Cote n° 34, pages 61–80

Cote n° 34 · batch 4 · pages 61–80 · Transcription · SGA 7 : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [vers 1967-1973]
Édition de démonstration

TEI P5 source — open the XML · download batch-04.fr.xml

61La page commence au milieu d'une phrase dont le début est sur la page précédente, hors de ce lot. Pagination de l'auteur : II.10 ; elle court jusqu'à II.29 en page 80. trouve une bonne réduction sur les plus petits de « plus » de $K'$ au dessus de la base de $K$ défini par $R$). […]

Lemme 1.12. Soit $V$ un anneau de val. discrète, ⌜de corps résiduel $k$,⌝ dont le corps $\ell$ un nb premier $\neq$ car $k$, supposons ⌜les notations étant celles de I 1.⌝ que $k$ satisfasse l'hyp. de I 6.2. Alors pour toute représentation ⌜$\ell$-adique⌝ continue abélienne de $\pi = \mathrm{Gal}(\overline{K}/K)$, la restriction à $I(\ell)$ est essentiellement triviale.

Se déduit de I 6.2 comme […] on vient de déduire 1.9 1.4 de 1.1 via 1.2. Pour le cas des […] de car. $\ell$, cf feuille à la fin des présentes notes p. 13note encerclée, reliée par un trait à « Remarque 1.13 » ; « p. 13 » est la pagination de l'auteur.

Remarque 1.13. Le seul exemple connu où on sache vérifier l'hypothèse […] de l'action abélienne ⌜abélienne et⌝ (semi-simple) d'un groupe de Galois sur $T_\ell(A_{\overline{K}})$ est celui où $A$ est une variété « de type CM » au sens de Shimura–Taniyama [ ]. ⌜Nous voyons donc que⌝ Dans ce cas (le corps de définition de $A$ étant quelconque) $A$ devient radiciellement isogène, sur une extension finie séparable finie convenable, à un schéma abélien définissable sur un corps fini (cas car. $p>0$), resp. sur l'anneau des entiers d'un corps de nombres (cas de la car. $p=0$). Ce dernier cas ⌜tout au moins⌝ étant bien connu [ ].

Il semble plausible qu'en caractéristique

62nulle, […] un schéma abélien sur un corps de type fini $K$ (qu'on peut $=$ supposer un corps de nombres) tel que l'action de $\mathrm{Gal}(\overline{K}/K)$ sur $T_\ell(A(\overline{K}))$ soit ess. abélienne ⌜(ou seulement ess. résoluble)⌝, soit de type CM.

1.14. On notera cependant que les ⌜certains des⌝ arguments donnés dans le présent numéro dépassent le cadre des schémas abéliens, et s'appliquent […] ⌜[…]⌝ à des « motifs » de degré ⌜poids⌝ quelconque (une fois la théorie des motifs assise sur des bases solides). Notons seulement qu'une démonstration de réduction à une situation arithmétique, ess. identique à la démonstration de 1.5, permet de prouver ceci :

Théorème 1.15. Soient $k$ un corps alg. clos, $Y$ un schéma […] de t.f. sur $k$, sur $k$, […] loc. de t.f. ⌜connexe⌝ et normal, $\xi$ un pt géométrique […] de $Y$, $f \colon X \to Y$ un morphisme propre […] […] ⌜[…]⌝, $\ell$ un nb premier $\neq$ car. $k$, ⌜$i$ un entier,⌝ supposons que la représentation $R^i f_*(\mathbb{Z}_\ell)$ soit un faisceau $\ell$-adique constant([…] toujours vrai à condition de rapetisser $Y$). Considérons la représentation de $\pi_1(X,\xi)$il écrit $\pi_1(X,\xi)$ ici et deux lignes plus bas ; la représentation est celle du groupe fondamental de la base $Y$. dans $E = H^i(X_\xi, \mathbb{Q}_\ell)$, ⌜et le groupe algébrique $G \subset \mathrm{Aut}_{\mathbb{Q}_\ell}(E)$ engendré.⌝ Alors le radical $R$ de $G^0$ est unipotent. […] cette représentation est […] ess. En particulier, si […] elle est […] la représentation envisagée de $\pi_1(X,\xi)$ est ess. résoluble, elle est ess. […] et de […] ⌜unipotente ; donc si on la suppose de plus semi-simple (*), elle⌝ est essentiellement triviale.

1.16. Dans l'énoncé 1.15, l'hypothèse de propreté ne nous a servi qu'à assurer que la formation de $R^i f_*(\mathbb{Z}_\ell)$ est un faisceau $\ell$-adique constructible, au voisinage du point générique $y$ de $Y$.

(*) J'ai […] […] dans 1.5 la conjecture que ⌜si $f$ est lisse,⌝ l'hypothèse de ½simplicité est automatiquement vérifiée.« ½simplicité » : semi-simplicité, dans son abréviation habituelle.

63constante tordue sur $X_y$, dont la formation commute à […], […] dans la formation commute à […] […] que l'énoncé analogue est vrai après réduction de la situation à un corps de base de type fini. Cette hypothèse est ⌜donc⌝ vérifiée si on suppose qu'on dispose de la résolution des singularités pour les schémas de type fini ⌜de dim $\leq \dim X_y$⌝ sur une extension algébrique de $K$ ($y$ étant le pt générique de $Y$), D compte tenu I 8.8, 8.9]. Il en est ainsi en particulier si car $k = 0$, ou si $\dim X_y \leq 2$.

On peut montrer que la conclusion est également valable si $i = 1$, sans restriction […] de propreté sur $f$, […] cf en utilisant les réductions faites dans les nos suivants, comparer n° 5.

