Fonds Grothendieck, cote n° 34, pages 161–180

p. V.34 de l'auteur. Le paragraphe 6 commence avant ce lot : le §5 et les objets V, V_s, V_{\bar\eta}, W_\eta, V(m) sont introduits dans les pages qui précèdent. 6.6. Utilisant les résultats du §5, on trouve \text{(6.6.1)}\qquad H^i(V) \longrightarrow H^i(V_{\bar\eta}) \longrightarrow H^i(V_s) \Bigl(H^i(V_{\bar\eta}) \simeq \varinjlim H^i(V(m))\Bigr) des isom si i \leqslant n-2, des mon si i = n-1, si X est une intersection complète en toute généralisation si dim n dans V\cdot V_s (?) et si X est équidimensionnel (de dim n+1) en x. \text{(6.6.2)}\qquad \left\{ \begin{array}{lll} H^i(V_s) = 0 & \text{si } 0 < i \leqslant n-2 & (H^0(V_s) \simeq \Lambda \text{ si } n \geqslant 2)\\ H^i(V) = 0 & \text{si } 0 < i \leqslant n-1 & (H^0(V_s) \simeq \Lambda \text{ si } n \geqslant 1)\\ H^i(V_{\bar\eta}) = 0 & \text{si } i \neq 0, n & \\ H^i(W_\eta) = 0 & \text{si } i \neq 0, 1, n, n+1 & \end{array} \right. si X est intersection complète en x.La seconde parenthèse porte bien H^0(V_s) sur le feuillet, et non H^0(V).

~~Supposons~~

6.7. Supposons x point isolé de l'ens des points de non-lissité de f dans X, donc a fortiori X régulier en toute généralisation stricte de x. Alors H^*(V_s) et H^*(W) de Poincaré, en degrés 2n-1 et 2n+1 resp. ; par suite si X est de plus int. compl. en x, on déduit de 6.6.2 ; \text{(6.7.1)}\qquad \left\{ \begin{array}{ll} H^i(V_s) = 0 & \text{si } i \neq 0, n-1, n, 2n-1\\ H^i(V) = 0 & \text{si } i \neq 0, n, n+1, 2n+1 \end{array} \right. \Bigl[\text{et } H^0(V_s) \simeq \Lambda,\quad H^{2n-1}(V_s) \simeq \Lambda(-n) \quad \text{si } n \geqslant 2\Bigr] \Bigl[\text{et } H^0(V) \simeq \Lambda,\quad H^{2n+1}(V) \simeq \Lambda(-n-1) \quad \text{si } n \geqslant 1\Bigr] Dans les deux crochets, un mot suivi d'un trait est biffé après \Lambda ; la torsion de la première ligne, lue (-n), est surchargée.

VI. Groupe de monodromie et groupe fondamental

Début d'une nouvelle rédaction, paginée 1, 2, 3… par l'auteur ; le chiffre romain de l'exposé est surchargé (VI écrit sur un autre chiffre). Le titre est le sien. VI. Groupe de monodromie et groupe fondamental(*) Le présent exposé n'est pas nécessaire pour la compréhension des autres exposés du séminaire.

1. Dans les exposés précédents, nous avons étudié, pour un schéma de type fini X sur K (corps des fractions d'un anneau de val. discrète strict. local V), l'action du groupe d'inertie I = \mathrm{Gal}(\bar K/K) sur les invariants de nature cohomologique de X_{\bar K}. Il y a lieu également d'étudier l'action de I sur d'autres invariants topologiques de X_{\bar K}. Dans le présent exposé, nous nous intéressons à l'action de I sur le groupe fondamental \pi_1(X_{\bar K}, \xi) (relativement à un pt géom. \xi de \bar K). ~~Nous désignerons par \pi_1^{(p)}(X_K, \xi) le~~

1. Énoncé des résultats

1.1. Pour un groupe profini \pi, nous désignerons par \pi^{(p')} le plus grand quotient (où p' = P - \{p\}, et P l'ens. des nombres premiers) premier à p, si p est l'exposant caract. du corps résiduel k = k(V). Donc si p = 1, i.e. , \pi^{(p')} = \pi ; sinon \pi^{(p')} est le quotient de \pi par le s-groupe engendré par ses p-sous-groupes de Šilov, i.e. le quotient de \pi par le s-groupe engendré par les p-sous-groupes de Šilov de \pi. La formation de \pi^{(p')} est évidemment fonctorielle en \pi, et transforme automorphismes intérieurs de \pi

