Cote n° 34, pages 161–180

Cote n° 34 · batch 9 · pages 161–180 · Transcription · SGA 7 : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [vers 1967-1973]
Édition de démonstration

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161p. V.34 de l'auteur. Le paragraphe 6 commence avant ce lot : le §5 et les objets $V$, $V_s$, $V_{\bar\eta}$, $W_\eta$, $V(m)$ sont introduits dans les pages qui précèdent. 6.6. Utilisant les résultats du §5, on trouve \[\text{(6.6.1)}\qquad H^i(V) \longrightarrow H^i(V_{\bar\eta}) \longrightarrow H^i(V_s)\] \[\Bigl(H^i(V_{\bar\eta}) \simeq \varinjlim H^i(V(m))\Bigr)\] des isom si $i \leqslant n-2$, des mon si $i = n-1$, si $X$ est une intersection complète en toute généralisation […] ⌜si dim $n$ dans $V\cdot V_s$⌝ (?) et si $X$ est équidimensionnel (de dim $n+1$) en $x$. \[\text{(6.6.2)}\qquad \left\{ \begin{array}{lll} H^i(V_s) = 0 & \text{si } 0 < i \leqslant n-2 & (H^0(V_s) \simeq \Lambda \text{ si } n \geqslant 2)\\ H^i(V) = 0 & \text{si } 0 < i \leqslant n-1 & (H^0(V_s) \simeq \Lambda \text{ si } n \geqslant 1)\\ H^i(V_{\bar\eta}) = 0 & \text{si } i \neq 0, n & \\ H^i(W_\eta) = 0 & \text{si } i \neq 0, 1, n, n+1 & \end{array} \right.\] si $X$ est intersection complète en $x$.La seconde parenthèse porte bien $H^0(V_s)$ sur le feuillet, et non $H^0(V)$.

Supposons

6.7. Supposons […] $x$ point isolé de l'ens des points de non-lissité de $f$ dans $X$, donc a fortiori $X$ régulier en toute généralisation stricte de $x$. Alors $H^*(V_s)$ et $H^*(W)$ […] […] ⌜[…]⌝ de Poincaré, […] ⌜en degrés⌝ $2n-1$ et $2n+1$ resp. ; […] par suite si $X$ est ⌜de plus⌝ int. compl. en $x$, on déduit de 6.6.2 ; […] \[\text{(6.7.1)}\qquad \left\{ \begin{array}{ll} H^i(V_s) = 0 & \text{si } i \neq 0, n-1, n, 2n-1\\ H^i(V) = 0 & \text{si } i \neq 0, n, n+1, 2n+1 \end{array} \right.\] \[\Bigl[\text{et } H^0(V_s) \simeq \Lambda,\quad H^{2n-1}(V_s) \simeq \Lambda(-n) \quad \text{si } n \geqslant 2\Bigr]\] \[\Bigl[\text{et } H^0(V) \simeq \Lambda,\quad H^{2n+1}(V) \simeq \Lambda(-n-1) \quad \text{si } n \geqslant 1\Bigr]\] Dans les deux crochets, un mot suivi d'un trait est biffé après $\Lambda$ ; la torsion de la première ligne, lue $(-n)$, est surchargée.

VI. Groupe de monodromie et groupe fondamental

163Début d'une nouvelle rédaction, paginée 1, 2, 3… par l'auteur ; le chiffre romain de l'exposé est surchargé (VI écrit sur un autre chiffre). Le titre est le sien. VI. Groupe de monodromie et groupe fondamental(*) Le présent exposé n'est pas nécessaire pour la compréhension des autres exposés du séminaire.

1. Dans les exposés précédents, nous avons étudié, pour un schéma de type fini $X$ sur $K$ (corps des fractions d'un anneau de val. discrète strict. local $V$), l'action du groupe d'inertie $I = \mathrm{Gal}(\bar K/K)$ sur les invariants de nature cohomologique de $X_{\bar K}$. Il y a lieu également d'étudier l'action de $I$ sur […] d'autres invariants topologiques […] de $X_{\bar K}$. Dans le présent exposé, nous nous intéressons à l'action de $I$ sur le groupe fondamental $\pi_1(X_{\bar K}, \xi)$ (relativement à un pt géom. $\xi$ de $\bar K$). Nous désignerons par $\pi_1^{(p)}(X_K, \xi)$ le

1. Énoncé des résultats

1.1. Pour un groupe profini $\pi$, nous désignerons par $\pi^{(p')}$ le plus grand quotient ⌜(où $p' = P - \{p\}$, et $P$ l'ens. des nombres premiers)⌝ premier à $p$, si $p$ est l'exposant caract. du corps résiduel $k = k(V)$. Donc si $p = 1$, i.e. […], $\pi^{(p')} = \pi$ ; sinon $\pi^{(p')}$ est le quotient de $\pi$ par le s-groupe engendré par ses $p$-sous-groupes de Šilov, i.e. le quotient de $\pi$ par le s-groupe engendré par les $p$-sous-groupes de Šilov de $\pi$. La formation de $\pi^{(p')}$ est évidemment fonctorielle en $\pi$, et transforme automorphismes intérieurs de $\pi$

