Cote n° 34, pages 21–40

Cote n° 34 · batch 2 · pages 21–40 · Transcription · SGA 7 : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [vers 1967-1973]
Édition de démonstration

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21p. 20 de l'auteur ; la phrase commence à la page précédente, hors du lot. la représentation quasi-unipotente s'il existe un sous-groupe ouvert $U$ de $\pi$ tel que la représentation induite $u|U$ soit unipotente.

5.2. Supposons $R$ infini, et soit $G$ le groupe algébrique engendré par $u(\pi)$, Alors égal à l'adhérence (pour la structure induite réduite) de l'ens. $u(\pi)$la page porte un signe que l'on peut lire $u(G)$ ; le sens demande $u(\pi)$. dans le schéma en groupes des […] ⌜automorphismes⌝ de $E$. Comme l'ens. des […] ⌜automorphismes⌝ unipotents ⌜est⌝ une partie Zariski-fermée de l'ens. $\mathrm{Aut}(E)$, il s'ensuit que $u$ est unipotente ssi $G$ est unipotent (i.e. tous ses éléments sur $\overline{R}$ sont des automorphismes unipotents de $E_{\overline{R}}$).

Notons que $G/G^{0}$ est un groupe discret, isom. à $\pi/U$, si $U$ est l'image inverse de $G^{0}(R)$.

5.3. Dès lors, Si $R$ est un corps topologique, et $u$ est continue, alors dire que $u$ est quasi-unipotente revient à dire que $G^{0}$ est unipotent. C'est évidemment suffisant, ⌜par la top. discrète de $G/G^{0}$⌝, car l'homomorphisme \[\pi \longrightarrow (G/G^{0})(R) \simeq G(R)/G^{0}(R)\] est continu, donc le noyau ⌜l'image inverse⌝ de $G^{0}(R)$ est un sous-groupe ouvert $U$ de $\pi$. Inversement, si $u$ est quasi-unipotente, il y a un sous-groupe ouvert $U$ de $\pi$ qui opère de façon unipotente, prenons $U$ assez petit […] $U \subset u^{-1}(G^{0}(R))$. Alors $\overline{u(U)}$ est un sous-groupe algébrique ⌜(lisse $H$)⌝ de $G$, dont

petit croquis à l'encre et au crayon dans la marge inférieure gauche : des arcs, des traits, la lettre $R$ et le mot constante souligné ; le croquis ne se laisse pas lire.

22p. 21 de l'auteur. la contient immédiatement qu'il suffit […] ⌜il⌝ […] $H(\overline{R})$ d'indice fini dans $G^{0}(\overline{R})$, implique que $H = G^{0}$ ; donc comme $H$ est unipotent, il en est de même de $G^{0}$.

dès qu'on dispose de la condition $E^{\struck{H}} = E^{G^{0}}$.

5.4. Supposons maintenant que $\pi$ opère de façon quasi-unipotente (i.e. $G^{0}$ est unipotent) et supposons que $R$ est de car. nulle. Si $U$ est […] […]

Le passage qui suit, jusqu'à la fin de la page, est encadré et barré de deux longs traits obliques ; il est transcrit tel qu'il se lit. Soit $U$ […] $\pi$ qui opère de façon unipotente ([…] $u^{-1}(G^{0}(R))$), […] $E^{U}$, sur lequel $\pi/U$ opère. Je dis que $E^{U}$ ne dépend pas du choix de $U$ : il suffit de voir que $E^{U} = E^{U'}$ si $U' \subset U$, $U'$ invariant. Or $\pi/U'$ opère sur $E^{U'}$, donc via un groupe fini qui opère de façon unipotente, donc trivialement. De plus, $E^{U}$ […] ne dépend pas du sous-groupe $U$ invariant de $\pi$). Ceci nous permet de définir une filtration canonique de $E$, en posant \[\text{\struck{$E^{(0)} = 0$, \quad $E^{(i+1)} = $ image inverse de $(E/E^{i})^{U} = (E/E^{i})^{G^{0}}$ dans $E$.}}\] L'hypothèse que $G^{0}$ opère de façon unipotente implique que cette filtration est exhaustive. D'autre part, $U$ opère trivialement sur les gradués associés, par construction.

