Fonds Grothendieck, cote n° 34, pages 101–120

4. Calculs cohomologiques locaux liés au théorème de pureté

Pagination de l'auteur : « 17 » ; un « III » souligné en tête du feuillet, à gauche. Le paragraphe 4 commence ici.

devrait commencer au n° 3

Définition 4.1. a) Soit X un schéma régulier. On dit que X satisfait au théorème de pureté cohomologique si, pour tout X' étale sur X, tout sous-schéma régulier Y de X', et tout sous-schéma régulier Z de Y purement de codimension 1, ~~\underline{H}^i_Z(~~ et tout entier n premier aux caractéristiques résiduelles de Z, on a (où \Lambda = \mathbf{Z}/n\mathbf{Z}) (4.1.1) \qquad \underline{H}^i_Z(\Lambda_Y) = 0 \quad \text{pour } i \neq 2 ou, ce qui revient au même, si f : U = Y - Z \to Y est l'inclusion canonique, (4.1.2) \qquad R^i f_*(\Lambda_U) = 0 \quad \text{pour } i \neq 0, 1 . b) Si r est un entier, ~~On dit que~~ X satisfait au théorème de pureté cohomologique en dimension \leq r si (4.1.2) est vrai pour i \leq r.

Remarques 4.2. a) La condition énoncée dans 4.1 a) est locale pour la top. (ét). Elle ~~s'exp~~ s'exprime aussi en disant que pour tout localisé strict X' de X, sous-schéma régulier Y de X' et tt n premier à la car. rés. de X', et tout diviseur régulier Z de Y, on a (4.1.1) ou, ce qui revient au même, H^i(Z - Y, \mathbf{Z}/n\mathbf{Z}) = 0 \quad \text{si } i \neq 0, 1 (resp. et i \leq r). « Z - Y » ainsi sur la page, là où l'on attend Y - Z.

b) Il est évident (simple définition) que X satisfait au th. de pureté coh. en dimension \leq 1.

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c) Rappelons qu'on conjecture que tout schéma régulier satisfait au th. de pureté cohomologique (SGA 4 XVI 3.10 b). Cette propriété est démontrée par l'auteur dans les cas suivants :

1°) X est lisse sur un corps quelconque (plus généralement, la relation (4.1.1) ou (4.1.2) est vraie si Y, Z sont lisses sur un corps quelconque), cf. (SGA 4 XVI 3.7, 3.9).

2°) X est excellent de caractéristique nulle (SGA 4 XIX 3.2). ~~Plus général~~

~~Mais pour~~ Plus généralement, en se limitant aux loc. strict. près, si X est excellent de car. donnée, et si on dispose de la résolution des singularités des schémas excellents en cette car., alors X satisfait au th. de pureté aucun , (pour schémas réguliers d'inégales caractéristiques et de dimension \geq 2, le théorème de pureté n'est prouvé à l'heure actuelle .

d) Les conditions de 4.1 est stable par localisation étale et par passage à un sous-schéma régulier.

Proposition 4.2. Supposons que X satisfait au th. de pureté cohomologique, et soit Y un sous-schéma fermé régulier de X purement de codimension d. Alors on a un isomorphisme canonique, si \Lambda = \mathbf{Z}/n\mathbf{Z} (n premier aux car. rés. de X) : (4.2.1) \qquad \underline{H}^i_Y(\Lambda_X) = 0 \quad \text{si } i \neq 2d , après le signe =, une première rédaction biffée, partiellement lisible : \mu_n^{\otimes(-d)} … si i = 2d. (4.2.2) \qquad \underline{H}^{2d}_Y(\Lambda_X) \simeq \bigl(\mu_n^{\otimes(-d)}\bigr)_Y (ou encore (4.2.2 \text{ bis}) \qquad \underline{H}^{2d}_Y(\mu_n^{\otimes d}) \simeq \Lambda_Y\ ).

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Démonstration. Prouvons d'abord (4.2.1) et le fait que \underline{H}^{2d}_Y(\Lambda_X) est loc. isom. à \Lambda_Y : ~~récurrence sur d(4.2.1), question étant locale~~, le cas d = 0 étant trivial, le cas d = 1 résulte de la théorie de Kummer et du lemme de Abhyankar absolu, qui fournit \underline{H}^2_Y(\mu_{n\,X}) \simeq \Lambda_Y (cf. SGA 4 XIX 1.3 et SGA 1 XII …). Pour d > 1, on procède par récurrence sur d. La question étant locale, on peut supposer qu'il existe un diviseur régulier Z dans X tel que Y \subset Z. ~~On utilise~~ Considérons la suite spectrale de transitivité \underline{H}^*_Y(\Lambda_X) \Longleftarrow E_2^{pq} = \underline{H}^p_Y\bigl(\underline{H}^q_Z(\Lambda_X)\bigr) , ~~et l'hyp. de réc.~~ alors \underline{H}^q_Z(\Lambda_X) est nul si q \neq 2, et loc. isom. à \Lambda_Z si r = 1, donc l'hyp. de réc. nous prouve que E_2^{pq} = 0 sauf pour ~~p = d,~~ p = 2(d-1), q = 2, et que pour ces valeurs de p, q, E_2^{pq} est loc. isom. à \Lambda_Z, d'où la conclusion.on attend « si q = 2 » là où la page semble porter « r = 1 ».

