Bibliographie

[1] A. Grothendieck, Un th. sur les hom. de schémas abéliens, Invent. Math. 2, 59–78 (1966).

[2] S. Lang,

[3] J.-P. Serre – J. Tate, Good reduction of abelian varieties.

[4] Shimura – Taniyama, Complex multiplication of abelian varieties, Publ. of Math. Soc. of Japan, n° 6 (1961).

L'entrée [2] est restée inachevée.

1. Comparaison de la cohomologie des fibres géométriques spéciale et de la fibre spéciale et générale : les suites exactes des cycles évanescents

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] X \arrow[d, no head] & X_K \arrow[d, no head] & X_{\bar K} \arrow[d, no head] \\ S \arrow[dr, no head] & K \arrow[dr, no head] & \bar K \\ & \tilde S \arrow[r, no head] & \tilde K \end{tikzcd}

Notations de I 1.1. On suppose donné X propre sur S, d'où X_\eta = X_K sur \eta = \operatorname{Spec} K, et on se propose de déterminer donner des relations entre H^i(X_{\bar s}) et H^i(X_{\bar\eta}) (coefficients \Lambda_\nu = \mathbf{Z}/\ell^{\nu+1}\mathbf{Z} ou \mathbf{Z}_\ell = \varprojlim_\nu \Lambda_\nu). On verra que cette question est liée intimement à celle des opérations de \pi sur H^i(X_{\bar\eta}) ; [par exemple on un isomorphisme H^i(X_s) \simeq H^i(X_{\bar s})^{\pi}].

Quitte à remplacer S par \tilde S, on peut supposer pour simplifier les notations que S est strictement local (et = complet si on y tient…), quand \ell \neq \operatorname{car} K). On a (1.1) \qquad \bar K = \varinjlim_{\alpha} K_\alpha , K_\alpha les sous-extensions finies de K, d'où (1.2) \qquad X_{\bar\eta} = \varprojlim_{\alpha} X_\alpha , \qquad \text{où } X_\alpha = X_{K_\alpha}, sous les limites de (1.1) et (1.2), l'indice ressemble à un i ; dans (1.1) et (1.2), un indice écrit après K_\alpha, resp. X_\alpha, est biffé. et (1.3) \qquad H^*(X_{\bar\eta}, \Lambda_\nu) = \varinjlim_{\alpha} H^*(X_{\bar K_\alpha}, \Lambda_\nu) . Soit S_\alpha = \operatorname{Spec} V_\alpha, le normalisé de S dans K_\alpha, qui est encore strict. local, et soit s_\alpha le pt fermé de S_\alpha, \eta_\alpha le pt générique, et soit (1.4) \qquad X_\alpha = X \times_S S_\alpha , \qquad X_{\alpha 0} = X_{\alpha s_\alpha} = X_0 \otimes_k k_\alpha .

p. 2 de l'auteur.

La fibre spéciale de X_\alpha est \text{\struck{$X_{\alpha s_\alpha} = X_0 \otimes_k k_\alpha$}} où X_0 = X_s, et k_\alpha = k(s_\alpha) est une extension finie donc radicielle de k.

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] X \arrow[r, no head] \arrow[d, no head] & X_\alpha \arrow[r, no head] \arrow[d, no head] & X_\beta \arrow[d, no head] \\ S \arrow[r, no head] & S_\alpha \arrow[r, no head] & S_\beta \end{tikzcd}

Donc X_{\alpha s_\alpha} \to X_s induit un isomorphisme pleinement (1.5) \qquad H^*(X_s) \xrightarrow{\ \sim\ } H^*(X_{\alpha s_\alpha}) . après chacun des deux membres de (1.5), un coefficient \Lambda_\nu est biffé. D'autre part, le diagramme dans le diagramme commutatif

(1.6)

\begin{tikzcd} H^*(X) \arrow[r] \arrow[d, "\wr"] & H^*(X_\alpha) \arrow[d, "\wr"] \\ H^*(X_s) \arrow[r] & H^*(X_{\alpha, s_\alpha}) \end{tikzcd}

les flèches verticales sont déjà des isomorphismes, car X/S et X_\alpha/S_\alpha propres propres sur S. Donc (1.7) \qquad H^*(X) \xrightarrow{\ \sim\ } H^*(X_\alpha) .

