Cote n° 34, pages 101–120

Cote n° 34 · batch 6 · pages 101–120 · Transcription · SGA 7 : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [vers 1967-1973]
Édition de démonstration

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4. Calculs ⌜cohomologiques⌝ locaux liés au théorème de pureté

101Pagination de l'auteur : « 17 » ; un « III » souligné en tête du feuillet, à gauche. Le paragraphe 4 commence ici.

devrait commencer au n° 3

Définition 4.1. a) Soit $X$ un schéma régulier. On dit que $X$ satisfait au théorème de pureté cohomologique si, pour tout […] $X'$ étale sur $X$, […] tout sous-schéma régulier $Y$ de $X'$, […] et tout sous-schéma régulier $Z$ de $Y$ purement de codimension $1$, $\underline{H}^i_Z($ et tout entier $n$ premier aux caractéristiques résiduelles de $Z$, on a (où $\Lambda = \mathbf{Z}/n\mathbf{Z}$) \[(4.1.1) \qquad \underline{H}^i_Z(\Lambda_Y) = 0 \quad \text{pour } i \neq 2\] ou, ce qui revient au même, si $f : U = Y - Z \to Y$ est l'inclusion canonique, \[(4.1.2) \qquad R^i f_*(\Lambda_U) = 0 \quad \text{pour } i \neq 0, 1 .\] b) ⌜Si $r$ est un entier,⌝ On dit que $X$ satisfait au théorème de pureté cohomologique en dimension $\leq r$ si (4.1.2) est vrai pour $i \leq r$.

Remarques 4.2. a) La condition énoncée ⌜dans 4.1 a)⌝ […] est locale pour la top. (ét). Elle s'exp s'exprime ⌜aussi⌝ en disant que pour tout localisé strict $X'$ de $X$, […] sous-schéma régulier $Y$ de $X'$ ⌜et tt $n$ premier à la car. rés. de $X'$⌝, et tout diviseur régulier $Z$ de $Y$, on a (4.1.1) ou, ce qui revient au même, \[H^i(Z - Y, \mathbf{Z}/n\mathbf{Z}) = 0 \quad \text{si } i \neq 0, 1\] (resp. et $i \leq r$). […]« $Z - Y$ » ainsi sur la page, là où l'on attend $Y - Z$.

b) Il est évident ⌜(simple définition)⌝ que […] $X$ satisfait au th. de pureté ⌜coh.⌝ en dimension $\leq 1$.

102Pagination de l'auteur : « 18 ».

c) Rappelons qu'on conjecture que tout schéma régulier satisfait au th. de pureté cohomologique (SGA 4 XVI 3.10 b). Cette propriété est démontrée par l'auteur dans les cas suivants :

1°) $X$ est lisse sur un corps quelconque (plus général[ement], la relation (4.1.1) ou (4.1.2) est vraie si $Y$, $Z$ sont lisses sur un corps quelconque), cf. (SGA 4 XVI 3.7, 3.9).

2°) $X$ est excellent de caractéristique nulle (SGA 4 XIX 3.2). Plus général

Mais pour Plus généralement, ⌜en se limitant aux loc. strict. près,⌝ si $X$ est excellent de car. donnée, et si on dispose de la résolution des singularités des schémas excellents en cette car., alors $X$ satisfait au th. de pureté ⌜aucun⌝ […] […], (pour […] schémas réguliers d'inégales caractéristiques et de dimension $\geq 2$, le théorème de pureté n'est prouvé à l'heure actuelle […] […].

d) Les conditions de 4.1 est stable par localisation étale et par passage à un […] sous-schéma régulier.

Proposition 4.2. Supposons que $X$ satisfait au th. de pureté cohomologique, et soit $Y$ un sous-schéma fermé régulier de $X$ purement de codimension $d$. Alors on a un isomorphisme canonique, si $\Lambda = \mathbf{Z}/n\mathbf{Z}$ ($n$ premier aux car. rés. de $X$) : \[(4.2.1) \qquad \underline{H}^i_Y(\Lambda_X) = 0 \quad \text{si } i \neq 2d ,\] après le signe $=$, une première rédaction biffée, partiellement lisible : $\mu_n^{\otimes(-d)}$ … si $i = 2d$. \[(4.2.2) \qquad \underline{H}^{2d}_Y(\Lambda_X) \simeq \bigl(\mu_n^{\otimes(-d)}\bigr)_Y\] (ou encore \[(4.2.2 \text{ bis}) \qquad \underline{H}^{2d}_Y(\mu_n^{\otimes d}) \simeq \Lambda_Y\ ).\]

103Pagination de l'auteur : « 19 ».

Démonstration. Prouvons d'abord (4.2.1) et le fait que $\underline{H}^{2d}_Y(\Lambda_X)$ est loc. isom. à $\Lambda_Y$ : récurrence sur $d$(4.2.1), […] question étant locale, le cas $d = 0$ étant trivial, le cas $d = 1$ résulte de la théorie de Kummer et du lemme de Abhyankar absolu, […] qui fournit $\underline{H}^2_Y(\mu_{n\,X}) \simeq \Lambda_Y$ (cf. SGA 4 XIX 1.3 et SGA 1 XII …). Pour $d > 1$, on procède par récurrence sur $d$. La question étant locale, […] on peut supposer qu'il existe un diviseur régulier $Z$ dans $X$ tel que $Y \subset Z$. On utilise Considérons la suite spectrale de transitivité \[\underline{H}^*_Y(\Lambda_X) \Longleftarrow E_2^{pq} = \underline{H}^p_Y\bigl(\underline{H}^q_Z(\Lambda_X)\bigr) ,\] et l'hyp. de réc. alors $\underline{H}^q_Z(\Lambda_X)$ est nul si $q \neq 2$, et loc. isom. à $\Lambda_Z$ si $r = 1$, donc l'hyp. de réc. nous prouve que $E_2^{pq} = 0$ sauf pour $p = d$, $p = 2(d-1)$, $q = 2$, et que pour ces valeurs de $p, q$, $E_2^{pq}$ est loc. isom. à $\Lambda_Z$, d'où la conclusion.on attend « si $q = 2$ » là où la page semble porter « $r = 1$ ».

