Cote n° 36 · batch 5 · pages 81–84 · Transcription · SGA 7 (ma part) : notes manuscrites (s.d.), tapuscrit annoté (s.d.)
Datation de l’inventaire : [vers 1967-1973]
Édition de démonstration

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Autodualité de la jacobienne, suivant Artin-Mazur

titre inscrit à l'encre en haut à droite du feuillet de garde (page 81), qui ne porte rien d'autre ; le feuillet ne reçoit pas de numéro de page. Au-dessus, un premier titre biffé de plusieurs traits obliques : Extensions et biextensions de groupes algébriques […] […], avec, dans un cadre qui le rattache, le mot Obstruct. Pas de pagination de l'auteur sur les pages 81 à 83.

82Cas de dim. relative 1

Supposons \(P \to\) \(X\) cohom. plat en dim. 0, i.e. \(H^0(X_s, \mathcal{O}_{X_s}) \simeq k(s)\).

Posons \[P' = \operatorname{Ker}\bigl(P \xrightarrow{\ \deg\ } \mathbb{Z}_S\bigr), \qquad Q' = \operatorname{Ker}\bigl(Q \xrightarrow{\ \deg\ } \mathbb{Z}_S\bigr).\] On a un diagramme commutatif de suites exactes de faisceaux fppf

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
 & 0 \arrow[d] & 0 \arrow[d] & 0 \arrow[d] & \\
0 \arrow[r] & \Phi \arrow[r] \arrow[d] & P^0 \arrow[r] \arrow[d] & Q^0 \arrow[r] \arrow[d] & 0 \\
0 \arrow[r] & E \arrow[r] \arrow[d] & P' \arrow[r] \arrow[d] & Q' \arrow[r] \arrow[d] & 0 \\
0 \arrow[r] & E/\Phi \arrow[r] \arrow[d] & E^* \arrow[r] \arrow[d] & \Psi \arrow[r] \arrow[d] & 0 \\
 & 0 & 0 & 0 &
\end{tikzcd}

\(E, E^*, \Phi, \Psi\) sont des schémas en g[roupes] loc. ét. (quasi-finis) représentables par des schémas en groupes étales. Leurs fibres génériques sont le groupe unité. Les fibres spéciales, si \(k(s)\) sép. clos, sont données par les mots au-dessus de « représentables » sont interlinéaires, ajoutés au-dessus du passage biffé ; lecture douteuse. \[\Phi_{(s)} = \operatorname{Ker} u \simeq \mathbb{Z}/d\mathbb{Z}, \qquad \Psi_{(s)} = \operatorname{Coker} u \qquad (d = \operatorname{pgcd}(d_i)),\] où \[u \colon E_{(s)} \longrightarrow E^*_{(s)}\] est l'homom. compris dans le diagramme

\begin{tikzcd}[column sep=huge]
0 \arrow[r] & \mathbb{Z} \arrow[r, "{\lambda=(d_i)}"] & \mathbb{Z}^r \arrow[r, "\alpha"] & E_{(s)} \arrow[r] \arrow[d, dashed, "u"] & 0 \\
 & \mathbb{Z} & \mathbb{Z}^r \arrow[l, "{\mu=(d_i\delta_i)=(d_i^t)}"'] & E^*_{(s)} \arrow[l, "\beta"'] & 0 \arrow[l]
\end{tikzcd}

la flèche \(u\) est en pointillé ; devant le \(\mathbb{Z}\) de gauche de la seconde ligne, un « \(0 \leftarrow\) » (ou « \(0 \to\) ») est biffé.

et \[(\beta u \alpha)\bigl((n_i)_i\bigr) = \Bigl(\sum_{1 \leqslant i \leqslant r} n_i (C_i \cdot C_j)/\delta_j\Bigr)_{1 \leqslant j \leqslant r} .\]

N.B. \(E(s) \simeq E(S) \to P'(S)\) est donné par son composé avec \(\alpha\), qui est \((n_i) \mapsto \mathrm{cl}\,\mathcal{O}_X(\sum n_i C_i)\) ; \(P'(S) \to E^*_{(s)} \simeq E^*(S)\) est donné par son composé avec \(\beta\), qui est \(L \mapsto \bigl((\deg_{k(s)} L|_{C_i})/\delta_i\bigr)_i\). ce N.B. est encadré dans la marge droite, sous la ligne « On a, si \(X_{\tilde S}\) est loc. fact. », qui le surmonte.

