Cote n° 34, pages 81–100

Cote n° 34 · batch 5 · pages 81–100 · Transcription · SGA 7 : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [vers 1967-1973]
Édition de démonstration

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81La remarque 5.4 clôt un exposé commencé avant ce lot (les résultats 5.1 à 5.3 y renvoient). En haut à droite, au crayon : « II.30 ».

Remarque 5.4. Dans Exp. III, nous prouverons que, quand $X_K$ est une courbe projective ⌜séparée⌝ lisse sur $K$, l'action de $I$ sur $E = H^1(X_{\bar K}, \mathbf{Z}_\ell)$ est […] unipotente […] d'échelon 2, i.e. qu'il existe un sous-groupe ouvert $U$ de $I$ tel que $U$ opère de façon trivialement sur […] $E/E^U$. On voit alors facilement, en utilisant les résultats 5.1, 5.2, 5.3, […] que pour tout $X$ ⌜de type fini sur $K$⌝, l'action de $I$ est […] en unipotente d'échelon 3 (et même d'échelon 2 ⌜2⌝) si $X$ est normal.

Bibliographie

[1] A. Grothendieck, Un th. sur les hom. de schémas abéliens, Invent. Math. 2, 59–78 (1966).

[2] S. Lang,

[3] J.-P. Serre – J. Tate, Good reduction of abelian varieties.

[4] Shimura – Taniyama, Complex multiplication of abelian varieties, Publ. of Math. Soc. of Japan, n° 6 (1961).

L'entrée [2] est restée inachevée.

Exposé III. Le théorème de monodromie par voie géométrique

p. 1 de l'auteur, pour cet exposé.

1. Comparaison de la cohomologie des fibres ⌜géométriques⌝ spéciale et de la fibre spéciale et générale : les suites exactes des cycles évanescents

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
X \arrow[d, no head] & X_K \arrow[d, no head] & X_{\bar K} \arrow[d, no head] \\
S \arrow[dr, no head] & K \arrow[dr, no head] & \bar K \\
 & \tilde S \arrow[r, no head] & \tilde K
\end{tikzcd}

Notations de I 1.1. On suppose donné $X$ propre sur $S$, d'où $X_\eta = X_K$ sur $\eta = \operatorname{Spec} K$, et on se propose de déterminer donner des relations entre $H^i(X_{\bar s})$ et $H^i(X_{\bar\eta})$ (coefficients $\Lambda_\nu = \mathbf{Z}/\ell^{\nu+1}\mathbf{Z}$ ou $\mathbf{Z}_\ell = \varprojlim_\nu \Lambda_\nu$). On verra que cette question est liée intimement à celle des opérations de $\pi$ sur $H^i(X_{\bar\eta})$ ; [par exemple on […] un isomorphisme $H^i(X_s) \simeq H^i(X_{\bar s})^{\pi}$].

Quitte à remplacer $S$ par $\tilde S$, on peut supposer pour simplifier les notations que $S$ est strictement […] local (et $=$ complet si on y tient…), quand $\ell \neq \operatorname{car} K$). On a \[(1.1) \qquad \bar K = \varinjlim_{\alpha} K_\alpha ,\] $K_\alpha$ les sous-extensions finies de $K$, d'où \[(1.2) \qquad X_{\bar\eta} = \varprojlim_{\alpha} X_\alpha , \qquad \text{où } X_\alpha = X_{K_\alpha},\] sous les limites de (1.1) et (1.2), l'indice ressemble à un $i$ ; dans (1.1) et (1.2), un indice écrit après $K_\alpha$, resp. $X_\alpha$, est biffé. et \[(1.3) \qquad H^*(X_{\bar\eta}, \Lambda_\nu) = \varinjlim_{\alpha} H^*(X_{\bar K_\alpha}, \Lambda_\nu) .\] Soit $S_\alpha$ ⌜$= \operatorname{Spec} V_\alpha$,⌝ le normalisé de $S$ dans $K_\alpha$, qui est encore strict. local, […] et soit $s_\alpha$ le pt fermé de $S_\alpha$, $\eta_\alpha$ le pt ⌜générique⌝, et soit \[(1.4) \qquad X_\alpha = X \times_S S_\alpha , \qquad X_{\alpha 0} = X_{\alpha s_\alpha} = X_0 \otimes_k k_\alpha .\]

84p. 2 de l'auteur.

La fibre spéciale de $X_\alpha$ est \[\text{\struck{$X_{\alpha s_\alpha} = X_0 \otimes_k k_\alpha$}}\] où $X_0 = X_s$, et ⌜$k_\alpha = k(s_\alpha)$⌝ est une extension ⌜finie donc⌝ radicielle de $k$.