Pour la définition d'un isom. canonique (4.2.1) ou (4.2.1 bis), le cas $d = 1$ est traité dans (SGA 4 XIX 1.3), le cas $d$ pour le cas $d$ quelconque, il suffit d'utiliser la construction de (SGA 4 XIX 3.4) ou de (SGA 4 XVIII ).« (4.2.1) ou (4.2.1 bis) » ainsi sur la page ; il s'agit de l'isomorphisme (4.2.2). La référence à SGA 4 XVIII est laissée en blanc.

104Pagination de l'auteur : « 20 ».

Corollaire 4.3. Soit $X$ un sous-schéma […] régulier […] ⌜satisfaisant au th. de pureté cf. (4.1)⌝, $Y$ un sous-schéma fermé régulier purement de codim. $d$, $n$ un entier premier aux caractéristiques résiduelles de $X$, $\Lambda = \mathbf{Z}/n\mathbf{Z}$, $F$ un faisceau loc. constant sur $X$ annulé par $n$. Pour tout faisceau de $\Lambda$-modules $G$ sur $X$ et tout $d \in \mathbf{Z}$, on pose $G(d) = G \otimes \mu_n^{\otimes(d)}$. Alors On a une suite exacte canonique \[\begin{aligned} (4.3.1) \qquad \cdots \to H^{i-2d}\bigl(Y, F(-d)\bigr) &\xrightarrow{\alpha} H^i(X, F) \xrightarrow{\beta} H^i(X - Y, F) \\ &\xrightarrow{\gamma} H^{i-2d+1}\bigl(Y, F(-d)\bigr) \to \cdots , \end{aligned}\] où $\beta$ est l'homomorphisme de restriction, et où l'homomorphisme composé \[H^{i-2}\bigl(X, F(-d)\bigr) \xrightarrow{\text{restr.}} H^i\bigl(Y, F(-d)\bigr) \xrightarrow{\alpha} H^i(X, F)\] est le cup-produit avec une classe de cohomologieles exposants et les twists de cette ligne sont surchargés ; la lecture « $i-2$ », « $i$ » suit la page, non la cohérence avec (4.3.1). \[(4.3.2) \qquad \gamma(Y) \in H^{2d}\bigl(X, \Lambda_X(d)\bigr) .\] Quand $Y$ […] est un diviseur sur $X$, Lorsque $d = 1$, cette classe est aussi la ⌜première⌝ classe de Chern de $\underline{L} = \underline{O}_X(Y)$, i.e. l'image par ⌜l'homomorphisme cobord⌝ […] déduit de la suite exacte de Kummer \[0 \to \mu_{n\,X} \to \mathbf{G}_{m\,X} \xrightarrow{\lambda \mapsto \lambda^n} \mathbf{G}_{m\,X} \to 0\] ⌜de la classe de $\underline{L}$ dans $\mathrm{Pic}(X) = H^1(X, \mathbf{G}_m)$⌝.

Démonstration. Le La suite exacte (4.3.1) n'est autre que la suite exacte de cohomologie relative \[\cdots \to H^i_Y(X, F) \to H^i(X, F) \to H^i(X - Y, F) \to \cdots ,\] compte tenu des isomorphismes \[H^i_Y(X, F) \simeq H^{i-2d}\bigl(Y, F(-d)\bigr)\] déduits de la suite spectrale de localisation \[H^*_Y(X, F) \Longleftarrow E_2^{pq} = H^p\bigl(Y, \underline{H}^q_Y(F)\bigr) ,\]

105Pagination de l'auteur : « 21 ».

et du calcul 4.2 des $\underline{H}^q_Y(F)$, impliquant que $E_2^{pq} = 0$ si $q \neq 2d$, d'où $H^i_Y(X, F) \simeq E_2^{i-2d,\,2d}$.

Faisant […] $F = \mu_n^{\otimes d}$ et $i = 2d$ dans (4.3.1), on trouve un homomorphisme \[H^{2d}_Y\bigl(X, \Lambda(d)\bigr) \simeq H^0(Y, \Lambda) \longrightarrow H^{2d}\bigl(X, \Lambda(d)\bigr)\] et l'image de la section unité ⌜constante $1$ de $\Lambda_Y$ sur $Y$⌝ […] donne la première classe (4.3.2). Les assertions […] de compatibilité ⌜dans 4.3⌝ faites se prouvent par des arguments standard, pour lesquels nous renvoyons à SGA 5 IV.

Remarque 4.3.3. On […] […] seulement utilisé l'hyp. de […] […] avoir […] les […] de $\underline{H}^i_Y(\Lambda_X)$ ….la remarque s'arrête là ; le reste du feuillet est blanc.

106Pagination de l'auteur : « 22 ».

4.3. […] Soit $X$ un schéma régulier, et soit […] Rappelons […] […] […] jusqu'en th. de Abhyankardébut biffé d'un numéro 4.3 bis, encadré et barré.

4.4. Soit $X$ un schéma régulier, et soit $(D_i)_{1 \leq i \leq r}$ une famille de diviseurs premiers […] sous-schémas réguliers irréductibles dans $X$, tels que le diviseur $D = \sum D_i$ soit un diviseur à croisements normaux (SGA 5 I …). Soit $U = X - \operatorname{supp} D = X - \bigcup D_i$, $f : U \to X$ l'inclusion, ⌜$n$ un entier premier aux⌝ caractéristiques résiduelles de $X$ […] sur les points de supp $\operatorname{supp} D$, $\Lambda = \mathbf{Z}/n\mathbf{Z}$. On se propose de calculer les faisceaux $R^i f_*(\Lambda_U)$ sur $X$. $R^i f_*(\Lambda_U)$

Proposition 4.5. Avec les ⌜Sous les⌝ conditions de 4.4, et […] […] ⌜supposons que $X$ satisfait au th. de pureté cohomologique (4.1)⌝$X$ satisfait au th. de pureté :l'hypothèse de pureté est écrite dans une bulle en marge gauche, reliée au texte.