On a, si \(X_{\tilde S}\) est loc. fact.

Lorsque \(X\) vérifie N, alors \(\Psi_{(s)}\) est aussi un gr. fini.

Si \(k(s)\) est parfait ou \((d^t,p)=1\), […] et les anneaux locaux de \(X_{\tilde S}\) [sont] factoriels, alors \(\Psi_s\) est aussi un gr. fini (comme \(\Phi_s\)), les anneaux locaux de \(X_{\tilde S}\) […]. Si de plus \(k(s)\) est parfait ou \((d^t, p) = 1\), alors […] factoriels (pour […]) alors \(Q'\) est un modèle de Néron de \[Q'_\eta = P'_\eta = P^0_\eta = \underline{\mathrm{Pic}}^0_{X_\eta/k(\eta)} .\] En particulier, si \(d^t = 1\), donc \(\Phi = 0\), \(Q'\) est un modèle de Néron de \(P^0_\eta\), pourvu que \(P'\) soit (loc. […]) sur \(S\) représentable. les deux dernières lignes sont serrées au pied de la page ; « Néron de \(P^0_\eta\) » est écrit sous la ligne, à gauche. Les biffures des lignes précédentes montrent l'hypothèse « \(k(s)\) parfait ou \((d^t,p)=1\) » déplacée de la condition de finitude de \(\Psi_s\) à celle du modèle de Néron.

83N.B. Accouplons \(\mathbb{Z}^r\) et \(\mathbb{Z}^r\) par \[\bigl((n_i), (n'_i)\bigr) = \sum \delta_i n_i n'_i .\] Alors \(\lambda\) et \(\mu\) sont formellement transposés par cet accouplement, en fait, donc \(\operatorname{Ker}\mu \simeq E^*(s)\) est accouplé à \(\operatorname{Coker}\lambda \simeq E(s)\), par la formule \[(\alpha(x), y^*) = (x, \beta y^*) \qquad x \in \mathbb{Z}^r,\ y^* \in E^*(s),\] \[E(s) \times E^*(s) \longrightarrow \mathbb{Z} .\] devant \(\mathbb{Z}^r\), dans « \(x \in \mathbb{Z}^r\) », un premier \(\mathbb{Z}\) est surchargé.

Par suite Je dis que l'on a aussi \[(x, u(y)) = (y, u(x)) \qquad \text{pour } x, y \in E(s).\] En effet, on peut supposer que \(x = \alpha((n_i))\), \(y = \alpha((n'_j))\), sous \((n_i)\) et \((n'_j)\), une accolade renvoie à \(\underline{n}\) et \(\underline{n}'\). et l'on a donc aussi par […] \[\begin{aligned} (\alpha(\underline{n}), u(y)) &= (\underline{n}, \beta u \alpha(\underline{n}')) \\ (\alpha(\underline{n}'), u(x)) &= (\underline{n}', \beta u \alpha(\underline{n})) . \end{aligned}\] Or on a \[(\underline{n}, \beta u \alpha(\underline{n}')) = \sum n_i n'_j (C_i \cdot C_j)\] qui est bien symétrique en \(\underline{n}, \underline{n}'\).

Si les \(\delta_i\) sont tous \(1\) (p.ex. \(k(s)\) parfait), alors on trouve par l'accouplement précédent \[E^*(s) \simeq \operatorname{Hom}(E(s), \mathbb{Z})\] et la relation symétrique […] de plus \(d = 1\) i.e. \(d^t = 1\). Dans ce cas cette dualité, et le fait que \(u \colon E(s) \to E^*(s)\) soit autoadjoint, donne pour le \(\operatorname{Coker} u = \Psi(s)\) une autodualité canonique (à valeurs dans \(\mathbb{Q}/\mathbb{Z}\)). Cette autodualité […] exprime l'obstruction à étendre la biextension qu'on a en \((Q'_\eta \times Q'_\eta) = (P^0_\eta \times P^0_\eta)\) par \(\mathbb{G}_m\), en une biextension des \(Q', Q'\) par \(\mathbb{G}_m\). modèles de Néron « modèles de Néron » est entouré sous la ligne, relié par deux traits aux deux \(Q'\). Le feuillet s'arrête ici.