Fin de la démonstration de 1.9

Bonne réduction de car. (action ess. nilpotente).

a) L'action est semi-simple et abélienne.

On utilise les faits suivants :

Lemme. Si A est un schéma abélien sur un corps fini k, l'action des relèvements des Frobenius sur T_\ell(A(\overline{k})) est semi-simple.

En effet, cette action est induite par celle du Frobenius géométrique , endomorphisme de A_{\overline{k}}l'indice de A est surchargé.. Donc Or cet endomorphisme appartient au centre de l'anneau \mathrm{End}(A) \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q} des endomorphismes tensorisé par \mathbb{Q}, qui, par Weil [2], est une algèbre finie semi-simple sur \mathbb{Q}, dont le centre Z est une algèbre finie étale de \mathbb{Q}. Donc Z_\ell = Z \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{Q}_\ell est une algèbre finie étale sur \mathbb{Q}_\ell, Donc Z_\ell opère Z opère de façon semi-simple sur T_\ell(A) \otimes_{\mathbb{Z}_\ell} \mathbb{Q}_\ell.

Lemme Corollaire 1. Soit alors S un schéma loc. de t.f. sur \mathrm{Spec}\,\mathbb{Z}, \xi un pt géom. de S, A un schéma abélien sur S, \ell un nb premier distinct des car. résiduelles de S, d'où une opération de \pi_1(S,\xi) sur E = T_\ell(A(\xi)) \otimes_{\mathbb{Z}_\ell} \mathbb{Q}_\ell. Pour tout point fermé s \in S, les éléments de Frobenius f_s \in \pi_1(S,\xi) [déterminés à conj. près comme l'image du gén. de Frob. de \pi_1(s) par \pi_1(s) \to \pi_1(S)] opèrent de façon semi-simple.

Corollaire 2. Si la représentation de \pi_1(S,\xi) sur E est ess. nilpotente, elle est abélienne et semi-simple et ess. abélienne.

En effet, le groupe G \subset \mathrm{Aut}_{\mathbb{Q}_\ell}(E_\ell) algébrique (engendré par cette représentation) est tel que G^0 est nilpotent, D'autre donc : produit T \times U, T un tore, U unipotent. À prouver U = 1. Soit \pi' \subset \pi l'image inverse de G^0 ; il correspond à un revêtement fini étale connexe S' de S, et quitte à passer à celui-ci, on peut supposer G = G^0. On utilise le th. de Čebotarev que les éléments de Frobenius sont denses dans \pi_1(S,\xi). On en conclut que leurs images f_s dans G engendrent G comme groupe algébrique. Or T est V des éléments semi-simples de G, donc G = T, i.e. U = (1), cqfd.

b) Fin de la démonstration. Je dis d'abord que pour tout u \in \mathrm{Max}(R) tel que R/u soit de car. \ell, \exists extension finie K' de K telle que A_{K'} ait bonne réduction en tous les idéaux maximaux de V' (où V' est le normalisé de V = R_u dans K'). Pour ceci, l'action on note que en vertu de cor. 2, l'action de

La fin de la page est barrée d'un trait horizontal et encadrée de deux longs traits obliques ; elle se lit ainsi. utilisant un résultat de cap. ultérieur, sans utilisant le fait que l'action extension finie K'/K telle que l'extension le modèle de Néron de A_{K'} sur R' ait « réduction ½stable » tout au point de V', V'. Alors Plus… \mathrm{Gal}(\overline{K}/K) sur T_\ell(A(\overline{K})) \otimes_{\mathbb{Z}_\ell} \mathbb{Q}_\ell est ½simple abélienne, donc est a fortiori sur celles des groupes d'inertie I_u.

choisissant K' assez grand, et utilisant le cor. 2 précédent, que l'action de \mathrm{Gal}(\overline{K'}/K') abélienne. On garde les notations, on peut supposer alors K' = K. Or l'action Les quatre premières lignes sont encadrées, barrées et biffées en oblique.