Pour la définition d'un isom. canonique (4.2.1) ou (4.2.1 bis), le cas d = 1 est traité dans (SGA 4 XIX 1.3), ~~le cas d~~ pour le cas d quelconque, il suffit d'utiliser la construction de (SGA 4 XIX 3.4) ou de (SGA 4 XVIII ).« (4.2.1) ou (4.2.1 bis) » ainsi sur la page ; il s'agit de l'isomorphisme (4.2.2). La référence à SGA 4 XVIII est laissée en blanc.

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Corollaire 4.3. Soit X un ~~sous-~~schéma régulier satisfaisant au th. de pureté cf. (4.1), Y un sous-schéma fermé régulier purement de codim. d, n un entier premier aux caractéristiques résiduelles de X, \Lambda = \mathbf{Z}/n\mathbf{Z}, F un faisceau loc. constant sur X annulé par n. Pour tout faisceau de \Lambda-modules G sur X et tout d \in \mathbf{Z}, on pose G(d) = G \otimes \mu_n^{\otimes(d)}. ~~Alors~~ On a une suite exacte canonique \begin{aligned} (4.3.1) \qquad \cdots \to H^{i-2d}\bigl(Y, F(-d)\bigr) &\xrightarrow{\alpha} H^i(X, F) \xrightarrow{\beta} H^i(X - Y, F) \\ &\xrightarrow{\gamma} H^{i-2d+1}\bigl(Y, F(-d)\bigr) \to \cdots , \end{aligned} où \beta est l'homomorphisme de restriction, et où l'homomorphisme composé H^{i-2}\bigl(X, F(-d)\bigr) \xrightarrow{\text{restr.}} H^i\bigl(Y, F(-d)\bigr) \xrightarrow{\alpha} H^i(X, F) est le cup-produit avec une classe de cohomologieles exposants et les twists de cette ligne sont surchargés ; la lecture « i-2 », « i » suit la page, non la cohérence avec (4.3.1). (4.3.2) \qquad \gamma(Y) \in H^{2d}\bigl(X, \Lambda_X(d)\bigr) . ~~Quand Y est un diviseur sur X,~~ Lorsque d = 1, cette classe est aussi la première classe de Chern de \underline{L} = \underline{O}_X(Y), i.e. l'image par l'homomorphisme cobord déduit de la suite exacte de Kummer 0 \to \mu_{n\,X} \to \mathbf{G}_{m\,X} \xrightarrow{\lambda \mapsto \lambda^n} \mathbf{G}_{m\,X} \to 0 de la classe de \underline{L} dans \mathrm{Pic}(X) = H^1(X, \mathbf{G}_m).

Démonstration. Le La suite exacte (4.3.1) n'est autre que la suite exacte de cohomologie relative \cdots \to H^i_Y(X, F) \to H^i(X, F) \to H^i(X - Y, F) \to \cdots , compte tenu des isomorphismes H^i_Y(X, F) \simeq H^{i-2d}\bigl(Y, F(-d)\bigr) déduits de la suite spectrale de localisation H^*_Y(X, F) \Longleftarrow E_2^{pq} = H^p\bigl(Y, \underline{H}^q_Y(F)\bigr) ,

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et du calcul 4.2 des \underline{H}^q_Y(F), impliquant que E_2^{pq} = 0 si q \neq 2d, d'où H^i_Y(X, F) \simeq E_2^{i-2d,\,2d}.

Faisant F = \mu_n^{\otimes d} et i = 2d dans (4.3.1), on trouve un homomorphisme H^{2d}_Y\bigl(X, \Lambda(d)\bigr) \simeq H^0(Y, \Lambda) \longrightarrow H^{2d}\bigl(X, \Lambda(d)\bigr) et l'image de la section unité constante 1 de \Lambda_Y sur Y donne la première classe (4.3.2). Les assertions de compatibilité dans 4.3 ~~faites~~ se prouvent par des arguments standard, pour lesquels nous renvoyons à SGA 5 IV.

Remarque 4.3.3. On seulement utilisé l'hyp. de avoir les de \underline{H}^i_Y(\Lambda_X) ….la remarque s'arrête là ; le reste du feuillet est blanc.

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~~4.3. Soit X un schéma régulier, et soit~~ ~~Rappelons jusqu'en th. de~~ ~~Abhyankar~~début biffé d'un numéro 4.3 bis, encadré et barré.

4.4. Soit X un schéma régulier, ~~et soit~~ (D_i)_{1 \leq i \leq r} une famille de ~~diviseurs premiers~~ sous-schémas réguliers irréductibles dans X, tels que le diviseur D = \sum D_i soit un diviseur à croisements normaux (SGA 5 I …). Soit U = X - \operatorname{supp} D = X - \bigcup D_i, f : U \to X l'inclusion, n un entier premier aux caractéristiques résiduelles de X sur les points de ~~supp~~ \operatorname{supp} D, \Lambda = \mathbf{Z}/n\mathbf{Z}. On se propose de calculer les faisceaux R^i f_*(\Lambda_U) sur X. ~~R^i f_*(\Lambda_U)~~

Proposition 4.5. ~~Avec les~~ Sous les conditions de 4.4, et supposons que X satisfait au th. de pureté cohomologique (4.1)~~X satisfait au th. de pureté~~ :l'hypothèse de pureté est écrite dans une bulle en marge gauche, reliée au texte.