164p. 2 de l'auteur. en automorphismes intérieurs de $\pi^{(p')}$, donc induit un homomorphisme de groupes profinis \[\text{(1.1.1)}\qquad \mathrm{Autext}(\pi) \longrightarrow \mathrm{Autext}(\pi^{(p')}) .\] En particulier, si $\pi = \pi_1(X_{\bar K}, \xi)$, […] Soient en particulier $X_K$l'indice $K$ est ajouté à l'encre bleue. un schéma de type fini sur $K$, muni d'un pt géom. $\xi$, et $\bar K$ la clôture sép. de $K$ dans $k(\xi)$ [de sorte que $\xi$ « est » un pt géométrique de $X_{\bar K}$]. Comme on sait, on a une suite exacte (SGA 1 IX 6.1) \[\text{(1.1.2)}\qquad 1 \to \pi_1(X_{\bar K}, \xi) \longrightarrow \pi_1(X, \xi) \longrightarrow \mathrm{Gal}(\bar K/K) \to 1 , \qquad \mathrm{Gal}(\bar K/K) = I ,\] qui définit donc un homomorphisme \[\text{(1.1.3)}\qquad I \longrightarrow \mathrm{Autext}\, \pi_1(X_{\bar K}, \xi) .\] Soit $\pi_1(X,\xi)'$ le quotient de $\pi_1(X,\xi)$ par le s-groupe […] engendré par les $p$-sous-groupes de Šilov de $\pi_1(X_{\bar K}, \xi)$, on trouve une suite exacte \[\text{(1.1.4)}\qquad 1 \to \pi_1(X_{\bar K}, \xi)^{(p')} \longrightarrow \pi_1(X, \xi)' \longrightarrow \mathrm{Gal}(\bar K/K) \to 1 , \qquad \mathrm{Gal}(\bar K/K) = I ,\] qui définit un homomorphisme \[\text{(1.1.5)}\qquad I \longrightarrow \mathrm{Autext}\, \pi_1(X_{\bar K}, \xi)^{(p')} ,\] qui n'est autre que le composé de (1.1.1) et (1.1.3).

165p. 3 de l'auteur. Dans la suite, on se propose de donner des renseignements sur (1.1.5) lorsque $X$ est de type fini sur $K$, $K$ étant un « corps local » comme à l'accoutumée…

1.2. Lorsque […] on se donne un pt géom. $\xi$ de $X_K$ en fait localisé en un point rationnel sur $X$, alors la suite exacte (1.1.2) splitte canoniquement, et par suite on peut écrire $\pi_1(X, \xi)$ comme un produit ½ direct moyennant un homom. \[\text{(1.2.1)}\qquad I \longrightarrow \mathrm{Aut}\bigl(\pi_1^{(p)}(X_{\bar K}, \xi)\bigr)\] Le numéro est surchargé (4 sur 1, ou l'inverse) ; la p. 4 de l'auteur renvoie à « (1.2.4) ». L'exposant se lit $(p)$ ici, $(p')$ à la ligne suivante. compatible à 1.1.1 et l'homom. de fonctorialité \[\mathrm{Aut}\, \pi_1 \longrightarrow \mathrm{Aut}\, \pi_1^{(p')} .\] Lemme Explicitons ici la suite exacte, valable pour tout groupe profini $\pi$ \[\text{(1.2.5)}\qquad 1 \to \pi/Z \longrightarrow \mathrm{Aut}(\pi) \longrightarrow \mathrm{Autext}\, \pi \to 1 \qquad (Z = \text{centre de } \pi).\] Appliquée au cas de $\pi_1^{(p')}$, cette suite nous montre ceci :

166p. 4 de l'auteur. Lemme 1.2.6. Pour que l'opération (1.2.4) du gr. d'inertie $I$ sur $\pi_1^{(p')}(X_{\bar K}, \xi)$ soit « modérément ramifiée » i.e. pour que l'image ⌜de $I$ dans $\mathrm{Aut}\, \pi_1^{(p')}(X_{\bar K}, \xi)$⌝ soit un groupe profini premier à $p$, il faut et il suffit que l'image de $I$ dans $\mathrm{Autext}(\pi_1^{(p')}(X_{\bar K}, \xi))$ le soit (via (1.1.5)). En particulier, cette condition ne dépend pas du choix du point […] $\xi$ choisi dans $X_K(K)$.

Si cette condition […] On dit alors, par abus de (Si cette dernière condition est satisfaite, on dit aussi que $I$ opère modérément (sous-entendu : mod. aut. intérieurs) sur $\pi_1^{(p')}(X_{\bar K}, \xi)$.)

Ceci posé, nous avons en vue les démonstrations des deux résultats principaux ⌜(Théorème de l'action essentiellement modérée du gr. de monodromie locale)⌝ :

Théorème 1.3. Soit $X$ de type fini sur le corps $K$, $\xi$ un pt géom. de $X$, $\bar K$ la clôture sép. correspondante de $K$, d'où $I = \mathrm{Gal}(\bar K/K)$ opérant ⌜(par automorphismes extérieurs)⌝ sur $\pi_1^{(p')}(X_{\bar K}, \xi)$. Alors, il existe […] $\pi_1^{(p')}(X_{\bar K}, \xi)$ est topologiquement ⌜de type⌝ […] fini, et il existe un sous-groupe ouvert $I'$ de $I$ qui opère modérément (1.2.6) sur $\pi_1^{(p')}(X_{\bar K}, \xi)$.[…]En marge gauche, à hauteur du théorème, une note de quatre lignes est raturée et illisible.

