X] + X^p A[X] \otimes A[X]], l'augmentation
étant définie par \boxed{\varepsilon(X) = 0}, et
l' \vee par \boxed{\check{X} = -X}.« de car. p » et « avec »
sont ajoutés au-dessus de la ligne, le premier avec un renvoi
Cette hyperalgèbre est isomorphe à sa duale, à
l'aide on la regarde comme des opérateurs duale d'un
groupe dans la catégorie des A-algèbres commutatives.
Soit C une A-algèbre commutative. Se faire opérer l'hyperalgèbre
\mathcal{U} sur C revient à définir l'image D de X, i.e. à se
donner un opérateur DA-linéaire de C. De plus
D^p = 0 (exprime que D définit une représentation
d'A-algèbre de A[X]/X^p A[X] dans L_A(C, C)),D(xy) = x Dy + y Dx (exprime que cette représentation est
compatible avec \Delta)
donc trouvé : la donnée d'une A-dérivation de
puissance p-ième nulle.
On veut exprimer maintenant que C est un B-espace
principal homogène dans la catégorie des A-algèbres commutatives.
On suppose d'abord que que Cest
libre un A-module libre (ce qui semble d'ailleurs unela lettre
B est surchargée et porte un accent ou un prime
conséquence de notre hypothèse), et rang égal nécessairement
p. Ceci dit il faut exprimer que les
D^i \quad (0 \leq i \leq p-1) \quad \text{forment une \emph{base} du $C$-module } \mathrm{Hom}_A(C, C)
[où on pose (\lambda u)(y) = \lambda(u(y))].
Soit Supposons par ex. que C admette une p-base
sur A (réduite à un élément u), donc que
C \simeq A[u]/(u^p - a), \qquad \text{où } a \in A .PosonsD u Alors une A-dérivation de C est connue
quand on connaît sa valeur sur u, qui peut être choisie arbitrairement.
Définissons alors la A-dérivation D dans C par
Du = 1
d'où
Du^n = n u^{n-1} .
On a donc D^p = 0, donc C est un \mathcal{U}-module. De plus,
la matrice des identifions, grâce à la base
(u^i)_{0 \leq i \leq p-1}, \mathrm{Hom}(C, C) à C^p, par
v \mapsto (v(u^i))_{0 \leq i \leq p-1} [c'est un isom. de C-modules].
Alors La matrice des opérations des D^i
(0 \leq i \leq p-1) est
\begin{pmatrix}
1 & u & u^2 & u^3 & \cdots & u^{p-1} \\
0 & 1 & 2u & 3u^2 & \cdots & (p-1) u^{p-2} \\
0 & 0 & 2.1 & 3.2.u & \cdots & (p-1)(p-2) u^{p-3} \\
0 & 0 & 0 & 3.2.1 & \cdots & (p-1)(p-2)(p-3) u^{p-4} \\
\vdots & & & & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & (p-1) \cdots 1
\end{pmatrix}la dernière colonne est séparée des autres par un double trait
vertical ; la ligne des points de suspension est notre
Son déterminant est égal à
0!\, 1!\, 2! \cdots (p-1)!
qui provient donc d'un élément non nul de \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}, donc
est inversible dans C, i.e. les D^i (0 \leq i \leq p-1) forment bien
une base de \mathrm{Hom}_A(C, C) sur C. Donc
Proposition. Soit C une A-algèbre ayant une p-base réduite à
un élément. Alors C est un espace homogène fibré principal sous
\mathcal{U} = A[X]/X^p A[X] (de la façon explicitée plus
haut).un trait vertical en marge gauche embrasse l'énoncé ; sous
lui, un double trait ondulé
Questions. 1) Soit C comme plus haut. Déterminer les façons
possibles de Cdéfinir la
C-hyperalgèbre Hom formée \mathrm{Hom}_A(C, C) à partir d'une
sous-A-hyperalgèbre \mathcal{U} (libre de rang p sur A).
Déterminer les \mathcal{U}pour lesquels qui sont isomorphes à
l'algèbre enveloppanteA, d'une p-algèbre de Lie telle (libre de rang 1,
d'une) p-algèbre pour une puissance p-ième
nulle.les ajouts interlinéaires de ces deux dernières lignes sont
serrés et en partie illisibles ; l'ordre de lecture est incertain
2) Déterminons les classes à isomorphismes près d'espaces
principaux homogènes sous B.sous la ligne, un
double trait de séparation
Soit C une A-algèbre libre de rang p, munie d'une
A-dérivation D telle que D^p = 0, et que les D^i
(0 \leq i \leq p-1) forment une base de
\mathrm{Hom}_A(C, C) sur C. Alors l'ensemble des éléments de
C annulés par D est A. En effet, tout sous-A-module M de C
qui est libre de rang m etfacteur direct dans C,
s'identifie à l'ensemble des zéros de (M^\circ)^\circ l'ens.
M^\circ des v \in \mathrm{Hom}(C, C) qui s'annulent sur M
(évident), et M^\circ est un sous-C-module libre de rang p - m dans
\mathrm{Hom}(C, C), qui est facteur direct des
sous-C-modules ; siu_i dans
M^\circforment la base d'un sous-module L de
\mathrm{Hom}(C, C)libre de qui facteurs
directs, alors nécessairement L = M^\circ, d'où M = L^\circ, i.e.
M est l'ens. des éléments de C annulés par les u_i. applique cecien marge gauche, deux notes tournées,
reliées au texte par une accolade : « sous-A-modules
A : C » et, plus bas, « Lemme » ; lecture très
incertaine
: M = A, et on a u_i = D^i (1 \leq i \leq p-1) , etc —-
S'il existe desCorollaireIl existe dans C un
élémentutel que Du = 1, et u est
unique à addition près d'un élément de A.un trait vertical en
marge gauche embrasse l'énoncé
L'unicité résulte du fait que D(u - u') = 0impliqueu - u' \in A.
Montrons enfin que l'on peut trouver u avec Du = 1.
En effet, la question étant locale, onA local, l'image de D est donc un sous-A-module de C,
isomorphe à C / \operatorname{Ker} D \simeq C/A, donc
libre de rang p - 1. Je dis qu'il contient A, i.e. que
D(C)^\circcontenu dans A^\circ, i.e. que si
v = \sum_{0 \leq i \leq p-1} \lambda_i D^i est nul sur D(C), alors
\lambda_0 = 0. Or l'hypothèse sur v signifie que vD = 0, i.e.
\lambda_0 = \lambda_1 = \cdots = \lambda_{p-2} = 0, OK.tout ce
passage, depuis « A local », est entouré d'un cadre et traversé de deux
longues obliques ; il n'est pas clair qu'il soit annulé
Six \in C, on a x^p \in Asix \in C car
Dx^p = 0.
Siu est tel que Du = 1, alors les u^i
(0 \leq i \leq p-1) forment une base de C sur A.
est locale,
En effet, il existe tel un A-endomorphisme \Theta de
C tel que \Theta(1) = 0 et \Theta(u) = 1 (C). On a
\Theta = \sum \lambda_i D^i = \ill{}Du = 1, u = \Theta \ill{}, 1 \leq i \leq p-1note écrite dans la marge
de gauche, tournée d'un quart de tour ; elle se rapporte à la preuve de
l'existence de u ; lecture très incomplète. La suite, « A est local.
Montrons d'abord que les u^i … sont libres sur A », ouvre la
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