Considérons maintenant les suites exactes de cohomologie relative sur X_\alpha, mod. l'ouvert X_{\eta_\alpha} : \begin{aligned} & (1.8) \qquad \cdots \to H^i_{X_{\alpha 0}}(X_\alpha, \Lambda_\nu) \to H^i(X_\alpha, \Lambda_\nu) \to H^i(X_{\eta_\alpha}, \Lambda_\nu) \\ & \qquad \to H^{i+1}_{X_{\alpha, 0}}(X_{\eta_\alpha}, \Lambda_\nu) \to \cdots \end{aligned} dans le dernier terme de (1.8), l'indice \eta_\alpha est surchargé et douteux. Passant à la limite sur \alpha, et utilisant (1.3) et (1.7), on trouve une suite exacte (1.9) \qquad \cdots \to \Phi^i_\nu \to H^i(X_s, \Lambda_\nu) \to H^i(X_{\bar\eta}, \Lambda_\nu) \to \Phi^{i+1}_\nu \to \cdots où on a (1.10) \qquad \Phi^i_\nu = \varinjlim_\alpha H^i_{X_{\alpha 0}}(X_\alpha, \Lambda_\nu) .

p. 3 de l'auteur.

1.11. Le groupe \Phi^i_\nu peut être appelé groupe des cycles évanescents en dimension i (de X/S et les coeff. \Lambda_\nu), et la suite exacte (1.9) la suite exacte des cycles évanescents. Les cycles évanescents s'introduisent ici comme mesurant « l'écart » entre la cohomologie de X_s et de X_{\bar\eta} (fibres géométriques spéciale et générale). Passant à la limite projective sur \nu, on trouve (les groupes de la suite (1.9) étant finis de type fini) (1.9\ \text{bis}) \qquad \cdots \to \Phi^i \to H^i(X_s, \mathbf{Z}_\ell) \to H^i(X_{\bar\eta}, \mathbf{Z}_\ell) \to \Phi^{i+1} \to \cdots , avec (1.10\ \text{bis}) \qquad \Phi^i = \varprojlim_\nu \Phi^i_\nu = \varprojlim_\nu \varinjlim_\alpha H^i_{X_{\alpha 0}}(X_\alpha, \Lambda_\nu) . 1.12. Nous appellerons aussi (1.9 bis) suite exacte des cycles évanescents pour les coeff. \mathbf{Z}_\ell, et \Phi^i le groupe des cycles évanescents en dim. i pour les coeff. \mathbf{Z}_\ell.

1.12. Passage du local au global. Pour calculer les \Phi^i_\nu, il y a lieu utilisant la réunion (1.10), on regarde pour chaque \alpha la suite spectrale (1.13) \qquad H^*_{X_{\alpha 0}}(X_\alpha, \Lambda_\nu) \Longleftarrow E_2^{pq} = H^p(X_{\alpha 0}, \underline{H}^q_{X_{\alpha 0}}(\Lambda_{\nu X_\alpha})) . Les foncteurs spectraux, pour \alpha variable, forment un système inductif, et donnent à la limite (compte tenu que X_{\alpha 0} \to X_0 induit une équivalence des sites étales)

p. 4 de l'auteur. (1.14) \qquad \Phi^*_\nu \Longleftarrow E_2^{pq} = H^p(X_0, \underline{\Phi}^q_\nu) où \underline{\Phi}^q_\nu est un faisceau sur X_0 qui, via identification de X_{\alpha 0} avec X_0, peut s'écrire (1.15) \qquad \underline{\Phi}^q_\nu = \varinjlim_\alpha \underline{H}^*_{X_{\alpha 0}}(\Lambda_{\nu X_\alpha}) . l'exposant du membre de droite de (1.15) est bien une étoile sur la page, là où l'on attend q. Le calcul de ces faisceaux sur X_0 est de nature locale sur X. [Sous réserve que de vérifications de passages à la limite, on conclut de même (1.14\ \text{bis}) \qquad \Phi^* \Longleftarrow E_2^{pq} = H^p(X_0, \underline{\Phi}^q) avec (1.15\ \text{bis}) \qquad \underline{\Phi}^q = \varprojlim_\nu \underline{\Phi}^q_\nu , mais que nous n'utiliserons pas telles quelles. Il faudrait justifier que le système projectif (\underline{\Phi}^q_\nu)_{\nu \geq 1} définit un faisceau \ell-adique sur X…).]