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
X \arrow[r, no head] \arrow[d, no head] & X_\alpha \arrow[r, no head] \arrow[d, no head] & X_\beta \arrow[d, no head] \\
S \arrow[r, no head] & S_\alpha \arrow[r, no head] & S_\beta
\end{tikzcd}

Donc $X_{\alpha s_\alpha} \to X_s$ induit un isomorphisme pleinement \[(1.5) \qquad H^*(X_s) \xrightarrow{\ \sim\ } H^*(X_{\alpha s_\alpha}) .\] après chacun des deux membres de (1.5), un coefficient $\Lambda_\nu$ est biffé. D'autre part, le diagramme dans le diagramme commutatif

(1.6)

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\begin{tikzcd}
H^*(X) \arrow[r] \arrow[d, "\wr"] & H^*(X_\alpha) \arrow[d, "\wr"] \\
H^*(X_s) \arrow[r] & H^*(X_{\alpha, s_\alpha})
\end{tikzcd}

les flèches verticales sont déjà des isomorphismes, car $X/S$ et $X_\alpha/S_\alpha$ propres ⌜propres⌝ sur $S$. Donc \[(1.7) \qquad H^*(X) \xrightarrow{\ \sim\ } H^*(X_\alpha) .\]

Considérons maintenant les suites exactes de cohomologie relative sur $X_\alpha$, mod. l'ouvert $X_{\eta_\alpha}$ : \[\begin{aligned} & (1.8) \qquad \cdots \to H^i_{X_{\alpha 0}}(X_\alpha, \Lambda_\nu) \to H^i(X_\alpha, \Lambda_\nu) \to H^i(X_{\eta_\alpha}, \Lambda_\nu) \\ & \qquad \to H^{i+1}_{X_{\alpha, 0}}(X_{\eta_\alpha}, \Lambda_\nu) \to \cdots \end{aligned}\] dans le dernier terme de (1.8), l'indice $\eta_\alpha$ est surchargé et douteux. Passant à la limite sur $\alpha$, et utilisant (1.3) et (1.7), on trouve une suite exacte \[(1.9) \qquad \cdots \to \Phi^i_\nu \to H^i(X_s, \Lambda_\nu) \to H^i(X_{\bar\eta}, \Lambda_\nu) \to \Phi^{i+1}_\nu \to \cdots\] où on a \[(1.10) \qquad \Phi^i_\nu = \varinjlim_\alpha H^i_{X_{\alpha 0}}(X_\alpha, \Lambda_\nu) .\]

85p. 3 de l'auteur.

1.11. Le groupe $\Phi^i_\nu$ peut être appelé groupe des cycles évanescents en dimension $i$ (de $X/S$ ⌜et les coeff. $\Lambda_\nu$⌝), et la suite exacte (1.9) la suite exacte des cycles évanescents. Les cycles évanescents s'introduisent ici comme mesurant « l'écart » entre la cohomologie de $X_s$ et de $X_{\bar\eta}$ (fibres géométriques spéciale et générale). Passant à la limite ⌜projective⌝ sur $\nu$, on trouve (les groupes de la suite (1.9) étant finis […] […] de type fini) \[(1.9\ \text{bis}) \qquad \cdots \to \Phi^i \to H^i(X_s, \mathbf{Z}_\ell) \to H^i(X_{\bar\eta}, \mathbf{Z}_\ell) \to \Phi^{i+1} \to \cdots ,\] avec \[(1.10\ \text{bis}) \qquad \Phi^i = \varprojlim_\nu \Phi^i_\nu = \varprojlim_\nu \varinjlim_\alpha H^i_{X_{\alpha 0}}(X_\alpha, \Lambda_\nu) .\] 1.12. Nous appellerons aussi (1.9 bis) suite exacte des cycles évanescents pour les coeff. $\mathbf{Z}_\ell$, et $\Phi^i$ le groupe des cycles évanescents en dim. $i$ pour les coeff. $\mathbf{Z}_\ell$.

1.12. Passage du local au global. Pour calculer les $\Phi^i_\nu$, il y a lieu utilisant la […] ⌜réunion⌝ (1.10), on regarde pour chaque $\alpha$ la suite spectrale \[(1.13) \qquad H^*_{X_{\alpha 0}}(X_\alpha, \Lambda_\nu) \Longleftarrow E_2^{pq} = H^p(X_{\alpha 0}, \underline{H}^q_{X_{\alpha 0}}(\Lambda_{\nu X_\alpha})) .\] Les foncteurs spectraux, pour $\alpha$ variable, forment un système inductif, et donnent à la limite (compte tenu que $X_{\alpha 0} \to X_0$ induit une équivalence ⌜des sites étales⌝)

86p. 4 de l'auteur. \[(1.14) \qquad \Phi^*_\nu \Longleftarrow E_2^{pq} = H^p(X_0, \underline{\Phi}^q_\nu)\] où $\underline{\Phi}^q_\nu$ est un faisceau sur $X_0$ qui, via identification de $X_{\alpha 0}$ avec $X_0$, peut s'écrire \[(1.15) \qquad \underline{\Phi}^q_\nu = \varinjlim_\alpha \underline{H}^*_{X_{\alpha 0}}(\Lambda_{\nu X_\alpha}) .\] l'exposant du membre de droite de (1.15) est bien une étoile sur la page, là où l'on attend $q$. Le calcul de ces faisceaux sur $X_0$ est de nature locale sur $X$. [Sous réserve que de vérifications […] de passages à la limite, on conclut de même […] \[(1.14\ \text{bis}) \qquad \Phi^* \Longleftarrow E_2^{pq} = H^p(X_0, \underline{\Phi}^q)\] avec \[(1.15\ \text{bis}) \qquad \underline{\Phi}^q = \varprojlim_\nu \underline{\Phi}^q_\nu ,\] ⌜mais⌝ que nous n'utiliserons pas telles quelles. ⌜Il faudrait⌝ […] […] justifier […] […] que […] le système projectif $(\underline{\Phi}^q_\nu)_{\nu \geq 1}$ définit un faisceau $\ell$-adique […] ⌜[…] […] […] sur $X$…)⌝.]