(i) $R^1 f_*(\Lambda_U)$ est canoniquement isom. ⌜On a un isom. canonique⌝ \[(4.5.1) \qquad R^1 f_*(\Lambda_U) \simeq \coprod_{1 \leq i \leq r} \bigl(\mu_n^{\otimes -1}\bigr)_{D_i} \simeq \coprod_{1 \leq i \leq r} \Lambda_{D_i}(-1) .\]

(ii) Pour tout entier $p$, l'homomorphisme canonique ⌜déduit du cup-produit⌝ \[(4.5.2) \qquad \textstyle\bigwedge^p R^1 f_*(\Lambda_U) \longrightarrow R^p f_*(\Lambda_U)\] ⌜sous l'hyp. de (ii)⌝, est un isomorphisme.

(iii) Par suite, on a un isomorphisme canonique \[\begin{aligned} (4.5.3) \qquad R^p f_*(\Lambda_U) &\simeq \coprod_{1 \leq i_1 < i_2 < \cdots < i_p \leq r} \bigl(\Lambda_X(-p)\bigr)_{D_{i_1 \ldots i_p}} \\ &\simeq \Lambda_X(-p) \otimes \coprod_{1 \leq i_1 < \cdots < i_p \leq r} \Lambda_{D_{i_1 \ldots i_p}} , \end{aligned}\] où $D_{i_1 \ldots i_p} = D_{i_1} \cap D_{i_2} \cap \cdots \cap D_{i_p}$.

écrire $\Lambda_X(-p)$ dans (4.5.3), une première écriture biffée $(\mu_n^{\otimes -p})_X$, remplacée par $\Lambda_X(-p)$, comme l'indique la marge.

107Pagination de l'auteur : « 23 ».

Démonstration. Soit $U_i = X - D_i$, $f_i : U_i \to X$ l'inclusion, de sorte que $f$ […] $f : U \to X$ se factorise en \[U \xrightarrow{\;g_i\;} U_i \xrightarrow{\;f_i\;} X , \qquad f = f_i g_i .\] On en conclut un homomorphisme canonique \[(*{*}) \qquad R^1 f_{i*}(\Lambda_{U_i}) \longrightarrow R^1 f_*(\Lambda_U) .\] D'autre part, (4.2.1) il […], […] canonique on a un isom. (4.2.2) \[R^1 f_{i*}(\Lambda_{U_i}) \simeq \underline{H}^2_{D_i}(\Lambda_X) \simeq \Lambda_{D_i}(-1) ,\] après le second $\simeq$, une première écriture biffée $(\mu_n^{\otimes -1})_{D_i}$. d'où un homomorphisme \[\varphi_i : \Lambda_{D_i}(-1) \longrightarrow R^1 f_*(\Lambda_U) ,\] et par suite un homomorphisme \[\varphi : \coprod_{1 \leq i \leq r} \Lambda_{D_i}(-1) \longrightarrow R^1 f_*(\Lambda_U) .\] Je dis que c'est un homomorphisme et un isomorphisme.

la suite du feuillet 107 et le haut du feuillet 108, jusqu'à « … est un isomorphisme », forment un bloc encadré et barré par deux grandes diagonales ; il est lisible et transcrit ci-dessous.

Pour cela, notons […] que $U = \bigcup_{1 \leq i \leq r} U_i$, d'où la suite spectrale de Leray« $\bigcup$ » ainsi sur la page, là où l'on attend une intersection. \[\text{\struck{$R^* f_*(\Lambda_U) \Longleftarrow E_2^{pq} = H^p\bigl((i_0 \ldots i_p) \mapsto R^q f_{i_0 \ldots i_p *}(\Lambda_{U_{i_0 \ldots i_p}})\bigr)$}}\] où $U_{i_0 \ldots i_p} = U_{i_0} \cap \cdots \cap U_{i_p}$, et où $f_{i_0 \ldots i_p} : U_{i_0 \ldots i_p} \to X$ est l'inclusion canonique. On a évidemment \[\text{\struck{$R^0 f_{i_0 \ldots i_p *}(\Lambda_{U_{i_0 \ldots i_p}}) = \Lambda_X$ ,}}\] […] $E_2^{p0} = 0$ pour tout $p \neq 0$, d'où résulte que la suite spectrale donne un isomorphisme \[\text{\struck{$(*{*}*) \quad R^1 f_*(\Lambda_U) \xrightarrow{\;\sim\;} E_2^{01} \subset \coprod_{1 \leq i \leq r} R^1 f_{i*}(\Lambda_{U_i})$}}\] Or on constate tout de suite que le

en marge gauche, petit schéma d'un quadrant $E_2^{pq}$ : deux axes, une croix à l'origine et une rangée de croix sur l'axe horizontal.

108Pagination de l'auteur : « 24 ».

composé de $\varphi$ avec l'hom. précédent est l'inclusion canonique des $R^1 f_{i*}(\Lambda_{U_i})$ dans la somme des $R^1 f_{i*}(\Lambda_{U_i})$, ce qui implique […] (**). D'où la surjectivité de (**), et que $E_2^{01}$ est égal au dernier membre de (***), et que (**) est un isomorphisme. Cela prouve (i). […] Supposons maintenant que $X$ satisfait au th. de pureté (ii). On peut supposer ⌜est ramené à vérifier sur les fibres géométriques⌝, ⌜donc on est ramené au cas⌝ $X$ strictement local, et de prouver alors que \[\text{\struck{$\textstyle\bigwedge^p H^1(U, \Lambda) \longrightarrow H^p(U, \Lambda)$}}\] est un isomorphisme.

fin du bloc barré. Ce qui suit est la rédaction retenue.