23p. 22 de l'auteur. Alors je dis que si $g \in G(R)$, $g$ est unipotent ssi $g \in G^{0}(R)$. En effet, on est réduit à prouver seulement « seulement si ». ⌜Il suffit de prouver⌝ : $g$ unipotent $\Rightarrow g \in G^{0}(R)$. On considère une l'image de $g$ dans le groupe quotient $\Gamma = G/G^{0}$ est un élément unipotent de $\Gamma(R)$, et comme […] est un […], c'est l'unité. Par […] Autrement dit :

On filtre $E$ par Le passage qui suit est encadré, et barré d'un trait oblique. $E^{0} = 0$, … $E^{i}$ …, $\xi$ avec \[\text{(5.4.1)} \qquad E^{i+1} = \text{image inverse dans $E$ de } (E/E^{i})^{G^{0}} .\] Cette filtration est ⌜exhaustive, i.e. $\exists\, i$ t.q. $E^{i} = E$⌝, finie et on a explicitement […] […] simplement que $G^{0}$ est unipotent. Alors $G/G^{0}$ opère sur les $E^{i+1}/E^{i}$, et si $g \in G$ est unipotent, il induit des op. unipotents sur les $E^{i+1}/E^{i}$, donc des opérations triviales, i.e. il provient d'un élément du […] $\mathrm{Gr}(E)$. Mais comme […] […] de l'op. de $G/G^{0}$ est fidèle […] […], $E \sim \mathrm{Gr}(E)$ par une […].

En particulier, l'image inverse $U$ de $G^{0}(R)$ dans $R$ est le plus grand sous-groupe de $\pi$ opérant de façon unipotente, a fortiori le plus grand sous-groupe ouvert ayant cette propriété.

5.5. […] Notons que […] les composantes connexes des groupes algébriques ⌜unipotents⌝ commutatifs ⌜sur un corps $R$ de car. nulle⌝ sont connexes, prenant les filtrations « caractéristiques » de $G^{0}$ (par les commutateurs successifs, $G^{(0)} = G$,

24p. 23 de l'auteur. $G^{(i+1)} = [G^{(i)}, G]$) tels que $\mathrm{Gr}(G^{0})$ soit un groupe vectoriel. On en conclut, comme \[H^{i}(\Gamma, V) = 0 \quad \text{pour } i \geq 0\] si $V$ est vectoriel sur lequel $\Gamma$ opère (car $V$ est uniquement divisible …), que l'extension $G$ de $\Gamma$ par $G^{0}$ est splittée de façon unique à un unique […] près, ce qui veut dire \[\text{(5.5.1)} \qquad G \simeq \Gamma \cdot G^{0} ,\] Ceci […] ⌜$\Gamma$ opérant de façon naturelle⌝ sur $E$, et […] […] […] $\Gamma$ […] […] que $g \in G(R)$, […] $g$ unipotent $\Rightarrow g \in G^{0}(R)$]. […]

(5.6) : 5.6 P. ex.

25p. 24 de l'auteur ; la page est barrée de deux longs traits obliques. 5.5. On en conclut que il existe le plus grand ⌜l'ens. des⌝ $g \in \pi$ tels que $u(g)$ soit unipotent est un sous-groupe ouvert invariant de $\pi$, à savoir $u^{-1}(G^{0}(R))$ ; c'est évidemment le plus grand sous-groupe ⌜(ouvert)⌝ […] de $\pi$ qui opère de façon unipotente. ⌜Notons-le $U$⌝. On a \[\text{(5.5.1)} \qquad \pi/U \simeq (G/G^{0})(R) = G(R)/G^{0}(R) .\] Soit $U'$ un sous-groupe ⌜ouvert⌝ […] de $\pi$, […] opérant de façon unipotente, i.e. un sous-groupe ouvert de $U$, je dis

\[E^{U'} = E^{U} = E^{G^{0}} .\] En effet, on voit supposer que $U'$ est invariant, ⌜alors⌝ $U/U'$ opère sur $E^{U'}$, et […] ⌜c'est⌝ un groupe fini qui opère de façon unipotente, donc trivialement, donc $E^{U'} = E^{U}$. On a $E^{U} = E^{G^{0}}$, car il suffit de […] que $\overline{u(U)} = G^{0}$.