p. 2 de l'auteur. en automorphismes intérieurs de \pi^{(p')}, donc induit un homomorphisme de groupes profinis \text{(1.1.1)}\qquad \mathrm{Autext}(\pi) \longrightarrow \mathrm{Autext}(\pi^{(p')}) . ~~En particulier, si \pi = \pi_1(X_{\bar K}, \xi),~~ Soient en particulier X_Kl'indice K est ajouté à l'encre bleue. un schéma de type fini sur K, muni d'un pt géom. \xi, et \bar K la clôture sép. de K dans k(\xi) [de sorte que \xi « est » un pt géométrique de X_{\bar K}]. Comme on sait, on a une suite exacte (SGA 1 IX 6.1) \text{(1.1.2)}\qquad 1 \to \pi_1(X_{\bar K}, \xi) \longrightarrow \pi_1(X, \xi) \longrightarrow \mathrm{Gal}(\bar K/K) \to 1 , \qquad \mathrm{Gal}(\bar K/K) = I , qui définit donc un homomorphisme \text{(1.1.3)}\qquad I \longrightarrow \mathrm{Autext}\, \pi_1(X_{\bar K}, \xi) . Soit \pi_1(X,\xi)' le quotient de \pi_1(X,\xi) par le s-groupe engendré par les p-sous-groupes de Šilov de \pi_1(X_{\bar K}, \xi), on trouve une suite exacte \text{(1.1.4)}\qquad 1 \to \pi_1(X_{\bar K}, \xi)^{(p')} \longrightarrow \pi_1(X, \xi)' \longrightarrow \mathrm{Gal}(\bar K/K) \to 1 , \qquad \mathrm{Gal}(\bar K/K) = I , qui définit un homomorphisme \text{(1.1.5)}\qquad I \longrightarrow \mathrm{Autext}\, \pi_1(X_{\bar K}, \xi)^{(p')} , qui n'est autre que le composé de (1.1.1) et (1.1.3).

p. 3 de l'auteur. Dans la suite, on se propose de donner des renseignements sur (1.1.5) lorsque X est de type fini sur K, K étant un « corps local » comme à l'accoutumée…

1.2. Lorsque on se donne un pt géom. \xi de X_K en fait localisé en un point rationnel sur X, alors la suite exacte (1.1.2) splitte canoniquement, et par suite on peut écrire \pi_1(X, \xi) comme un produit ½ direct moyennant un homom. \text{(1.2.1)}\qquad I \longrightarrow \mathrm{Aut}\bigl(\pi_1^{(p)}(X_{\bar K}, \xi)\bigr) Le numéro est surchargé (4 sur 1, ou l'inverse) ; la p. 4 de l'auteur renvoie à « (1.2.4) ». L'exposant se lit (p) ici, (p') à la ligne suivante. compatible à 1.1.1 et l'homom. de fonctorialité \mathrm{Aut}\, \pi_1 \longrightarrow \mathrm{Aut}\, \pi_1^{(p')} . ~~Lemme~~ Explicitons ici la suite exacte, valable pour tout groupe profini \pi \text{(1.2.5)}\qquad 1 \to \pi/Z \longrightarrow \mathrm{Aut}(\pi) \longrightarrow \mathrm{Autext}\, \pi \to 1 \qquad (Z = \text{centre de } \pi). Appliquée au cas de \pi_1^{(p')}, cette suite nous montre ceci :

p. 4 de l'auteur. Lemme 1.2.6. Pour que l'opération (1.2.4) du gr. d'inertie I sur \pi_1^{(p')}(X_{\bar K}, \xi) soit « modérément ramifiée » i.e. pour que l'image de I dans \mathrm{Aut}\, \pi_1^{(p')}(X_{\bar K}, \xi) soit un groupe profini premier à p, il faut et il suffit que l'image de I dans \mathrm{Autext}(\pi_1^{(p')}(X_{\bar K}, \xi)) le soit (via (1.1.5)). En particulier, cette condition ne dépend pas du choix du point \xi choisi dans X_K(K).

~~Si cette condition~~ ~~On dit alors, par abus de~~ (Si cette dernière condition est satisfaite, on dit aussi que I opère modérément (sous-entendu : mod. aut. intérieurs) sur \pi_1^{(p')}(X_{\bar K}, \xi).)