Je me suffis d'établir le résultat suivant (qui a été signalé par Serre) :

Lemme. Soient V anneau de val. discrète, corps de fractions K, \ell un nb premier distinct de la car. de K (mais pas nécessairement de la car. du corps résiduel), A schéma abélien sur K, supposons que l'action du groupe d'inertie I \subset \mathrm{Gal}(\overline{K}/K) sur E = T_\ell(A(\overline{K})) \otimes_{\mathbb{Z}_\ell} \mathbb{Q}_\ell soit semi-simple, abélienne, alors A a bonne (ceci étant sous-entendu) A a bonne réduction « potentielle ».

Pour la démonstration, renvoyer à exposé ultérieur Le cas où la car. résiduelle \neq \ell est évident, car l'action de I étant ess. unipotente (J), et est semi-simple, si elle doit être ess. triviale. Le cas où la car. résiduelle est \ell (dans K de car. zéro) demande un traitement on peut supposer V , et complet, à corps résiduel sép. clos. Considérons le modèle de Néron G de A sur V [ ]. Alors Le th. de réduction ½stable, qui se prouve ultérieurement, indique que (quitte à faire une extension finie sur K) on peut supposer que G^0_k est ext. d'une V.A. par un tore T de dim. r. On sait alors que T_\ell(A(\overline{K})) est extension d'un \mathbb{Z}_\ell-

module M \simeq \mathbb{Z}_\ell^r sur lequel I opère trivialement, canoniquement : T_\ell(G(\overline{k})), par un groupe N abélien de rang 2g-r, bonnement. Si l'action de de I est semi-simple, il s'ensuit que l'on a un sous-module M \simeq \mathbb{Z}_\ell^r \subset T_\ell(A(\overline{K})) sur lequel I opère trivialement , avec M \cap N = 0. On en déduit (un sous-groupe de la forme (\mathbb{Q}_\ell/\mathbb{Z}_\ell)^r du groupe A(K) ; par définition du modèle de Néron, il serait contenu dans G(k), i.e. M \subset N, donc M = 0, donc r = 0, ce qui signifie que la réduction est stable, cqfd.

Remarque de Serre. Si on savait montrer que (dans le cas de la car. nulle) une action résoluble (indique (VA sur un corps de type fini)) action ess. abélienne, on pourrait en conclure qu'une telle VA est « de type CM » après extension finie du corps de base.

On est ramené, par ce qui précède, au cas d'une VA d'un schéma abélien sur le normalisé R d'un corps de nbs K, avec action abélienne de \mathrm{Gal}(\overline{K}/K) sur E_\ell = T_\ell(A(\overline{K})) \otimes \mathbb{Q}_\ell, i.e. de \pi_1(S,\xi) (S = \mathrm{Spec}\, R). L'action de \pi_1(S,\xi) est loc. algébrique (conditions locales en tout u \in \mathrm{Max}(R)) sur l'action des \pi_1 des corps locaux, i.e. des groupes de décomposition) et « loc. rationnelle », i.e. p. ex. les pol. car. des Frobenius sont à coeff \in \mathbb{Q}. Or on peut montrer que si on a deux telles représentations, dans un E_\ell et

dans un E_{\ell'}, l'une étant semi-simple abélienne, alors l'autre est ayant les mêmes pol. car. de Frob., pour presque tous u \in \mathrm{Spec}\, R, alors l'autre représentation est résoluble,Un passage de quatre lignes est ici encadré, barré horizontalement et biffé de traits obliques ; on y devine E_\ell, E_{\ell'}, T_\ell, T_{\ell'}, « ess. résoluble », « la représentation ½simple » et « représentation sur \mathbb{Q} ». aussi abélienne. Alors et pour \mathrm{Spec}\, R, la repr. ½simple associée à E_{\ell'} est la même que celle qui est définie par E_\ell. Choisissons alors \ell tel que La page s'arrête sur cette phrase inachevée ; le reste de la feuille est blanc.