Remarque 1.3.1. En fait, utilisant le résultat précédent ⌜(on en déduit le résultat 1.4 dans le cas de la dim. relative 1)⌝ J.P. Murre et la résolution des singularités dans le cas non propre, ⌜un argument dû à⌝ J.P. Murre permet de prouver ceci : Soit $X$ de t.f. sur $k$ sép. clos, […] ⌜d'exp. car. $p$,⌝ $\xi$ un pt géom.

167p. 5 de l'auteur. de $X$. Alors $\pi_1^{(p')}(X, \xi)$ est (en tant que pro-$p'$-groupe) de présentation finie.

Th. 1.4 (Th. de l'action modérée du groupe de monodromie locale). Soient $S$ un schéma strictement local, $\bar X$ un schéma sur $S$, $Y$ un sous-schéma fermé de $\bar X$, $X = \bar X - Y$, ⌜$U$ un ouvert de $S$ (resp. $y$ un pt de $U$)⌝, $\xi$ un pt géom. de $X|U$ (resp. de $X_y$). On suppose Dans le cas non vide, $y$ désigne le pt de $S$ sous $\xi$.

a) $\bar X$, ⌜$Y$⌝ sont projectifs, de présentation finie sur $S$ et de […] […] ⌜les composantes des⌝ $\bar X_s$. […]

b) […] $Y_s$ est rare dans $\bar X_s$.

c) $\bar X_{\bar s}$ est, dans le complémentaire d'une partie de codim $\geqslant 2$, un « diviseur ⌜schéma⌝ à croisements normaux ». […]

d) $\bar X|U$ est lisse et $Y|U$ diviseur à croisements normaux relatif (resp. $\bar X_y$ a un ens. de non-lissité de codim $\geqslant 2$). […] Enfin […] ⌜l'irréductibilité⌝.Un long passage entre b) et d) est biffé de plusieurs traits et en partie surchargé ; seules les lectures ci-dessus se dégagent.

Soit $I = \pi_1(U, \xi)$ [resp. $I = \pi_1(y, \xi) = \mathrm{Gal}(\bar y/y)$], considérons l'homom. naturel \[I \longrightarrow \mathrm{Autext}\, \pi_1^{(p')}(X_{\bar y}, \xi)\] $\mathrm{Autext}\, \pi_1^{(p')}(X_{\bar y}, \xi)$

Lorsque […] une section $g$ de $\bar X$ sur $S$ […], on […] \[I \longrightarrow \mathrm{Aut}\, \bigl(\pi_1^{(p')}(X_{\bar y}, \xi)\bigr) .\] Ceci posé, l'image de l'un et l'autre homom. est un groupe abélien […] premier à $p$.

Si $\bar X$ est de dim. relative 1 sur $S$, alors […] le rang ⌜des groupes images⌝ est $\leqslant \nu$, où $\nu$ est le nb de pts singuliers de $X_{\bar s}$.

En marge gauche, un schéma vertical : $\bar X \supset \bar X|U$, au-dessus de $S \supset U$, avec $\xi$ et une flèche vers $\bar X|U$ ; à côté, une note entourée, en partie raturée, où se lisent « remplacer … point … », « dans $S$ », « hypothèse que $I = \pi_1(\ldots)$ opère … ».

169p. 6 de l'auteur.

2. Réduction à un cas standard de dim. relative 1

La réduction de 1.3 au cas où $X$ est lisse sur $K$, de dim. relative 1 se fait suivant les lignes de la réduction analogue faite dans II 3, du moins

2.1. Réduction de 1.3 au cas $X$ […] ⌜géométriquement normal et géom. intègre⌝

On recouvre $X$ par des ouverts affines $X_i$ … \[\text{\struck{$X' = \coprod_i X_i$, \quad $X'' = X' \times_X X'$, \quad $X''' = X' \times_X X' \times_X X'$.}}\]

2.1.1. Réduction au cas […] […], on peut $X$ […]

Soit $X$ Notons que l'on peut […] remplacer $K$ par une extension finie $K'$ de $K$, et $X_K$ par $X_{K'} = X_K \otimes_K K'$ (car cela revient à remplacer $I$ par un sous-groupe ouvert $I'$). On peut alors, quitte à passer à une extension radicielle $K'$ de $K$, supposer que le normalisé de $(X_K)_{\mathrm{red}}$ est géométriquement normal (EGA IV 17.15.14.2). […] supposer $X_K$ géom. normal. Enfin Soit $X_0$ ⌜le normalisé de $X_{\mathrm{red}}$⌝argument […] cas où […] $X_K$ […] $x \in X_K(K)$, et soient $X_1$ et $X_2$ ses produits fibrés sur $X$. Dans SGA 1 IX 5, nous avons donné une méthode de Van Kampen pour calculer le gr. fondamental de $X$ ⌜en termes des comp. connexes⌝ des $X_0, X_1, X_2$. Nous pouvons d'ailleurs supposer, quitte à faire une ext. finie sur $K$, que les comp. connexes sont géom. connexes (EGA IV 4). Alors le groupe fondamental ⌜Nous pouvons de plus⌝ supposer que les pts bases choisis dans ces comp. …

170Feuillet de brouillon, non paginé par l'auteur, barré de deux longs traits au crayon ; il s'intercale entre les p. 6 et 7 de la rédaction. À gauche, $X_1$, $X_2$ ; au centre, la colonne $X''' \;\; X'' \;\; X' \;\; X$ reliée par des traits verticaux, avec en regard $\pi_0(X''')$, $\pi_0(X'')$, $\pi_0(X')$ « un seul pt ».