En d'autres termes, il faut montrer que l'hom. canonique \[(4.5.4) \qquad \coprod_{1 \leq i \leq r} (\Lambda)_{D_i} \longrightarrow R^1 f_*\bigl(\mu_{n\,X}\bigr)\] est un isomorphisme.l'exposant de $\mu_{n\,X}$ est surchargé. On peut est, ⌜ainsi que pour (ii)⌝, ramené pour ceci au cas où à vérifier l'assertion fibre par fibre, ce qui nous ramène au cas où $X$ est strict. local, et à prouver que l'homom. canonique (ex) \[\text{\struck{$\coprod$}} \quad \Lambda^r \longrightarrow H^1\bigl(U, \mu_n\bigr)\] la ligne porte un $\coprod_{1 \leq i \leq r}$ biffé devant $\Lambda^r$ ; l'exposant de $H$ se lit « $1$ » ou « $r$ ». est un isom., ainsi que l'hom. \[\textstyle\bigwedge^i H^1(U, \Lambda) \longrightarrow H^i(U, \Lambda) ,\] dans le cas où $X$ satisfait au th. de pureté cohomologique.

109Pagination de l'auteur : « 25 ».

La première assertion résulte ⌜aussitôt⌝ de la détermination du « groupe fondamental modéré » de $U$, rappelée plus bas ( ). Pour la deuxième, on procède par récurrence sur $r$, le cas $r = 0$ étant trivial, et le cas $r = 1$ étant contenu dans 4.2 (où on fait $d = 1$). Si $r \geq 2$, soit considérons \[U' = X - \bigcup_{1 \leq i \leq r-1} D_i , \qquad D'_r = U' \cap D_r ,\] devant $U' \cap D_r$, une première écriture biffée « $X \cap D_r$ ». de sorte que \[U = U' - D'_r , \qquad D'_r = D_r - \operatorname{supp} \Delta_r , \qquad \Delta_r = \sum_{1 \leq i \leq r-1} D_i \cap D_r .\] après $U = U' - D'_r$, une ligne entière de formules lourdement biffée, illisible, se terminant par « $D_i \cap D_r$ ». […] Écrivons la suite exacte de cohomologie relative (4.3.1) pour $D'_r$ dans $U'$ :

le reste du feuillet est barré de grandes diagonales ; c'est un premier état de la suite (4.5.5), repris au feuillet suivant. Transcrit tel quel.

(4.5.5) $\cdots \to H^{i-2}(D'_r, \mu_n) \xrightarrow{\alpha_i} H^i(U', \Lambda) \to H^i(U, \Lambda) \to H^{i-1}(D'_r, \mu_n) \to \cdots$le premier terme est surchargé ; une correction interlinéaire porte « $H^{i-2}(D'_r, \Lambda) \otimes \mu_n(k)^{-1}$ ».

l'hyp. de récurrence […] […] […] […], appliquée à $D'_r$ ⌜suite spectrale⌝

D'autre part la suite spectrale \[H^*_{D'_r}(U', \Lambda) \Longleftarrow E_2^{pq} = H^p\bigl(D'_r, \underline{H}^q_{D'_r}(\Lambda_{U'})\bigr)\] et la détermination 4.2 des $\underline{H}^q_{D'_r}(\Lambda_{U'})$ donne \[H^i_{D'_r}(U', \Lambda_{U'}) \simeq H^{i-2}\bigl(D'_r, \mu_n^{\otimes -1}{}_{D'_r}\bigr) \simeq H^{i-2}(D'_r, \Lambda) \otimes \mu_n^{\otimes -1}(k) ,\] le dernier membre est biffé d'un trait léger. où $k$ est le corps résiduel de $X$. D'autre part l'hyp. de récurrence, appliquée à $D'_r$ et aux $r-1$ diviseurs […] D'autre part, l'hyp. de récurrence appliquée à $D'_r$ et aux $D_i \cap D_r$ ($1 \leq i \leq r-1$) sur $D'_r$ implique \[H^i(D'_r, \Lambda) \simeq \textstyle\bigwedge^i H^1(D'_r, \Lambda) \simeq \bigl(\bigwedge^i(\Lambda^{r-1})\bigr) \otimes \mu_n^{\otimes -i}(k)\] et de même l'hypothèse de récurrence appliquée à $U'$ et aux $D_i$ ($1 \leq i \leq r-1$) donne \[H^i(U', \Lambda) \simeq \textstyle\bigwedge^i H^1(U', \Lambda) \simeq \bigl(\bigwedge^i(\Lambda^{r-1})\bigr) \otimes \mu_n^{\otimes -i}(k) .\] Il faut exprimer […] l'hom. de (*) \[\text{\struck{$H^i_{D'_r}(U', \Lambda) \simeq H^{i-2}(D'_r, \Lambda) \otimes \mu_n^{\otimes -1}(k) \simeq \bigwedge^{i-2}(\Lambda^{r-1}) \otimes \mu_n^{\otimes((i-2)-1)}(k)$}}\] \[H^i(U', \Lambda) \simeq \textstyle\bigwedge^i(\Lambda^{r-1}) \otimes \mu^{\otimes -i}(k)\] les deux dernières lignes sont reliées par une boucle ; la dernière semble reprendre la précédente.