1.16. On trouve ainsi un principe de localisation fort utile pour comparer la cohomologie de X_s et de X_{\bar\eta}. Notons par exemple, que le théorème que si X \to S est lisse (et \ell \neq p) que (le théorème de pureté pour l'immersion s \to S, et le th. de changement de base lisse, montrent que pour tous points X_\alpha est lisse sur S_\alpha :) \underline{H}^i_{X_{\alpha 0}}(\Lambda_{\nu X_\alpha}) est nul pour i \neq 2, et \underline{H}^2_{X_{\alpha 0}}(\Lambda_{\nu X_\alpha}) \simeq \bigl(\mu_{\ell^\nu}^{\otimes(-1)}\bigr)_{X_{\alpha 0}} si i = 2. dans « nul pour i \neq 2 », le chiffre ressemble à un 0 ; le \underline{H}^2 du membre de gauche est surchargé. On en conclut que \underline{\Phi}^i_\nu = 0 si i \neq 2, et \underline{\Phi}^2_\nu = \text{\struck{$\ill{}$}}\ \varinjlim_\alpha (\mu_{\ell^\nu})_{X_{\alpha 0}} . Il faut déterminer les

p. 5 de l'auteur.

(cont. au faisceau, interprétés comme le faisceau \mu_{\ell^\nu} sur X_0.) morphismes de transition. On trouve que si S_\alpha est de degré n_\alpha sur S, donc S_\beta de degré n_{\alpha\beta} = n_\beta/n_\alpha sur S_\alpha (si \beta \geq \alpha), (On est ramené à faire la vérification pour X = S…) dans le morphisme de transition est la multiplication par n_{\alpha\beta}. On en conclut aussitôt que \underline{\Phi}^2_\nu = \varinjlim (\mu_{\ell^\nu}) est égal à zéro. Donc on a \underline{\Phi}^i_\nu = 0 pour tout i, \nu, d'où On en déduit grâce à (1.14) que \Phi^i_\nu = 0 pour tout i, \nu, puis grâce à (1.9) que (1.16.1) \qquad H^i(X_s, \Lambda_\nu) \xrightarrow{\ \sim\ } H^i(X_{\bar\eta}, \Lambda_\nu) (X lisse sur S, \ell \neq p) : le th. de spécialisation de la cohomologie pour les morphismes propres et lisses (SGA 4 \overline{\text{XVI}} …). [Bien avec des ).

Compte tenu de la nature locale des \underline{\Phi}^i_\nu, on conclut de ce qui précède la

Proposition 1.17. Soit T l'ensemble des x \in X_0 en lesquels f : X \to S X \to S n'est pas lisse, et supposons \ell \neq p. Alors les faisceaux \underline{\Phi}^i_\nu des cycles évanescents sont à support dans T.

1.18. Supposons par exemple que les points de T soient fermés T soit discret. Alors dans (1.14) on a E_2^{pq} = 0 pour p \neq 0, donc on trouve des isomorphismes

p. 6 de l'auteur. (1.18) \qquad \Phi^i_\nu = \sum_{t \in T} (\underline{\Phi}^i_\nu)_t , où (1.19) \qquad (\underline{\Phi}^i_\nu)_t = \varinjlim_\alpha \underline{H}^i_{X_{\alpha 0}}(\Lambda_{\nu X_\alpha})_{t_\alpha} où t_\alpha est l'unique point de X_\alpha au-dessus de t. On voit donc que dans le cas où l'ensemble T des pts de X_0 où f n'est pas lisse est fini, le calcul des groupe \Phi^i_\nu des cycles évanescents (au sens de la top. étale) est une somme de termes purement locaux relatifs aux différents points de t]. Nous donnerons plus loin des exemples d'application de ce principe à des cas particuliers intéressants.