$\pi_1(X', \bar x) \to \pi_1(X, \bar x)$ $P \subset I$ $P$ opère trivialement sur $\pi_1(X', \bar x)$ dans son ens. image.

$X_0 =$ courbe elliptique une droite portant deux points : « origine $0$ » et $x$.

$X =$ une courbe à un point double (une boucle).

\[H^0(K, A) \longrightarrow H^1(K, T_\ell(A))\]

Diagramme de schémas : en haut $X \leftarrow X_K \leftarrow X_{\tilde U}$, en bas $S \hookleftarrow U \leftarrow \bar U$, flèches verticales dans les deux sens (projections et sections) entre $X$ et $S$, $X_K$ et $U$ ; au milieu $X$ (en gras) $\Leftarrow \tilde X$, et $s \leftarrow \bar s$ sous $U$ et $\bar U$ ; à droite, $F_{\bar a}$.

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\begin{tikzcd}
B_\Gamma \arrow[d] & B_\pi \arrow[l] \arrow[d] & \\
F & B_I \arrow[l] & P \arrow[l]
\end{tikzcd}

171p. 7 de l'auteur. connexes soient les pts géom. déduits (via le choix d'une clôture séparable $\bar K$ de $K$) de pts $x_{i\alpha}$ ($i = 0, 1, 2$) des rationnels sur $K$. On utilise loc. cit. pour déterminer $\pi_1(X^{\uncertain{c}}_{\bar K}, \xi)$ comme groupe engendré par ⌜les⌝ $\pi_1(X^c_{0\bar K}, \xi^c_0)$ et des générateurs $g_{c'}$ (indexés par l'ens. des composantes connexes de $X_1$), soumis à des relations explicitées […] qui ne nous importent pas ici. Le choix (des pts base indiqué ci-dessus […] que Cette description est canonique au données près du choix des […] « chemins de descente » reliant des pts géométriques ⌜$\bar a, \bar b$⌝ d'une […] composante connexe ⌜$X^c_{0\bar K}$⌝ de $X_{0\bar K}$, […] [savoir les pt marqué de $X^c_{0\bar K}$ et l'image d'un pt marqué d'un $X^{c'}_{1\bar K}$ par l'une ou l'autre projection.] […] Alors […] Plus précisément, […] on doit faire le choix d'un isom. entre les foncteurs fibres $F_{\bar a}, F_{\bar b}$ associés à $\bar a, \bar b$ sur la catégorie $\mathrm{Revét}(X^{c'}_{0\bar K})$ des rev. étales de $X^{c}_{0\bar K} = Y_{\bar K}$ ⌜par construction, $\bar a, \bar b$ proviennent de pts⌝ […] $\in X_0(K)$, ⌜de $a, b \in Y_K(K)$,⌝ […] transport de structure $I = \mathrm{Gal}(\bar K/K)$ opère par […] sur les foncteurs fibres $F_{\bar a}, F_{\bar b}$ [d… […] compatibles ⌜aux⌝ opérations de $I$ sur $\pi_1(X^{c'}_{1\bar K}, \bar a)$ et $\pi_1(X^{c'}_{1\bar K}, \bar b)$.

Ceci dit, on peut choisir les isom. $F_{\bar a} \simeq F_{\bar b}$ de façon […] […] […] l'action de $\mathcal{I}$ ⌜$I$⌝ sur l'ens. […] (compatibles $(\mathrm{Revét}(Y_{\bar K}), F_{\bar a})$, $(\mathrm{Revét}(Y_{\bar K}), F_{\bar b})$ ⌜[…]⌝ des « chemins de descente » de $\bar a$ à $\bar b$, Nous admettrons ⌜qui est⌝ un torseur sous $\pi_1(Y_{\bar K}, \bar a)$, à groupe d'opérateurs $I$ [compatible […] avec les opérations de $I$ sur le $\pi_1$].

Lemme 2.1.1. Il existe $Y_K$ de type fini géom. connexe sur $K$, muni de $a, b \in Y_K(K)$, […] $I$ opère sur l'ens. des chemins de $\bar a$ à $\bar b$ sur $Y_{\bar K}$. Ceci posé…Tout le bas de page, à partir de « Lemme 2.1.1 », est barré de deux grandes croix ; une note marginale gauche en face est raturée.