5.6. Supposons maintenant que $R = \mathbf{Q}_{\ell}$, alors ⌜(et $G^{0}$ commutatif)⌝, ⌜i.e. que l'opération de $\pi$ sur $E$ soit « quasi-déployée »⌝. ⌜Alors⌝ \[U \longrightarrow G^{0}(\mathbf{Q}_{\ell}) \simeq \mathbf{Q}_{\ell}^{d} ,\] Donc $G^{0} \simeq \mathbf{G}_{a}^{d}$ (avec structure vectorielle canonique) comme l'image un sous-groupe compact de $\mathbf{Q}_{\ell}^{d}$, lequel est nécessairement isomorphe à un $\mathbf{Z}_{\ell}^{d'}$ ($d' \leq d$). Comme […] $\overline{u(U)}$ engendre le groupe algébrique $G^{0}$, il s'ensuit aussitôt que $d' = d$, et que $u(U)$ est un sous-$\mathbf{Z}_{\ell}$-module de $G^{0}(\mathbf{Q}_{\ell})$ qui engendre l'esp. vectoriel $G^{0}(\mathbf{Q}_{\ell})$.

26p. 25 de l'auteur. Si \[\text{(5.6.1)} \qquad N = \operatorname{Ker}\bigl(u : \pi \longrightarrow G(\mathbf{Q}_{\ell}) \subset \mathrm{Aut}(E)\bigr), \quad \text{(donc $N \subset U$)},\] on voit donc que \[U/U \cap N \hookrightarrow G^{0}(R)\] s'identifie à un $\mathbf{Z}_{\ell}$-module libre de rang $d$ ⌜dans⌝ $G^{0}(R)$ ⌜donc⌝ engendrant rationnellement $G^{0}(R)$ qui engendre $\mathbf{Q}_{\ell}$. D'ailleurs, on trouve ainsi un homomorphisme d'extensions

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\begin{tikzcd}[column sep=small]
1 \arrow[r] & U/N \arrow[r] \arrow[d, hook] & \pi/N \arrow[r] \arrow[d, hook] & \pi/U \arrow[r] \arrow[d, "\wr"] & 1 \\
1 \arrow[r] & G^{0}(R) \arrow[r] & G(R) \arrow[r] & G(R)/G^{0}(R) \arrow[r] & 1
\end{tikzcd}

Ainsi, le […] groupe algébrique $G(R)$ est […] canoniquement déterminé ⌜à iso unique près⌝la parenthèse ajoutée, sous la ligne, se lit aussi « bornée » ; la lecture reste douteuse. (à isomorphisme ⌜unique⌝ près) par la connaissance du sous-groupe $U$ de $\pi$, et du ⌜fermé⌝ sous-groupe $N$ de $\pi$ tel que $U/N \simeq \mathbf{Z}_{\ell}^{d}$. $G(R)$ est en effet l'image de l'extension canonique de $\pi/U$ par $U/N$ […] par l'homomorphisme canonique \[U/N \longrightarrow U/N \otimes_{\mathbf{Z}_{\ell}} \mathbf{Q}_{\ell} .\]

[N.B. : la structure de $\mathbf{Z}_{\ell}$-module sur le groupe profini $U/N$ est canoniquement déterminée), et la structure de groupe algébrique se détermine aussi trivialement …

Si ${}^{1}M_{\ell} = U/[U,U]^{(\ell)}$ ⌜complété $\ell$-primaire⌝ est un $\mathbf{Z}_{\ell}$-module de t.f. ⌜l'extension correspondante⌝, alors on construit une […] ⌜[…]⌝ extension universelle de $\Gamma = \pi/U$ par le groupe vectoriel ⌜correspondant⌝ : $M_{\ell} \otimes_{\mathbf{Z}_{\ell}} \mathbf{Q}_{\ell}$.