110Pagination de l'auteur : « 26 ».

\[\begin{aligned} (4.5.5) \qquad \cdots \to H^{i-2}\bigl(D'_r, \Lambda(-1)\bigr) &\xrightarrow{\alpha_i} H^i(U', \Lambda) \to H^i(U, \Lambda) \\ &\to H^{i-1}\bigl(D'_r, \Lambda(-1)\bigr) \to \cdots \end{aligned}\] De plus, $H^*(U)$, les termes $H^*(U', \Lambda)$ et $H^*(D'_r, \Lambda(-1))$ de cette suite exacte se calculent grâce à l'hypothèse de récurrence, et ils sont respectivement isomorphes à \[\textstyle\bigwedge^* H^1(U', \Lambda) \quad \text{et} \quad \bigl(\bigwedge^* H^1(D'_r, \Lambda)\bigr)(-1) .\] Je dis quela phrase s'interrompt ici ; le reste du feuillet est blanc.

111Pagination de l'auteur : « 27 ». Le feuillet continue la phrase « Je dis que » laissée en suspens au feuillet 110.

Notons […] $H^{i-2}(D'_r, \Lambda) \otimes \mu_n(X)^{\otimes -1} \longrightarrow H^i$premier essai biffé, surchargé de traits.

Je dis que l'hom. $\alpha_i$ de (4.5.5) est nul. En effet, les calculs explicites précédents (liés à l'hyp. de récurrence) prouvent que \[H^*(U', F) \longrightarrow H^*(D'_r, F)\] est un isom. surjectif si $F$ est loc. constant et annulé par $n$, p. ex. si $F = \mu_n^{\otimes -1}$. Il suffit donc de prouver que le composé \[H^{i-2}\bigl(U', \Lambda(-1)\bigr) \longrightarrow H^{i-2}\bigl(D'_r, \Lambda(-1)\bigr) \xrightarrow{\alpha_i} H^i(U', \Lambda)\] est nul. Or on sait, d'après 4.3, […] que le composé est le cup-produit par la classe du diviseur $\gamma_{U'}(D'_r)$ ⌜$= c^1(\underline{O}_{U'}(D'_r))$⌝, […] induite par la classe […] $\gamma_X(D_r)$, qui est nulle puisque $X$ est str. local (donc que $D_r$ est principal). Donc la suite exacte (4.5.5) se décompose en suites exactes courtes \[(4.5.6) \qquad 0 \to H^i(U', \Lambda) \to H^i(U, \Lambda) \to H^{i-1}(D'_r, \Lambda)(-1) \to 0 .\] le dernier terme porte un twist surchargé ; sous la suite, une formule biffée d'un trait ondulé, $\bigl(\bigwedge^{i-1}(\Lambda^{r-1})\bigr) \otimes \mu_n(k)^{\otimes -i}$, où l'on devine une première évaluation de ce terme.

D'autre part, la […] […] $\bigwedge^* \bigl(\coprod_{1 \leq i \leq r} \Lambda_{D_i}\bigr)$ […] isom. […] $\Lambda^{r-1} \times \Lambda$, […] […] $\Lambda \to \Lambda_{D_r}$ […]bas du feuillet encadré et biffé, en grande partie illisible.

112Pagination de l'auteur : « 28 ».

une suite exacte […]en tête, une suite courte biffée $0 \to \bigwedge^i \; \bigwedge^{r-1} \otimes$, inachevée. \[H^1(U, \Lambda) \simeq \coprod_{1 \leq i \leq r} H^1(U_i, \Lambda) \simeq \coprod_{1 \leq i \leq r-1} H^1(U_i, \Lambda) \times H^1(U_r, \Lambda)\] \[\simeq H^1(U', \Lambda) \times \mu_n(X)^{-1}\] donc les suites exactes ⌜décompositions⌝ \[\textstyle\bigwedge^i H^1(U, \Lambda) \simeq \bigwedge^i H^1(U', \Lambda) \times \Bigl(\bigwedge^{i-1} H^1(U', \Lambda) \otimes \mu_n(X)^{-1}\Bigr)\] (4.5.7) $0 \to \bigwedge^i H^1(U', \Lambda)$ qui définit une suite exacte \[(4.5.7) \qquad 0 \to \textstyle\bigwedge^i H^1(U', \Lambda) \longrightarrow \bigwedge^i H^1(U, \Lambda) \longrightarrow \Bigl(\bigwedge^{i-1} H^1(U', \Lambda)\Bigr)(-1) \to 0 .\] On […] envoie par cup-produit les termes de (4.5.7) dans les termes […] correspondants de (4.5.6). Nous admettrons qu'on obtient ainsi un diagramme de suites exactes (i.e. trivial pour le premier carré, et sensible dans le second, une vérification fastidieuse de […] compatibilité des isomorphismes […]la parenthèse ouverte avant « i.e. » se ferme au feuillet suivant, après la vérification ; quelques mots illisibles. \[\text{\struck{$U = U' - D'_r$}}\] ⌜l'hypothèse de récurrence⌝ […] explicite : $U'$ resp. $D'_r$). […] Il s'ensuit, puisque les flèches verticales extrêmes ⌜sont bijectives⌝, […] donc aussi la flèche verticale médiane, ce qui achève la démonstration.l'ordre des lignes de ce bas de feuillet est incertain ; ajouts et ratures s'y chevauchent.

113Pagination de l'auteur : « 29 ».