1.16. On trouve ainsi un principe de localisation fort utile pour comparer la cohomologie de $X_s$ et de $X_{\bar\eta}$. Notons par exemple, que le théorème ⌜[…]⌝ que si $X \to S$ est lisse (et $\ell \neq p$) que […] (le théorème de pureté pour l'immersion $s \to S$, et le th. de changement de base lisse, montrent que pour tous points […] $X_\alpha$ est lisse sur $S_\alpha$ :) $\underline{H}^i_{X_{\alpha 0}}(\Lambda_{\nu X_\alpha})$ est nul pour $i \neq 2$, et \[\underline{H}^2_{X_{\alpha 0}}(\Lambda_{\nu X_\alpha}) \simeq \bigl(\mu_{\ell^\nu}^{\otimes(-1)}\bigr)_{X_{\alpha 0}}\] […] ⌜si $i = 2$⌝. dans « nul pour $i \neq 2$ », le chiffre ressemble à un 0 ; le $\underline{H}^2$ du membre de gauche est surchargé. On en conclut que $\underline{\Phi}^i_\nu = 0$ si $i \neq 2$, et \[\underline{\Phi}^2_\nu = \text{\struck{$\ill{}$}}\ \varinjlim_\alpha (\mu_{\ell^\nu})_{X_{\alpha 0}} .\] Il faut déterminer les

87p. 5 de l'auteur.

(cont. au faisceau, interprétés comme le faisceau $\mu_{\ell^\nu}$ sur $X_0$.) morphismes de transition. On trouve que si $S_\alpha$ est de degré $n_\alpha$ sur $S$, donc $S_\beta$ de degré $n_{\alpha\beta} = n_\beta/n_\alpha$ sur $S_\alpha$ (si $\beta \geq \alpha$), ⌜(On est ramené à faire la vérification pour $X = S$…)⌝ dans le morphisme de transition est la multiplication par $n_{\alpha\beta}$. On en conclut aussitôt […] […] que $\underline{\Phi}^2_\nu = \varinjlim (\mu_{\ell^\nu})$ est égal à zéro. Donc […] on a $\underline{\Phi}^i_\nu = 0$ pour tout $i, \nu$, d'où On en déduit grâce à (1.14) que $\Phi^i_\nu = 0$ pour tout $i, \nu$, puis grâce à (1.9) que \[(1.16.1) \qquad H^i(X_s, \Lambda_\nu) \xrightarrow{\ \sim\ } H^i(X_{\bar\eta}, \Lambda_\nu)\] ($X$ lisse sur $S$, […] $\ell \neq p$) : […] ⌜[…] […] […]⌝ le th. de spécialisation de la cohomologie pour les morphismes propres et lisses (SGA 4 $\overline{\text{XVI}}$ …). [Bien […] […] […] avec des […] […]).

Compte tenu de la nature locale des $\underline{\Phi}^i_\nu$, on conclut de ce qui précède la

Proposition 1.17. Soit $T$ l'ensemble des $x \in X_0$ en lesquels $f : X \to S$ ⌜$X \to S$⌝ n'est pas lisse, ⌜et supposons $\ell \neq p$.⌝ Alors les faisceaux $\underline{\Phi}^i_\nu$ des cycles évanescents sont à support dans $T$.

1.18. Supposons par exemple que les points de $T$ soient fermés $T$ soit discret. Alors […] dans (1.14) on a $E_2^{pq} = 0$ pour $p \neq 0$, donc on trouve des isomorphismes

88p. 6 de l'auteur. \[(1.18) \qquad \Phi^i_\nu = \sum_{t \in T} (\underline{\Phi}^i_\nu)_t ,\] où \[(1.19) \qquad (\underline{\Phi}^i_\nu)_t = \varinjlim_\alpha \underline{H}^i_{X_{\alpha 0}}(\Lambda_{\nu X_\alpha})_{t_\alpha}\] où $t_\alpha$ est l'unique point de $X_\alpha$ au-dessus de $t$. On voit donc que dans le cas où l'ensemble $T$ des pts de $X_0$ où $f$ n'est pas lisse est fini, le calcul des groupe $\Phi^i_\nu$ des cycles évanescents ⌜(au sens de la top. étale)⌝ est ⌜une somme de termes⌝ purement locaux […] […] relatifs aux différents points de $t$]. […] Nous donnerons plus loin des exemples d'application de ce principe à des cas particuliers intéressants.