Ceci posé, nous avons en vue les démonstrations des deux résultats principaux (Théorème de l'action essentiellement modérée du gr. de monodromie locale) :

Théorème 1.3. Soit X de type fini sur ~~le corps~~ K, \xi un pt géom. de X, \bar K la clôture sép. correspondante de K, d'où I = \mathrm{Gal}(\bar K/K) opérant (par automorphismes extérieurs) sur \pi_1^{(p')}(X_{\bar K}, \xi). Alors, ~~il existe~~ \pi_1^{(p')}(X_{\bar K}, \xi) est topologiquement de type fini, et il existe un sous-groupe ouvert I' de I qui opère modérément (1.2.6) sur \pi_1^{(p')}(X_{\bar K}, \xi).En marge gauche, à hauteur du théorème, une note de quatre lignes est raturée et illisible.

Remarque 1.3.1. En fait, utilisant le résultat précédent (on en déduit le résultat 1.4 dans le cas de la dim. relative 1) ~~J.P. Murre~~ et la résolution des singularités dans le cas non propre, un argument dû à J.P. Murre permet de prouver ceci : Soit X de t.f. sur k sép. clos, d'exp. car. p, \xi un pt géom.

p. 5 de l'auteur. de X. Alors \pi_1^{(p')}(X, \xi) est (en tant que pro-p'-groupe) de présentation finie.

Th. 1.4 (Th. de l'action modérée du groupe de monodromie locale). Soient S un schéma strictement local, \bar X un schéma sur S, Y un sous-schéma fermé de \bar X, X = \bar X - Y, U un ouvert de S (resp. y un pt de U), \xi un pt géom. de X|U (resp. de X_y). ~~On suppose~~ Dans le cas non vide, y désigne le pt de S sous \xi.

a) \bar X, Y ~~sont~~ projectifs, de présentation finie sur S et de les composantes des \bar X_s.

b) Y_s est rare dans \bar X_s.

c) \bar X_{\bar s} est, dans le complémentaire d'une partie de codim \geqslant 2, un « ~~diviseur~~ schéma à croisements normaux ».

d) \bar X|U est lisse et Y|U diviseur à croisements normaux relatif (resp. \bar X_y a un ens. de non-lissité de codim \geqslant 2). Enfin l'irréductibilité.Un long passage entre b) et d) est biffé de plusieurs traits et en partie surchargé ; seules les lectures ci-dessus se dégagent.

Soit I = \pi_1(U, \xi) [resp. I = \pi_1(y, \xi) = \mathrm{Gal}(\bar y/y)], considérons l'homom. naturel I \longrightarrow \mathrm{Autext}\, \pi_1^{(p')}(X_{\bar y}, \xi) ~~\mathrm{Autext}\, \pi_1^{(p')}(X_{\bar y}, \xi)~~

Lorsque une section g de \bar X sur S , on I \longrightarrow \mathrm{Aut}\, \bigl(\pi_1^{(p')}(X_{\bar y}, \xi)\bigr) . Ceci posé, l'image de l'un et l'autre homom. est un groupe abélien premier à p.

Si \bar X est de dim. relative 1 sur S, alors le rang des groupes images est \leqslant \nu, où \nu est le nb de pts singuliers de X_{\bar s}.

En marge gauche, un schéma vertical : \bar X \supset \bar X|U, au-dessus de S \supset U, avec \xi et une flèche vers \bar X|U ; à côté, une note entourée, en partie raturée, où se lisent « remplacer … point … », « dans S », « hypothèse que I = \pi_1(\ldots) opère … ».

p. 6 de l'auteur.

2. Réduction à un cas standard de dim. relative 1

~~La réduction de 1.3 au cas où X est lisse sur K, de dim. relative 1 se fait suivant les lignes de la réduction analogue faite dans II 3, du moins~~

2.1. Réduction de 1.3 au cas X géométriquement normal et géom. intègre

~~On recouvre X par des ouverts affines X_i …~~ \text{\struck{$X' = \coprod_i X_i$, \quad $X'' = X' \times_X X'$, \quad $X''' = X' \times_X X' \times_X X'$.}}

~~2.1.1. Réduction au cas , on peut X~~

~~Soit X~~ Notons que l'on peut remplacer K par une extension finie K' de K, et X_K par X_{K'} = X_K \otimes_K K' (car cela revient à remplacer I par un sous-groupe ouvert I'). On peut alors, quitte à passer à une extension radicielle K' de K, supposer que le normalisé de (X_K)_{\mathrm{red}} est géométriquement normal (EGA IV 17.15.14.2). ~~supposer X_K géom. normal. Enfin~~ Soit X_0 le normalisé de X_{\mathrm{red}}argument cas où X_K x \in X_K(K), et soient X_1 et X_2 ses produits fibrés sur X. Dans SGA 1 IX 5, nous avons donné une méthode de Van Kampen pour calculer le gr. fondamental de X en termes des comp. connexes des X_0, X_1, X_2. Nous pouvons d'ailleurs supposer, quitte à faire une ext. finie sur K, que les comp. connexes sont géom. connexes (EGA IV 4). ~~Alors le groupe fondamental~~ Nous pouvons de plus supposer que les pts bases choisis dans ces comp. …

Feuillet de brouillon, non paginé par l'auteur, barré de deux longs traits au crayon ; il s'intercale entre les p. 6 et 7 de la rédaction. À gauche, X_1, X_2 ; au centre, la colonne X''' \;\; X'' \;\; X' \;\; X reliée par des traits verticaux, avec en regard \pi_0(X'''), \pi_0(X''), \pi_0(X') « un seul pt ».