27p. 26 de l'auteur. 5.7. Comme groupe algébrique abstrait cependant, $G$ est déterminé par la connaissance de $\Gamma \simeq \pi/U$, et de sa représentation par automorphismes du vectoriel $V$ $E$ […] du vectoriel \[U/N \otimes_{\mathbf{Z}_{\ell}} \mathbf{Q}_{\ell} ,\] quotient du vectoriel \[\underbrace{U/[U,U]^{(\ell)}}_{\text{complété $\ell$-primaire}} \otimes_{\mathbf{Z}_{\ell}} \mathbf{Q}_{\ell} .\]

Lorsque $\pi = I \simeq \mathbf{Z}_{\ell}(1)$ ⌜$\mathrm{Gal}(\overline{K}/K) \simeq$⌝ comme on sait, ⌜(cas strict. local)⌝, $\Gamma$ puisque $U$ est d'indice fini, $\Gamma_{U}$lecture douteuse : un $\Gamma$ indicé d'un $U$ souligné deux fois, à côté de « iso ». iso[…], […] isomorphisme canonique \[\text{(5.7.1)} \qquad U/[U,U]^{(\ell)} \simeq \mathbf{Z}_{\ell}(1)\] (isom. canonique), donc […] […] ⌜et⌝ ⌜une⌝ représentation naturelle de $\pi/U = \Gamma$ « dans $\mathbf{Z}_{\ell}(1)$ », i.e. \[\pi/U = \Gamma \longrightarrow \mathbf{Z}_{\ell}^{*}\] qui est connue pour être triviale ⌜(3.15)⌝. Donc on aura un isom. ⌜canonique⌝ déduit de (5.5.3)lu « (5.5.3) » ; aucune formule de ce numéro n'apparaît dans le lot. \[\text{(5.7.2)} \qquad G \simeq G^{0} \times \Gamma \quad \text{\struck{\ill{}}}\] et $G^{0}$ est le groupe […] i.e. ici $G^{0}$ est soit nul, soit […] canoniquement isomorphe au $\mathbf{Q}_{\ell}(1)$, groupe algébrique défini par le vectoriel $\mathbf{Q}_{\ell}(1)$. On a en particulier \[\text{(5.7.3)} \qquad \begin{cases} G(\mathbf{Q}_{\ell}) \simeq \Gamma = \pi/U & \text{si $G$ fini, i.e.\ $U$ opère trivialement,} \\ G(\mathbf{Q}_{\ell}) \simeq \mathbf{Q}_{\ell}(1) \times \Gamma & \text{sinon.} \end{cases}\]

28p. 27 de l'auteur. Le haut de la page (5.10 et 5.10.1) est barré de grands traits croisés ; la section 6 qui suit, de deux traits obliques. 5.10. On peut aussi regarder, […] […] pour une représentation $E$ $\ell$-adique donnée de $I$, le sous-module \[\text{\struck{(5.10.1) \quad $E^{P}$}}\] des invariants sous $P$. Il est stable par $I$, et par passage au quotient, $I/P = I_{t} \simeq \prod_{\ell \neq p} \mathbf{Z}_{\ell}(1)$ opère sur $E^{P}$.

En tout cas, une représentation $\ell$-adique quasi-unipotente de $\pi$ s'exprime en termes d'une représentation algébrique de $\Gamma \times_{\mathbf{Q}_{\ell}} W(\mathbf{Q}_{\ell}(1))$. On trouve des systèmes projectifs de telles […] sur $\mathbf{Q}_{\ell}$ : $\Gamma_{i} \times W(\mathbf{Q}_{\ell}(1))$ ($\Gamma_{i}$ quotients $I/V_{i}$, $V_{i}$ sous-groupes ouverts invariants), […] les « variétés » donnant une $\otimes$-catégorie équivalente à celle des repr. $\ell$-adiques de $I$ quasi-unipotentes.

6. Cas d'un corps résiduel fini

titre de l'auteur, souligné, barré avec le reste de la page ; « Cas […] d'un corps résiduel fini ».

généralisation à un corps résiduel de type fini […] […] […] obtenir […] […] […] l'exigence […]note de marge écrite en oblique, à moitié couverte par les traits ; lecture très incertaine.