1.20. Mais […] nous donnons ⌜d'abord⌝ ici une autre ⌜variante⌝ de la méthode précédente pour formuler les relations entre la cohomologie de $X_s$ et de $X_{\bar\eta}$, ⌜qui servira⌝ plus commodément dans la démonstration ⌜(directe)⌝ du th. de monodromie. On constate aisément que :

Notons toutefois que, ⌜par construction même,⌝ le groupe d'inertie $I = \operatorname{Gal}(\bar K/K)$ opère sur les faisceaux $\underline{\Phi}^i_\nu$, que la suite spectrale (1.14) peut être interprétée comme une suite spectrale de $I$-modules, et la suite exacte (1.9) comme une suite exacte de $I$-modules, […] $I$ opérant ⌜trivialement⌝ […] […] sur $H^*(X_s, \Lambda_\nu)$ ⌜[…] […] […] la limite⌝. (Il serait possible de prouver le th. de

89p. 7 de l'auteur.

monodromie, dans les cas […] traités plus bas, en prouvant que l'action de $I$ sur chacun des $\underline{\Phi}^i$ est quasi ⌜[…]⌝ unipotente, […] ⌜en prouvant⌝ bien ceci, que affirmant des l'action sur chacun des faisceaux $\ell$-adiques $\underline{\Phi}^i$ est […] essentiellement triviale, et mieux, qu'il existe un sous-groupe ⌜ouvert⌝ $I'$ de $I$ qui opère […] trivialement sur tous les […] $\underline{\Phi}^i_\nu$ ($i, \nu$ variables). Les calculs pourraient On a là un résultat de nature purement locale sur $X$, qui est accessible au calcul dans des conditions favorables, comme nous examinerons au n° suivant.

1.21. Généralisation des développements précédents au cas d'un ouvert $U$ de la fibre générique. ⌜($X$ très propre sur $S$). Soit $Y = X - U \supset X_0$.⌝ Dans ce cas on trouve encore une suite exacte des cycles évanescents \[(1.22) \qquad \cdots \to \Phi^i_\nu \to H^i(X_s, \Lambda_\nu) \to H^i(U, \Lambda_\nu) \to \Phi^{i+1}_\nu \to \cdots\] avec \[(1.23) \qquad \Phi^i_\nu = \varinjlim_\alpha H^i_{Y_\alpha}(X_\alpha, \Lambda_\nu) ,\] où $Y_\alpha$ est l'image inverse de $Y_\alpha$ dans $X_\alpha$. La suite spectrale de localisation s'écrit \[(1.14) \qquad \Phi^*_\nu \Longleftarrow E_2^{pq} = H^p(X_0, \underline{\Phi}^q_\nu) ,\] \[(1.15) \qquad \underline{\Phi}^q_\nu = \varinjlim_\alpha \bigl(\underline{H}^q_{Y_\alpha}((\Lambda_\nu)_{X_\alpha}) \,|\, X_{\alpha 0}\bigr) .\] les numéros (1.14) et (1.15) sont repris tels quels sur la page ; dans (1.23), un premier argument de $H^i$ est biffé et l'indice $Y_\alpha$ récrit sous le $H$ ; « image inverse de $Y_\alpha$ » est sur la page, là où l'on attend $Y$.

90p. 8 de l'auteur.

[…]

1.26. Restriction aux revêtements modérément ramifiés de $S$.

Comme on verra par la suite, le calcul des $\underline{H}^i(\Lambda_{\nu X_\alpha})$l'indice $Y_\alpha$ de $\underline{H}^i$ est biffé. peut se faire, parfois, à condition de se borner aux $S_\alpha$ qui sont modérément ramifiés sur $S$, correspondant donc aux […] sous-extensions ⌜finies⌝ de l'extension $\bar K_t \subset \bar K$, […] correspondant au $p$-sous-groupe de Sylow $P$ de $I$. […] […] […] suite La suite La suite exacte de Hochschild–Serre pour ⌜le groupe $P$⌝ donnant \[U_{\bar K} \to U_{\bar K_t}\] \[H^*(U_{\bar K_t}, \Lambda) \Longleftarrow E_2^{p,q} = H^p(P, H^q(U_{\bar K}, \Lambda_\nu)) ,\] et on a $E_2^{pq} = 0$ si $p \neq 0$, car $H^q(U_{\bar K}, \Lambda_\nu)$ est de $\ell$-torsion, $\ell \neq p$. Donc on trouve \[(1.27) \qquad H^*(U_{\bar K_t}, \Lambda_\nu) \xrightarrow{\ \sim\ } H^*(U_{\bar K}, \Lambda_\nu)^P ,\] invariants sous le groupe de $P$-Sylow. D'ailleurs, le premier membre est aussi isomorphe à \[\varinjlim_\alpha H^*(U_{K_\alpha}, \Lambda_\nu) ,\] où $K_\alpha$ parcourt les sous-extensions finies de $\bar K_t$, dont qui sont […] […], les \[(1.28) \qquad K(n) = K(\pi^{1/n}) \qquad \text{pour } (p, n) = 1 .\]

91p. 9 de l'auteur.

[On trouve donc une suite exacte de la forme (1.29), mais […] […] écrire $H^i(U_{\bar\eta}, \mathbf{Z}_\ell)$ au lieu de $H^i(U_{\bar\eta}, \mathbf{Z}_\ell)^P$. ajout en haut de page, séparé du texte par un trait.