\pi_1(X', \bar x) \to \pi_1(X, \bar x) P \subset I P opère trivialement sur \pi_1(X', \bar x) dans son ens. image.

X_0 = courbe elliptique une droite portant deux points : « origine 0 » et x.

X = une courbe à un point double (une boucle).

H^0(K, A) \longrightarrow H^1(K, T_\ell(A))

Diagramme de schémas : en haut X \leftarrow X_K \leftarrow X_{\tilde U}, en bas S \hookleftarrow U \leftarrow \bar U, flèches verticales dans les deux sens (projections et sections) entre X et S, X_K et U ; au milieu X (en gras) \Leftarrow \tilde X, et s \leftarrow \bar s sous U et \bar U ; à droite, F_{\bar a}.

\begin{tikzcd} B_\Gamma \arrow[d] & B_\pi \arrow[l] \arrow[d] & \\ F & B_I \arrow[l] & P \arrow[l] \end{tikzcd}

p. 7 de l'auteur. connexes soient les pts géom. déduits (via le choix d'une clôture séparable \bar K de K) de pts x_{i\alpha} (i = 0, 1, 2) ~~des~~ rationnels sur K. On utilise loc. cit. pour déterminer \pi_1(X^{\uncertain{c}}_{\bar K}, \xi) comme groupe engendré par les \pi_1(X^c_{0\bar K}, \xi^c_0) et des générateurs g_{c'} (indexés par l'ens. des composantes connexes de X_1), soumis à des relations ~~explicitées~~ qui ne nous importent pas ici. ~~Le choix (des pts base indiqué~~ ~~ci-dessus~~ ~~que~~ Cette description est canonique au données près du choix des « chemins de descente » reliant des pts géométriques \bar a, \bar b d'une composante connexe X^c_{0\bar K} de X_{0\bar K}, [savoir les pt marqué de X^c_{0\bar K} et l'image d'un pt marqué d'un X^{c'}_{1\bar K} par l'une ou l'autre projection.] ~~Alors~~ Plus précisément, on doit faire le choix d'un isom. entre les foncteurs fibres F_{\bar a}, F_{\bar b} associés à \bar a, \bar b sur la catégorie \mathrm{Revét}(X^{c'}_{0\bar K}) des rev. étales de X^{c}_{0\bar K} = Y_{\bar K} par construction, \bar a, \bar b proviennent de pts ~~\in X_0(K)~~, de a, b \in Y_K(K), ~~transport de structure I = \mathrm{Gal}(\bar K/K) opère par sur les foncteurs fibres F_{\bar a}, F_{\bar b} [d…~~ ~~compatibles~~ aux opérations de I sur \pi_1(X^{c'}_{1\bar K}, \bar a) et \pi_1(X^{c'}_{1\bar K}, \bar b).

Ceci dit, on peut choisir les isom. ~~F_{\bar a} \simeq F_{\bar b} de façon l'action de \mathcal{I}~~ I sur l'ens. ~~(compatibles~~ (\mathrm{Revét}(Y_{\bar K}), F_{\bar a}), (\mathrm{Revét}(Y_{\bar K}), F_{\bar b}) des « chemins de descente » de \bar a à \bar b, ~~Nous admettrons~~ qui est un torseur sous \pi_1(Y_{\bar K}, \bar a), à groupe d'opérateurs I [compatible avec les opérations de I sur le \pi_1].