Si $k$ … \[\text{\struck{(6.1) \quad card $k = q = p^{f}$}}\] on sait que \[\text{\struck{$\pi_{0} \simeq \widehat{\mathbf{Z}}$ ,}}\] (6.2) l'isomorphisme étant défini par le $\mathrm{frob}_{q}$ de $\pi_{0}$, défini par \[\text{\struck{(6.3) \quad $\mathrm{frob}_{q}(\lambda) = \lambda^{q}$ \quad ($\lambda \in \overline{k}$) .}}\] Cet automorphisme opère sur $\overline{k}^{*}$ par élévation à la puissance $q$, donc il opère de même sur les $\mu_{n}(\overline{k}^{*})$, donc sur $I_{t} = \prod_{\ell \neq p} \mathbf{Z}_{\ell}(1)$.

Par suite, […] […] se donner une représentation […] […] ([…] quelconque $R$) donnée […] \[\text{\struck{$u : \pi \longrightarrow \mathrm{Aut}_{R}(E)$}}\] est […] triviale sur le […] $I^{P}$…, […] donc, considérons $I_{t}$ comme […], […] isomorphisme : […] quotient de \[\text{\struck{$\widehat{\mathbf{Z}} \simeq \prod_{\ell} \mathbf{Z}_{\ell}$}}\]

29p. 28 de l'auteur. La section 6 reprend ici, sous un titre corrigé, ce que la p. 28 du fonds avait commencé et barré.

6. Cas d'un corps résiduel de type fini

Proposition 6.1. Soit $\pi$ un groupe profini, extension d'un groupe profini $\pi_{0}$ par un groupe profini […] ⌜résoluble⌝ […] $I$, ⌜(supposons que⌝ pour tout sous-groupe ouvert $\pi'_{0}$ de $\pi_{0}$, …) ⌜([…] […] $\pi'$ […] sous-groupe ouvert de $\pi$, $I' = \pi' \cap I$,⌝ [N.B. si $I$ est […] ⌜commutatif⌝, ⌜il suffit⌝ $I'_{\pi'_{0}} = \varprojlim (I'_{\alpha})_{\pi'_{0}}$ $= I'/[I',\pi']$ … (i.e. $I$ prenant les quotients finis de $I$ par un sous-groupe ouvert, invariant dans $\pi$)] et $\pi'$ un groupe invariant dans $\pi$ [fini] i.e. ⌜posant $I' = \pi' \cap I$,⌝ \[[I', \pi'] \quad \text{\emph{est d'indice fini dans} } I' , \quad \text{\emph{pour tout $\pi'$ ouvert}}\] invariant de $\pi'_{0}$ dans $\pi$). Alors pour toute représentation $\ell$-adique de $\pi$, la représentation induite sur $I$ est quasi-unipotente.

Vérifier nouvelle version à cause des groupes …note de marge écrite en oblique, à la hauteur de l'énoncé ; lecture très incertaine.

Soit $E$ le vectoriel de dimension finie sur $\mathbf{Q}_{\ell}$ sur lequel on fait opérer $\pi$. Soit $G = \ldots ($ $G(H)$ la composante neutre du groupe algébrique ⌜engendré par⌝ $\pi$ (resp. $I$), on sait que lorsque […] ⌜$\pi$ résoluble⌝ défini par $\pi$ (resp. $I$) dans $G$. L'hypothèse […] signifie ⌜sur $\pi$ implique⌝) \[H \subset G , \quad H \text{ invariant dans } G ,\] que \[[G, H] = H .\] On a aussi : $H = \struck{H_{\ill{}}\, H_{u}}$ ⌜$T \cdot U$⌝ (produit semi-direct de ⌜partie⌝ […] ⌜torique⌝ et partie unipotente), $H_{r}$ et $H_{u}$ […], ⌜$U$, donc $H/U \simeq T$⌝ et $G$ opère sur $H_{r}$ $T$ ([…] […] […]) trivialement ($G$ étant […] connexe). Alors $[G, T] = T$ donc $T = 1$, \[[G, H] = H \quad \text{implique} \quad \text{\struck{$H_{r} = 1$,}}\] donc $H$ est unipotent, cqfd.