1.20. Mais nous donnons d'abord ici une autre variante de la méthode précédente pour formuler les relations entre la cohomologie de X_s et de X_{\bar\eta}, qui servira plus commodément dans la démonstration (directe) du th. de monodromie. On constate aisément que :

Notons toutefois que, par construction même, le groupe d'inertie I = \operatorname{Gal}(\bar K/K) opère sur les faisceaux \underline{\Phi}^i_\nu, que la suite spectrale (1.14) peut être interprétée comme une suite spectrale de I-modules, et la suite exacte (1.9) comme une suite exacte de I-modules, I opérant trivialement sur H^*(X_s, \Lambda_\nu) la limite. (Il serait possible de prouver le th. de

p. 7 de l'auteur.

monodromie, dans les cas traités plus bas, en prouvant que l'action de I sur chacun des \underline{\Phi}^i est quasi unipotente, en prouvant bien ceci, que affirmant des l'action sur chacun des faisceaux \ell-adiques \underline{\Phi}^i est essentiellement triviale, et mieux, qu'il existe un sous-groupe ouvert I' de I qui opère trivialement sur tous les \underline{\Phi}^i_\nu (i, \nu variables). Les calculs pourraient On a là un résultat de nature purement locale sur X, qui est accessible au calcul dans des conditions favorables, comme nous examinerons au n° suivant.

1.21. Généralisation des développements précédents au cas d'un ouvert U de la fibre générique. (X très propre sur S). Soit Y = X - U \supset X_0. Dans ce cas on trouve encore une suite exacte des cycles évanescents (1.22) \qquad \cdots \to \Phi^i_\nu \to H^i(X_s, \Lambda_\nu) \to H^i(U, \Lambda_\nu) \to \Phi^{i+1}_\nu \to \cdots avec (1.23) \qquad \Phi^i_\nu = \varinjlim_\alpha H^i_{Y_\alpha}(X_\alpha, \Lambda_\nu) , où Y_\alpha est l'image inverse de Y_\alpha dans X_\alpha. La suite spectrale de localisation s'écrit (1.14) \qquad \Phi^*_\nu \Longleftarrow E_2^{pq} = H^p(X_0, \underline{\Phi}^q_\nu) , (1.15) \qquad \underline{\Phi}^q_\nu = \varinjlim_\alpha \bigl(\underline{H}^q_{Y_\alpha}((\Lambda_\nu)_{X_\alpha}) \,|\, X_{\alpha 0}\bigr) . les numéros (1.14) et (1.15) sont repris tels quels sur la page ; dans (1.23), un premier argument de H^i est biffé et l'indice Y_\alpha récrit sous le H ; « image inverse de Y_\alpha » est sur la page, là où l'on attend Y.

p. 8 de l'auteur.

1.26. Restriction aux revêtements modérément ramifiés de S.

Comme on verra par la suite, le calcul des \underline{H}^i(\Lambda_{\nu X_\alpha})l'indice Y_\alpha de \underline{H}^i est biffé. peut se faire, parfois, à condition de se borner aux S_\alpha qui sont modérément ramifiés sur S, correspondant donc aux sous-extensions finies de l'extension \bar K_t \subset \bar K, correspondant au p-sous-groupe de Sylow P de I. suite La suite La suite exacte de Hochschild–Serre pour le groupe P donnant U_{\bar K} \to U_{\bar K_t} H^*(U_{\bar K_t}, \Lambda) \Longleftarrow E_2^{p,q} = H^p(P, H^q(U_{\bar K}, \Lambda_\nu)) , et on a E_2^{pq} = 0 si p \neq 0, car H^q(U_{\bar K}, \Lambda_\nu) est de \ell-torsion, \ell \neq p. Donc on trouve (1.27) \qquad H^*(U_{\bar K_t}, \Lambda_\nu) \xrightarrow{\ \sim\ } H^*(U_{\bar K}, \Lambda_\nu)^P , invariants sous le groupe de P-Sylow. D'ailleurs, le premier membre est aussi isomorphe à \varinjlim_\alpha H^*(U_{K_\alpha}, \Lambda_\nu) , où K_\alpha parcourt les sous-extensions finies de \bar K_t, dont qui sont , les (1.28) \qquad K(n) = K(\pi^{1/n}) \qquad \text{pour } (p, n) = 1 .

p. 9 de l'auteur.

[On trouve donc une suite exacte de la forme (1.29), mais écrire H^i(U_{\bar\eta}, \mathbf{Z}_\ell) au lieu de H^i(U_{\bar\eta}, \mathbf{Z}_\ell)^P. ajout en haut de page, séparé du texte par un trait.