La remarque qui suit est barrée de deux longs traits obliques ; elle se lit néanmoins. Remarque 1.17. Il est plausible que l'on ait Gardons les notations de 1.1, […] et soit $H$ un groupe ⌜profini⌝ quotient de $I$, invariant par l'action de $\pi$ par automorphismes […], et tel que $H$ soit un […] pro-$\ell$-groupe résoluble. On trouve donc une extension \[\text{\struck{$1 \to H \to \pi' \to \pi_0 \to 1$}} .\] Ceci posé, il est plausible que l'on ait […] $[\pi_0,H]$ […] de $\pi'$. Cela semblerait devoir résulter de l'hyp. de Riemann–Weil en dimension quelconque, comme 1.1 résulte de l'hyp. de R.W. en dim 1. S'il en était ainsi, on

Fin de la démonstration de 1.9

Bonne réduction […] de car. (action ess. nilpotente).

a) L'action est semi-simple et abélienne.

On utilise les faits suivants :

Lemme. Si $A$ est un schéma abélien sur un corps fini $k$, l'action des ⌜relèvements des⌝ Frobenius sur $T_\ell(A(\overline{k}))$ est semi-simple.

En effet, […] cette action est […] ⌜induite par⌝ celle du Frobenius géométrique […], endomorphisme de $A_{\overline{k}}$l'indice de $A$ est surchargé.. Donc Or cet endomorphisme appartient au centre de l'anneau $\mathrm{End}(A) \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q}$ des endomorphismes ⌜tensorisé par $\mathbb{Q}$⌝, qui, par Weil [2], est une algèbre ⌜finie⌝ semi-simple sur $\mathbb{Q}$, dont le centre $Z$ […] est une algèbre finie […] ⌜étale⌝ de $\mathbb{Q}$. Donc $Z_\ell = Z \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{Q}_\ell$ […] est une algèbre finie étale sur $\mathbb{Q}_\ell$, Donc $Z_\ell$ opère […] $Z$ opère de façon semi-simple sur $T_\ell(A) \otimes_{\mathbb{Z}_\ell} \mathbb{Q}_\ell$.

Lemme ⌜Corollaire 1.⌝ Soit alors $S$ un schéma ⌜loc.⌝ de t.f. sur $\mathrm{Spec}\,\mathbb{Z}$, $\xi$ un pt géom. de $S$, $A$ un schéma abélien sur $S$, ⌜$\ell$ un nb premier distinct des car. résiduelles de $S$,⌝ d'où une opération de $\pi_1(S,\xi)$ sur ⌜$E =$⌝ $T_\ell(A(\xi)) \otimes_{\mathbb{Z}_\ell} \mathbb{Q}_\ell$. Pour tout point fermé $s \in S$, les éléments de Frobenius $f_s \in \pi_1(S,\xi)$ [déterminés à […] conj. près comme l'image du gén. de Frob. de $\pi_1(s)$ par $\pi_1(s) \to \pi_1(S)$] opèrent […] de façon semi-simple.

Corollaire 2. Si la représentation de $\pi_1(S,\xi)$ sur $E$ est ess. nilpotente, elle est abélienne et semi-simple et ess. abélienne.

65En effet, le groupe ⌜$G \subset \mathrm{Aut}_{\mathbb{Q}_\ell}(E_\ell)$⌝ algébrique (engendré par cette représentation) est tel que $G^0$ est nilpotent, D'autre […] donc : produit $T \times U$, $T$ un tore, $U$ unipotent. ⌜À prouver $U = 1$.⌝ Soit $\pi' \subset \pi$ l'image inverse de $G^0$ ; il correspond à un revêtement fini étale connexe $S'$ de $S$, et quitte à passer à celui-ci, on peut supposer $G = G^0$. On utilise le th. de Čebotarev […] que les éléments de Frobenius sont denses dans $\pi_1(S,\xi)$. On en conclut que leurs images $f_s$ dans $G$ engendrent $G$ comme groupe algébrique. Or $T$ est V […] des éléments semi-simples de $G$, donc $G = T$, i.e. $U = (1)$, cqfd.

b) Fin de la démonstration. Je dis d'abord que […] pour tout $u \in \mathrm{Max}(R)$ tel que $R/u$ soit de car. $\ell$, $\exists$ extension finie $K'$ de $K$ telle que $A_{K'}$ ait bonne réduction en tous les idéaux maximaux de $V'$ (où $V'$ est le normalisé de $V = R_u$ dans $K'$). Pour ceci, l'action on note que […] en vertu de cor. 2, l'action de

La fin de la page est barrée d'un trait horizontal et encadrée de deux longs traits obliques ; elle se lit ainsi. utilisant un résultat de […] cap. ultérieur, […] sans […] utilisant le fait que l'action […] […] extension […] finie $K'/K$ telle que l'extension le modèle de Néron de $A_{K'}$ sur $R'$ ait « réduction ½stable » tout au point […] de $V'$, […] $V'$. Alors […] Plus… $\mathrm{Gal}(\overline{K}/K)$ sur $T_\ell(A(\overline{K})) \otimes_{\mathbb{Z}_\ell} \mathbb{Q}_\ell$ est ½simple abélienne, donc est […] a fortiori sur celles des groupes d'inertie $I_u$.

66choisissant $K'$ assez grand, et utilisant le cor. 2 précédent, […] que l'action de $\mathrm{Gal}(\overline{K'}/K')$ […] abélienne. On garde les notations, on peut supposer alors $K' = K$. Or l'action […]Les quatre premières lignes sont encadrées, barrées et biffées en oblique.

