Fonds Grothendieck, cote n° 36, pages 81–84

Autodualité de la jacobienne, suivant Artin-Mazur

titre inscrit à l'encre en haut à droite du feuillet de garde (page 81), qui ne porte rien d'autre ; le feuillet ne reçoit pas de numéro de page. Au-dessus, un premier titre biffé de plusieurs traits obliques : ~~Extensions et biextensions de groupes algébriques~~ , avec, dans un cadre qui le rattache, le mot Obstruct. Pas de pagination de l'auteur sur les pages 81 à 83.

Cas de dim. relative 1

Supposons ~~P \to~~ X cohom. plat en dim. 0, i.e. H^0(X_s, \mathcal{O}_{X_s}) \simeq k(s).

Posons P' = \operatorname{Ker}\bigl(P \xrightarrow{\ \deg\ } \mathbb{Z}_S\bigr), \qquad Q' = \operatorname{Ker}\bigl(Q \xrightarrow{\ \deg\ } \mathbb{Z}_S\bigr). On a un diagramme commutatif de suites exactes de faisceaux fppf

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & 0 \arrow[d] & 0 \arrow[d] & 0 \arrow[d] & \\ 0 \arrow[r] & \Phi \arrow[r] \arrow[d] & P^0 \arrow[r] \arrow[d] & Q^0 \arrow[r] \arrow[d] & 0 \\ 0 \arrow[r] & E \arrow[r] \arrow[d] & P' \arrow[r] \arrow[d] & Q' \arrow[r] \arrow[d] & 0 \\ 0 \arrow[r] & E/\Phi \arrow[r] \arrow[d] & E^* \arrow[r] \arrow[d] & \Psi \arrow[r] \arrow[d] & 0 \\ & 0 & 0 & 0 & \end{tikzcd}

E, E^*, \Phi, \Psi sont ~~des schémas en groupes~~ loc. ét. (quasi-finis) représentables par des schémas en groupes étales. Leurs fibres génériques sont le groupe unité. Les fibres spéciales, si k(s) sép. clos, sont données par les mots au-dessus de « représentables » sont interlinéaires, ajoutés au-dessus du passage biffé ; lecture douteuse. \Phi_{(s)} = \operatorname{Ker} u \simeq \mathbb{Z}/d\mathbb{Z}, \qquad \Psi_{(s)} = \operatorname{Coker} u \qquad (d = \operatorname{pgcd}(d_i)), où u \colon E_{(s)} \longrightarrow E^*_{(s)} est l'homom. compris dans le diagramme

\begin{tikzcd}[column sep=huge] 0 \arrow[r] & \mathbb{Z} \arrow[r, "{\lambda=(d_i)}"] & \mathbb{Z}^r \arrow[r, "\alpha"] & E_{(s)} \arrow[r] \arrow[d, dashed, "u"] & 0 \\ & \mathbb{Z} & \mathbb{Z}^r \arrow[l, "{\mu=(d_i\delta_i)=(d_i^t)}"'] & E^*_{(s)} \arrow[l, "\beta"'] & 0 \arrow[l] \end{tikzcd}

la flèche u est en pointillé ; devant le \mathbb{Z} de gauche de la seconde ligne, un « 0 \leftarrow » (ou « 0 \to ») est biffé.

et (\beta u \alpha)\bigl((n_i)_i\bigr) = \Bigl(\sum_{1 \leqslant i \leqslant r} n_i (C_i \cdot C_j)/\delta_j\Bigr)_{1 \leqslant j \leqslant r} .

N.B. E(s) \simeq E(S) \to P'(S) est donné par son composé avec \alpha, qui est (n_i) \mapsto \mathrm{cl}\,\mathcal{O}_X(\sum n_i C_i) ; P'(S) \to E^*_{(s)} \simeq E^*(S) est donné par son composé avec \beta, qui est L \mapsto \bigl((\deg_{k(s)} L|_{C_i})/\delta_i\bigr)_i. ce N.B. est encadré dans la marge droite, sous la ligne « On a, si X_{\tilde S} est loc. fact. », qui le surmonte.