On trouve donc une suite exacte \[\begin{aligned} & (1.29) \qquad \cdots \to (\Phi^i_\nu)_{\mathrm{mod}} \to H^i(X_s, \Lambda_\nu) \\ & \qquad \to H^i(U_{\bar\eta}, \Lambda_\nu)^P \to (\Phi^{i+1}_\nu)_{\mathrm{mod}} \to \cdots \end{aligned}\] avec \[(1.30) \qquad (\Phi^i_\nu)_{\mathrm{mod}} = \varinjlim_{(n,p)=1} H^i_{Y_n}(X_n, \Lambda_\nu) ,\] où $X_n = X \times_S S(n)$, $S(n)$ le normalisé de $S$ dans $K(n)$, $Y_n$ l'image inverse de $Y = X - U$ dans $X(n)$. La suite spectrale de localisation est ici \[(1.31) \qquad (\Phi^*_\nu)_{\mathrm{mod}} \Longleftarrow E_2^{pq} = H^p(X_0, (\underline{\Phi}^q_\nu)_{\mathrm{mod}})\] avec \[(1.32) \qquad (\underline{\Phi}^q_\nu)_{\mathrm{mod}} = \varinjlim_{(n,p)=1} \bigl(\underline{H}^q_{Y(n)}((\Lambda_\nu)_{X(n)}) \,|\, X(n)_0\bigr) ,\] où $X(n)_0$ est la restriction de fibre spéciale de $X(n)$, identifiée (comme […] site étale) à $X_0$. l'indice « mod » de (1.29) à (1.32) est écrit en abrégé, sous une forme proche de « $\mathrm{tame}$ » ou « $\mathrm{dam}$ » ; la lecture « mod » (modéré) est celle du titre de 1.26.

[Cette suite […] exacte ([…]) et celle qu'on en déduit par $\varprojlim_\nu$ sont surtout utiles si $P$ opère trivialement sur $H^*(U_{\bar\eta}, \mathbf{Z}_\ell)$, […] conditions qui sera vérifiée en tous cas après extension finie de $S$ (cf. I).] (conséquence de […] […] sur $\mathbf{Z}_\ell$)

1.33. Les développements précédents valent tels quels (si on remplace $P$ par n'importe quel sous-groupe invariant fermé $Q$ de $I$ tel que $I$ tel que $I/Q$ soit « premier à $\ell$ », i.e. […] […] […] […] […] $\mathbf{Z}_\ell(1)$ de $I_t$, […] de $I/p$. Un cas particulier […] […] qui […] […] est celui où $I/Q \simeq \mathbf{Z}_\ell(1)$ est quotient […] […], ce qui signifie qu'on fait parcourir à $K_\alpha$ les $K(n)$ avec $n$ de la forme $\ell^r$. […]

92p. 10 de l'auteur.

2. Comparaison entre la cohomologie de la fibre spéciale et générique par la suite spectrale de Leray

2.1. $X$ propre sur $S$, $U$ ouvert de $X_\eta$. La suite spectrale de localisation ⌜cohomologie ultime⌝ sera ici remplacée, essentiellement, par la suite spectrale des […] ⌜(légèrement différente)⌝ […] […] […] […] […] $U_\alpha \to X_\alpha$, […] plutôt par la limite de ces suites spectrales. […] plus Nous ne supposons pas ici que $X$ soit nécessairement lisse, ce qui nous laissera ⌜toutefois⌝ […] saisir les opérations de $\pi$ dans cette situation, […] de $I$ seulement, lequel ne […] […] : […] […], en plus de l'ouvert $U$ de $X_\eta$, et de $\bar U$, $\bar X = X_{\bar\eta}$, les schémas analogues $\tilde X$ et $\tilde U$ sur $\tilde S$. […] mais Le groupe $\pi$ opère sur la situation

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
\tilde U & \bar U \arrow[l] \\
\tilde X \arrow[u, hook] & \bar X \arrow[l] \arrow[u, hook]
\end{tikzcd}

le sous-groupe $I$ opérant par $\bar X$-automorphismes.

(2.2)

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
U \arrow[d, hook] & \tilde U \arrow[d, hook] & \bar U = U_{\bar\eta} \arrow[d, hook] \\
X \arrow[d, no head] & \tilde X \arrow[l] \arrow[d, no head] & \bar X = X_{\bar\eta} \arrow[l, "g"'] \arrow[d, no head] \\
S & \tilde S \arrow[l] & \bar S \arrow[l, no head]
\end{tikzcd}

dans (2.2) et dans le petit carré inséré plus haut, les inclusions des ouverts sont dessinées comme des symboles $\subset$ verticaux ; la flèche horizontale du bas, de $\bar S$ vers $\tilde S$, est un trait sans pointe.

Nous considérons la suite spectrale de Leray pour le composé $\bar U \to \tilde X$ \[(2.3) \qquad \tilde X \xleftarrow{\ g\ } \bar U ,\] au-dessus de « composé », $\bar U$ est récrit et biffé d'un trait épais. on trouve \[(2.4) \qquad H^*(\bar U, \Lambda_\nu) \Longleftarrow E_2^{pq} = H^p(\tilde X, R^q g_*((\Lambda_\nu)_{\bar U})) .\] On peut considérer cette suite spectrale comme une suite La th. de changement de base propre permet de l'écrire sous la forme

93p. 11 de l'auteur. \[(2.5) \qquad H^*(\bar U, \Lambda_\nu) \Longleftarrow E_2^{pq} = H^p(\tilde X_0, \underline{\Psi}^q_\nu)\] avec \[(2.6) \qquad \underline{\Psi}^q_\nu = R^q g_*((\Lambda_\nu)_{\bar U} \,|\, \tilde X_0) = \varinjlim_\alpha R^q g_{\alpha *}((\Lambda_\nu)_{U_\alpha}) \,|\, \tilde X_0 ,\] où on a écrit $\bar K = \varinjlim_\alpha K_\alpha$ ($K_\alpha$ sous-extensions finies de $\bar K/\tilde K$), $g_\alpha : U \times_S S_\alpha \to \tilde X$ […] […] l'homom. canonique.