Je me suffis d'établir le résultat suivant (qui a été signalé par Serre) :

Lemme. Soient $V$ anneau de val. discrète, corps de fractions $K$, $\ell$ un nb premier distinct de la car. de $K$ (mais pas nécessairement de la car. du corps résiduel), $A$ schéma abélien sur $K$, […] supposons que l'action du groupe d'inertie […] $I \subset \mathrm{Gal}(\overline{K}/K)$ sur $E = T_\ell(A(\overline{K})) \otimes_{\mathbb{Z}_\ell} \mathbb{Q}_\ell$ soit […] ⌜[…]⌝ semi-simple, […] abélienne, […] alors $A$ a bonne […] (ceci étant sous-entendu) $A$ a bonne réduction « potentielle ».

Pour la démonstration, renvoyer à exposé ultérieur Le cas où la car. résiduelle $\neq \ell$ est évident, car l'action de $I$ étant ess. unipotente (J), et est semi-simple, si elle doit être ess. triviale. […] Le cas où la car. résiduelle est $\ell$ (dans $K$ de car. zéro) demande un traitement […] […] […] on peut supposer $V$ […], et complet, […] ⌜à corps résiduel sép. clos.⌝ Considérons le modèle de Néron $G$ de $A$ sur $V$ [ ]. Alors Le th. de réduction ½stable, qui se prouve ultérieurement, indique que (quitte à faire une extension finie sur $K$) on peut supposer que $G^0_k$ est ext. d'une V.A. par un tore ⌜$T$ de dim. $r$⌝. On sait alors que $T_\ell(A(\overline{K}))$ est extension d'un $\mathbb{Z}_\ell$-

67module $M \simeq \mathbb{Z}_\ell^r$ […] sur lequel $I$ opère trivialement, ⌜canoniquement : $T_\ell(G(\overline{k}))$,⌝ par un groupe ⌜$N$⌝ abélien de rang $2g-r$, bonnement. Si l'action de de $I$ est semi-simple, il s'ensuit que l'on a un sous-module $M \simeq \mathbb{Z}_\ell^r \subset T_\ell(A(\overline{K}))$ sur lequel $I$ opère trivialement […], ⌜avec $M \cap N = 0$. On en déduit⌝ (un sous-groupe de la forme $(\mathbb{Q}_\ell/\mathbb{Z}_\ell)^r$ du groupe $A(K)$ ; par définition du modèle de Néron, il serait contenu dans $G(k)$, i.e. $M \subset N$, donc $M = 0$, donc $r = 0$, ce qui signifie que la réduction est stable, cqfd.

Remarque de Serre. Si on savait montrer que (dans le cas de la car. nulle) une action résoluble (indique ⌜(VA sur un corps de type fini)⌝) action ess. abélienne, […] on pourrait en conclure qu'une ⌜telle⌝ VA est « de type CM » après extension finie du corps de base.

On est ramené, par ce qui précède, au cas d'une VA ⌜d'un schéma abélien⌝ sur le normalisé ⌜$R$⌝ d'un corps de nbs $K$, avec action abélienne de $\mathrm{Gal}(\overline{K}/K)$ sur $E_\ell = T_\ell(A(\overline{K})) \otimes \mathbb{Q}_\ell$, i.e. de $\pi_1(S,\xi)$ ($S = \mathrm{Spec}\, R$). L'action de $\pi_1(S,\xi)$ est loc. algébrique (conditions locales ⌜en tout $u \in \mathrm{Max}(R)$⌝) sur l'action des $\pi_1$ des corps locaux, i.e. des groupes de […] décomposition) et « ⌜loc.⌝ rationnelle », i.e. ⌜p. ex. les pol. car. des Frobenius sont à coeff $\in \mathbb{Q}$⌝. Or on peut montrer que si on a deux telles représentations, dans un $E_\ell$ et

68dans un $E_{\ell'}$, l'une étant semi-simple abélienne, alors l'autre est ayant les mêmes pol. car. de Frob., pour presque tous $u \in \mathrm{Spec}\, R$, alors l'autre représentation est résoluble,Un passage de quatre lignes est ici encadré, barré horizontalement et biffé de traits obliques ; on y devine $E_\ell$, $E_{\ell'}$, $T_\ell$, $T_{\ell'}$, « ess. résoluble », « la représentation ½simple » et « représentation sur $\mathbb{Q}$ ». […] aussi […] abélienne. Alors […] […] et pour […] $\mathrm{Spec}\, R$, la repr. ½simple associée à $E_{\ell'}$ […] est la même que celle qui est définie par $E_\ell$. Choisissons alors $\ell$ tel que La page s'arrête sur cette phrase inachevée ; le reste de la feuille est blanc.

69Le haut de la page, barré de traits obliques, se lit ainsi. […] pourrait généraliser substantiellement 1.3, 1.5, […] 1.9 (sous réserve de la ½simplicité), 1.13, en y remplaçant partout « ess. abélienne » par « ess. résoluble ».