(i) ~~R^1 f_*(\Lambda_U) est canoniquement isom.~~ On a un isom. canonique (4.5.1) \qquad R^1 f_*(\Lambda_U) \simeq \coprod_{1 \leq i \leq r} \bigl(\mu_n^{\otimes -1}\bigr)_{D_i} \simeq \coprod_{1 \leq i \leq r} \Lambda_{D_i}(-1) .

(ii) Pour tout entier p, l'homomorphisme ~~canonique~~ déduit du cup-produit (4.5.2) \qquad \textstyle\bigwedge^p R^1 f_*(\Lambda_U) \longrightarrow R^p f_*(\Lambda_U) sous l'hyp. de (ii), est un isomorphisme.

(iii) Par suite, on a un isomorphisme canonique \begin{aligned} (4.5.3) \qquad R^p f_*(\Lambda_U) &\simeq \coprod_{1 \leq i_1 < i_2 < \cdots < i_p \leq r} \bigl(\Lambda_X(-p)\bigr)_{D_{i_1 \ldots i_p}} \\ &\simeq \Lambda_X(-p) \otimes \coprod_{1 \leq i_1 < \cdots < i_p \leq r} \Lambda_{D_{i_1 \ldots i_p}} , \end{aligned} où D_{i_1 \ldots i_p} = D_{i_1} \cap D_{i_2} \cap \cdots \cap D_{i_p}.

écrire \Lambda_X(-p) dans (4.5.3), une première écriture biffée (\mu_n^{\otimes -p})_X, remplacée par \Lambda_X(-p), comme l'indique la marge.

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Démonstration. Soit U_i = X - D_i, f_i : U_i \to X l'inclusion, ~~de sorte que f~~ f : U \to X se factorise en U \xrightarrow{\;g_i\;} U_i \xrightarrow{\;f_i\;} X , \qquad f = f_i g_i . On en conclut un homomorphisme canonique (*{*}) \qquad R^1 f_{i*}(\Lambda_{U_i}) \longrightarrow R^1 f_*(\Lambda_U) . D'autre part, ~~(4.2.1) il , canonique~~ on a un isom. (4.2.2) R^1 f_{i*}(\Lambda_{U_i}) \simeq \underline{H}^2_{D_i}(\Lambda_X) \simeq \Lambda_{D_i}(-1) , après le second \simeq, une première écriture biffée (\mu_n^{\otimes -1})_{D_i}. d'où un homomorphisme \varphi_i : \Lambda_{D_i}(-1) \longrightarrow R^1 f_*(\Lambda_U) , et par suite un homomorphisme \varphi : \coprod_{1 \leq i \leq r} \Lambda_{D_i}(-1) \longrightarrow R^1 f_*(\Lambda_U) . Je dis que c'est un homomorphisme et un isomorphisme.

la suite du feuillet 107 et le haut du feuillet 108, jusqu'à « … est un isomorphisme », forment un bloc encadré et barré par deux grandes diagonales ; il est lisible et transcrit ci-dessous.

~~Pour cela, notons que U = \bigcup_{1 \leq i \leq r} U_i, d'où la suite spectrale de Leray~~« \bigcup » ainsi sur la page, là où l'on attend une intersection. \text{\struck{$R^* f_*(\Lambda_U) \Longleftarrow E_2^{pq} = H^p\bigl((i_0 \ldots i_p) \mapsto R^q f_{i_0 \ldots i_p *}(\Lambda_{U_{i_0 \ldots i_p}})\bigr)$}} ~~où U_{i_0 \ldots i_p} = U_{i_0} \cap \cdots \cap U_{i_p}, et où f_{i_0 \ldots i_p} : U_{i_0 \ldots i_p} \to X est l'inclusion canonique. On a évidemment~~ \text{\struck{$R^0 f_{i_0 \ldots i_p *}(\Lambda_{U_{i_0 \ldots i_p}}) = \Lambda_X$ ,}} ~~E_2^{p0} = 0 pour tout p \neq 0, d'où résulte que la suite spectrale donne un isomorphisme~~ \text{\struck{$(*{*}*) \quad R^1 f_*(\Lambda_U) \xrightarrow{\;\sim\;} E_2^{01} \subset \coprod_{1 \leq i \leq r} R^1 f_{i*}(\Lambda_{U_i})$}} ~~Or on constate tout de suite que le~~

en marge gauche, petit schéma d'un quadrant E_2^{pq} : deux axes, une croix à l'origine et une rangée de croix sur l'axe horizontal.

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composé de \varphi avec l'hom. précédent est l'inclusion canonique des R^1 f_{i*}(\Lambda_{U_i}) dans la somme des R^1 f_{i*}(\Lambda_{U_i}), ce qui implique (**). D'où la surjectivité de (**), et que E_2^{01} est égal au dernier membre de (***), et que (**) est un isomorphisme. Cela prouve (i). ~~Supposons maintenant que X satisfait au th. de pureté (ii). On~~ ~~peut supposer~~ est ramené à vérifier sur les fibres géométriques, donc on est ramené au cas ~~X strictement local, et~~ ~~de prouver alors que~~ \text{\struck{$\textstyle\bigwedge^p H^1(U, \Lambda) \longrightarrow H^p(U, \Lambda)$}} ~~est un isomorphisme.~~

fin du bloc barré. Ce qui suit est la rédaction retenue.