172p. 8 de l'auteur. La page enchaîne sur la fin de la p. 7 (2.1), sans reprise de phrase visible. Il n'est pas vrai en général que […] ce torseur à opérateurs $I$ soit trivial, i.e. admette un élément invariant par $I$ ; ⌜l'obstruction est dans un $c \in H^1(I, \pi_1(Y_{\bar K}, \bar a))$⌝ Mais si $P$ est le $p$-groupe de Sylow, on (elle est non commutatif). Mais considérons le […] torseur $(\ell^{(p')})$-modifié de […] l'ancien (à opérateurs $I$) $\pi_1^{(p')}(Y_{\bar K}, \bar a)$, et les restrictions des $I$-opérations au s-groupe $P \subset I$ ($p$-sous-groupe de Sylow). Je dis qu'il existe un élément de $(Q^{(p')})$ fixe sous $P$, i.e. que la classe \[c^{(p')}|P \in H^1\bigl(P, \pi_1^{(p')}(Y_{\bar K}, \bar a)\bigr)\] est nulle : Ceci provient en effet du fait que $P$ est un $p$-groupe et $\pi_1^{(p')}(Y_{\bar K}, \bar a)$ est premier à $p$ : […] ⌜il prouve que⌝ […] toute multiplication par un pr. […] divisant […]… Ceci prouve que la section standard […] ⌜$G \cdot I \to I$⌝ est conjuguée à une ⌜autre⌝ par un élément de $G$. Or par la […] conjugaison des Sylow, il existe un élément $g \cdot i \in G \cdot I$ tel que int$(g \cdot i)\, I = \varphi(I)$, i.e. $\mathrm{int}(g)\, I \subset \varphi(I)$, […] la conclusion.

173p. 9 de l'auteur. il existe un élément […] $\gamma \in P$ […] dans le groupe de stabilité dans $I$ est ouvert.Ces deux lignes, en tête de page, sont barrées de traits obliques.

Ceci posé, nous pouvons supposer choisis des ⌜les⌝ « chemins de descente » dans ⌜la th. de⌝ « Van Kampen », […] de telle façon qu'ils soient invariants par $P$. ⌜où les $\pi_1$ remplacés par $\pi_1^{(p')}$⌝ […] quitte à une extension finie de $K$. Alors, on voit par « transport de structure » que l'homom. ⌜(préfixé)⌝ \[\Pi^{(p')} = \text{groupe engendré par les } \pi_1^{(p')}(X^c_{0\bar K}, \bar x_{0\alpha}) \text{ et les } g_{c'}\] \[\Bigl\downarrow\] \[\pi_1^{(p')}(X_{\bar K}, \bar x)\] est compatible avec l'action de $I$, quand $I$ opère sur $\Pi$ via les opérations naturelles de $I$ sur les $\pi_1^{(p')}(X^c_{0\bar K}, \bar x_{0\alpha})$ (1.2), et l'opération triviale sur ⌜les⌝ $g_{c'}$.

Du moins pour […] les correspondant $\Pi^{(p')} \to \pi_1^{(p')}(X_{\bar K}, \bar x)$ est compatible avec les opérations de $I$. Ceci dit, si $P$ est le $p$-s-groupe de Sylow de $I$, Si l'on sait que $P$ opère trivialement sur les $\pi_1^{(p')}(X^c_{0\bar K}, \bar x_{0\alpha})$, il opère aussi trivialement sur $\Pi^{(p')}$ qui est engendré par des éléments qui sont fixes […] par $P$, donc $P$ opère trivialement sur le quotient $\pi_1^{(p')}$ $\pi_1^{(p')}(X_{\bar K}, \bar x)$, puisque ce dernier est surjectif. Donc on est ramené […] à prouver 1.3 pour les $X^c_0$ au lieu de $X$, i.e. on peut supposer $X$ géom. […] géom. normal.

174p. 10 de l'auteur. 2.2. Réduction de 1.3 au cas où $X$ géom. affine lisse de dim 1.

Soit $U_K$ un ouvert affine dense de $X_K$, Alors contenant un pt […] $x$. Alors $\pi_1(U_{\bar K}, \bar x) \to \pi_1(X_{\bar K}, \bar x)$ est surjectif et compatible avec les op. de $I$, donc de même pour $\pi_1^{(p')}(U_{\bar K}, \bar x) \to \pi_1^{(p')}(X_{\bar K}, \bar x)$, donc on est ramené au cas de $X$ affine, a fortiori quasi-projectif. ⌜au cas⌝ de plus $\dim X = 1$ se fait alors par la réduction (voir des hyperplans génériques, comme en II 3. Comme

2.3. Réduction de 1.3 au cas de la situation 1.4, avec Ensemble de $I$, on peut supposer […] […].Le titre de 2.3 et la ligne interlinéaire qui le suit sont en partie raturés et entourés.

[…] dim $X_K = 1$. [Considérons le modèle complet $\bar X_K$ de $X_K$. Quitte : faire une extension radicielle de $K$, on peut supposer $\bar X_K$ géom. normal i.e. lisse. De plus, une théorie non triviale, qui sera faite dans un exposé ultérieur ( ), nous apprend que, quitte : […] faire une extension finie de $K$, il existe un […] schéma projectif $\bar X$ sur $S$, ayant $\bar X_{\bar K}$ comme fibre générique, et tel que $\bar X_s$ soit géométriquement réduit, un diviseur à croisements normaux dans $\bar X$, $X_s$ étant de plus réduit et son normalisé étant géom. lisse sur $K$. Agrandissant encore $K$, on peut supposer que les pts de $\bar X_K - X_K$ sont rationnels sur $K$, donc ⌜(les $\bar X$ étant propre sur $S$)⌝ sont définis par des sections $g_i$ de $\bar X$ sur $S$, $1 \leqslant i \leqslant r$. La réduction est

corps résiduel parfait ? Mais on s'y ramène pour prouver 1.3, par réduct. au parfait à un $p$-groupe […] […] $I$, cf. $I$…