2. Démonstration de 1.1 : cas où $X$ est de dim 1

Alors $X$ est une courbe

2.1. Notons d'abord (sans hyp. sur la dim. de $X$, […] […]) qu'on peut supposer $X$ affine. En effet, si $U$ est un ouvert affine […] de $X$ contenant l'image de $\xi$, on a ⌜[…] de suites exactes⌝ […] que $\pi_1(\ill{})$

LaTeX source

\begin{tikzcd}[column sep=small]
1 \arrow[r] & \pi_1(\overline{U},\xi) \arrow[r] \arrow[d, "\alpha"] & \pi_1(U,\xi) \arrow[r] \arrow[d, "\beta"] & \pi_1(S,\xi) \arrow[r] \arrow[d, "\wr"] & 1 \\
1 \arrow[r] & \pi_1(\overline{X},\xi) \arrow[r] & \pi_1(X,\xi) \arrow[r] & \pi_1(S,\xi) \arrow[r] & 1
\end{tikzcd}

L'étiquette de la flèche verticale de droite est un trait doublé, lu comme un isomorphisme. Comme […] $X$ est ⌜normal,⌝ […] […] $\overline{X}$ cf. EGA IV 6.15.6, il s'ensuit que $\beta$ est surjectif (SGA 1 V …), donc l'est aussi $\alpha$. $\pi_1(X)$ […] $\alpha$ et $\beta$ sont surjectifs. On en conclut que si les […] conclusions de 1.1 sont vraies pour $(U,\xi)$, elles sont vraies pour $(X,\xi)$.

2.2. On voit que la condition […]Note marginale de neuf lignes écrite de biais dans la marge gauche, barrée de deux traits ; on y devine $K'$, $X(\ill{})$, $\pi_1(X,\xi)$, $\pi_1(S,\xi)$, le reste est illisible.

2.3. Sans Alors Supposons donc $X$ affine, doncLa suite, jusqu'au bas de la page, est biffée de traits obliques ; elle se lit néanmoins. quasi-projectif, et supposons de plus $\dim X = 1$. Alors $X$ est un […] ouvert d'une courbe normale projective $\hat{X}$ (EGA II 7.…). Quitte à faire une extension radicielle finie de $K$, on est ramené au cas où $\hat{X}$ est une lisse sur $K$, et où les points de $\hat{X} - X$ sont tous rationnels sur $K$. Soient $x_i$ ($1 \leq i \leq n$) ces pts.

70Cette page reprend, sous une autre forme, les nos 2.2 et 2.3 de la page précédente. On a alors la suite exacte bien connue :

2.2. On voit de même que la conclusion ne change pas $\pi_1(X$ si on remplace $k$ par une extension finie $k'$, $X$ par $X' = X \otimes_k k'$, et $\xi$ par un pt géom. $\xi'$ au-dessus de $\xi$. En effet, cela revient à remplacer $\pi_1(X,\xi)$ par un s.-groupe ouvert, image inverse du s.-groupe ouvert de $\pi_1(S,\xi)$ défini par l'extension $k'/k$.

2.3. Supposons maintenant $X$ quasi-projectif, comme il est loisible par 1.1. Il existe alors un schéma […] projectif $X'$, sur $k$, tel que $X$ soit […] ⌜dense⌝ un ouvert de $X'$. On peut de plus supposer $X'$ normal (quitte à le remplacer par $(X'_{\mathrm{red}})$ ⌜normalisé de⌝). Utilisant […] EGA IV 17.15.14.2, on voit qu'il existe existe une extension finie radicielle $k_1$ de $k$, telle que $X_1$ ⌜normalisé de⌝ $X'_1 = X' \otimes_k k_1$ soit géom. normal. Il […] […] […] […] des […] […] $X \otimes_k k_1$, qui s'identifie à […] un ouvert de $\widetilde{X}'_1$. […] Comme $X_1$ est géom. unibranche (EGA IV 6.15.6), $\overline{X}_1 \to X_1$ est radiciel surjectif, donc induit un isom. sur ⌜[…] $\overline{X}_1 \to \overline{X'_1}$⌝ les $\pi_1$ (SGA 1 VIII …). Donc, conjuguant cette remarque avec 2.2, on est ramené au cas où $X'$ est géom. normale.

712.4. On sait déjà que $V = \pi_1(\overline{X})^{\mathrm{ab}}(\ell)$ est un module de t.f. sur $\mathbb{Z}_\ell$, ce qui revient au même que $H^1(\overline{X}, \mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z})$ est un groupe fini. Ceci est vrai pour $X$ schéma de t.f. sur un corps ⌜sép.⌝ alg. clos, et ⌜la⌝ démonstration par réduction au cas des courbes, on la prouvera dans no 3. Lorsqu'on ⌜sait⌝ […] que $\pi_1(\overline{X})^{\mathrm{ab}}(\ell)$ est de t.f. sur $\mathbb{Z}_\ell$, dans la relation : […]dans la relation énoncée en 1.1, vraisemblablement. prouvons, […] […] $\pi_1(\overline{X})(\ell)_{\pi_0}$ fini i.e. […] ([…]) $V_{\pi_0}$ fini i.e. $(V \otimes_{\mathbb{Z}_\ell} \mathbb{Q}_\ell)_{\pi_0} = 0$, et par dualité elle équivaut à la relation \[(\check{V})^{\pi_0} = 0\] où $\check{V} = \mathrm{Hom}_{\mathbb{Z}_\ell}(V, \mathbb{Z}_\ell)$. Or on a un isom. canonique $\check{V} \simeq \mathrm{Hom}(\pi_1(\overline{X},\xi), \mathbb{Z}_\ell) \simeq H^1(\overline{X}, \mathbb{Z}_\ell)$, évidemment compatible avec l'action de $\pi_0$. Donc la conclusion de 1.1 s'écrit de façon équivalente, en termes cohomologiques \[\begin{equation} H^1(\overline{X}, \mathbb{Z}_\ell)^{\pi_0} = 0 . \tag{2.4.1} \end{equation}\]

faire une section 2.4… spéciale […] […] être vers Faire d'abord une réduction au cas où $\pi = \pi_1(X,\xi)$, en introduisant […] le rev. étale fini $X'$ de $X$ qui correspond à $\pi \subset \pi_1(X,\xi)$.Ces deux dernières lignes sont encadrées, reliées à la note marginale.