~~Lemme 2.1.1. ~~Il existe~~ Y_K de type fini géom. connexe sur K, muni de a, b \in Y_K(K), I opère sur l'ens. des chemins de \bar a à \bar b sur Y_{\bar K}. Ceci posé…~~Tout le bas de page, à partir de « Lemme 2.1.1 », est barré de deux grandes croix ; une note marginale gauche en face est raturée.

p. 8 de l'auteur. La page enchaîne sur la fin de la p. 7 (2.1), sans reprise de phrase visible. Il n'est pas vrai en général que ce torseur à opérateurs I soit trivial, i.e. admette un élément invariant par I ; l'obstruction est dans un c \in H^1(I, \pi_1(Y_{\bar K}, \bar a)) ~~Mais si P est le p-groupe de Sylow, on~~ (elle est non commutatif). Mais considérons le torseur (\ell^{(p')})-modifié de l'ancien (à opérateurs I) \pi_1^{(p')}(Y_{\bar K}, \bar a), et les restrictions des I-opérations au s-groupe P \subset I (p-sous-groupe de Sylow). Je dis qu'il existe un élément de (Q^{(p')}) fixe sous P, i.e. que la classe c^{(p')}|P \in H^1\bigl(P, \pi_1^{(p')}(Y_{\bar K}, \bar a)\bigr) est nulle : Ceci provient en effet du fait que P est un p-groupe et \pi_1^{(p')}(Y_{\bar K}, \bar a) est premier à p : il prouve que toute multiplication par un pr. divisant … Ceci prouve que la section standard G \cdot I \to I est conjuguée à une autre par un élément de G. Or par la conjugaison des Sylow, il existe un élément g \cdot i \in G \cdot I tel que int(g \cdot i)\, I = \varphi(I), i.e. \mathrm{int}(g)\, I \subset \varphi(I), la conclusion.

p. 9 de l'auteur. ~~il existe un élément \gamma \in P dans le groupe de stabilité dans I est ouvert.~~Ces deux lignes, en tête de page, sont barrées de traits obliques.

Ceci posé, nous pouvons supposer choisis des les « chemins de descente » dans la th. de « Van Kampen », de telle façon qu'ils soient invariants par P. où les \pi_1 remplacés par \pi_1^{(p')} ~~quitte à une extension finie de K.~~ Alors, on voit par « transport de structure » que l'homom. (préfixé) \Pi^{(p')} = \text{groupe engendré par les } \pi_1^{(p')}(X^c_{0\bar K}, \bar x_{0\alpha}) \text{ et les } g_{c'} \Bigl\downarrow \pi_1^{(p')}(X_{\bar K}, \bar x) est compatible avec l'action de I, quand I opère sur \Pi via les opérations naturelles de I sur les \pi_1^{(p')}(X^c_{0\bar K}, \bar x_{0\alpha}) (1.2), et l'opération triviale sur les g_{c'}.

~~Du moins pour les correspondant \Pi^{(p')} \to \pi_1^{(p')}(X_{\bar K}, \bar x) est compatible avec les opérations de I. Ceci dit, si P est le p-s-groupe de Sylow de I,~~ Si l'on sait que P opère trivialement sur les \pi_1^{(p')}(X^c_{0\bar K}, \bar x_{0\alpha}), il opère aussi trivialement sur \Pi^{(p')} qui est engendré par des éléments qui sont fixes par P, donc P opère trivialement sur ~~le quotient \pi_1^{(p')}~~ \pi_1^{(p')}(X_{\bar K}, \bar x), puisque ce dernier est surjectif. Donc on est ramené à prouver 1.3 pour les X^c_0 au lieu de X, i.e. on peut supposer X ~~géom.~~ géom. normal.

p. 10 de l'auteur. 2.2. Réduction de 1.3 au cas où X ~~géom.~~ affine lisse de dim 1.

Soit U_K un ouvert affine dense de X_K, ~~Alors~~ contenant un pt x. Alors \pi_1(U_{\bar K}, \bar x) \to \pi_1(X_{\bar K}, \bar x) est surjectif et compatible avec les op. de I, donc de même pour \pi_1^{(p')}(U_{\bar K}, \bar x) \to \pi_1^{(p')}(X_{\bar K}, \bar x), donc on est ramené au cas de X affine, a fortiori quasi-projectif. au cas de plus \dim X = 1 se fait alors par la réduction (voir des hyperplans génériques, comme en II 3. ~~Comme~~

2.3. Réduction de 1.3 au cas de la situation 1.4, avec Ensemble de I, on peut supposer .Le titre de 2.3 et la ligne interlinéaire qui le suit sont en partie raturés et entourés.