4.6. Supposons, que dans sous les conditions de 4.4, que l'on ait pour tout $i$ ($1 \leq i \leq r$) \[D_i = V(a_i) , \quad \text{où} \quad a_i \in \Gamma(\underline{O}_X) .\] Soit $m$ un entier premier aux car. résiduelles de $X$ $\ill{}$ […] $D_i$ et considérons le schéma \[X' = \operatorname{Spec} \underline{O}_X[T_1, \ldots, T_r]/(T_1^m - a_1, \ldots, T_r^m - a_r) .\] Je ne dis bien connu que $X'$ est un schéma régulier, et que […] si pour tout $i$ ($1 \leq i \leq r$), […] $b_i \in \Gamma(X', \underline{O}_{X'})$ est la section déduite de $T_i$, alors ⌜les⌝ $\Delta_i = V(b_i)$ sont des diviseurs réguliers de $X'$ tels que $\Delta = \sum \Delta_i$ soit un diviseur à croisements normaux (cf. SGA 1 XII …?). Donc on peut appliquer 4.5 à $X'$ et $U' = X' - \operatorname{supp} \Delta$. D'ailleurs, il est immédiat que $\operatorname{supp} \Delta_i$ est l'image inverse de $\operatorname{supp} D_i$, plus précisément, si $p : X' \to X$ est la projection, \[p^*(D_i) = m \Delta_i .\] On en conclut en particulier \[U' = p^{-1}(U) .\] Considérons l'homom. […] de changement de base \[(4.6.1) \qquad p^*\bigl(R^* f_*(\Lambda_U)\bigr) \longrightarrow R^* f'_*(\Lambda_{U'}) ,\] où $f' : U' \to X'$ est l'inclusion. […] On constate ⌜alors⌝ aussitôt sur la définition des isomorphismes (4.5.1) que l'on a commutativité dans le diagramme

114Pagination de l'auteur : « 30 ».

(4.6.2)

LaTeX source

\begin{tikzcd}[column sep=large]
p^*\bigl(R^1 f_*(\Lambda_U)\bigr) \arrow[r, "{(4.6.1)}"] \arrow[d, "\simeq"'] & R^1 f'_*(\Lambda_{U'}) \arrow[dd, "\simeq"] \\
p^*\Bigl(\coprod_i \Lambda_{D_i}(-1)\Bigr) \arrow[d, "\simeq"'] & \\
\coprod_i \Lambda_{\Delta_i}(-1) \arrow[r, "m.\mathrm{id}"] & \coprod_i \Lambda_{\Delta_i}(-1)
\end{tikzcd}

où les flèches verticales […] correspondent aux isom. (4.5.1). Lorsque $X$ et $X'$ satisfont au th. de pureté, on en conclut de même la commutativité dans

(4.6.3)

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\begin{tikzcd}[column sep=large]
p^*\bigl(R^p f_*(\Lambda_U)\bigr) \arrow[r, "{(4.6.1)}"] \arrow[d, "\simeq"'] & R^p f'_*(\Lambda_{U'}) \arrow[dd, "\simeq"] \\
p^* \bigwedge^p\Bigl(\coprod_i \Lambda_{D_i}(-1)\Bigr) \arrow[d, "\simeq"'] & \\
\bigwedge^p \coprod_i \Lambda_{\Delta_i}(-1) \arrow[r, "m^p.\mathrm{id}"] & \bigwedge^p \coprod_i \Lambda_{\Delta_i}(-1)
\end{tikzcd}

On en conclut en particulier :la phrase se poursuit au feuillet suivant ; le reste du feuillet 114 est blanc.

115Pagination de l'auteur : « 31 ».

Corollaire 4.7. Avec les conditions de 4.4, supposons $X$ ⌜$= \operatorname{Spec} A$⌝ strict. local et satisfaisant aux conditions du th. de pureté cohomologique. Soit $m$ un entier, premier multiple de $n$, premier à la car. résiduelle de $X$, et soit \[X'_m = \operatorname{Spec} A[T_1, \ldots, T_r]/(T_1^m - a_1, \ldots, T_r^m - a_r) ,\] où les $a_i$ sont des équations des des $D_i$ ($1 \leq i \leq r$). Soit $U' = X' \times_X U$. Alors l'homomorphisme canonique \[H^*(U, \Lambda) \longrightarrow H^*(U', \Lambda)\] est nul en dimension $> 0$.

En effet, c'est trivial en dim. $1$, en ⌜utilisant⌝ (4.5.1) […] […] ⌜équivaut⌝ précisément ⌜à dire⌝ que $U'$ est un revêtement principal connexe, de groupe $\mu_n$.phrase raturée et surchargée ; l'ordre des mots est incertain.

4.8. Soit maintenant $X$ str. local régulier […] […] th. de pureté cohomologiquepremier début de 4.8, encadré et barré.

4.8. Soit $X$ ⌜$= \operatorname{Spec} A$⌝ un schéma strict. local régulier, $(a_i)_{1 \leq i \leq r}$ une partie d'un système régulier de paramètres de $A$, de sorte que $D = \operatorname{div}(a_i)$ \[D = \operatorname{div}\Bigl(\prod a_i\Bigr) = \sum D_i \qquad (\text{où } D_i = \operatorname{div} a_i)\] est un diviseur à croisements normaux, à composantes premières $D_i$ régulières. Posons \[U = X - \operatorname{supp} D = X - \bigcup D_i ,\] et pour tout entier $m$ premier à la car. résiduelle de $X$, introduisons \[X(m) = \operatorname{Spec} A[T_1, \ldots, T_r]/(T_1^m - a_1, \ldots, T_r^m - a_r) ,\]

116Pagination de l'auteur : « 32 ».

et l'image inverse $U(m)$ de $U$ dans $X(m)$, qui est un rev. étale principal de $U$ de groupe $\mu_m(X)^r = G(m)$, […] ⌜formant⌝ un syst. projectif de schémas, […] revêtements étales principaux, compatibles avec les homom. de transition évidents \[\begin{array}{ccc} \mu_{m'}^r(X) & \longrightarrow & \mu_m^r(X) \\ \| & & \| \\ G(m') & & G(m) \end{array} \qquad (m \mid m') .\] au-dessus de « $(m \mid m')$ », le mot « pour » ajouté. Soit $U(\infty)$ \[U(\infty) = \varprojlim U(m)\] qui est un revêtement principal pro-revêtement étale principal de $U$ de groupe \[(4.8.1) \qquad G = \varprojlim_m G(m) = \prod_{\ell \neq p} \mathbf{Z}_\ell(1)^r ,\] ($p$ car. la car. résiduelle de $X$, et où $\uncertain{(\ldots)}$ […] […] désigne)la parenthèse est encerclée et partiellement illisible ; on attend la définition de $\mathbf{Z}_\ell(1)$ qui suit. \[(4.8.2) \qquad \mathbf{Z}_\ell(1) = \varprojlim_\nu \mu_{\ell^\nu}(X) .\] Soit $n$ un entier $\geq 0$ premier à $p$, posons $\Lambda = \mathbf{Z}/n\mathbf{Z}$. ⌜et soit […]⌝ On a \[H^*\bigl(U(\infty), \Lambda\bigr) \simeq \varinjlim_m H^*\bigl(U(m), \Lambda\bigr) ,\] et on peut […] queencadré et barré : $U(m) = X(m) - \bigcup_{1 \leq i \leq r} D'_i(m)$, avec $X(m)$ régulier et les $D'_i(m)$ $= \operatorname{div}(T_{i(m)})$ des diviseurs réguliers dont la somme est à croisements normaux, on trouve que D'autre part, d'après les rappels de 4.6, le calcul de l'hom. de transition