722.5. Dans ce qui suit, nous supposons $\dim X = 1$, ⌜$\dim X' = 1$⌝. Quitte à faire encore une extension finie sur $k$, on peut supposer les points $x_i$ ($1 \leq i \leq n$) de $X' - X$ rationnels sur $k$. On a alors une suite exacte bien connue \[0 \to H^1(\overline{X'}, \mathbb{Z}_\ell) \to H^1(\overline{X}, \mathbb{Z}_\ell) \to \prod_{1 \leq i \leq n} H^2_{x_i}(\overline{X}, \mathbb{Z}_\ell)\] \[\to H^2(\overline{X'}, \mathbb{Z}_\ell) \to 0 \tag{2.5.1}\] La flèche finale vers $0$ est tracée verticalement sous $H^2(\overline{X'},\mathbb{Z}_\ell)$. avec les flèches sont […] (évidemment) compatibles avec l'action de […] $\pi_0 = \mathrm{Gal}(\overline{k}/k)$. De plus, on a des isomorphismes canoniques \[H^2_{x_i}(\overline{X}, \mathbb{Z}_\ell) \simeq \mathbb{Z}_\ell(-1) \tag{2.5.2}\] À la suite de cette formule, une expression biffée : $\varprojlim_\nu {}_{\ell^\nu}\overline{k}^*$. où l'on a \[\mathbb{Z}_\ell(-1) = \mathbb{Z}_\ell(1)^{\otimes(-1)}, \qquad \mathbb{Z}_\ell(1) = \varprojlim_\nu \left( {}_{\ell^\nu}\overline{k}^* \right) . \tag{2.5.3}\] (De plus, on a un isom. canonique $H^2(\overline{X'}, \mathbb{Z}_\ell) \simeq \mathbb{Z}_\ell(-1)$, et l'homomorphisme $\prod \to H^2(\overline{X'}, \mathbb{Z}_\ell)$ s'identifie à l'homomorphisme somme.) L'isomorphisme (2.5.2) est encore compatible avec l'action de $\pi_0$, opérant sur le second membre de façon explicitée par la formule (2.5.3). […]

Il s'ensuit que en tant que $\pi_0$-module $\ell$-adique, $H^1(\overline{X}, \mathbb{Z}_\ell)$ est une extension de $\mathbb{Z}_\ell(1)^{n-1}$ par $H^1(\overline{X'}, \mathbb{Z}_\ell)$. Comme l'opération de $\pi_0$ sur $\mathbb{Z}_\ell(1)$ est non triviale, il s'ensuit ⌜déjà⌝ qu'on a Le signe de la torsion : il écrit $\mathbb{Z}_\ell(-1)$ en (2.5.2) et $\mathbb{Z}_\ell(1)^{n-1}$ ici, comme sur la page.

73\[H^1(\overline{X}, \mathbb{Z}_\ell)^{\pi_0} = H^1(\overline{X'}, \mathbb{Z}_\ell)^{\pi_0} . \tag{2.5.4}\] Je vais ⌜[…]⌝ […] ⌜Reste à voir⌝ que le dernier membre est nul : \[H^1(\overline{X'}, \mathbb{Z}_\ell)^{\pi_0} = 0 . \tag{2.5.5}\] C'est une conséquence connue de l'hyp. de Riemann–Weil, prouvée en dim. 1. Explicitons l'argument. Soit $A$ […] Posons $\overline{X'} = C_k$.lecture douteuse de ce qui suit « Posons ». […] On sait que $k$ […] […] […] ⌜corps⌝ des fonctions est une […] ⌜extension⌝ […] […] de type fini sur $\mathbb{Z}$, […] telle que […] $\boxtimes$ $C$ provienne d'un schéma $C_S$ sur $S = \mathrm{Spec}\,R$, propre et lisse sur $S$ (⌜on peut supposer $S$ normal⌝). […] La ⌜relation⌝ […] (2.5.5) s'écrit alors \[H^0(S, R^1 f_*(\mathbb{Z}_\ell)) = 0\] ⌜[…]⌝ où $f \colon C \to S$. Sous cette forme, on voit […] que cette relation […] ne change pas si on remplace $S$ par […] un ouvert […] […] ⌜non vide⌝ de $S$, donc […] […] […] […] ponctuel $\xi$ de $S$, par […] ⌜[…]⌝ l'opération de $\pi_1(S,\xi)$ sur $H^1(C_{\overline{\xi}}, \mathbb{Z}_\ell)$, […] ⌜pour $\xi$ choisi, on pourra supposer⌝ […] de $S$, donc […] […] réduire Alors à prouver, […] […] se réduit à la relation \[H^1(C_{\overline{s}}, \mathbb{Z}_\ell)^{\pi_1(s,\overline{s})} = 0 \tag{2.5.6}\] pour […] […] fini.La rédaction de ce paragraphe est très surchargée ; seules les formules et l'articulation se lisent avec sûreté.

Ceci, ramène au cas d'un corps de base fini. Mais dans ce cas on sait ⌜par la généralité, il suffira donc que⌝ $\pi_0 = \hat{\mathbb{Z}}$, […] engendré […] de Frobenius […], […] Frob de $\hat{\mathbb{Z}}$ opérant sur $H^1(C_{\overline{s}}, \mathbb{Z}_\ell)$ [2, …] […] […] valeurs absolues $q^{1/2}$ ($q = \mathrm{card}\,k$). Donc elles sont $\neq 1$ […] (2.5.6) […] ce qui est trivial.Ce passage, encadré, est biffé de traits obliques.