En d'autres termes, il faut montrer que l'hom. canonique (4.5.4) \qquad \coprod_{1 \leq i \leq r} (\Lambda)_{D_i} \longrightarrow R^1 f_*\bigl(\mu_{n\,X}\bigr) est un isomorphisme.l'exposant de \mu_{n\,X} est surchargé. On ~~peut~~ est, ainsi que pour (ii), ramené pour ceci ~~au cas où~~ à vérifier l'assertion fibre par fibre, ce qui nous ramène au cas où X est strict. local, et à prouver que l'homom. canonique (ex) \text{\struck{$\coprod$}} \quad \Lambda^r \longrightarrow H^1\bigl(U, \mu_n\bigr) la ligne porte un \coprod_{1 \leq i \leq r} biffé devant \Lambda^r ; l'exposant de H se lit « 1 » ou « r ». est un isom., ainsi que l'hom. \textstyle\bigwedge^i H^1(U, \Lambda) \longrightarrow H^i(U, \Lambda) , dans le cas où X satisfait au th. de pureté cohomologique.

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La première assertion résulte aussitôt de la détermination du « groupe fondamental modéré » de U, rappelée plus bas ( ). Pour la deuxième, on procède par récurrence sur r, le cas r = 0 étant trivial, et le cas r = 1 étant contenu dans 4.2 (où on fait d = 1). Si r \geq 2, ~~soit~~ considérons U' = X - \bigcup_{1 \leq i \leq r-1} D_i , \qquad D'_r = U' \cap D_r , devant U' \cap D_r, une première écriture biffée « X \cap D_r ». de sorte que U = U' - D'_r , \qquad D'_r = D_r - \operatorname{supp} \Delta_r , \qquad \Delta_r = \sum_{1 \leq i \leq r-1} D_i \cap D_r . après U = U' - D'_r, une ligne entière de formules lourdement biffée, illisible, se terminant par « D_i \cap D_r ». Écrivons la suite exacte de cohomologie relative (4.3.1) pour D'_r dans U' :

le reste du feuillet est barré de grandes diagonales ; c'est un premier état de la suite (4.5.5), repris au feuillet suivant. Transcrit tel quel.

~~(4.5.5)~~ \cdots \to H^{i-2}(D'_r, \mu_n) \xrightarrow{\alpha_i} H^i(U', \Lambda) \to H^i(U, \Lambda) \to H^{i-1}(D'_r, \mu_n) \to \cdotsle premier terme est surchargé ; une correction interlinéaire porte « H^{i-2}(D'_r, \Lambda) \otimes \mu_n(k)^{-1} ».

~~l'hyp. de récurrence , appliquée à D'_r~~ suite spectrale

~~D'autre part~~ la suite spectrale H^*_{D'_r}(U', \Lambda) \Longleftarrow E_2^{pq} = H^p\bigl(D'_r, \underline{H}^q_{D'_r}(\Lambda_{U'})\bigr) et la détermination 4.2 des \underline{H}^q_{D'_r}(\Lambda_{U'}) donne H^i_{D'_r}(U', \Lambda_{U'}) \simeq H^{i-2}\bigl(D'_r, \mu_n^{\otimes -1}{}_{D'_r}\bigr) \simeq H^{i-2}(D'_r, \Lambda) \otimes \mu_n^{\otimes -1}(k) , le dernier membre est biffé d'un trait léger. où k est le corps résiduel de X. ~~D'autre part l'hyp. de récurrence, appliquée à D'_r et aux r-1 diviseurs~~ D'autre part, l'hyp. de récurrence appliquée à D'_r et aux D_i \cap D_r (1 \leq i \leq r-1) sur D'_r implique H^i(D'_r, \Lambda) \simeq \textstyle\bigwedge^i H^1(D'_r, \Lambda) \simeq \bigl(\bigwedge^i(\Lambda^{r-1})\bigr) \otimes \mu_n^{\otimes -i}(k) et de même l'hypothèse de récurrence appliquée à U' et aux D_i (1 \leq i \leq r-1) donne H^i(U', \Lambda) \simeq \textstyle\bigwedge^i H^1(U', \Lambda) \simeq \bigl(\bigwedge^i(\Lambda^{r-1})\bigr) \otimes \mu_n^{\otimes -i}(k) . ~~Il faut exprimer l'hom. de (*)~~ \text{\struck{$H^i_{D'_r}(U', \Lambda) \simeq H^{i-2}(D'_r, \Lambda) \otimes \mu_n^{\otimes -1}(k) \simeq \bigwedge^{i-2}(\Lambda^{r-1}) \otimes \mu_n^{\otimes((i-2)-1)}(k)$}} H^i(U', \Lambda) \simeq \textstyle\bigwedge^i(\Lambda^{r-1}) \otimes \mu^{\otimes -i}(k) les deux dernières lignes sont reliées par une boucle ; la dernière semble reprendre la précédente.

Pagination de l'auteur : « 26 ».

\begin{aligned} (4.5.5) \qquad \cdots \to H^{i-2}\bigl(D'_r, \Lambda(-1)\bigr) &\xrightarrow{\alpha_i} H^i(U', \Lambda) \to H^i(U, \Lambda) \\ &\to H^{i-1}\bigl(D'_r, \Lambda(-1)\bigr) \to \cdots \end{aligned} De plus, ~~H^*(U)~~, les termes H^*(U', \Lambda) et H^*(D'_r, \Lambda(-1)) de cette suite exacte se calculent grâce à l'hypothèse de récurrence, et ils sont respectivement isomorphes à \textstyle\bigwedge^* H^1(U', \Lambda) \quad \text{et} \quad \bigl(\bigwedge^* H^1(D'_r, \Lambda)\bigr)(-1) . Je dis quela phrase s'interrompt ici ; le reste du feuillet est blanc.