117Pagination de l'auteur : « 33 ».

\[H^*\bigl(U(m), \Lambda\bigr) \longrightarrow H^*\bigl(U(m'), \Lambda\bigr) , \quad \text{pour } m \mid m'\] est justiciable de 4.6 qui […] ⌜en degrés $\neq 0$⌝ montre qu'il est nul si $nm \mid m'$, en vertu du th. de pureté coh. D'ailleurs, Cela prouve que la transition dans (*) est nulle en dim. $> 0$, et en dim. $0$ il est évidemment isomorphe à $\Lambda$. Donc on trouve

Corollaire 4.9. Avec les notations de 4.8, et supposons que $X$ et les $X(m)$ satisfont au th. de pureté coh., […] […]. Alors \[(4.9.1) \qquad \begin{cases} H^i\bigl(U(\infty), \Lambda\bigr) = 0 & \text{si } i \neq 0 \\ H^0\bigl(U(\infty), \Lambda\bigr) \simeq \Lambda . \end{cases}\] Remarques 4.10. a) […] […] seulement que les $X(m)$ satisfont au th. de pureté coh. en dim. $\leq N$, […] condition […] toujours vérifiée si $N = 1$ !), alors (4.9.1) reste vrai pour $i \leq N$.

b) On exprime encore […] […] résultat de 4.9 en disant que […] […] […] fois […] […] $U$ […] […] les […] […] premier […]les remarques 4.10 a) et b) sont encadrées et barrées de grandes diagonales ; le passage est en grande partie illisible.

Corollaire 4.10. ⌜Sous les conditions de 4.9,⌝ Soit $\Gamma$ un groupe profini, considérons un homomorphisme de groupes profinis \[(4.10.1) \qquad \varphi : G \longrightarrow \Gamma ,\] et soit $H$ le noyau de cet homomorphisme.la lettre avant « $\longrightarrow \Gamma$ » est surchargée ; lue $G$, le groupe de (4.8.1).

118Pagination de l'auteur : « 34 ». Sur ce feuillet et le suivant, le groupe de (4.8.1) est écrit « $G$ » suivi d'un griffonnage (peut-être « $G(\infty)$ ») ; on transcrit $G$. Le signe $\overset{G}{\times}$ est le produit contracté.

Alors Considérons l'anneau ⌜de cohomologie⌝ $H^*(H, \Lambda)$, sur lequel $G$ opère trivialement, et considérons l'anneau induit \[H^*(H, \Lambda) \overset{G}{\times} \Gamma .\] Alors Considérons d'autre part le revêtement principal $\widetilde{U}'$ de groupe $\Gamma$ \[\widetilde{U}' = U(\infty) \overset{G}{\times} \Gamma\] associé à $U(\infty)$ de groupe $G$, et à l'hom. $G \to \Gamma$. Alors on a donc un isomorphisme canonique ⌜gradué à opérateurs $\Gamma$⌝ d'anneauxune boucle relie ce passage à la formule (4.10.1) ; une phrase intermédiaire, « Faisant opérer $\Gamma$ sur l'anneau $H^*(\widetilde{U}, \Lambda)$ via ses opérations sur $\widetilde{U}$ », est encerclée et rattachée par une flèche. \[(4.10.1) \qquad H^*(\widetilde{U}', \Lambda) \simeq H^*(H, \Lambda) \overset{G}{\times} \Gamma .\] En particulier, […] $\Gamma'$ […] […] $\Gamma' \subset \Gamma$ […] $\Gamma'$ […] […] $G$ […] $\Gamma$, […] […] conséquence […] trivialedeux lignes barrées, très surchargées.

Démonstration. Soit $K = G/H = \operatorname{Im}(G \to \Gamma)$. Alors \[U' = (U(\infty)/H) \overset{K}{\times} \Gamma ,\] et par suite on trouve un isom. d'anneaux gradués à groupe d'opér. $\Gamma$ \[H^*(U', \Lambda) \simeq H^*(U(\infty)/H, \Lambda) \overset{K}{\times} \Gamma\] où $K$ opère sur $H^*(U(\infty)/H, \Lambda)$ via ses opérations sur $U(\infty)/H$. Il nous suffit donc de montrer que en dimension $\neq 0$ […] ⌜triviales⌝,lecture incertaine de cette ligne ; on attend que $K$ opère trivialement. […] […] et qu'on a un isom. d'anneaux gradués \[H^*(U(\infty)/H, \Lambda) \simeq H^*(H, \Lambda) ,\] Cela nous ramène au cas où $\varphi$ est supposé surjectif. Alors la suite spectrale […] (4.10.1) est la suite spectrale dite de Hochschild-Serre (SGA 4 VII …) de \[H^*(U(\infty)/H, \Lambda) \Longleftarrow E_2^{pq} = H^p\bigl(H, H^q(U(\infty), \Lambda)\bigr) ,\] l'inégalité « en dimension $\neq 0$ » et la structure de la phrase précédente sont reconstruites d'après la page ; « SGA 4 VII » porte un trait au-dessus du chiffre romain.