dim X_K = 1. [Considérons le modèle complet \bar X_K de X_K. Quitte : faire une extension radicielle de K, on peut supposer \bar X_K géom. normal i.e. lisse. De plus, une théorie non triviale, qui sera faite dans un exposé ultérieur ( ), nous apprend que, quitte : faire une extension finie de K, il existe un schéma projectif \bar X sur S, ayant \bar X_{\bar K} comme fibre générique, et tel que \bar X_s soit ~~géométriquement réduit,~~ un diviseur à croisements normaux dans \bar X, X_s étant de plus réduit et son normalisé étant ~~géom.~~ lisse sur K. Agrandissant encore K, on peut supposer que les pts de \bar X_K - X_K sont rationnels sur K, donc (les \bar X étant propre sur S) sont définis par des sections g_i de \bar X sur S, 1 \leqslant i \leqslant r. La réduction est

corps résiduel parfait ? Mais on s'y ramène pour prouver 1.3, ~~par réduct. au parfait~~ à un p-groupe I, cf. I…

p. 11 de l'auteur. terminée si les g_i(S) ~~nous prouvons que~~ sont mutuellement disjoints et contenus dans l'ouvert de lissité de \bar X sur S. ~~Il faut de~~ ~~, il faut examiner les cas qui peuvent se présenter : a) g_i(S) tel que g_i(S) soit un pt double de X_s.~~En marge gauche : la fibre X_s, verticale, coupée en un point par la section g_i(S), horizontale. ~~Faisant éclater~~ Mais si D est le diviseur X_s + \sum g_i(S) sur le schéma régulier \bar X, on sait ( ) que, quitte à faire éclater un nb fini de fois des pts fermés de \bar X (qui sont nécessairement dans \bar X_s, donc le processus ne touche pas à \bar X_K, ni a fortiori à X_K), on peut supposer que D est à croisements normaux.

Mais ceci implique que les g_i(S) sont mutuellement disjointstrois droites concourantes : la fibre X_s et deux sections g_i(S), g_j(S) passant par un même point. ~~contenus~~ puisqu'on ne pourrait avoir trois branches à croisements normaux). ~~et que g_i(S) \cap X_s = \{g_i(s)\} est un un pt de lissité de X_s~~ D'autre part (sinon on auraitla fibre X_s à point double, avec une section g_i(s) passant par ce point.) comme X est régulier, cela implique que les sections g_i de X sur S est dans l'ouvert de lissité de X (EGA IV 17…). La réduction de 1.3 au cas 1.4 est achevée.

2.4. Réduction de 1.4 au cas de la dim. relative 1, et la th. prouvée en dim. relative < n X géom. connexe de dim n \geqslant 2 \bar X \hookrightarrow \mathbb{P}^r_S, d'où \bar X_s \subset \mathbb{P}^r_s. Soit Z_s le normalisé de \bar X_s, de sorte que Z_s \to \mathbb{P}^r_s de dim n ~~géom. connexe~~ un morphisme net (EGA V), Z_s étant lisse. On sait alors que pour un hyperplan « assez général » H_s de \mathbb{P}^r_s, Z_s \times_{\mathbb{P}^r_s} H = Z'_s est Tout le paragraphe 2.4 est encadré et barré de grandes croix.

p. 12 de l'auteur. 2.4. Réduction de 1.4 au cas de la dim. relative 1.

Supposons la dim. relative n \geqslant 2, et la th. prouvée en dim. relative n-1. Choisissons une immersion de \bar X dans \mathbb{P}^r_S. ~~Considérons~~ On peut supposer que la section g est de coordonnées (1, 0, \ldots, 0). On remplace S par le localisé strict de S[t_1, \ldots, t_r] au pt maximal de la fibre spéciale, et l'ensemble des données \bar X', Y', X', U' sur S'. On peut relever \xi en un pt géom. \xi', dont l'image dans S' pt géom. de \bar X', On note \bar y' au-dessus de y' générique dans la fibre de S' au-dessus de y. ~~Dans le cas non vide,~~ ~~Dans le cas non respé,~~ Un passage de quatre lignes est encadré et barré ; on y lit « U' », « U », « t' », « lisse et Y », « (… à remplacer k(\xi)…) », « considérons … hyperplan », « croisements », « par g ».

… plan H \subset \mathbb{P}^r_S « générique » relativement à S, de coordonnées (0, t_1, \ldots, t_r). ~~Dans le cas non respé,~~ ~~Alors~~ ~~Posons~~ Alors ~~disjoint U'~~ ~~le plus général~~ considérons \bar X^{(1)} = \bar X' \cap H et Y^{(1)} = Y' \cap H sont projectifs et plats sur S, de présentation finie sur S, ~~Soit V' l'un des~~ donc (\bar X^{(1)}, Y^{(1)}, X^{(1)} = \bar X^{(1)} - Y^{(1)}) satisfait à la condition a). Ils satisfont aussi aux conditions b) et c) ( réf. : EGA V).On peut être obligé de remplacer l'immersion projective initiale par une immersion conjuguée (en considérant une immersion de Veronese…).