175p. 11 de l'auteur. terminée si ⌜les $g_i(S)$⌝ nous prouvons que sont mutuellement disjoints et contenus dans l'ouvert de lissité de $\bar X$ sur $S$. Il faut […] de […], il faut examiner les cas qui peuvent se présenter : a) […] $g_i(S)$ […] tel que $g_i(S)$ soit un pt double de $X_s$.En marge gauche : la fibre $X_s$, verticale, coupée en un point par la section $g_i(S)$, horizontale. Faisant éclater Mais si $D$ est le diviseur $X_s + \sum g_i(S)$ sur le schéma régulier $\bar X$, on sait ( ) que, quitte à faire éclater un nb fini de fois des pts fermés de $\bar X$ (qui sont nécessairement dans $\bar X_s$, donc le processus ne touche pas à $\bar X_K$, ni a fortiori à $X_K$), on peut supposer que $D$ est à croisements normaux.

Mais ceci implique que les $g_i(S)$ sont mutuellement disjointstrois droites concourantes : la fibre $X_s$ et deux sections $g_i(S)$, $g_j(S)$ passant par un même point. contenus puisqu'on ne pourrait avoir trois […] ⌜branches⌝ à croisements normaux). et que $g_i(S) \cap X_s = \{g_i(s)\}$ est un […] […] un pt de lissité de $X_s$ ⌜D'autre part⌝ […] (sinon on auraitla fibre $X_s$ à point double, avec une section $g_i(s)$ passant par ce point.) […] ⌜comme⌝ $X$ est régulier, cela implique que les sections $g_i$ de $X$ sur $S$ est dans l'ouvert de lissité de $X$ (EGA IV 17…). La réduction de 1.3 au cas 1.4 est achevée.

2.4. Réduction de 1.4 au cas de la dim. relative 1, […] ⌜et la th. prouvée en dim. relative $< n$⌝ $X$ géom. connexe de dim $n \geqslant 2$ […] […] […] […] […] […] […] […] $\bar X \hookrightarrow \mathbb{P}^r_S$, d'où $\bar X_s \subset \mathbb{P}^r_s$. Soit $Z_s$ le normalisé de $\bar X_s$, de sorte que $Z_s \to \mathbb{P}^r_s$ de dim $n$ géom. connexe […] […] un morphisme net (EGA V), $Z_s$ étant lisse. On sait alors que pour un hyperplan « assez général » $H_s$ de $\mathbb{P}^r_s$, $Z_s \times_{\mathbb{P}^r_s} H = Z'_s$ est […]Tout le paragraphe 2.4 est encadré et barré de grandes croix.

176p. 12 de l'auteur. 2.4. Réduction de 1.4 au cas de la dim. relative 1.

Supposons la dim. relative $n \geqslant 2$, et la th. prouvée en dim. relative $n-1$. Choisissons une immersion de $\bar X$ dans $\mathbb{P}^r_S$. Considérons On peut supposer […] que la section $g$ est de coordonnées $(1, 0, \ldots, 0)$. On remplace […] $S$ par le localisé strict de $S[t_1, \ldots, t_r]$ au pt maximal de la fibre spéciale, et l'ensemble des données […] $\bar X'$, $Y'$, $X'$, $U'$ sur $S'$. On peut relever $\xi$ en un […] pt géom. $\xi'$, dont l'image dans $S'$ […] pt géom. de $\bar X'$, […] ⌜On note $\bar y'$⌝ […] au-dessus de $y'$ générique dans la fibre de $S'$ au-dessus de $y$. Dans le cas non vide, […] […] […] […] […] […] […] […] […] […] […] […] […] Dans le cas non respé, […] […] […] […] […] […] […] […]Un passage de quatre lignes est encadré et barré ; on y lit « $U'$ », « $U$ », « $t'$ », « lisse et $Y$ », « (… à remplacer $k(\xi)$…) », « considérons … hyperplan », « croisements », « par $g$ ».

… plan $H \subset \mathbb{P}^r_S$ ⌜« générique » relativement à $S$, de⌝ coordonnées $(0, t_1, \ldots, t_r)$. Dans le cas non respé, […] Alors Posons Alors […] disjoint […] $U'$ […] […] […] le plus général […] […] […] […] […] […] considérons $\bar X^{(1)} = \bar X' \cap H$ et $Y^{(1)} = Y' \cap H$ ⌜sont⌝ ⌜projectifs et plats sur $S$,⌝ de présentation finie sur $S$, Soit $V'$ l'un des […] ⌜donc⌝ $(\bar X^{(1)}, Y^{(1)}, X^{(1)} = \bar X^{(1)} - Y^{(1)})$ satisfait […] à la condition a). Ils satisfont aussi aux conditions b) et c) ([…] ⌜réf.⌝ : EGA V).On peut être obligé de remplacer l'immersion projective initiale par une immersion conjuguée (en considérant une immersion de Veronese…).