30p. 29 de l'auteur. Proposition 6.2. Soit $\pi = \mathrm{Gal}(\overline{K}/K)$, $\pi$ comme dans 6.1, […] le corps $k$ supposons que le corps résiduel $k$ soit tel que l'extension ⌜obtenue⌝ de $\overline{k}$ engendrée par les racines $\ell^{\nu}$-ièmes de l'unité ($\nu \in \mathbf{N}$) soit infinie. Alors toute extension toute représentation $\ell$-adique de $\pi$ induit sur $I$ une repr. quasi-unipotente.

En effet, quitte à remplacer $K$ par une extension finie $K'$ de $K$, et $I$ par un sous-groupe ouvert, on peut supposer que l'action de $I$ se fait à travers le quotient $I(\ell) = I_{t}(\ell) = \mathbf{Z}_{\ell}(1)$, […] l'hyp. de 6.1 se traduit par […] … : la représentation d'un quotient $\pi'$ de $\pi$, […] extension de $\pi_{0}$ par $\mathbf{Z}_{\ell}(1) \simeq \mathbf{Z}_{\ell}$. L'hypothèse faite sur $k$ signifie que l'hyp. de 6.1 est vérifiée.

Corollaire 6.3. Toute représentation $\ell$-adique […] ⌜continue⌝ de $\pi$ induit une repr. unipotente triviale de $I$.

Cf. II 1.12, qu'il y aurait lieu de reprendre ici.

31p. 30 de l'auteur. En tête, « I » puis « 6. » : une nouvelle rédaction de la proposition 6.1 commence. Prop. 6.1. Soit \[1 \longrightarrow I \longrightarrow \pi \longrightarrow \pi_{0} \longrightarrow 1\] une extension de groupes profinis, et supposons que pour tout sous-groupe ouvert $\pi'$ de $\pi$, posant $I' = I \cap \pi'$, le l'action de $I'$ sur […] […] […] $I'$, i.e. le groupe $[I', \pi']$ soit ouvert dans ⌜$I'^{\mathrm{ab}}(\ell)_{\pi_{0}}$⌝ plus grand quotient pro-fini de $I'^{\mathrm{ab}}(\ell)$, sur lequel $\pi'_{0} = \pi'/I'$ opère trivialement, est un groupe fini. Soit \[u : \pi \longrightarrow \mathrm{Aut}_{\mathbf{Q}_{\ell}}(E_{\ell})\] une représentation $\ell$-adique de $\pi$, soit et considérons la représentation induite par $u$ sur $H$ ($G$) le sous-groupe algébrique de $\mathrm{Aut}_{\mathbf{Q}_{\ell}}(E_{\ell})$ engendré par $u(I)$ (resp. $I(G)$). Alors

a) $H$ est invariant dans $G$, donc $H^{0}$ invariant dans $G$ et […], dans $G^{0}$.

b) L'affirmation de $G^{0}$ sur […] Soit $R$ le radical de $H^{0}$, ⌜(quotient inv. dans $G$, et sur⌝ $A = R/[R,R]$, ⌜Alors⌝ l'action de $G^{0}$ sur $A$ satisfait […] […] […] sont […] […] […] la condition \[A_{(G^{0})} = 0 , \quad \text{\emph{i.e.\ $A$ est} \struck{\emph{engendré}} \emph{engendré par les} } (1-g)(A), \ \text{\emph{où} } g \in G^{0}(\mathbf{Q}_{\ell}) .\]

c) $R$ est un groupe unipotent.

Dém. a) Résulte trivialement du fait que $I$ invar. dans $\pi$. Je suppose que $R$ est aussi invar. dans $G$, donc $G$ opère sur $A = R/[R,R]$.

b) Exprime l'hypothèse $I'_{\mathrm{ab}}(\ell)$ fini, en notant que $H^{0}/[H^{0},H^{0}] \longleftarrow R/[R,R] = A$ est une isogénie …

c) A priori, $R = T \cdot U$, $U$ unipotent, $T$ tore ($U$ ss-groupe car. de $R$). Le groupe $U$ est invariant dans $R$, et $G$ opère sur $R/U = T$, de façon que $G^{0}$ opère trivialement (car le groupe des aut. d'un tore fermement …

32p. 31 de l'auteur ; le bas de la page est vide. un groupe discret). Donc $T$ est un quotient de $A_{G^{0}}$, donc est nul ; i.e. $R = U$ est unipotent.