On trouve donc une suite exacte \begin{aligned} & (1.29) \qquad \cdots \to (\Phi^i_\nu)_{\mathrm{mod}} \to H^i(X_s, \Lambda_\nu) \\ & \qquad \to H^i(U_{\bar\eta}, \Lambda_\nu)^P \to (\Phi^{i+1}_\nu)_{\mathrm{mod}} \to \cdots \end{aligned} avec (1.30) \qquad (\Phi^i_\nu)_{\mathrm{mod}} = \varinjlim_{(n,p)=1} H^i_{Y_n}(X_n, \Lambda_\nu) , où X_n = X \times_S S(n), S(n) le normalisé de S dans K(n), Y_n l'image inverse de Y = X - U dans X(n). La suite spectrale de localisation est ici (1.31) \qquad (\Phi^*_\nu)_{\mathrm{mod}} \Longleftarrow E_2^{pq} = H^p(X_0, (\underline{\Phi}^q_\nu)_{\mathrm{mod}}) avec (1.32) \qquad (\underline{\Phi}^q_\nu)_{\mathrm{mod}} = \varinjlim_{(n,p)=1} \bigl(\underline{H}^q_{Y(n)}((\Lambda_\nu)_{X(n)}) \,|\, X(n)_0\bigr) , où X(n)_0 est la restriction de fibre spéciale de X(n), identifiée (comme site étale) à X_0. l'indice « mod » de (1.29) à (1.32) est écrit en abrégé, sous une forme proche de « \mathrm{tame} » ou « \mathrm{dam} » ; la lecture « mod » (modéré) est celle du titre de 1.26.

[Cette suite exacte () et celle qu'on en déduit par \varprojlim_\nu sont surtout utiles si P opère trivialement sur H^*(U_{\bar\eta}, \mathbf{Z}_\ell), conditions qui sera vérifiée en tous cas après extension finie de S (cf. I).] (conséquence de sur \mathbf{Z}_\ell)

1.33. Les développements précédents valent tels quels (si on remplace P par n'importe quel sous-groupe invariant fermé Q de I tel que I tel que I/Q soit « premier à \ell », i.e. \mathbf{Z}_\ell(1) de I_t, de I/p. Un cas particulier qui est celui où I/Q \simeq \mathbf{Z}_\ell(1) est quotient , ce qui signifie qu'on fait parcourir à K_\alpha les K(n) avec n de la forme \ell^r.

p. 10 de l'auteur.

2. Comparaison entre la cohomologie de la fibre spéciale et générique par la suite spectrale de Leray

2.1. X propre sur S, U ouvert de X_\eta. La suite spectrale de localisation cohomologie ultime sera ici remplacée, essentiellement, par la suite spectrale des (légèrement différente) U_\alpha \to X_\alpha, plutôt par la limite de ces suites spectrales. plus Nous ne supposons pas ici que X soit nécessairement lisse, ce qui nous laissera toutefois saisir les opérations de \pi dans cette situation, de I seulement, lequel ne : , en plus de l'ouvert U de X_\eta, et de \bar U, \bar X = X_{\bar\eta}, les schémas analogues \tilde X et \tilde U sur \tilde S. mais Le groupe \pi opère sur la situation

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] \tilde U & \bar U \arrow[l] \\ \tilde X \arrow[u, hook] & \bar X \arrow[l] \arrow[u, hook] \end{tikzcd}

le sous-groupe I opérant par \bar X-automorphismes.

(2.2)

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] U \arrow[d, hook] & \tilde U \arrow[d, hook] & \bar U = U_{\bar\eta} \arrow[d, hook] \\ X \arrow[d, no head] & \tilde X \arrow[l] \arrow[d, no head] & \bar X = X_{\bar\eta} \arrow[l, "g"'] \arrow[d, no head] \\ S & \tilde S \arrow[l] & \bar S \arrow[l, no head] \end{tikzcd}

dans (2.2) et dans le petit carré inséré plus haut, les inclusions des ouverts sont dessinées comme des symboles \subset verticaux ; la flèche horizontale du bas, de \bar S vers \tilde S, est un trait sans pointe.