Remarques 2.6. Nous avons utilisé en substance 2 propriétés du corps $K$ : a) […] […] $\in \overline{\pi}$ […] les racines $\ell^\nu$-ièmes de l'unité, […] est infini. b) Pour […] schéma abélien $A$ sur une extension finie $K'$ de $K$, $T_\ell(A)_\pi$ est fini, où $\pi = \mathrm{Gal}(\overline{K'}/K')$ […] ce qui revient à savoir que $T_\ell(A)^\pi$ […]. Pour b) il ne suffit […] […] (exemple : $K = \mathbb{R}$[…]). $\mathrm{Ker}(1-f)$ dans $H^1(C_{\overline{s}}, \mathbb{Z}_\ell) \simeq T_\ell(A)^\vee$ est nul, i.e. $\mathrm{Coker}(1-f)$ dans $T_\ell(A)$ fini, i.e. $\mathrm{Ker}(1-f)$ dans $T_\ell(A)$ fini, i.e. […] $A(k)$ fini, ce qui est trivial. Deux notes écrites en long dans la marge gauche ; dans un cartouche, en haut, des renvois biffés illisibles (« EGA » s'y devine).

3. Réduction au cas de la dimension 1

3.1. Supp. Soit d'abord $k$ un […] corps quelconque, $X'$ un schéma ⌜projectif intègre normal, géom. connexe⌝ géométriquement unibranche sur $k$, $X$ un ouvert dense de $X'$⌜, $\xi$ un pt géom. de $X'$, $\overline{k}$ la clôture⌝ séparable de $k$ dans $k(\xi)$, $\overline{X'}$, $\overline{X}$ déduits de $X'$, $X$ par $k \to \overline{k}$. On a […] […] On veut étudier $\pi_1(\overline{X},\xi)$, et […] […] nous nous intéressons en fait au groupe fondamental d'une courbe lisse sur un corps convenable. Comme on sait ⌜en […]⌝, $\pi_1(\overline{X},\xi)$ est muni de façon naturelle d'un groupe d'opérateurs, à savoir $\pi_1(S,\xi)$ ($S = \mathrm{Spec}\,k$), qui permet de considérer aussi la suite exacte \[1 \to \pi_1(\overline{X},\xi) \to \pi_1(X,\xi) \to \pi_1(S,\xi) \to 1 . \tag{3.1.1}\] Soit $T$ le schéma […] Nous supposons $X'$ immergé dans un $\mathbb{P}^r_k$[…]. Soit $n = \dim X'$, et soit $T$ la grassmannienne des sous-espaces linéaires (EGA I, 2[…] édition, …) ⌜projectifs⌝ de codimension $n-1$ dans $P$, $t$ le point générique de $T$, $K = k(t)$, qui est une extension ⌜de t.f.⌝ pure de $k$. Soit $L_t$ le sous-espace ⌜« générique »⌝ de codimension $n-1$ de $P_K$ qui correspond à $t \in T_K$, et considérons \[C' = L \cap X'_K .\] Il est connu que $\dim C' = 1$, que $C'$ est géom. ⌜connexe⌝ normal et géom. connexe. Soit $C$ l'image inverse de $X_K$ dans $C'$.

LaTeX source

\begin{tikzcd}
C \arrow[r, hook] \arrow[d] & C' = L_t \cap X'_K \arrow[d, no head] \\
X_K \arrow[r, hook] & X'_K
\end{tikzcd}

Petit diagramme écrit dans la marge gauche, en face de la définition de $C'$ ; la flèche verticale de droite est un simple trait.

75Considérons l'image […] le morphisme canonique \[C \to X\] composé de l'inclusion $C \to X_K$ et $X_K \to X$. Nous supposons que […] l'image de $\xi$ dans $X$ est contenue dans celle de $C$. Ceci signifie […] […] seulement l'exclusion du cas (exclu […] $\dim \overline{\{x\}} \geq 1$) ; […]

3.1.1. Ceci équivaut, à […] près, dans le cas d'hypothèse anodine. Soit $\xi$, cela est une […] $\xi_1$ un point géométrique de $C$ au-dessus de $\xi$, \[\begin{array}{ccc} \xi_1 & \longrightarrow & \xi \\ \downarrow & & \downarrow \\ C & \longrightarrow & X \\ \downarrow & & \downarrow \\ \mathrm{Spec}\,K & \longrightarrow & S \end{array} \tag{3.1.2}\] et soit $\overline{K}$ la clôture sép. de $K = k(t)$ dans $k(\xi_1)$. Un astérisque est placé à droite de cette phrase, sans renvoi visible.

Le passage qui suit est encadré et biffé de deux traits obliques. On a un diagramme commutatif d'inclusions de corps \[\begin{array}{ccc} k & \longrightarrow & K = k(t) \\ \downarrow & & \downarrow \\ \overline{k} & \longrightarrow & \overline{K} \end{array}\] Ce diagramme est biffé avec le passage qui l'entoure. Considérons aussi le corps $K\overline{k}$ composé dans $\overline{K}$, qui n'est autre que le corps $k(\overline{t})$, où $\overline{t}$ est le point générique de $T_{\overline{k}}$.