Pagination de l'auteur : « 27 ». Le feuillet continue la phrase « Je dis que » laissée en suspens au feuillet 110.

~~Notons~~ ~~H^{i-2}(D'_r, \Lambda) \otimes \mu_n(X)^{\otimes -1} \longrightarrow H^i~~premier essai biffé, surchargé de traits.

Je dis que l'hom. \alpha_i de (4.5.5) est nul. En effet, les calculs explicites précédents (liés à l'hyp. de récurrence) prouvent que H^*(U', F) \longrightarrow H^*(D'_r, F) est ~~un isom.~~ surjectif si F est loc. constant et annulé par n, p. ex. si F = \mu_n^{\otimes -1}. Il suffit donc de prouver que le composé H^{i-2}\bigl(U', \Lambda(-1)\bigr) \longrightarrow H^{i-2}\bigl(D'_r, \Lambda(-1)\bigr) \xrightarrow{\alpha_i} H^i(U', \Lambda) est nul. Or on sait, d'après 4.3, que le composé est le cup-produit par la classe ~~du diviseur~~ \gamma_{U'}(D'_r) = c^1(\underline{O}_{U'}(D'_r)), induite par la classe \gamma_X(D_r), qui est nulle puisque X est str. local (donc que D_r est principal). Donc la suite exacte (4.5.5) se décompose en suites exactes courtes (4.5.6) \qquad 0 \to H^i(U', \Lambda) \to H^i(U, \Lambda) \to H^{i-1}(D'_r, \Lambda)(-1) \to 0 . le dernier terme porte un twist surchargé ; sous la suite, une formule biffée d'un trait ondulé, \bigl(\bigwedge^{i-1}(\Lambda^{r-1})\bigr) \otimes \mu_n(k)^{\otimes -i}, où l'on devine une première évaluation de ce terme.

~~D'autre part, la \bigwedge^* \bigl(\coprod_{1 \leq i \leq r} \Lambda_{D_i}\bigr) isom. \Lambda^{r-1} \times \Lambda, \Lambda \to \Lambda_{D_r}~~ bas du feuillet encadré et biffé, en grande partie illisible.

Pagination de l'auteur : « 28 ».

~~une suite exacte~~ en tête, une suite courte biffée 0 \to \bigwedge^i \; \bigwedge^{r-1} \otimes, inachevée. H^1(U, \Lambda) \simeq \coprod_{1 \leq i \leq r} H^1(U_i, \Lambda) \simeq \coprod_{1 \leq i \leq r-1} H^1(U_i, \Lambda) \times H^1(U_r, \Lambda) \simeq H^1(U', \Lambda) \times \mu_n(X)^{-1} donc les ~~suites exactes~~ décompositions \textstyle\bigwedge^i H^1(U, \Lambda) \simeq \bigwedge^i H^1(U', \Lambda) \times \Bigl(\bigwedge^{i-1} H^1(U', \Lambda) \otimes \mu_n(X)^{-1}\Bigr) ~~(4.5.7) 0 \to \bigwedge^i H^1(U', \Lambda)~~ qui définit une suite exacte (4.5.7) \qquad 0 \to \textstyle\bigwedge^i H^1(U', \Lambda) \longrightarrow \bigwedge^i H^1(U, \Lambda) \longrightarrow \Bigl(\bigwedge^{i-1} H^1(U', \Lambda)\Bigr)(-1) \to 0 . On envoie par cup-produit les termes de (4.5.7) dans les termes correspondants de (4.5.6). Nous admettrons qu'on obtient ainsi un diagramme de suites exactes (i.e. trivial pour le premier carré, et sensible dans le second, une vérification fastidieuse de compatibilité des isomorphismes la parenthèse ouverte avant « i.e. » se ferme au feuillet suivant, après la vérification ; quelques mots illisibles. \text{\struck{$U = U' - D'_r$}} l'hypothèse de récurrence explicite : U' resp. D'_r). Il s'ensuit, puisque les flèches verticales extrêmes sont bijectives, donc aussi la flèche verticale médiane, ce qui achève la démonstration.l'ordre des lignes de ce bas de feuillet est incertain ; ajouts et ratures s'y chevauchent.

Pagination de l'auteur : « 29 ».