Le haut de la page, barré de traits obliques, se lit ainsi. pourrait généraliser substantiellement 1.3, 1.5, 1.9 (sous réserve de la ½simplicité), 1.13, en y remplaçant partout « ess. abélienne » par « ess. résoluble ».

2. Démonstration de 1.1 : cas où X est de dim 1

Alors X est une courbe

2.1. Notons d'abord (sans hyp. sur la dim. de X, ) qu'on peut supposer X affine. En effet, si U est un ouvert affine de X contenant l'image de \xi, on a de suites exactes que \pi_1(\ill{})

\begin{tikzcd}[column sep=small] 1 \arrow[r] & \pi_1(\overline{U},\xi) \arrow[r] \arrow[d, "\alpha"] & \pi_1(U,\xi) \arrow[r] \arrow[d, "\beta"] & \pi_1(S,\xi) \arrow[r] \arrow[d, "\wr"] & 1 \\ 1 \arrow[r] & \pi_1(\overline{X},\xi) \arrow[r] & \pi_1(X,\xi) \arrow[r] & \pi_1(S,\xi) \arrow[r] & 1 \end{tikzcd}

L'étiquette de la flèche verticale de droite est un trait doublé, lu comme un isomorphisme. Comme X est normal, \overline{X} cf. EGA IV 6.15.6, il s'ensuit que \beta est surjectif (SGA 1 V …), donc l'est aussi \alpha. \pi_1(X) \alpha et \beta sont surjectifs. On en conclut que si les conclusions de 1.1 sont vraies pour (U,\xi), elles sont vraies pour (X,\xi).

2.2. On voit que la condition Note marginale de neuf lignes écrite de biais dans la marge gauche, barrée de deux traits ; on y devine K', X(\ill{}), \pi_1(X,\xi), \pi_1(S,\xi), le reste est illisible.

2.3. Sans Alors Supposons donc X affine, doncLa suite, jusqu'au bas de la page, est biffée de traits obliques ; elle se lit néanmoins. quasi-projectif, et supposons de plus \dim X = 1. Alors X est un ouvert d'une courbe normale projective \hat{X} (EGA II 7.…). Quitte à faire une extension radicielle finie de K, on est ramené au cas où \hat{X} est une lisse sur K, et où les points de \hat{X} - X sont tous rationnels sur K. Soient x_i (1 \leq i \leq n) ces pts.

Cette page reprend, sous une autre forme, les nos 2.2 et 2.3 de la page précédente. On a alors la suite exacte bien connue :

2.2. On voit de même que la conclusion ne change pas \pi_1(X si on remplace k par une extension finie k', X par X' = X \otimes_k k', et \xi par un pt géom. \xi' au-dessus de \xi. En effet, cela revient à remplacer \pi_1(X,\xi) par un s.-groupe ouvert, image inverse du s.-groupe ouvert de \pi_1(S,\xi) défini par l'extension k'/k.

2.3. Supposons maintenant X quasi-projectif, comme il est loisible par 1.1. Il existe alors un schéma projectif X', sur k, tel que X soit dense un ouvert de X'. On peut de plus supposer X' normal (quitte à le remplacer par (X'_{\mathrm{red}}) normalisé de). Utilisant EGA IV 17.15.14.2, on voit qu'il existe existe une extension finie radicielle k_1 de k, telle que X_1 normalisé de X'_1 = X' \otimes_k k_1 soit géom. normal. Il des X \otimes_k k_1, qui s'identifie à un ouvert de \widetilde{X}'_1. Comme X_1 est géom. unibranche (EGA IV 6.15.6), \overline{X}_1 \to X_1 est radiciel surjectif, donc induit un isom. sur \overline{X}_1 \to \overline{X'_1} les \pi_1 (SGA 1 VIII …). Donc, conjuguant cette remarque avec 2.2, on est ramené au cas où X' est géom. normale.