Nous considérons la suite spectrale de Leray pour le composé \bar U \to \tilde X (2.3) \qquad \tilde X \xleftarrow{\ g\ } \bar U , au-dessus de « composé », \bar U est récrit et biffé d'un trait épais. on trouve (2.4) \qquad H^*(\bar U, \Lambda_\nu) \Longleftarrow E_2^{pq} = H^p(\tilde X, R^q g_*((\Lambda_\nu)_{\bar U})) . On peut considérer cette suite spectrale comme une suite La th. de changement de base propre permet de l'écrire sous la forme

p. 11 de l'auteur. (2.5) \qquad H^*(\bar U, \Lambda_\nu) \Longleftarrow E_2^{pq} = H^p(\tilde X_0, \underline{\Psi}^q_\nu) avec (2.6) \qquad \underline{\Psi}^q_\nu = R^q g_*((\Lambda_\nu)_{\bar U} \,|\, \tilde X_0) = \varinjlim_\alpha R^q g_{\alpha *}((\Lambda_\nu)_{U_\alpha}) \,|\, \tilde X_0 , où on a écrit \bar K = \varinjlim_\alpha K_\alpha (K_\alpha sous-extensions finies de \bar K/\tilde K), g_\alpha : U \times_S S_\alpha \to \tilde X l'homom. canonique.

2.7. le calcul des faisceaux \underline{\Psi}^q_\nu est de nature locale sur \tilde X. Notons d'ailleurs les relations faisceaux avec ceux des les faisceaux \underline{\Phi}^q_\nu du n° 1 (que nous n'utiliserons pas) (2.8) \qquad \begin{cases} \underline{\Phi}^q_\nu = \underline{\Psi}^{q-1}_\nu & \text{si } q \geq 2 \\ 0 \to \underline{\Phi}^0_\nu \to (\Lambda_\nu)_{X_0} \to \underline{\Psi}^0_\nu \to \underline{\Phi}^1_\nu \to 0 . \end{cases} Donc, à part le décalage près, ce sont les faisceaux \underline{\Psi}^q_\nu sont les faisceaux de cycles évanescents pour \tilde X/\tilde S et l'ouvert \bar U de \tilde X_{\tilde\eta} (coeffts \Lambda_\nu).

2.9. Il y a lieu de considérer (2.5) comme une suite spectrale de \pi-modules, et l'expression (2.6) comme une de faisceaux sur \tilde X_0 où \pi opère, de façon compatible avec ses opérations sur \tilde X_0 ( via \pi_0). Nous nous intéressons d'abord l'action du sous-groupe d'inertie I.

2.10. On peut donner aussi une variante évidente des développements précédents, en remplaçant \bar K par \bar K_t, cf. 1.26. On trouve

p. 11' de l'auteur ; demi-feuille. (2.5\ \text{bis}) \qquad H^*(\bar U, \Lambda_\nu)^P \Longleftarrow E_2^{pq} = H^p(\tilde X_0, (\underline{\Psi}^q_\nu)_{\mathrm{mod}}) , avec \begin{aligned} & (2.6\ \text{bis}) \qquad (\underline{\Psi}^q_\nu)_{\mathrm{mod}} = R^q g_{t *}((\Lambda_\nu)_{U_{\bar K_t}}) \,|\, \tilde X_0 \\ & \qquad = \varinjlim_{(n,\ell)=1} R^q g_{n *}((\Lambda_\nu)_{U_{K(n)}}) \,|\, \tilde X_0 , \end{aligned} où K(n) = \tilde K(\pi^{1/n}) \subset \bar K_t \subset \bar K et g_n : U_{K(n)} \to \tilde X est la projection canonique. (2.5 bis) et (2.6 bis) sont des numéros corrigés, récrits sur (2.5) et (2.6) ; dans (2.6 bis), un exposant de g est biffé ; sous la limite, la condition est bien écrite (n, \ell) = 1, là où 1.28 porte (p, n) = 1.

p. 11'' de l'auteur ; demi-feuille, d'une encre plus pâle.

Remarque 2.78. Il semble plausible qu'on doive pouvoir montrer, lorsqu'on dispose de la résolution des singularités (ou les \underline{\Psi}^{(q)}_\nu, c'est pareil), que les faisceaux \underline{\Phi}^{(q)}_\nu sont constructibles si \ell \neq p, et que pour \nu variable, le système projectif des (\underline{\Phi}^{(q)}_\nu) (ou \underline{\Psi}^{(q)}_\nu) définit un faisceau donnant un système projectif dans la catégorie des faisceaux \ell-adiques constructibles. S'il en était ainsi, on déduirait par passage à la limite, à partir des () (1.14) , resp. (2.5), des suites spectrales cohomologiques des faisceaux \ell-adiques. C'est ce qui constituera dans un cas particulier typique au n° 5, et il est plausible que le cas général puisse s'y ramener par les arguments standard, via la résolution des singularités. le numéro de la remarque est surchargé (7 et 8) ; le n° « 5 » final est récrit sur un autre chiffre.

p. 12 de l'auteur.