4.6. Supposons, ~~que~~ ~~dans~~ sous les conditions de 4.4, que l'on ait pour tout i (1 \leq i \leq r) D_i = V(a_i) , \quad \text{où} \quad a_i \in \Gamma(\underline{O}_X) . Soit m un entier premier aux car. résiduelles de X ~~\ill{} D_i~~ et considérons le schéma X' = \operatorname{Spec} \underline{O}_X[T_1, \ldots, T_r]/(T_1^m - a_1, \ldots, T_r^m - a_r) . Je ne dis bien connu que X' est un schéma régulier, et que si pour tout i (1 \leq i \leq r), b_i \in \Gamma(X', \underline{O}_{X'}) est la section déduite de T_i, alors les \Delta_i = V(b_i) sont des diviseurs réguliers de X' tels que \Delta = \sum \Delta_i soit un diviseur à croisements normaux (cf. SGA 1 XII …?). Donc on peut appliquer 4.5 à X' et U' = X' - \operatorname{supp} \Delta. D'ailleurs, il est immédiat que \operatorname{supp} \Delta_i est l'image inverse de \operatorname{supp} D_i, plus précisément, si p : X' \to X est la projection, p^*(D_i) = m \Delta_i . On en conclut en particulier U' = p^{-1}(U) . Considérons l'homom. de changement de base (4.6.1) \qquad p^*\bigl(R^* f_*(\Lambda_U)\bigr) \longrightarrow R^* f'_*(\Lambda_{U'}) , où f' : U' \to X' est l'inclusion. On constate alors aussitôt sur la définition des isomorphismes (4.5.1) que l'on a commutativité dans le diagramme

Pagination de l'auteur : « 30 ».

(4.6.2)

\begin{tikzcd}[column sep=large] p^*\bigl(R^1 f_*(\Lambda_U)\bigr) \arrow[r, "{(4.6.1)}"] \arrow[d, "\simeq"'] & R^1 f'_*(\Lambda_{U'}) \arrow[dd, "\simeq"] \\ p^*\Bigl(\coprod_i \Lambda_{D_i}(-1)\Bigr) \arrow[d, "\simeq"'] & \\ \coprod_i \Lambda_{\Delta_i}(-1) \arrow[r, "m.\mathrm{id}"] & \coprod_i \Lambda_{\Delta_i}(-1) \end{tikzcd}

où les flèches verticales correspondent aux isom. (4.5.1). Lorsque X et X' satisfont au th. de pureté, on en conclut de même la commutativité dans

(4.6.3)

\begin{tikzcd}[column sep=large] p^*\bigl(R^p f_*(\Lambda_U)\bigr) \arrow[r, "{(4.6.1)}"] \arrow[d, "\simeq"'] & R^p f'_*(\Lambda_{U'}) \arrow[dd, "\simeq"] \\ p^* \bigwedge^p\Bigl(\coprod_i \Lambda_{D_i}(-1)\Bigr) \arrow[d, "\simeq"'] & \\ \bigwedge^p \coprod_i \Lambda_{\Delta_i}(-1) \arrow[r, "m^p.\mathrm{id}"] & \bigwedge^p \coprod_i \Lambda_{\Delta_i}(-1) \end{tikzcd}

On en conclut en particulier :la phrase se poursuit au feuillet suivant ; le reste du feuillet 114 est blanc.

Pagination de l'auteur : « 31 ».

Corollaire 4.7. Avec les conditions de 4.4, supposons X = \operatorname{Spec} A strict. local et satisfaisant aux ~~conditions du~~ th. de pureté cohomologique. Soit m un ~~entier, premier~~ multiple de n, premier à la car. résiduelle de X, et soit X'_m = \operatorname{Spec} A[T_1, \ldots, T_r]/(T_1^m - a_1, \ldots, T_r^m - a_r) , où les a_i sont des équations ~~des~~ des D_i (1 \leq i \leq r). Soit U' = X' \times_X U. Alors l'homomorphisme canonique H^*(U, \Lambda) \longrightarrow H^*(U', \Lambda) est nul en dimension > 0.

En effet, c'est trivial en dim. 1, en utilisant (4.5.1) équivaut précisément à dire que U' est un revêtement principal connexe, de groupe \mu_n.phrase raturée et surchargée ; l'ordre des mots est incertain.

~~4.8. Soit maintenant X str. local régulier th. de pureté cohomologique~~premier début de 4.8, encadré et barré.

4.8. Soit X = \operatorname{Spec} A un schéma strict. local régulier, (a_i)_{1 \leq i \leq r} une partie d'un système régulier de paramètres de A, de sorte que ~~D = \operatorname{div}(a_i)~~ D = \operatorname{div}\Bigl(\prod a_i\Bigr) = \sum D_i \qquad (\text{où } D_i = \operatorname{div} a_i) est un diviseur à croisements normaux, à composantes premières D_i régulières. Posons U = X - \operatorname{supp} D = X - \bigcup D_i , et pour tout entier m premier à la car. résiduelle de X, introduisons X(m) = \operatorname{Spec} A[T_1, \ldots, T_r]/(T_1^m - a_1, \ldots, T_r^m - a_r) ,

Pagination de l'auteur : « 32 ».