2.7. […] le calcul des faisceaux $\underline{\Psi}^q_\nu$ est de nature locale sur $\tilde X$. Notons d'ailleurs […] les relations […] […] faisceaux avec ceux des les faisceaux $\underline{\Phi}^q_\nu$ du n° 1 (que nous n'utiliserons pas) \[(2.8) \qquad \begin{cases} \underline{\Phi}^q_\nu = \underline{\Psi}^{q-1}_\nu & \text{si } q \geq 2 \\ 0 \to \underline{\Phi}^0_\nu \to (\Lambda_\nu)_{X_0} \to \underline{\Psi}^0_\nu \to \underline{\Phi}^1_\nu \to 0 . \end{cases}\] Donc, à part le décalage près, ce sont les faisceaux $\underline{\Psi}^q_\nu$ sont les faisceaux de cycles évanescents pour $\tilde X/\tilde S$ et l'ouvert $\bar U$ de $\tilde X_{\tilde\eta}$ (coeffts $\Lambda_\nu$).

2.9. Il y a lieu de considérer (2.5) comme une suite spectrale de $\pi$-modules, et l'expression (2.6) comme une […] de faisceaux ⌜sur $\tilde X_0$⌝ où $\pi$ opère, de façon compatible avec ses opérations sur $\tilde X_0$ ([…] […] via $\pi_0$). Nous nous intéressons d'abord […] l'action du sous-groupe […] d'inertie $I$.

2.10. On peut donner aussi une variante évidente des développements précédents, en remplaçant $\bar K$ par $\bar K_t$, cf. 1.26. On trouve

94p. 11' de l'auteur ; demi-feuille. \[(2.5\ \text{bis}) \qquad H^*(\bar U, \Lambda_\nu)^P \Longleftarrow E_2^{pq} = H^p(\tilde X_0, (\underline{\Psi}^q_\nu)_{\mathrm{mod}}) ,\] avec \[\begin{aligned} & (2.6\ \text{bis}) \qquad (\underline{\Psi}^q_\nu)_{\mathrm{mod}} = R^q g_{t *}((\Lambda_\nu)_{U_{\bar K_t}}) \,|\, \tilde X_0 \\ & \qquad = \varinjlim_{(n,\ell)=1} R^q g_{n *}((\Lambda_\nu)_{U_{K(n)}}) \,|\, \tilde X_0 , \end{aligned}\] où \[K(n) = \tilde K(\pi^{1/n}) \subset \bar K_t \subset \bar K\] et \[g_n : U_{K(n)} \to \tilde X\] est la projection canonique. (2.5 bis) et (2.6 bis) sont des numéros corrigés, récrits sur (2.5) et (2.6) ; dans (2.6 bis), un exposant de $g$ est biffé ; sous la limite, la condition est bien écrite $(n, \ell) = 1$, là où 1.28 porte $(p, n) = 1$.

95p. 11'' de l'auteur ; demi-feuille, d'une encre plus pâle.

Remarque 2.7⌜8⌝. Il semble plausible qu'on doive pouvoir montrer, ⌜lorsqu'on dispose de⌝ […] la résolution des singularités (⌜ou les $\underline{\Psi}^{(q)}_\nu$, c'est pareil⌝), que les faisceaux $\underline{\Phi}^{(q)}_\nu$ […] sont constructibles si $\ell \neq$ […] $p$, et que pour $\nu$ variable, le système projectif des $(\underline{\Phi}^{(q)}_\nu)$ (⌜ou $\underline{\Psi}^{(q)}_\nu$⌝) […] définit un faisceau donnant un système projectif dans la catégorie des faisceaux $\ell$-adiques constructibles. S'il en était ainsi, on déduirait par passage à la limite, ⌜[…]⌝ […] ⌜à partir des⌝ ([…]) (1.14) […], resp. (2.5), des suites spectrales ⌜cohomologiques⌝ des faisceaux $\ell$-adiques. C'est ce qui constituera dans un cas particulier typique au n° 5, et il est plausible que le cas général puisse s'y ramener par les arguments standard, via la résolution des singularités. le numéro de la remarque est surchargé (7 et 8) ; le n° « 5 » final est récrit sur un autre chiffre.

96p. 12 de l'auteur.

(Énoncé du th. principal et de ses corollaires)

3. Cas où ⌜$X$ régulier et⌝ $Y = X - U$ est un diviseur à croisements normaux

⌜On suppose $\ell \neq p$.⌝

Un premier départ de 3.1 est barré de traits obliques : Dans le résultat qui suit, … d'inertie … ([…]) … supposons que $S$ soit local … ; puis une ligne barrée : […] correspondant […] […].