(Énoncé du th. principal et de ses corollaires)

3. Cas où X régulier et Y = X - U est un diviseur à croisements normaux

On suppose \ell \neq p.

Un premier départ de 3.1 est barré de traits obliques : Dans le résultat qui suit, … d'inertie … () … supposons que S soit local … ; puis une ligne barrée : correspondant .

3.1. Hypothèses : X régulier, Y diviseur à croisements normaux, (relativement au changement de base \tilde S \to S). Nous supposons en tout ce chapitre plus que X régulier satisfait aux propriétés de cohomologie (cf. 4.1) Nous supposons que si U est propre sur K (et ses réguliers) H^*(U_{\bar K}, \mathbf{Z}/\ell\mathbf{Z}) est fini, ce qui suit un passage de deux à trois lignes rayé à grandes boucles, avec une note encerclée en marge, elle aussi rayée ; seuls des fragments surnagent (« résultat », « (X, Y) », « tout schéma … »).

Théorème 3.2. Avec les hypothèses du titre 3 et de 3.1 (), H^i(U_{\bar K}, \mathbf{Z}_\ell) est fini les opérations H^i(U_{\bar K}, \mathbf{Z}_\ell) est un \mathbf{Z}_\ell-module de type fini et l'action du groupe d'inertie I sur E = H^i(U_{\bar K}, \mathbf{Z}_\ell)^P est essentiellement unipotente (Plus où P est le p-sous-groupe de Sylow de I, cf. I ).

Plus précisément, posons ( \text{\struck{$X_0$}}\ \text{\struck{$Y_0$}} \qquad X_0 = \sum m_\lambda X_0^{(\lambda)} (cycle diviseur sur X), où les X_0^{(\lambda)} sont les composantes irréductibles de X_0, et les m_\lambda > 0. Soit m le ppcm des m_\lambda, et m' le composant premier à p de m, et I' le sous-groupe ouvert d'indice m' de I. Alors l'action de I' sur E = H^i(U_{\bar K}, \mathbf{Z}_\ell)^P est unipotente d'échelon \leq i+1 , i.e. il y a une filtration de E, par des P, invariante sous I', ayant i + 1 quotients, et l'action de I' sur les \operatorname{gr}^p(E) est triviale. En d'autres termes,

p. 13 de l'auteur.

si g est un générateur topologique de I_t = I/P (hommage !), g_E son action sur E, on a la relation (3.3) \qquad (\mathrm{id} - g_E^{m'})^{i+1} = 0 .

Remarque 3.4. a) La démonstration que nous donnerons au § 5 donne également, mutatis mutandis, dans le cas analytique complexe, pour un morphisme f : X \to S d'espaces analytiques, S régulier (auquel cas il n'y a plus lieu d'introduire P !) de dim. 1. L'énoncé dans ce cas est dû à P. A. Griffiths. plus bas tout l'alinéa a) est encadré d'un trait en marge gauche, accompagné du renvoi « plus bas ».

b) La démonstration qui sera donnée en fait une filtration canonique de E, qui sera en plus invariante sous l'action de \pi tout entier, pas seulement de I. Elle sera étudiée plus bas de façon arithmétique suite :

Corollaire 3.5 Soit X U lisse n \geq 0, et de dimension de type fini sur K propre .

(i)Pour toute extension finie (K' de K, si S' est le normalisé de S dans K', la résolution des singularités forte est possible pour les schémas de type fini X' sur \hat S' de dimension relative \leq n. (ii)Pour tout K, , X' comme dessus, avec X' régulier, et diviseur régulier Y' de X'_\eta de K.

l'énoncé de 3.5 est très repris ; la phrase (ii) se poursuit en haut de la page suivante.

p. 14 de l'auteur.

de pureté cohomologique est vraie pour le couple (X', Y') et pour \ell.

Soit U lisse quasi-projectif sur K, et, Sous ces conditions, (pour tout entier i, l'action du groupe d'inertie I sur H^i(Y_{\bar K}, \mathbf{Z}_\ell) est essentiellement unipotente d'échelon i + 1.