On a, si X_{\tilde S} est loc. fact.

~~Lorsque X vérifie N, alors \Psi_{(s)} est aussi un gr. fini.~~

Si ~~k(s) est parfait ou (d^t,p)=1, et~~ les anneaux locaux de X_{\tilde S} sont factoriels, alors \Psi_s est aussi un gr. fini (comme \Phi_s), ~~les anneaux locaux de X_{\tilde S}~~ . Si de plus k(s) est parfait ou (d^t, p) = 1, alors ~~factoriels (pour ) alors~~ Q' est un modèle de Néron de Q'_\eta = P'_\eta = P^0_\eta = \underline{\mathrm{Pic}}^0_{X_\eta/k(\eta)} . En particulier, si d^t = 1, donc \Phi = 0, Q' est un modèle de Néron de P^0_\eta, pourvu que P' soit (loc. ) sur S représentable. les deux dernières lignes sont serrées au pied de la page ; « Néron de P^0_\eta » est écrit sous la ligne, à gauche. Les biffures des lignes précédentes montrent l'hypothèse « k(s) parfait ou (d^t,p)=1 » déplacée de la condition de finitude de \Psi_s à celle du modèle de Néron.

N.B. Accouplons \mathbb{Z}^r et \mathbb{Z}^r par \bigl((n_i), (n'_i)\bigr) = \sum \delta_i n_i n'_i . Alors \lambda et \mu sont formellement transposés par cet accouplement, ~~en fait~~, donc \operatorname{Ker}\mu \simeq E^*(s) est accouplé à \operatorname{Coker}\lambda \simeq E(s), par la formule (\alpha(x), y^*) = (x, \beta y^*) \qquad x \in \mathbb{Z}^r,\ y^* \in E^*(s), E(s) \times E^*(s) \longrightarrow \mathbb{Z} . devant \mathbb{Z}^r, dans « x \in \mathbb{Z}^r », un premier \mathbb{Z} est surchargé.

~~Par suite~~ Je dis que l'on a aussi (x, u(y)) = (y, u(x)) \qquad \text{pour } x, y \in E(s). En effet, on peut supposer que x = \alpha((n_i)), y = \alpha((n'_j)), sous (n_i) et (n'_j), une accolade renvoie à \underline{n} et \underline{n}'. et l'on a donc aussi par \begin{aligned} (\alpha(\underline{n}), u(y)) &= (\underline{n}, \beta u \alpha(\underline{n}')) \\ (\alpha(\underline{n}'), u(x)) &= (\underline{n}', \beta u \alpha(\underline{n})) . \end{aligned} Or on a (\underline{n}, \beta u \alpha(\underline{n}')) = \sum n_i n'_j (C_i \cdot C_j) qui est bien symétrique en \underline{n}, \underline{n}'.

Si les \delta_i sont tous 1 (p.ex. k(s) parfait), alors on trouve par l'accouplement précédent E^*(s) \simeq \operatorname{Hom}(E(s), \mathbb{Z}) et la relation symétrique de plus d = 1 i.e. d^t = 1. Dans ce cas cette dualité, et le fait que u \colon E(s) \to E^*(s) soit autoadjoint, donne pour le \operatorname{Coker} u = \Psi(s) une autodualité canonique (à valeurs dans \mathbb{Q}/\mathbb{Z}). Cette autodualité exprime l'obstruction à étendre la biextension qu'on a en (Q'_\eta \times Q'_\eta) = (P^0_\eta \times P^0_\eta) par \mathbb{G}_m, en une biextension des Q', Q' par \mathbb{G}_m. modèles de Néron « modèles de Néron » est entouré sous la ligne, relié par deux traits aux deux Q'. Le feuillet s'arrête ici.