2.4. On sait déjà que V = \pi_1(\overline{X})^{\mathrm{ab}}(\ell) est un module de t.f. sur \mathbb{Z}_\ell, ce qui revient au même que H^1(\overline{X}, \mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z}) est un groupe fini. Ceci est vrai pour X schéma de t.f. sur un corps sép. alg. clos, et la démonstration par réduction au cas des courbes, on la prouvera dans no 3. Lorsqu'on sait que \pi_1(\overline{X})^{\mathrm{ab}}(\ell) est de t.f. sur \mathbb{Z}_\ell, dans la relation : dans la relation énoncée en 1.1, vraisemblablement. prouvons, \pi_1(\overline{X})(\ell)_{\pi_0} fini i.e. () V_{\pi_0} fini i.e. (V \otimes_{\mathbb{Z}_\ell} \mathbb{Q}_\ell)_{\pi_0} = 0, et par dualité elle équivaut à la relation (\check{V})^{\pi_0} = 0 où \check{V} = \mathrm{Hom}_{\mathbb{Z}_\ell}(V, \mathbb{Z}_\ell). Or on a un isom. canonique \check{V} \simeq \mathrm{Hom}(\pi_1(\overline{X},\xi), \mathbb{Z}_\ell) \simeq H^1(\overline{X}, \mathbb{Z}_\ell), évidemment compatible avec l'action de \pi_0. Donc la conclusion de 1.1 s'écrit de façon équivalente, en termes cohomologiques \begin{equation} H^1(\overline{X}, \mathbb{Z}_\ell)^{\pi_0} = 0 . \tag{2.4.1} \end{equation}

faire une section 2.4… spéciale être vers Faire d'abord une réduction au cas où \pi = \pi_1(X,\xi), en introduisant le rev. étale fini X' de X qui correspond à \pi \subset \pi_1(X,\xi).Ces deux dernières lignes sont encadrées, reliées à la note marginale.

2.5. Dans ce qui suit, nous supposons \dim X = 1, \dim X' = 1. Quitte à faire encore une extension finie sur k, on peut supposer les points x_i (1 \leq i \leq n) de X' - X rationnels sur k. On a alors une suite exacte bien connue 0 \to H^1(\overline{X'}, \mathbb{Z}_\ell) \to H^1(\overline{X}, \mathbb{Z}_\ell) \to \prod_{1 \leq i \leq n} H^2_{x_i}(\overline{X}, \mathbb{Z}_\ell) \to H^2(\overline{X'}, \mathbb{Z}_\ell) \to 0 \tag{2.5.1} La flèche finale vers 0 est tracée verticalement sous H^2(\overline{X'},\mathbb{Z}_\ell). avec les flèches sont (évidemment) compatibles avec l'action de \pi_0 = \mathrm{Gal}(\overline{k}/k). De plus, on a des isomorphismes canoniques H^2_{x_i}(\overline{X}, \mathbb{Z}_\ell) \simeq \mathbb{Z}_\ell(-1) \tag{2.5.2} À la suite de cette formule, une expression biffée : \varprojlim_\nu {}_{\ell^\nu}\overline{k}^*. où l'on a \mathbb{Z}_\ell(-1) = \mathbb{Z}_\ell(1)^{\otimes(-1)}, \qquad \mathbb{Z}_\ell(1) = \varprojlim_\nu \left( {}_{\ell^\nu}\overline{k}^* \right) . \tag{2.5.3} (De plus, on a un isom. canonique H^2(\overline{X'}, \mathbb{Z}_\ell) \simeq \mathbb{Z}_\ell(-1), et l'homomorphisme \prod \to H^2(\overline{X'}, \mathbb{Z}_\ell) s'identifie à l'homomorphisme somme.) L'isomorphisme (2.5.2) est encore compatible avec l'action de \pi_0, opérant sur le second membre de façon explicitée par la formule (2.5.3).

Il s'ensuit que en tant que \pi_0-module \ell-adique, H^1(\overline{X}, \mathbb{Z}_\ell) est une extension de \mathbb{Z}_\ell(1)^{n-1} par H^1(\overline{X'}, \mathbb{Z}_\ell). Comme l'opération de \pi_0 sur \mathbb{Z}_\ell(1) est non triviale, il s'ensuit déjà qu'on a Le signe de la torsion : il écrit \mathbb{Z}_\ell(-1) en (2.5.2) et \mathbb{Z}_\ell(1)^{n-1} ici, comme sur la page.