Dém. En vertu de I , on peut supposer S = \hat S. On peut supposer que comme U est quasi-projectif de dim. relative n, \exists X projectif propre sur S ( = projectif sur S), plat, de dim. relative n. On peut supposer X = adhérence schématique de U, donc X plat sur S et X réduit. Notons Remarquons que l'hypothèse de limite sur \mathbf{Z}_\ell cohomologique H^i(U_{\bar K}, \mathbf{Z}/\ell\mathbf{Z}) fini, donc E = H^i(U_{\bar K}, \mathbf{Z}_\ell) de t.f. sur \mathbf{Z}_\ell. Quitte : faire une extension finie séparable sur K, on peut supposer que l'action de P sur E est triviale (cf. I …). Utilisant la résolution des singularités, (hyp. (i)) on est ramené au cas X régulier, et Y = X - U un diviseur à croisements normaux. Ou pour appliquer 3.2 grâce à l'hypothèse (ii), et on gagne. « H^i(Y_{\bar K}, \mathbf{Z}_\ell) » est bien écrit Y sur la page, sur une écriture biffée ; la démonstration demande U.

Remarque 3.6. Si on admet le résultat de tient de Hironaka, la démonstration précédente montre

p. 15 de l'auteur.

sans supposer U quasi-projectif sur K, mais seulement de t.f. et sép. D'autre part, les réductions faites à la fin dans de I nous permettent de conclure :

Corollaire 3.77 Sous les conditions (i) (ii) de 3.5, pour tout U schéma de type fini sur K, H^i(U_{\bar K}, \mathbf{Z}_\ell) est de t.f. sur \mathbf{Z}_\ell et l'action du groupe d'inertie I sur lui est essentiellement unipotente. Même résultat pour H^i_!(U_{\bar K}, \mathbf{Z}_\ell), pourvu que U soit séparé sur K.

Remarques 3.8. a) Pour l'instant, 3.5 et 3.7 ne s'applique que dans n'est utilisable que 3.2 quand S est de caractéristique nulle, en utilisant les résultats de Hironaka [ ] et d'Artin SGA 4 \overline{\text{XIX}} … . D'autre part, lorsqu'on dispose de la résolution des singularités pour pour les schémas de type fini sur dimension un corps k_0 , utilisant le th. de pureté SGA 4 \overline{\text{XV}} … on voit aisément que les conclusions relatif à partir de chasses pris comme pour 3.5), que les les schémas 3.5 à 3.7, lorsque S est hensélisé strict d'un schéma de type fini sur k_0.

b) Lorsque n = 1, dans qui Abhyankar [ ] la condition (i) de 3.5 est toujours satisfaite. On ne sait cependant s'il en est de la phrase se poursuit sur la page suivante.

p. 16 de l'auteur.

la condition (ii). Cependant, la démonstration que nous donnerons au § 5 de (3.2) montre que si le th. de pureté est satisfait pour les (X, Y^{(\lambda)}) quelconques de dimension \leq i, alors la conclusion sur H^i(U_{\bar K}, \mathbf{Z}_\ell)^P reste valable. Or la cette condition est toujours satisfaite pour i = 1, (c'est alors un résultat de Nagata Zariski (SGA 2 …), th. de pureté ordinaire de Zariski–Nagata (SGA 1 …). Le raisonnement de Nous cf. plus bas … 3.5 donne donc ceci : la fin de b) est surchargée : « Nagata » est écrit au-dessus de « Zariski », et l'ordre des renvois entre les deux parenthèses est incertain.

Corollaire 3.9. Soit X_K une courbe algébrique lisse de dim. \leq 1 sur K lisse sur K, alors l'action du groupe d'inertie I sur H^1(X_{\bar K}, \mathbf{Z}_\ell) est ess. unipotente d'échelon 2. Grâce à la réduction II 5.4, on en conclut

Corollaire 3.10. Soit X_K un schéma de type fini sur K. Alors E = H^1(X_{\bar K}, \mathbf{Z}_\ell) est de t.f., et l'action du groupe d'inertie sur E est ess. unipotente d'échelon 3, et même ess. unipotente d'échelon 2 si X est normal. le numéro du premier corollaire est récrit en 3.9 ; celui du second est lu 3.10 sur la marge, sous un trait. La page s'arrête là ; la suite de l'exposé est hors de ce lot.