et l'image inverse U(m) de U dans X(m), qui est un rev. étale principal de U de groupe \mu_m(X)^r = G(m), formant un syst. projectif de ~~schémas,~~ revêtements étales principaux, compatibles avec les homom. de transition évidents \begin{array}{ccc} \mu_{m'}^r(X) & \longrightarrow & \mu_m^r(X) \\ \| & & \| \\ G(m') & & G(m) \end{array} \qquad (m \mid m') . au-dessus de « (m \mid m') », le mot « pour » ajouté. Soit ~~U(\infty)~~ U(\infty) = \varprojlim U(m) qui est un ~~revêtement principal~~ pro-revêtement étale principal de U de groupe (4.8.1) \qquad G = \varprojlim_m G(m) = \prod_{\ell \neq p} \mathbf{Z}_\ell(1)^r , (p car. la car. résiduelle de X, et où \uncertain{(\ldots)} désigne)la parenthèse est encerclée et partiellement illisible ; on attend la définition de \mathbf{Z}_\ell(1) qui suit. (4.8.2) \qquad \mathbf{Z}_\ell(1) = \varprojlim_\nu \mu_{\ell^\nu}(X) . Soit n un entier \geq 0 premier à p, posons \Lambda = \mathbf{Z}/n\mathbf{Z}. et soit On a H^*\bigl(U(\infty), \Lambda\bigr) \simeq \varinjlim_m H^*\bigl(U(m), \Lambda\bigr) , ~~et on peut que~~encadré et barré : ~~U(m) = X(m) - \bigcup_{1 \leq i \leq r} D'_i(m), avec X(m) régulier et les D'_i(m) = \operatorname{div}(T_{i(m)}) des diviseurs réguliers dont la somme est à croisements normaux, on trouve que~~ D'autre part, d'après les rappels de 4.6, le calcul de l'hom. de transition

Pagination de l'auteur : « 33 ».

H^*\bigl(U(m), \Lambda\bigr) \longrightarrow H^*\bigl(U(m'), \Lambda\bigr) , \quad \text{pour } m \mid m' est justiciable de 4.6 qui en degrés \neq 0 montre qu'il est nul si nm \mid m', en vertu du th. de pureté coh. ~~D'ailleurs~~, Cela prouve que la transition dans (*) est nulle en dim. > 0, et en dim. 0 il est évidemment isomorphe à \Lambda. Donc on trouve

Corollaire 4.9. Avec les notations de 4.8, et supposons que X et les X(m) satisfont au th. de pureté coh., . Alors (4.9.1) \qquad \begin{cases} H^i\bigl(U(\infty), \Lambda\bigr) = 0 & \text{si } i \neq 0 \\ H^0\bigl(U(\infty), \Lambda\bigr) \simeq \Lambda . \end{cases} ~~Remarques 4.10. a) seulement que les X(m) satisfont au th. de pureté coh. en dim. \leq N, condition toujours vérifiée si N = 1 !), alors (4.9.1) reste vrai pour i \leq N.~~

~~b) On exprime encore résultat de 4.9 en disant que fois U les premier~~ les remarques 4.10 a) et b) sont encadrées et barrées de grandes diagonales ; le passage est en grande partie illisible.

Corollaire 4.10. Sous les conditions de 4.9, Soit \Gamma un groupe profini, considérons un homomorphisme de groupes profinis (4.10.1) \qquad \varphi : G \longrightarrow \Gamma , et soit H le noyau de cet homomorphisme.la lettre avant « \longrightarrow \Gamma » est surchargée ; lue G, le groupe de (4.8.1).

Pagination de l'auteur : « 34 ». Sur ce feuillet et le suivant, le groupe de (4.8.1) est écrit « G » suivi d'un griffonnage (peut-être « G(\infty) ») ; on transcrit G. Le signe \overset{G}{\times} est le produit contracté.

~~Alors~~ Considérons l'anneau de cohomologie H^*(H, \Lambda), sur lequel G opère trivialement, et considérons l'anneau induit H^*(H, \Lambda) \overset{G}{\times} \Gamma . ~~Alors~~ Considérons d'autre part le revêtement principal \widetilde{U}' de groupe \Gamma \widetilde{U}' = U(\infty) \overset{G}{\times} \Gamma associé à U(\infty) de groupe G, et à l'hom. G \to \Gamma. Alors on a donc un isomorphisme canonique gradué à opérateurs \Gamma d'anneauxune boucle relie ce passage à la formule (4.10.1) ; une phrase intermédiaire, « Faisant opérer \Gamma sur l'anneau H^*(\widetilde{U}, \Lambda) via ses opérations sur \widetilde{U} », est encerclée et rattachée par une flèche. (4.10.1) \qquad H^*(\widetilde{U}', \Lambda) \simeq H^*(H, \Lambda) \overset{G}{\times} \Gamma . ~~En particulier, \Gamma' \Gamma' \subset \Gamma \Gamma' G \Gamma, conséquence triviale~~deux lignes barrées, très surchargées.

Démonstration. Soit K = G/H = \operatorname{Im}(G \to \Gamma). Alors U' = (U(\infty)/H) \overset{K}{\times} \Gamma , et par suite on trouve un isom. d'anneaux gradués à groupe d'opér. \Gamma H^*(U', \Lambda) \simeq H^*(U(\infty)/H, \Lambda) \overset{K}{\times} \Gamma où K opère sur H^*(U(\infty)/H, \Lambda) via ses opérations sur U(\infty)/H. Il nous suffit donc de montrer que en dimension \neq 0 triviales,lecture incertaine de cette ligne ; on attend que K opère trivialement. et qu'on a un isom. d'anneaux gradués H^*(U(\infty)/H, \Lambda) \simeq H^*(H, \Lambda) , Cela nous ramène au cas où \varphi est supposé surjectif. Alors la suite spectrale (4.10.1) est la suite spectrale dite de Hochschild-Serre (SGA 4 VII …) de H^*(U(\infty)/H, \Lambda) \Longleftarrow E_2^{pq} = H^p\bigl(H, H^q(U(\infty), \Lambda)\bigr) , l'inégalité « en dimension \neq 0 » et la structure de la phrase précédente sont reconstruites d'après la page ; « SGA 4 VII » porte un trait au-dessus du chiffre romain.