3.1. Hypothèses : $X$ régulier, $Y$ diviseur à croisements normaux, ⌜(relativement au changement de base $\tilde S \to S$)⌝. Nous supposons en tout ce chapitre plus que $X$ régulier satisfait aux propriétés […] de cohomologie (cf. 4.1) Nous supposons que ⌜[…]⌝ ⌜[…] si $U$ est propre […] sur $K$ (et ses […] réguliers)⌝ […] $H^*(U_{\bar K}, \mathbf{Z}/\ell\mathbf{Z})$ est fini, ce qui […] […] suit un passage de deux à trois lignes rayé à grandes boucles, avec une note encerclée en marge, elle aussi rayée ; seuls des fragments surnagent (« résultat », « $(X, Y)$ », « tout schéma … »).

Théorème 3.2. Avec les hypothèses du titre 3 et […] de 3.1 ([…]), […] $H^i(U_{\bar K}, \mathbf{Z}_\ell)$ est fini […] les opérations […] $H^i(U_{\bar K}, \mathbf{Z}_\ell)$ est un $\mathbf{Z}_\ell$-module de type fini ⌜et l'action du groupe d'inertie $I$ sur $E = H^i(U_{\bar K}, \mathbf{Z}_\ell)^P$⌝ […] est essentiellement unipotente […] (Plus où $P$ est le $p$-sous-groupe de Sylow de $I$, cf. I […]).

Plus précisément, […] […] posons ( \[\text{\struck{$X_0$}}\ \text{\struck{$Y_0$}} \qquad X_0 = \sum m_\lambda X_0^{(\lambda)}\] (cycle diviseur sur $X$), où les $X_0^{(\lambda)}$ sont les composantes irréductibles de $X_0$, et les $m_\lambda > 0$. Soit $m$ le ppcm des $m_\lambda$, et $m'$ le composant premier à $p$ de $m$, et $I'$ le sous-groupe ouvert d'indice $m'$ de $I$. Alors l'action de $I'$ sur $E =$ […] $H^i(U_{\bar K}, \mathbf{Z}_\ell)^P$ est unipotente d'échelon $\leq i+1$ ⌜[…]⌝, i.e. il y a une filtration ⌜de $E$⌝, ⌜[…] par des […] $P$⌝, invariante sous $I'$, ayant $i + 1$ quotients, et l'action de $I'$ sur les $\operatorname{gr}^p(E)$ est triviale. En d'autres termes,

97p. 13 de l'auteur.

si $g$ est un générateur topologique de $I_t = I/P$ (hommage !), ⌜$g_E$ son action sur $E$, on a la relation⌝ \[(3.3) \qquad (\mathrm{id} - g_E^{m'})^{i+1} = 0 .\]

Remarque 3.4. a) La démonstration que nous donnerons ⌜au § 5⌝ donne ⌜[…]⌝ également, mutatis mutandis, dans le cas analytique complexe, pour un morphisme $f : X \to S$ d'espaces analytiques, $S$ régulier ⌜(auquel cas il n'y a plus lieu d'introduire […] $P$ !)⌝ de dim. 1. L'énoncé dans ce cas est dû à P. A. Griffiths. plus bas tout l'alinéa a) est encadré d'un trait en marge gauche, accompagné du renvoi « plus bas ».

b) La démonstration qui sera […] ⌜donnée⌝ en fait une filtration canonique de $E$, qui sera en plus invariante sous l'action de $\pi$ tout entier, pas seulement de $I$. Elle sera étudiée plus bas de façon arithmétique […] […] […] […] suite :

Corollaire 3.5 […] Soit $X$ $U$ lisse […] ⌜$n \geq 0$, et⌝ ⌜[…] de dimension⌝ […] de type fini sur $K$ ⌜propre⌝ […].

(i)Pour toute extension finie ($K'$ de $K$, si $S'$ est le normalisé de $S$ dans $K'$, la résolution des singularités forte est possible pour les schémas de type fini $X'$ sur $\hat S'$ de dimension relative $\leq n$.
(ii)Pour tout $K$, […], $X'$ comme dessus, avec $X'$ régulier, et […] diviseur régulier $Y'$ de $X'_\eta$ de $K$.

l'énoncé de 3.5 est très repris ; la phrase (ii) se poursuit en haut de la page suivante.

98p. 14 de l'auteur.

de pureté cohomologique est vraie pour le couple $(X', Y')$ et pour $\ell$.

⌜Soit $U$ lisse quasi-projectif sur $K$, et,⌝ Sous ces conditions, (pour tout entier $i$, l'action du groupe d'inertie $I$ sur […] $H^i(Y_{\bar K}, \mathbf{Z}_\ell)$ est essentiellement ⌜[…]⌝ unipotente d'échelon $i + 1$.