Dans le cas […] respé, on peut choisir $\xi'$ de façon que $y'$ soit gén. dans la fibre de $S'$ sur $y$, donc […] par $\bar X^{(1)}_{y'}$. Dans le cas non respé, d) sera satisfait par […] […] toutes, je dis que si $U'$ est le plus grand ouvert de $S'|U$ ⌜tel⌝ lequel que $\bar X^{(1)}|U'$ soit lisse sur $U'$ et $Y^{(1)}|U'$ y soit un diviseur à croisements normaux relatifs, alors $U' \to U$ est surjectif ; […] c'est encore facile via réf. : EGA V.explicites un peu

177p. 13 de l'auteur. Posons $I' = \pi_1(U', \xi')$ resp. $I' = \pi_1(y', \xi')$. On a (SGA 1 XIII) \[\pi_1^{(p')}(X'_{\bar y'}, \xi') \simeq \pi_1^{(p')}(X_{\bar y}, \xi)\] dans et d'autre part, $U' \to U$ (resp. $y' \to y$) étant à fibres connexes, on a \[I' \longrightarrow I \quad \text{surjectif.}\] Donc il suffit de prouver que l'action […] de ⌜[…]⌝ $I'$ sur $\pi_1^{(p')}(X'_{\bar y'}, \xi')$ ([…] construite ⌜[…] construites ci-dessus⌝, […] […] donnée une section $g$ de $X/S$ dans l'ouvert de lissité, qui définit une section de $X'$, sur $S'$ dans l'ouvert de lissité, permet […] faite sur l'action de $I$ sur $\pi_1^{(p')}(X_{\bar y}, \xi)$ ; dans ce dernier cas, il est […] […] de construction précédente est […] par la section […] […] […] […] […] […] H […] autre […]) D'au ⌜D'autre part,⌝ […] « générique » pour […] […] les composantes irréductibles de D'autre part,Un long passage, à gauche, est encadré et barré d'un trait oblique ; seuls quelques mots se dégagent. comme $X^{(1)}_{\bar y}$ est irréductible de dim $\geqslant 2$, et $X^{(1)}_{\bar y}$ en une section hyperplane générique, le th. de Bertini ⌜et le th. d'invariance de $\pi_1^{(p')}$ par cat. des corps de base⌝ implique que \[\pi_1^{(p')}(X^{(1)}_{\bar y}, \xi) \longrightarrow \pi_1^{(p')}(X_{\bar y}, \xi)\] est surjectif. Donc on est ramené à prouver le […] énoncé 1.4 pour $\bar X^{(1)}$, $Y^{(1)}$, $U'$ resp. $y'$. Cela achève la réduction au cas de la dim. 1.

178p. 14 de l'auteur.

3. Démonstration de 1.4 dans le cas de la dim. relative 1

Soit $W$ […] On peut ⌜Soit $W$ un anneau de Cohen de corps résiduel $k$, et choisissons un hom. $W \to A$ (où $S = \mathrm{Spec}\, A$) […] induisant l'identité sur $k$.⌝ Nous allons d'abord prouver 1.4 en admettant le lemme clef suivant, qui sera prouvé dans l'exposé VII […] à l'aide de la théorie des ⌜constructions formelles de⌝ Schlessinger.

Lemme 3.1. Sous les conditions a) b) c) de 1.4, avec ⌜relative⌝ $\dim X_s = 1$, on peut trouver une algèbre locale noethérienne $A_0$ sur $W$, […] un anneau de séries formelles \[A_0 \simeq W[[t_1, \ldots, t_N]] ,\] […] un schéma $\bar X_0$ sur $A_0$, un sous-schéma $Y_0$ de $\bar X_0$, […] un morphisme $f : S = \mathrm{Spec}\, A \to S_0 = \mathrm{Spec}\, A_0$, de telle façon que les conditions suivantes soient vérifiées :

(i) $(\bar X_0, Y)$ sur $A_0$ satisfont les conditions a) b) c) de 1.4, i.e. $\bar X_0$ est projectif et plat sur $S_0$, $(\bar X_0)_{\bar s_0}$ ⌜($s_0$, le pt fermé de $S_0$)⌝ est une courbe […] algébrique […] n'ayant que des points singuliers ordinaires, $Y$ est ⌜un⌝ diviseur relatif sur $\bar X_0/S_0$ […] (étant entendu vide) […] […] […] […] une ensemble fini de sections $(g_\alpha)_{1 \leqslant \alpha \leqslant r}$ de $\bar X_0$ sur $S_0$, telles que $g_\alpha(s_0)$ […] […] […] pts […] de $(\bar X_0)_s$ […] […] (i)).

(ii) Soit $(x_i)_{i \in I}$ la famille des pts singuliers de $X_s$ ⌜(indexés par (i))⌝, […] et $k = k(s)$ ($X_s$ les […] […] loc. […] EGA V — dans […]). Il existe une famille de diviseursvoir $(D_i)_{i \in I}$ […] sur $S$, telle ⌜donc⌝ que la famille $\mathrm{div}(p) + \sum D_i +$ soit à croisements normaux et […] les $D_i$ des composantes nulles [de façon précise, on peut supposer $I = [1, \nu]$ et (que les $D_i$ sont de la forme $\mathrm{div}(t_i)$], [de telle façon que pour $t \in S_0$, … on ait $t \in D_i$ ses […] carts une généralisation $x'_i$ de $x_i$ au-dessus de $t$, telle que $\bar X_0$ soit lisse ⌜non⌝ au-dessus de $S_0$ en $x'$.] En particulier, $U_0 = S_0 - \bigcup_i D_i$ est le plus grand ouvert au-dessus duquel […] $\bar X_0$ soit lisse.