Pagination de l'auteur : « 35 ».

jointe à 4.9, qui indique que E_2^{pq} = 0 si q \neq 0, donne l'isomorphisme voulu d'anneaux gradués : H^*(U(\infty)/H, \Lambda) \simeq H^*(H, \Lambda) . D'autre part, cet hom. est, comme bien connu, transforme, comme , il est compatible aux opérations de G sur les premiers membres (les quotients des opérations de G sur H par automorphismes intérieurs. Comme G est commutatif, cette action est triviale, ce qui achève la démonstration de 4.10.deux lignes du milieu de phrase lues avec peine ; le sens attendu est que G opère sur H^*(H, \Lambda) par automorphismes intérieurs, donc trivialement, G étant commutatif.

Remarques 4.12. Si on suppose seulement que les X(m) satisfont au th. de pureté coh. en dim. \leq N, alors les arguments qui précèdent prouvent encore 4.9 à 4.11 en dim. \leq N, et ~~corollaire 4.13 qui suit~~.une flèche renvoie le numéro « 4.12 » d'un en-tête biffé plus bas jusqu'à cette remarque, qui était d'abord numérotée autrement.

Corollaire 4.11. Soit \Gamma' l'image de G dans \Gamma, et supposons \Gamma commutatif. ~~On \Gamma' invariant \Gamma G(\infty) dans \Gamma~~.lecture du début incertaine ; « G(\infty) » est ici écrit en toutes lettres, dans un passage biffé. Alors, ~~4.12.~~ plus gén. , l'action de \Gamma sur H^*(U', \Lambda) induit sur \Gamma'' l'action triviale (plus précisément \Gamma'' est le s.-groupe des g \in \Gamma qui opèrent trivialement sur H^*(U', \Lambda)).le passage est encadré à gauche ; la parenthèse est une insertion interlinéaire. \Gamma'' n'est pas défini dans ce qui se lit.

Cet énoncé simplifie beaucoup ~~maintenant~~

~~4.13. Nous prouverons~~ ~~plus bas~~ plus bas le th. de monodromie sous la forme 3.2. Avant de le faire, explicitons le calcul de H^*(U', \Lambda) résultant de (4.10.1), ce qui nous sera utile dans l'exposé suivant.« 3.2 » renvoie à un énoncé antérieur au lot, que ces pages ne permettent pas d'identifier.

Pagination de l'auteur : « 36 ».

4.13. Gardons les hypothèses de 4.9. ~~la forme \ell^{\nu+1}~~ (4.13.1) \qquad \Lambda = \mathbf{Z}/\ell^{\nu+1}\mathbf{Z} , la ligne (4.13.1) est encadrée et rattachée à la ligne biffée qui la précède. Le groupe commutatif H se décompose en le produit de ses composantes \ell-primaires H(\ell), H = \prod_{\ell \neq p} H(\ell) , \qquad H(\ell) \subset G(\infty)(\ell) \simeq \mathbf{Z}_\ell(1)^r . devant \mathbf{Z}_\ell(1)^r, un signe biffé, peut-être un \prod. Donc H(\ell) est un module libre sur \mathbf{Z}_\ell de rang s \leq r. ~~\Lambda = \mathbf{Z}/n\mathbf{Z} avec n = \ell^{\nu+1}, \Lambda un~~

On en conclut ~~par~~ aussitôt, si (4.13.2) \qquad \Lambda = \mathbf{Z}/n\mathbf{Z} , \quad \text{avec } n = \ell^{\nu+1} , ~~puissance de \ell~~ (4.13.1) \qquad \begin{cases} H^*(H, \Lambda) \simeq \bigwedge^* H^1(H, \Lambda) \\ H^1(H, \Lambda) \simeq \operatorname{Hom}(H, \Lambda) \simeq \Lambda^s , \quad \text{où } H(\ell) \simeq \mathbf{Z}_\ell^s . \end{cases} le numéro « (4.13.1) » est répété sur la page ; un mot biffé illisible suit \operatorname{Hom} dans la première ligne.

4.14. ~~Soit maintenant~~ Supposons ~~maintenant~~ maintenant donnés des entiers m_i \geq 0 (1 \leq i \leq r), et ~~considérons~~ soit (4.14.1) \qquad t = a_1^{m_1} \cdots a_r^{m_r} devant t, un signe biffé. Soit, pour tout entier m premier à la car. résiduelle de X, (4.14.2) \qquad X'(m) = \operatorname{Spec} A[T]/(T^m - t) et ~~considérons~~ (4.14.3) \qquad \text{\struck{$X(m) =$}} \quad U'(m) = X'(m) \times_X U , qui est un revêtement étale principal de U, de groupe \mu_m(X). Posons Y'(m), et les U'(m), formant un système projectif, et passant à la limite (4.14.4) \qquad U' = \varprojlim_m U'(m) , qui est un schéma principal sur U de groupe (4.14.5) \qquad \Gamma = \varprojlim \mu_m(X) = \prod_{\ell \neq p} \mathbf{Z}_\ell(1) . la phrase « Posons … » est corrigée en interligne et se lit mal ; la page s'arrête sur (4.14.5), et l'argument se poursuit au-delà du lot. Le « \ell \neq 1 » apparent sous le dernier produit est lu \ell \neq p.