Dans le cas respé, on peut choisir \xi' de façon que y' soit gén. dans la fibre de S' sur y, donc par \bar X^{(1)}_{y'}. Dans le cas non respé, d) sera satisfait par toutes, je dis que si U' est le plus grand ouvert de S'|U tel ~~lequel~~ que \bar X^{(1)}|U' soit lisse sur U' et Y^{(1)}|U' y soit un diviseur à croisements normaux relatifs, alors U' \to U est surjectif ; c'est encore facile via réf. : EGA V.explicites un peu

p. 13 de l'auteur. Posons I' = \pi_1(U', \xi') resp. I' = \pi_1(y', \xi'). On a (SGA 1 XIII) \pi_1^{(p')}(X'_{\bar y'}, \xi') \simeq \pi_1^{(p')}(X_{\bar y}, \xi) dans et d'autre part, U' \to U (resp. y' \to y) étant à fibres connexes, on a I' \longrightarrow I \quad \text{surjectif.} Donc il suffit de prouver que l'action de I' sur \pi_1^{(p')}(X'_{\bar y'}, \xi') ( ~~construite~~ construites ci-dessus, donnée une section g de X/S dans l'ouvert de lissité, qui définit une section de X', sur S' dans l'ouvert de lissité, permet faite sur l'action de I sur \pi_1^{(p')}(X_{\bar y}, \xi) ; dans ce dernier cas, il est de construction précédente est par la section H autre ) ~~D'au~~ D'autre part, ~~« générique » pour~~ ~~les composantes irréductibles de~~ ~~D'autre part,~~Un long passage, à gauche, est encadré et barré d'un trait oblique ; seuls quelques mots se dégagent. comme X^{(1)}_{\bar y} est irréductible de dim \geqslant 2, et X^{(1)}_{\bar y} en une section hyperplane générique, le th. de Bertini et le th. d'invariance de \pi_1^{(p')} par cat. des corps de base implique que \pi_1^{(p')}(X^{(1)}_{\bar y}, \xi) \longrightarrow \pi_1^{(p')}(X_{\bar y}, \xi) est surjectif. Donc on est ramené à prouver le énoncé 1.4 pour \bar X^{(1)}, Y^{(1)}, U' resp. y'. Cela achève la réduction au cas de la dim. 1.

p. 14 de l'auteur.

3. Démonstration de 1.4 dans le cas de la dim. relative 1

~~Soit W~~ ~~On peut~~ Soit W un anneau de Cohen de corps résiduel k, et choisissons un hom. W \to A (où S = \mathrm{Spec}\, A) induisant l'identité sur k. Nous allons d'abord prouver 1.4 en admettant le lemme clef suivant, qui sera prouvé dans l'exposé VII à l'aide de la théorie des constructions formelles de Schlessinger.

Lemme 3.1. Sous les conditions a) b) c) de 1.4, avec relative \dim X_s = 1, on peut trouver une algèbre ~~locale noethérienne~~ A_0 sur W, un anneau de séries formelles A_0 \simeq W[[t_1, \ldots, t_N]] , un schéma \bar X_0 sur A_0, un sous-schéma Y_0 de \bar X_0, un morphisme f : S = \mathrm{Spec}\, A \to S_0 = \mathrm{Spec}\, A_0, de telle façon que les conditions suivantes soient vérifiées :

(i) (\bar X_0, Y) sur A_0 satisfont les conditions a) b) c) de 1.4, i.e. \bar X_0 est projectif et plat sur S_0, (\bar X_0)_{\bar s_0} (s_0, le pt fermé de S_0) est une courbe algébrique n'ayant que des points singuliers ordinaires, Y est un diviseur relatif sur \bar X_0/S_0 ~~(étant entendu vide) une ensemble fini de sections (g_\alpha)_{1 \leqslant \alpha \leqslant r} de \bar X_0 sur S_0, telles que g_\alpha(s_0) pts de (\bar X_0)_s (i)).~~

(ii) Soit (x_i)_{i \in I} la famille des pts singuliers de X_s (indexés par (i)), et k = k(s) (X_s les loc. EGA V — dans ). Il existe une famille de diviseursvoir (D_i)_{i \in I} sur S, telle donc que ~~la famille~~ \mathrm{div}(p) + \sum D_i + soit à croisements normaux et les D_i des composantes nulles [de façon précise, on peut supposer I = [1, \nu] et (que les D_i sont de la forme \mathrm{div}(t_i)], [de telle façon que pour t \in S_0, … on ait t \in D_i ses carts une généralisation x'_i de x_i au-dessus de t, telle que \bar X_0 soit lisse non au-dessus de S_0 en x'.] En particulier, U_0 = S_0 - \bigcup_i D_i est le plus grand ouvert au-dessus duquel \bar X_0 soit lisse.