H^1(\overline{X}, \mathbb{Z}_\ell)^{\pi_0} = H^1(\overline{X'}, \mathbb{Z}_\ell)^{\pi_0} . \tag{2.5.4} Je vais Reste à voir que le dernier membre est nul : H^1(\overline{X'}, \mathbb{Z}_\ell)^{\pi_0} = 0 . \tag{2.5.5} C'est une conséquence connue de l'hyp. de Riemann–Weil, prouvée en dim. 1. Explicitons l'argument. Soit A Posons \overline{X'} = C_k.lecture douteuse de ce qui suit « Posons ». On sait que k corps des fonctions est une extension de type fini sur \mathbb{Z}, telle que \boxtimes C provienne d'un schéma C_S sur S = \mathrm{Spec}\,R, propre et lisse sur S (on peut supposer S normal). La relation (2.5.5) s'écrit alors H^0(S, R^1 f_*(\mathbb{Z}_\ell)) = 0 où f \colon C \to S. Sous cette forme, on voit que cette relation ne change pas si on remplace S par un ouvert non vide de S, donc ponctuel \xi de S, par l'opération de \pi_1(S,\xi) sur H^1(C_{\overline{\xi}}, \mathbb{Z}_\ell), pour \xi choisi, on pourra supposer de S, donc réduire Alors à prouver, se réduit à la relation H^1(C_{\overline{s}}, \mathbb{Z}_\ell)^{\pi_1(s,\overline{s})} = 0 \tag{2.5.6} pour fini.La rédaction de ce paragraphe est très surchargée ; seules les formules et l'articulation se lisent avec sûreté.

Ceci, ramène au cas d'un corps de base fini. Mais dans ce cas on sait par la généralité, il suffira donc que \pi_0 = \hat{\mathbb{Z}}, engendré de Frobenius , Frob de \hat{\mathbb{Z}} opérant sur H^1(C_{\overline{s}}, \mathbb{Z}_\ell) [2, …] valeurs absolues q^{1/2} (q = \mathrm{card}\,k). Donc elles sont \neq 1 (2.5.6) ce qui est trivial.Ce passage, encadré, est biffé de traits obliques.

Remarques 2.6. Nous avons utilisé en substance 2 propriétés du corps K : a) \in \overline{\pi} les racines \ell^\nu-ièmes de l'unité, est infini. b) Pour schéma abélien A sur une extension finie K' de K, T_\ell(A)_\pi est fini, où \pi = \mathrm{Gal}(\overline{K'}/K') ce qui revient à savoir que T_\ell(A)^\pi . Pour b) il ne suffit (exemple : K = \mathbb{R}). \mathrm{Ker}(1-f) dans H^1(C_{\overline{s}}, \mathbb{Z}_\ell) \simeq T_\ell(A)^\vee est nul, i.e. \mathrm{Coker}(1-f) dans T_\ell(A) fini, i.e. \mathrm{Ker}(1-f) dans T_\ell(A) fini, i.e. A(k) fini, ce qui est trivial. Deux notes écrites en long dans la marge gauche ; dans un cartouche, en haut, des renvois biffés illisibles (« EGA » s'y devine).