119Pagination de l'auteur : « 35 ».

jointe à 4.9, qui indique que $E_2^{pq} = 0$ si $q \neq 0$, donne l'isomorphisme voulu d'anneaux gradués : \[H^*(U(\infty)/H, \Lambda) \simeq H^*(H, \Lambda) .\] D'autre part, cet hom. est, comme bien connu, transforme, comme […], il est compatible aux opérations de $G$ sur les premiers membres (les quotients […] des opérations de $G$ sur $H$ par automorphismes intérieurs. Comme $G$ est commutatif, cette action est triviale, ce qui achève la démonstration de 4.10.deux lignes du milieu de phrase lues avec peine ; le sens attendu est que $G$ opère sur $H^*(H, \Lambda)$ par automorphismes intérieurs, donc trivialement, $G$ étant commutatif.

Remarques 4.12. Si on suppose seulement que les $X(m)$ satisfont au th. de pureté coh. en dim. $\leq N$, alors les arguments qui précèdent prouvent encore 4.9 à 4.11 en dim. $\leq N$, et […] corollaire 4.13 qui suit.une flèche renvoie le numéro « 4.12 » d'un en-tête biffé plus bas jusqu'à cette remarque, qui était d'abord numérotée autrement.

Corollaire 4.11. ⌜Soit $\Gamma'$ l'image de $G$ dans $\Gamma$, et⌝ supposons $\Gamma$ commutatif. On […] $\Gamma'$ invariant $\Gamma$ […] […] […] $G(\infty)$ dans $\Gamma$.lecture du début incertaine ; « $G(\infty)$ » est ici écrit en toutes lettres, dans un passage biffé. Alors, 4.12. plus gén. […] […], l'action de $\Gamma$ sur $H^*(U', \Lambda)$ induit sur $\Gamma''$ l'action triviale ⌜(plus précisément $\Gamma''$ est le s.-groupe des $g \in \Gamma$ qui opèrent trivialement sur $H^*(U', \Lambda)$)⌝.le passage est encadré à gauche ; la parenthèse est une insertion interlinéaire. $\Gamma''$ n'est pas défini dans ce qui se lit.

Cet énoncé simplifie […] beaucoup […] […] maintenant

4.13. Nous prouverons plus bas plus bas le th. de monodromie sous la forme 3.2. Avant de le faire, explicitons le calcul de $H^*(U', \Lambda)$ résultant de (4.10.1), ce qui nous sera utile dans l'exposé suivant.« 3.2 » renvoie à un énoncé antérieur au lot, que ces pages ne permettent pas d'identifier.

120Pagination de l'auteur : « 36 ».

4.13. Gardons les hypothèses de 4.9. […] […] […] […] […] la forme $\ell^{\nu+1}$ […] \[(4.13.1) \qquad \Lambda = \mathbf{Z}/\ell^{\nu+1}\mathbf{Z} ,\] la ligne (4.13.1) est encadrée et rattachée à la ligne biffée qui la précède. Le groupe commutatif $H$ se décompose en le produit de ses composantes $\ell$-primaires $H(\ell)$, \[H = \prod_{\ell \neq p} H(\ell) , \qquad H(\ell) \subset G(\infty)(\ell) \simeq \mathbf{Z}_\ell(1)^r .\] devant $\mathbf{Z}_\ell(1)^r$, un signe biffé, peut-être un $\prod$. Donc $H(\ell)$ est un module libre sur $\mathbf{Z}_\ell$ de rang $s \leq r$. $\Lambda = \mathbf{Z}/n\mathbf{Z}$ avec $n = \ell^{\nu+1}$, […] $\Lambda$ […] un […] […]

On en conclut par aussitôt, si \[(4.13.2) \qquad \Lambda = \mathbf{Z}/n\mathbf{Z} , \quad \text{avec } n = \ell^{\nu+1} ,\] puissance […] de $\ell$ \[(4.13.1) \qquad \begin{cases} H^*(H, \Lambda) \simeq \bigwedge^* H^1(H, \Lambda) \\ H^1(H, \Lambda) \simeq \operatorname{Hom}(H, \Lambda) \simeq \Lambda^s , \quad \text{où } H(\ell) \simeq \mathbf{Z}_\ell^s . \end{cases}\] le numéro « (4.13.1) » est répété sur la page ; un mot biffé illisible suit $\operatorname{Hom}$ dans la première ligne.

4.14. Soit maintenant […] Supposons maintenant maintenant donnés des entiers $m_i \geq 0$ ($1 \leq i \leq r$), et considérons soit \[(4.14.1) \qquad t = a_1^{m_1} \cdots a_r^{m_r}\] devant $t$, un signe biffé. Soit, pour tout entier $m$ premier à la car. résiduelle de $X$, \[(4.14.2) \qquad X'(m) = \operatorname{Spec} A[T]/(T^m - t)\] et considérons \[(4.14.3) \qquad \text{\struck{$X(m) =$}} \quad U'(m) = X'(m) \times_X U ,\] qui est un revêtement étale principal de $U$, de groupe $\mu_m(X)$. Posons ⌜$Y'(m)$, et les⌝ $U'(m)$, formant un système projectif, et passant à la limite \[(4.14.4) \qquad U' = \varprojlim_m U'(m) ,\] qui est un schéma principal sur $U$ de groupe \[(4.14.5) \qquad \Gamma = \varprojlim \mu_m(X) = \prod_{\ell \neq p} \mathbf{Z}_\ell(1) .\] la phrase « Posons … » est corrigée en interligne et se lit mal ; la page s'arrête sur (4.14.5), et l'argument se poursuit au-delà du lot. Le « $\ell \neq 1$ » apparent sous le dernier produit est lu $\ell \neq p$.