(iii) Le couple (\bar X, Y) sur S est isomorphe au couple déduit de (\bar X_0, Y_0) sur S_0 par f : S \to S_0.

En marge gauche : un petit schéma (une verticale et une boîte traversée d'un segment pointé).

p. 15 de l'auteur. 3.2. Démonstration de 1.4 à l'aide de 3.1.

Comme U_0 est l'ensemble des t_0 \in S_0 dont la fibre \bar X_{0, t_0} est lisse, on voit que f applique U dans U_0 ; donc, ~~l'action de~~ par changement de base par les on vérifie les théorèmes de \pi_1^{(p')} (SGA 1 XIII…), on est ramené à prouver le th., dans la situation () avec indices 0. Or, en vertu des variantes des lemmes d'Abhyankar (SGA 1 XIII…), le groupe fondamental de U_0 est abélien d'ordre premier à p. ~~la démonstration de 1.4 dans le cas isomorphe~~ celles de 1.4 et de 1.3 ~~admise dans la de façon précise, il est~~ de la dim. relative 1, dans tout le cas général, grâce aux réductions du 2.

Remarque 3.2.1. De façon précise, le variante indiquée du lemme d'Abhyankar affirme que les limites des revêtements universel de U en prenant les revêtements kummériens définis par les revêtements kummérienslecture de la ligne incertaine ; le mot est répété. S[T_1, \ldots, T_\nu]/(T_1^m - t_1, \ldots, T_\nu^m - t_\nu) , avec m premier à p. D'où un isom. canonique \pi_1(U_0, \xi) \simeq \mathbb{Z}'_\ell(1)^I , I étant l'ensemble d'indices pour ~~tous~~ les pts ~~singuliers~~ de non-lissité de X_0, et \mathbb{Z}'(1) étant le produit des \mathbb{Z}_\ell(1) (\ell nb premier, avec \ell \neq p), \mathbb{Z}_\ell(1) = \varprojlim_m \mu_{\ell^m}(k).Sur le feuillet, l'indice de \mathbb{Z}'(1) est surchargé, tantôt \ell, tantôt absent.

On peut donc dire que l'action de \pi_1(U_0) est déterminée essentiellement par la donnée de \nu automorphismes commutants de \pi_1^{(p')}(X_{\bar K}), ~~définis~~ (via le choix d'un

p. 16 de l'auteur. générateur topologique de \mathbb{Z}'(1)) ~~par les~~ aux différents x_i. ~~L'action~~ Comme on connaît la structure du genre de X_{\bar K} et du nombre de pts intérieurs de \pi_1^{(p')}(X_{\bar K}, \xi) (SGA 1 XIII) on voit que le pb de déterminer la forme des h_i devient assez concret. Cela sera fait par Deligne par voie transcendante dans un exposé ultérieur.

Lorsque S est lui-même un trait, donc I_t = \pi_1(y, \bar\xi)_t \simeq \mathbb{Z}'_\ell(1) , dans l'action extérieure de I_t sur \pi_1^{(p')}(X_{\bar K}, \xi) est connue quand on connaît l'homomorphisme induit \pi_1(y, \bar\xi)_{\mathrm{tam}} \longrightarrow \pi_1(U_0, \bar\xi) Avant \pi_1(y, \bar\xi)_{\mathrm{tam}}, un « \mathbb{Z}'(1) \to » est biffé. i.e. un homomorphisme ~~\mathbb{Z}'(1)~~ u : \mathbb{Z}'(1) \longrightarrow \mathbb{Z}'(1)^I ~~dont la d'ailleurs,~~ qui est d'ailleurs donné par ~~, et~~ u(\lambda) = (n_i \lambda) avec n_i = \mathrm{long}(V / \mathfrak{m}_i V) , où \mathfrak{m}_i est l'idéal définissant le diviseur D_i dans S. (L'entier n_i mesure, heuristiquement, la vitesse avec laquelle disparaît la singularité x_i en passant de la fibre spéciale à la fibre générique.) Donc le générateur choisi de \mathbb{Z}'(1) agit extérieurement sur \pi_1^{(p')}(X_{\bar K}, \xi) par h = h_1^{n_1} \cdots h_\nu^{n_\nu} . La page s'arrête ici ; le texte peut se poursuivre au-delà de ce lot.