3. Réduction au cas de la dimension 1

3.1. Supp. Soit d'abord k un corps quelconque, X' un schéma projectif intègre normal, géom. connexe géométriquement unibranche sur k, X un ouvert dense de X', \xi un pt géom. de X', \overline{k} la clôture séparable de k dans k(\xi), \overline{X'}, \overline{X} déduits de X', X par k \to \overline{k}. On a On veut étudier \pi_1(\overline{X},\xi), et nous nous intéressons en fait au groupe fondamental d'une courbe lisse sur un corps convenable. Comme on sait en , \pi_1(\overline{X},\xi) est muni de façon naturelle d'un groupe d'opérateurs, à savoir \pi_1(S,\xi) (S = \mathrm{Spec}\,k), qui permet de considérer aussi la suite exacte 1 \to \pi_1(\overline{X},\xi) \to \pi_1(X,\xi) \to \pi_1(S,\xi) \to 1 . \tag{3.1.1} Soit T le schéma Nous supposons X' immergé dans un \mathbb{P}^r_k. Soit n = \dim X', et soit T la grassmannienne des sous-espaces linéaires (EGA I, 2 édition, …) projectifs de codimension n-1 dans P, t le point générique de T, K = k(t), qui est une extension de t.f. pure de k. Soit L_t le sous-espace « générique » de codimension n-1 de P_K qui correspond à t \in T_K, et considérons C' = L \cap X'_K . Il est connu que \dim C' = 1, que C' est géom. connexe normal et géom. connexe. Soit C l'image inverse de X_K dans C'.

\begin{tikzcd} C \arrow[r, hook] \arrow[d] & C' = L_t \cap X'_K \arrow[d, no head] \\ X_K \arrow[r, hook] & X'_K \end{tikzcd}

Petit diagramme écrit dans la marge gauche, en face de la définition de C' ; la flèche verticale de droite est un simple trait.

Considérons l'image le morphisme canonique C \to X composé de l'inclusion C \to X_K et X_K \to X. Nous supposons que l'image de \xi dans X est contenue dans celle de C. Ceci signifie seulement l'exclusion du cas (exclu \dim \overline{\{x\}} \geq 1) ;

3.1.1. Ceci équivaut, à près, dans le cas d'hypothèse anodine. Soit \xi, cela est une \xi_1 un point géométrique de C au-dessus de \xi, \begin{array}{ccc} \xi_1 & \longrightarrow & \xi \\ \downarrow & & \downarrow \\ C & \longrightarrow & X \\ \downarrow & & \downarrow \\ \mathrm{Spec}\,K & \longrightarrow & S \end{array} \tag{3.1.2} et soit \overline{K} la clôture sép. de K = k(t) dans k(\xi_1). Un astérisque est placé à droite de cette phrase, sans renvoi visible.

Le passage qui suit est encadré et biffé de deux traits obliques. On a un diagramme commutatif d'inclusions de corps \begin{array}{ccc} k & \longrightarrow & K = k(t) \\ \downarrow & & \downarrow \\ \overline{k} & \longrightarrow & \overline{K} \end{array} Ce diagramme est biffé avec le passage qui l'entoure. Considérons aussi le corps K\overline{k} composé dans \overline{K}, qui n'est autre que le corps k(\overline{t}), où \overline{t} est le point générique de T_{\overline{k}}.

Le diagramme (3.1.2) donne un diagramme commutatif, à lignes exactes :

\begin{tikzcd}[column sep=small] 1 \arrow[r] & \pi_1(\overline{C},\xi_1) \arrow[r] \arrow[d, "\alpha"] & \pi_1(C,\xi_1) \arrow[r] \arrow[d, "\beta"] & \pi_1(\mathrm{Spec}\,K,\xi_1) \arrow[r] \arrow[d, "\gamma"] & 1 \\ 1 \arrow[r] & \pi_1(\overline{X},\xi) \arrow[r] & \pi_1(X,\xi) \arrow[r] & \pi_1(\mathrm{Spec}\,k,\xi) \arrow[r] & 1 \end{tikzcd}

Diagramme numéroté (3.1.3). Au-dessus de \pi_1(\mathrm{Spec}\,K,\xi_1), écrit sur un terme raturé, il note « \mathrm{Gal}(\overline{K}/K) » relié par un signe d'égalité. où on a posé \overline{C} = C \otimes_K \overline{K}. Ceci posé, je

Ceci posé, on a

Lemme 3.2. Avec les hyp. et notations précédentes, dans le diagramme (3.1.3), les trois homomorphismes verticaux \alpha sont surjectifs.