Le diagramme (3.1.2) donne un diagramme commutatif, à lignes exactes :

LaTeX source

\begin{tikzcd}[column sep=small]
1 \arrow[r] & \pi_1(\overline{C},\xi_1) \arrow[r] \arrow[d, "\alpha"] & \pi_1(C,\xi_1) \arrow[r] \arrow[d, "\beta"] & \pi_1(\mathrm{Spec}\,K,\xi_1) \arrow[r] \arrow[d, "\gamma"] & 1 \\
1 \arrow[r] & \pi_1(\overline{X},\xi) \arrow[r] & \pi_1(X,\xi) \arrow[r] & \pi_1(\mathrm{Spec}\,k,\xi) \arrow[r] & 1
\end{tikzcd}

Diagramme numéroté (3.1.3). Au-dessus de $\pi_1(\mathrm{Spec}\,K,\xi_1)$, écrit sur un terme raturé, il note « $\mathrm{Gal}(\overline{K}/K)$ » relié par un signe d'égalité. où on a posé $\overline{C} = C \otimes_K \overline{K}$. Ceci posé, je

Ceci posé, on a

Lemme 3.2. Avec les ⌜hyp. et⌝ notations précédentes, dans le diagramme (3.1.3), les ⌜trois⌝ ⌜homomorphismes⌝ […] ⌜verticaux⌝ $\alpha$ […] […] sont surjectifs.

[…] Pour prouver le lemme, Il suffit de prouver la surjectivité de $\gamma$ et $\alpha$. Celle de $\gamma$ provient du fait que $K = k(t)$ est une extension transcendante pure de $k$, donc […] $k$ est algébriquement fermé dans $K$. Notons maintenant que la flèche $\overline{C} \to \overline{X}$ donnant naissance à $\alpha$ est la même que celle qu'on obtiendrait en remplaçant […] […] faisant le changement de corps de base $k \to \overline{k}$. Donc on peut supposer $k$ séparablement clos, et […] on […] […] à […] ⌜doit⌝ examiner le morphisme sur les $\pi_1$ induit par \[C \to X .\] Dire que ce morphisme sur les $\pi_1$ est surjectif signifie que pour tout revêtement étale connexe $X_1$ de $X$, son image inverse $\overline{C}_1$ sur $\overline{C}$ est

77connexe. ⌜Il suffit de voir que l'image inverse $C_1$ sur $C$ est géom. connexe ou même géom. irréd.⌝ Or $X_1$ provient d'un revêtement étale ⌜normal⌝ intègre […] $X'_1 \to X'$ [EGA V […]]. En vertu du th. de Bertini, l'image inverse […] dans $X'_1 \to \mathbb{P}^r$ […] de $L_t$ est géom. géom. irréductible, ce qui implique que l'image $C_1$ ⌜de […]⌝ sur $C$ l'est, i.e. $\overline{C_1}$ est géom. connexe. Cela prouve le lemme.

3.3. De 3.2 résulte aussitôt que si l'extension $C$ sur $K$ satisfait aux conclusions de 1.1, il en est de même de $X$ sur $k$. Compte tenu des réductions déjà faites dans 2.3, cela nous ramène, pour prouver 1.1 ⌜sur $k$⌝, au cas d'une courbe algébrique ⌜lisse sur $K$⌝ déjà traité dans […] no 2. CQFD Le $k$ étant de t.f., il en est de même de $K$ !).

Remarque 3.4. Le lemme 3.2. Prouve aussi la même chose que si $X$ ⌜est⌝ un schéma de t.f. sur un corps ⌜de car. $p \geq 0$⌝ séparablement clos, alors le […] plus grand ⌜quotient⌝ ⌜premier à $p$ $\pi_1(X,\xi)'$⌝ $\mathbb{P}$ de $\pi_1(X,\xi)$, est topologiquement de présentation finie⌜[…] (SGA 1 […])⌝. En effet, la théorie de la descente […] nous permet de nous ramener au cas où $X$ est géom. unibranche normal irréductible, et puis au […] cas $X$ affine ⌜[…]⌝, puis 3.2. […] nous ramène au cas où $X$ est une ⌜[…]⌝ à une courbe projective lisse $X'$. Or pour une telle $X$, le ⌜la⌝ finitude annoncée du $\pi_1(X,\xi)'$ est résultat de (SGA 1 …).

4. Un complément au th. principal

Proposition 4.1. Sous les conditions de 1.1, pour tout $k$ nb premier $\ell$ sauf un nb fini, le groupe on a \[\overline{[\pi', I(\ell)]} = I(\ell),\] i.e. le plus grand quotient premier de $I(\ell)$ sur lequel $\pi_0$ opère trivialement est nul.

On voit par dualité, en procédant comme dans 2.4, que cet énoncé équivaut au suivant :

Proposition Corollaire 4.2. Pour presque tout $\ell$, on a \[H^1(\overline{X}, \mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z})^{\pi_0} = 0 .\]

Pour prouver ceci, on est encore ramené, […] […] par les réductions de 2.3, au cas où $X \subset X'$ $X$ est un ouvert d'un $X'$ projectif et géom. normal sur $k$. Dans ce cas, […] 3.2. nous ramène au cas où $X'$ est de dim. 1, donc est une courbe lisse et complète. […] […] Prenant une extension finie de $k$, on peut supposer rationnels ⌜$x_i$⌝ les pts de $X' - X$ rationnels sur $k$. On utilise alors la suite exacte analogue à (2.5.1) \[\to H^1(\overline{X'}, \mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z}) \to H^1(\overline{X}, \mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z}) \to \prod_i H^2_{x_i}(\overline{X}, \mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z})\] \[\to H^2(\overline{X'}, \mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z}) \tag{4.2.1}\] qui nous montre que $H^1(\overline{X}, \mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z})$ est une extension de $\left(\mu_\ell(\overline{k}^*)^{\otimes -1}\right)^{n-1}$ par $H^1(\overline{X'}, \mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z})$. […] Soit \[N = \text{card du groupe des racines de 1 dans } k^* \tag{4.2.2}\] Le numéro de la première formule est surchargé ; on lit (4.2.1) ou (4.3.1), puis (4.2.2) ou (4.3.2).