(iii) Le couple $(\bar X, Y)$ sur $S$ est isomorphe au couple déduit de $(\bar X_0, Y_0)$ sur $S_0$ par $f : S \to S_0$.

En marge gauche : un petit schéma (une verticale et une boîte traversée d'un segment pointé).

179p. 15 de l'auteur. 3.2. Démonstration de 1.4 à l'aide de 3.1.

Comme $U_0$ est l'ensemble des $t_0 \in S_0$ dont la fibre $\bar X_{0, t_0}$ est lisse, on voit que $f$ applique $U$ dans $U_0$ ; donc, l'action de par changement de base par les […] […] on vérifie les théorèmes de […] $\pi_1^{(p')}$ (SGA 1 XIII…), on est ramené à prouver le th., […] dans la situation ⌜([…])⌝ avec indices $0$. Or, en vertu des ⌜variantes des⌝ lemmes d'Abhyankar (SGA 1 XIII…), le groupe fondamental de $U_0$ est […] […] abélien d'ordre premier à $p$. […] […] […] […] la démonstration de 1.4 dans le cas […] […] isomorphe ⌜celles de 1.4 et de 1.3⌝[…] admise dans la […] de façon précise, il est de la dim. relative 1, dans tout le cas général, grâce aux réductions du […] 2.

Remarque 3.2.1. De façon précise, le variante indiquée du lemme d'Abhyankar affirme que ⌜les limites⌝ ⌜des⌝ revêtements universel de $U$ en prenant les revêtements kummériens […] […] définis par les revêtements kummérienslecture de la ligne incertaine ; le mot est répété. \[S[T_1, \ldots, T_\nu]/(T_1^m - t_1, \ldots, T_\nu^m - t_\nu) ,\] avec $m$ premier à $p$. D'où un isom. canonique \[\pi_1(U_0, \xi) \simeq \mathbb{Z}'_\ell(1)^I ,\] $I$ étant l'ensemble d'indices pour tous les pts singuliers ⌜de non-lissité⌝ de $X_0$, et $\mathbb{Z}'(1)$ étant le produit des $\mathbb{Z}_\ell(1)$ ($\ell$ nb premier, ⌜avec⌝ $\ell \neq p$), $\mathbb{Z}_\ell(1) = \varprojlim_m \mu_{\ell^m}(k)$.Sur le feuillet, l'indice de $\mathbb{Z}'(1)$ est surchargé, tantôt $\ell$, tantôt absent.

On peut donc dire que l'action de $\pi_1(U_0)$ est déterminée essentiellement par […] ⌜la donnée de⌝ $\nu$ […] ⌜automorphismes⌝ ⌜commutants⌝ de $\pi_1^{(p')}(X_{\bar K})$, définis […] (via le choix d'un

180p. 16 de l'auteur. générateur topologique de $\mathbb{Z}'(1)$) par les ⌜aux⌝ différents $x_i$. L'action […] […] Comme on connaît la structure ⌜[…] du genre de $X_{\bar K}$ et du nombre de pts intérieurs⌝ de $\pi_1^{(p')}(X_{\bar K}, \xi)$ (SGA 1 XIII) […] on voit que le pb de déterminer la forme des $h_i$ devient assez concret. Cela […] sera fait par Deligne par voie transcendante dans un exposé ultérieur.

Lorsque $S$ est lui-même un trait, donc […] \[I_t = \pi_1(y, \bar\xi)_t \simeq \mathbb{Z}'_\ell(1) ,\] dans l'action extérieure de $I_t$ sur $\pi_1^{(p')}(X_{\bar K}, \xi)$ est connue quand on connaît l'homomorphisme induit \[\pi_1(y, \bar\xi)_{\mathrm{tam}} \longrightarrow \pi_1(U_0, \bar\xi)\] Avant $\pi_1(y, \bar\xi)_{\mathrm{tam}}$, un « $\mathbb{Z}'(1) \to$ » est biffé. i.e. un homomorphisme $\mathbb{Z}'(1)$ \[u : \mathbb{Z}'(1) \longrightarrow \mathbb{Z}'(1)^I\] dont la […] […] d'ailleurs, […] […] qui est d'ailleurs donné par […] […], et \[u(\lambda) = (n_i \lambda)\] avec \[n_i = \mathrm{long}(V / \mathfrak{m}_i V) ,\] où $\mathfrak{m}_i$ est l'idéal définissant le diviseur $D_i$ ⌜dans $S$⌝. (L'entier $n_i$ mesure, […] heuristiquement, la vitesse avec laquelle disparaît la singularité $x_i$ en passant de la fibre spéciale à la fibre générique.) Donc le générateur choisi de $\mathbb{Z}'(1)$ agit ⌜extérieurement⌝ sur $\pi_1^{(p')}(X_{\bar K}, \xi)$ par \[h = h_1^{n_1} \cdots h_\nu^{n_\nu} .\] La page s'arrête ici ; le texte peut se poursuivre au-delà de ce lot.