Pour prouver le lemme, Il suffit de prouver la surjectivité de \gamma et \alpha. Celle de \gamma provient du fait que K = k(t) est une extension transcendante pure de k, donc k est algébriquement fermé dans K. Notons maintenant que la flèche \overline{C} \to \overline{X} donnant naissance à \alpha est la même que celle qu'on obtiendrait en remplaçant faisant le changement de corps de base k \to \overline{k}. Donc on peut supposer k séparablement clos, et on à doit examiner le morphisme sur les \pi_1 induit par C \to X . Dire que ce morphisme sur les \pi_1 est surjectif signifie que pour tout revêtement étale connexe X_1 de X, son image inverse \overline{C}_1 sur \overline{C} est

connexe. Il suffit de voir que l'image inverse C_1 sur C est géom. connexe ou même géom. irréd. Or X_1 provient d'un revêtement étale normal intègre X'_1 \to X' [EGA V ]. En vertu du th. de Bertini, l'image inverse dans X'_1 \to \mathbb{P}^r de L_t est géom. géom. irréductible, ce qui implique que l'image C_1 de sur C l'est, i.e. \overline{C_1} est géom. connexe. Cela prouve le lemme.

3.3. De 3.2 résulte aussitôt que si l'extension C sur K satisfait aux conclusions de 1.1, il en est de même de X sur k. Compte tenu des réductions déjà faites dans 2.3, cela nous ramène, pour prouver 1.1 sur k, au cas d'une courbe algébrique lisse sur K déjà traité dans no 2. CQFD Le k étant de t.f., il en est de même de K !).

Remarque 3.4. Le lemme 3.2. Prouve aussi la même chose que si X est un schéma de t.f. sur un corps de car. p \geq 0 séparablement clos, alors le plus grand quotient premier à p \pi_1(X,\xi)' \mathbb{P} de \pi_1(X,\xi), est topologiquement de présentation finie (SGA 1 ). En effet, la théorie de la descente nous permet de nous ramener au cas où X est géom. unibranche normal irréductible, et puis au cas X affine , puis 3.2. nous ramène au cas où X est une à une courbe projective lisse X'. Or pour une telle X, le la finitude annoncée du \pi_1(X,\xi)' est résultat de (SGA 1 …).

4. Un complément au th. principal

Proposition 4.1. Sous les conditions de 1.1, pour tout k nb premier \ell sauf un nb fini, le groupe on a \overline{[\pi', I(\ell)]} = I(\ell), i.e. le plus grand quotient premier de I(\ell) sur lequel \pi_0 opère trivialement est nul.

On voit par dualité, en procédant comme dans 2.4, que cet énoncé équivaut au suivant :

Proposition Corollaire 4.2. Pour presque tout \ell, on a H^1(\overline{X}, \mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z})^{\pi_0} = 0 .

Pour prouver ceci, on est encore ramené, par les réductions de 2.3, au cas où X \subset X' X est un ouvert d'un X' projectif et géom. normal sur k. Dans ce cas, 3.2. nous ramène au cas où X' est de dim. 1, donc est une courbe lisse et complète. Prenant une extension finie de k, on peut supposer rationnels x_i les pts de X' - X rationnels sur k. On utilise alors la suite exacte analogue à (2.5.1) \to H^1(\overline{X'}, \mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z}) \to H^1(\overline{X}, \mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z}) \to \prod_i H^2_{x_i}(\overline{X}, \mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z}) \to H^2(\overline{X'}, \mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z}) \tag{4.2.1} qui nous montre que H^1(\overline{X}, \mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z}) est une extension de \left(\mu_\ell(\overline{k}^*)^{\otimes -1}\right)^{n-1} par H^1(\overline{X'}, \mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z}). Soit N = \text{card du groupe des racines de 1 dans } k^* \tag{4.2.2} Le numéro de la première formule est surchargé ; on lit (4.2.1) ou (4.3.1), puis (4.2.2) ou (4.3.2).