Corollaire 6.2. Supposons que le radical … résoluble. Alors […] $u|I$ est ess. unipotent.la ligne précédente se lit « que la restriction $u|I$ soit ess. v. » ; l'énoncé est très abrégé.

Prop. 6.3. Application aux groupes de monodromie …

33p. 32 de l'auteur. Ce cas, on conclut grâce à 6.6.

7. Le théorème de monodromie

titre de l'auteur, souligné ; à sa suite, une ligne biffée où se lit « énoncé conjectural » au-dessus d'un mot raturé.

L'énoncé est le suivant ⌜(Serre-Tate)⌝.

Conjecture 7.1. Soit $X$ un schéma de type fini sur $K$, ⌜(Soit $X$ …)⌝ […] […], … $\neq p$, et […] […] supposons que $H^{i}(X_{\overline{K}}, \mathbf{Z}/\ell\mathbf{Z})$ est fini ⌜cf. 0.3)⌝. Sous les conditions de l'exemple 0.3, et supposons $\ell \neq p$, la représentation induite sur le groupe d'inertie \[I \longrightarrow \mathrm{Aut}_{\mathbf{Z}_{\ell}}\bigl(H^{i}(X_{\overline{K}}, \mathbf{Z}_{\ell})\bigr)\] est quasi-unipotente, i.e. $\exists$ sous-groupe d'indice fini $U$ dans $I$ tel que l'image de $U$ soit formée d'opérations unipotentes dans $H^{i}(X_{\overline{K}}, \mathbf{Z}_{\ell})$.

7.2. Nous allons voir par la suite deux démonstrations « relatives » de cette conjecture, utilisant l'une et l'autre […] […] […] la résolution des singularités, de façon d'ailleurs assez différente. De ces démonstrations, il résulte que la conjecture est vraie dans chacun des cas suivants : a) $p = 1$, i.e. $k$ (ou ce qui revient au même, $K$) de car. nulle ; b) $i = 1$, […]mot de la marge biffé et encerclé, relié à b) par un trait. c) $S$ est le hensélisé (ou le […] ⌜hensélisé strict⌝) d'un anneau local d'un point d'un schéma de type fini sur un corps, ou sur $\mathrm{Spec}\,\mathbf{Z}$, et $X_{K}$ est propre sur $K$ ou $K$ de car. nulle. La première démonstration, qui est de nature arithmétique, sera donnée dans la

34p. 33 de l'auteur. présent exposé en se réduisant via 5.6 […] au cas d'un corps résiduel fini. Cette démonstration avec une résolution s'applique ⌜pour donner la conj. dans les cas a) et c)⌝. Dans La démonstration géométrique fera l'objet de l'exposé suivant ; elle permettra de préciser assez considérablement […] la conclusion de unipotence, et […] s'applique : l'énoncé actuel dans les cas a) et b).

7.3. On peut donner une autre forme précisée de 7.1, en y faisant varier le premier $\ell$, les nombres premiers (Serre et Tate) […] […] demandent ⌜dans⌝ distincts de $p$. […] […] ⌜$\Gamma$,⌝ […] groupe ⌜$H^{i}$⌝ ⌜pour deux $\ell$⌝ […] […] distincts que les représentations ⌜deux⌝ associés (quotients de $\pi$) … $= s$, et que les représentations distinctes, soient les « mêmes » dans un […] $\Gamma$ suivant […] plus […] … $\}$ de $\mathbf{Q}_{\ell}$, $\mathbf{Q}_{\ell'}$ ; […] $\mathrm{Tr}\, g_{H^{i}(\overline{X}, \mathbf{Q}_{\ell})}$ … ⌜[…]⌝ une extension commune des deux, on va dans les précisément, […] on veut […] plus généralement pour $g \in I$, et qu'il soit indépendant de $\ell \neq p$ : \[\text{(7.3.1)} \qquad \mathrm{Tr}\, g_{H^{i}(\overline{X}, \mathbf{Q}_{\ell})} = \mathrm{Tr}\, g_{H^{i}(\overline{X}, \mathbf{Q}_{\ell'})}\] pour tout $g \in \pi$. [Ceci sera prouvé pour $i = 1$ par […] dans les conditions de Néron.] De la suite, on montrera […] […] […] […] […] questions […] […] […] Serre et Tate […] […] […].