79Alors, si […] $\ell \nmid N$, on aura $\mu_\ell(k^*)$ $\pi_0$ opère non trivialement sur le ⌜$\mathbb{F}_\ell$-espace vectoriel⌝ […] de dim 1 $\mu_\ell(\overline{k}^*)^{\otimes -1}$, donc sur son dual $V$, donc $V^{\pi_0} = 0$, ce qui implique que \[H^1(\overline{X}, \mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z})^{\pi} \subset H^1(\overline{X'}, \mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z})^{\pi} \quad \text{si } \ell \nmid N . \tag{4.2.3}\] Or on a, si $A$ est la jacobienne de $X'$, \[\text{\struck{$H^1(\overline{X'}, \mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z}) \simeq {}_\ell A(\overline{k})^\vee$}} ,\] où le $\vee$ désigne le dual : […] les $\mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z}$.

D'autre part, $H^1(\overline{X'}, \mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z})^\pi = 0$ signifie comme dans 2.5 on se ramène, par la relation $H^1(\overline{X'}, \mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z})^\pi = 0$ ⌜pour presque tout $\ell$⌝, […] i.e. ${}_\ell A(\overline{k})^{\vee\pi} = 0$ i.e. $({}_\ell A(\overline{k}))_\pi = 0$ au cas où $k$ est fini. Alors […] […] Soit $f$ […] […] […] bien connu, que Soit $f$ le générateur ⌜de Frobenius⌝ de $\pi_0 \simeq \hat{\mathbb{Z}}$, et soit $V = {}_\ell A(\overline{k})$. Comme $V$ est fini, $\mathrm{Ker}(1-f_V)$ et $\mathrm{Coker}(1-f_V)$ ont même cardinal, donc la relation \[({}_\ell A(\overline{k}))_\pi = 0 \iff ({}_\ell A(\overline{k}))^\pi = 0 \quad \text{i.e.} \quad {}_\ell A(k) = 0 .\] Or soit $N'$ l'[…] ordre du groupe ⌜fini⌝ $A(k)$. On voit que \[{}_\ell A(k) = 0 \quad \text{si } \ell \nmid N' .\] Par suite, on trouve que si $\ell \nmid NN'$, on a \[H^1(\overline{X'}, \mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z})^\pi = 0, \quad \text{cqfd.}\] Il écrit ici $\overline{X}^\ell$ ou $\overline{X'}$ ; la lecture $\overline{X'}$ suit l'argument.

Corollaire 4.3. Soit $X$ un schéma ⌜normal⌝ géométriquement intègre ⌜loc. de t.f.⌝ sur un corps fini $\mathbb{F}_{p^r}$. Alors pour tout nb premier $\ell \neq p$, l'homomorphisme $\pi_1(X,\xi)^{\mathrm{ab}}(\ell) \to \pi_1(\mathbb{F}_p) \simeq \hat{\mathbb{Z}}$ […] ⌜a un noyau fini, et pour presque⌝ tout $\ell$, c'est un isomorphisme.

5. Réduction du th. de monodromie pour $H^1(\overline{X}, \mathbb{Z}_\ell)$ au cas d'une courbe projective lisse géom. connexe

5.1. La suite spectrale de […] descente pour un morphisme fini (SGA 4 VIII …) nous ramène au cas $X$ normal.

5.2. On peut alors supposer $X$ affine, et Une extension […] ⌜finie⌝ du corps de base nous ramène au cas où de plus $X$ est un ouvert d'un schéma projectif ⌜$X'$⌝ […] géom. connexe et géom. ⌜$t$⌝ unibranche.

5.3. Dans ce cas, 3.2 (qui implique que \[H^1(\overline{X}, \mathbb{Z}_\ell) \to H^1(\overline{C}, \mathbb{Z}_\ell)\] est injectif) nous ramène au cas où $X'$ est ⌜une⌝ courbe […] projective et lisse.

[NB Si $K = k(t_1, \ldots t_r)$, il est, On choisit arbitrairement un anneau de valuation $V'$ du $K' = K(t)$ ⌜[…]⌝ dominant $V$ ; dans l'image de $I' \to I$ est d'indice fini dans $V$]. Dans ce cas, la suite on peut ⌜encore⌝ supposer que ⌜les pts de⌝ $X' - X$ sont rat. sur $K$. Alors, dans la suite exacte (2.5.1), l'opération de $\overline{I}$ sur les $H^2_{x}(\overline{X}, \mathbb{Z}_\ell) \simeq \mathbb{Z}_\ell(-1)$ est triviale, donc il revient à prouver que l'action sur $H^2(\overline{X'}, \mathbb{Z}_\ell)$ est quasi-unipotente, ce qui est la réduction annoncée.Il écrit bien $H^2(\overline{X'},\mathbb{Z}_\ell)$ ; l'argument demande vraisemblablement $H^1$. La section 5 se poursuit au-delà de ce lot.

Fin de la démonstration de 1.9

2. Démonstration de 1.1 : cas où \(X\) est de dim 1

3. Réduction au cas de la dimension 1

4. Un complément au th. principal

5. Réduction du th. de monodromie pour \(H^1(\overline{X}, \mathbb{Z}_\ell)\) au cas d'une courbe projective lisse géom. connexe