Alors, si \ell \nmid N, on aura \mu_\ell(k^*) \pi_0 opère non trivialement sur le \mathbb{F}_\ell-espace vectoriel de dim 1 \mu_\ell(\overline{k}^*)^{\otimes -1}, donc sur son dual V, donc V^{\pi_0} = 0, ce qui implique que H^1(\overline{X}, \mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z})^{\pi} \subset H^1(\overline{X'}, \mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z})^{\pi} \quad \text{si } \ell \nmid N . \tag{4.2.3} Or on a, si A est la jacobienne de X', \text{\struck{$H^1(\overline{X'}, \mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z}) \simeq {}_\ell A(\overline{k})^\vee$}} , où le \vee désigne le dual : les \mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z}.

D'autre part, H^1(\overline{X'}, \mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z})^\pi = 0 signifie comme dans 2.5 on se ramène, par la relation H^1(\overline{X'}, \mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z})^\pi = 0 pour presque tout \ell, i.e. {}_\ell A(\overline{k})^{\vee\pi} = 0 i.e. ({}_\ell A(\overline{k}))_\pi = 0 au cas où k est fini. Alors Soit f bien connu, que Soit f le générateur de Frobenius de \pi_0 \simeq \hat{\mathbb{Z}}, et soit V = {}_\ell A(\overline{k}). Comme V est fini, \mathrm{Ker}(1-f_V) et \mathrm{Coker}(1-f_V) ont même cardinal, donc la relation ({}_\ell A(\overline{k}))_\pi = 0 \iff ({}_\ell A(\overline{k}))^\pi = 0 \quad \text{i.e.} \quad {}_\ell A(k) = 0 . Or soit N' l' ordre du groupe fini A(k). On voit que {}_\ell A(k) = 0 \quad \text{si } \ell \nmid N' . Par suite, on trouve que si \ell \nmid NN', on a H^1(\overline{X'}, \mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z})^\pi = 0, \quad \text{cqfd.} Il écrit ici \overline{X}^\ell ou \overline{X'} ; la lecture \overline{X'} suit l'argument.

Corollaire 4.3. Soit X un schéma normal géométriquement intègre loc. de t.f. sur un corps fini \mathbb{F}_{p^r}. Alors pour tout nb premier \ell \neq p, l'homomorphisme \pi_1(X,\xi)^{\mathrm{ab}}(\ell) \to \pi_1(\mathbb{F}_p) \simeq \hat{\mathbb{Z}} a un noyau fini, et pour presque tout \ell, c'est un isomorphisme.

5. Réduction du th. de monodromie pour H^1(\overline{X}, \mathbb{Z}_\ell) au cas d'une courbe projective lisse géom. connexe

5.1. La suite spectrale de descente pour un morphisme fini (SGA 4 VIII …) nous ramène au cas X normal.

5.2. On peut alors supposer X affine, et Une extension finie du corps de base nous ramène au cas où de plus X est un ouvert d'un schéma projectif X' géom. connexe et géom. t unibranche.

5.3. Dans ce cas, 3.2 (qui implique que H^1(\overline{X}, \mathbb{Z}_\ell) \to H^1(\overline{C}, \mathbb{Z}_\ell) est injectif) nous ramène au cas où X' est une courbe projective et lisse.

[NB Si K = k(t_1, \ldots t_r), il est, On choisit arbitrairement un anneau de valuation V' du K' = K(t) dominant V ; dans l'image de I' \to I est d'indice fini dans V]. Dans ce cas, la suite on peut encore supposer que les pts de X' - X sont rat. sur K. Alors, dans la suite exacte (2.5.1), l'opération de \overline{I} sur les H^2_{x}(\overline{X}, \mathbb{Z}_\ell) \simeq \mathbb{Z}_\ell(-1) est triviale, donc il revient à prouver que l'action sur H^2(\overline{X'}, \mathbb{Z}_\ell) est quasi-unipotente, ce qui est la réduction annoncée.Il écrit bien H^2(\overline{X'},\mathbb{Z}_\ell) ; l'argument demande vraisemblablement H^1. La section 5 se poursuit au-delà de ce lot.