Dém. En vertu de I […], on peut supposer $S = \hat S$. On peut supposer que ⌜comme $U$ est quasi-projectif ⌜de dim. relative $n$⌝,⌝ […] […] $\exists$ $X$ projectif propre sur $S$ (⌜[…]⌝ $=$ projectif sur $S$), plat, […] de dim. relative $n$. On peut supposer $X =$ adhérence schématique de $U$, donc $X$ plat sur $S$ et $X$ réduit. Notons ⌜Remarquons⌝ que l'hypothèse de limite […] sur $\mathbf{Z}_\ell$ cohomologique […] $H^i(U_{\bar K}, \mathbf{Z}/\ell\mathbf{Z})$ fini, donc $E = H^i(U_{\bar K}, \mathbf{Z}_\ell)$ de t.f. sur $\mathbf{Z}_\ell$. Quitte : faire une extension finie ⌜séparable⌝ sur $K$, on peut supposer que l'action de $P$ sur $E$ est triviale (cf. I …). Utilisant la résolution des singularités, ⌜(hyp. (i))⌝ on est ramené au cas $X$ régulier, et $Y = X - U$ un diviseur à croisements normaux. Ou pour appliquer 3.2 grâce à l'hypothèse (ii), et on gagne. « $H^i(Y_{\bar K}, \mathbf{Z}_\ell)$ » est bien écrit $Y$ sur la page, sur une écriture biffée ; la démonstration demande $U$.

Remarque 3.6. Si on admet le résultat de […] tient de Hironaka, la démonstration précédente montre

99p. 15 de l'auteur.

sans supposer $U$ quasi-projectif sur $K$, mais seulement de t.f. et sép. D'autre part, les réductions faites à la fin ⌜dans⌝ de I […] nous permettent de conclure :

Corollaire 3.7⌜7⌝ Sous les conditions (i) (ii) de 3.5, pour tout $U$ schéma de type ⌜fini⌝ sur $K$, $H^i(U_{\bar K}, \mathbf{Z}_\ell)$ est de t.f. sur $\mathbf{Z}_\ell$ et l'action du groupe d'inertie $I$ sur […] lui est essentiellement unipotente. Même résultat pour $H^i_!(U_{\bar K}, \mathbf{Z}_\ell)$, pourvu que $U$ soit […] ⌜séparé⌝ sur $K$.

Remarques 3.8. […] a) ⌜Pour⌝ l'instant, 3.5 ⌜et 3.7⌝ ne s'applique […] que dans […] n'est utilisable que […] 3.2 […] quand $S$ est de caractéristique nulle, en utilisant les résultats de Hironaka [ ] et d'Artin SGA 4 $\overline{\text{XIX}}$ … . D'autre part, lorsqu'on dispose de la résolution des singularités pour […] pour les schémas de type fini sur […] […] ⌜[…] dimension […]⌝ un corps $k_0$ ⌜[…] […]⌝, utilisant le th. de pureté SGA 4 $\overline{\text{XV}}$ … on voit ⌜aisément⌝ que les conclusions ⌜[…]⌝ ⌜relatif⌝ à partir de chasses pris comme pour 3.5), que les les schémas […] […] […] […] […] […] […] 3.5 à 3.7, lorsque $S$ est […] ⌜[…]⌝ […] ⌜hensélisé strict⌝ d'un schéma de type fini sur […] $k_0$.

b) Lorsque $n = 1$, dans qui Abhyankar [ ] la condition (i) de 3.5 est toujours satisfaite. On ne sait cependant s'il en est de […] la phrase se poursuit sur la page suivante.

100p. 16 de l'auteur.

la condition (ii). Cependant, la démonstration que nous donnerons ⌜au § 5⌝ de (3.2) montre que si le th. de pureté est satisfait pour les $(X, Y^{(\lambda)})$ quelconques de dimension $\leq i$, alors la conclusion sur $H^i(U_{\bar K}, \mathbf{Z}_\ell)^P$ reste valable. Or la cette condition est toujours satisfaite pour $i = 1$, (c'est alors un résultat de ⌜Nagata⌝ Zariski (SGA 2 …), […] th. de pureté ordinaire de Zariski–Nagata (SGA 1 …). Le raisonnement de Nous cf. plus bas … 3.5 donne donc […] ⌜ceci⌝ : la fin de b) est surchargée : « Nagata » est écrit au-dessus de « Zariski », et l'ordre des renvois entre les deux parenthèses est incertain.

Corollaire 3.[…]⌜9⌝. Soit $X_K$ une […] ⌜courbe algébrique⌝ lisse de dim. $\leq 1$ sur $K$ lisse sur $K$, alors l'action du groupe d'inertie $I$ sur $H^1(X_{\bar K}, \mathbf{Z}_\ell)$ est ess. unipotente d'échelon 2. Grâce à la réduction II 5.4, on en conclut

Corollaire 3.10. Soit $X_K$ un schéma […] de type fini sur $K$. Alors $E = H^1(X_{\bar K}, \mathbf{Z}_\ell)$ est de t.f., et l'action du groupe d'inertie sur $E$ est ess. unipotente d'échelon 3, […] et même ess. unipotente d'échelon 2 si $X$ est normal. le numéro du premier corollaire est récrit en 3.9 ; celui du second est lu 3.10 sur la marge, sous un trait. La page s'arrête là ; la suite de l'exposé est hors de ce lot.

Bibliographie

Exposé III. Le théorème de monodromie par voie géométrique

1. Comparaison de la cohomologie des fibres ⌜géométriques⌝ spéciale et de la fibre spéciale et générale : les suites exactes des cycles évanescents

2. Comparaison entre la cohomologie de la fibre spéciale et générique par la suite spectrale de Leray

3. Cas où ⌜\(X\) régulier et⌝ \(Y = X - U\) est un diviseur à croisements normaux