7.4. Lorsque $k$ est fini, (Serre et Tate) ⌜(dans $\mathbf{Q}$)⌝ ont formulé la conjecture que cette relation (7.3.1) entraîne encore $\forall g \in \pi$ dont l'image dans \[\mathrm{Gal}(\overline{k}/k) \simeq \widehat{\mathbf{Z}}\] […] ⌜tombe⌝ dans $\mathbf{Z}$. [Cela sera précisé … notre séminaire.]

(où $\mathrm{frobenius}$ […] les valeurs propres des $g$ sur $H^{i}(\overline{X}, \mathbf{Q}_{\ell})$ entières algébriques de valeur absolue … $q^{w/2}$, où $q = \mathrm{card}\, k$, $0 \leq w \leq 2i$)note marginale au crayon, en bas à gauche, reliée par une accolade au second 7.4 ; lecture très incertaine.

En outre il y a à voir que si $g \in \pi$ va sur $f^{-1}$ ⌜($f$ le générateur …)⌝ « $f^{-1}$ » est cerclé ; un mot raturé à sa suite.

7.4. On peut préciser partiellement les conjectures en tenant compte des représentations de tout le groupe […] des groupes algébriques $\Gamma_{\mathbf{Q}_{\ell}} \times \Gamma_{\mathbf{Q}_{\ell}}$, par exemple de $\Gamma_{\mathbf{Q}_{\ell}}$,

35p. 34 de l'auteur. en remarquant que ce groupe algébrique sur $\mathbf{Q}_{\ell}$ provient d'un groupe algébrique […] $G_{\mathbf{Q}} \times \Gamma_{\mathbf{Q}}$ sur $\mathbf{Q}$. On pourrait demander ⌜d'abord⌝ que si les représentations algébriques sur les adjoint $\mathbf{Q}_{\ell}$ en fait, par les $H^{i}(\overline{X}, \mathbf{Q}_{\ell})$ proviennent d'une $=$ représentation algébrique sur $\mathbf{Q}$. ⌜ce n'est raisonnable cependant⌝ ([…] […] […] […] […]) […] car nulle, ou une démonstration par voie transcendante pour $i = 1$ … (utilisant la cohomologie entière transcendante) devrait être possible. En car. résiduelle $> 0$, on peut remarquer que …

que ces représentations s'écrivent (de façon pas unique à isom. près) sur $\mathbf{Q}$ ; on peut demander qu'elles soient indépendantes de $\ell$. [N.B. $H$ la représentation induite ne s'écrit pas sur $\mathbf{Q}$ pour $\ell \neq p$, sinon pour $i = 1$ et une variété abélienne sur $K$ ayant « bonne réduction potentielle ».note de marge écrite en oblique le long du bord gauche, reliée au texte par un trait ; lecture d'ensemble très incertaine.

Dans le cas d'un corps résiduel fini, … « l'homologie algébrique » donne un groupe \[\mathbf{Z}_{\mathbf{Q}}(G_{\mathbf{Q}} \times \Gamma_{\mathbf{Q}}) = G\] sur $\mathbf{Q}$, produit semi-direct, ⌜de générateur $f_{q} \in \mathbf{Z}_{\mathbf{Q}}(\mathbf{Q})$ …⌝ de $G_{\mathbf{Q}}$ […] par la multiplication par $q$, et par $\Gamma$ comme il opère sur $(\Gamma/[\Gamma,\Gamma])(\ell)$ il opère ainsi par multiplication par $\Gamma$]. On peut alors demander que les représentations sur les adjoint $\mathbf{Q}_{\ell}$ par les $H^{i}(\overline{X}, \mathbf{Q}_{\ell})$ soient définies ⌜déduites⌝ ($\ell \neq p$) définies par … $\mathbf{Q}$, et déduites d'une $=$ représentation : celle-ci déduite … représentation de $G$ sur $\mathbf{Q}$.

36p. 35 de l'auteur.

8. Théorème de monodromie : démonstration arithmétique

titre de l'auteur, souligné.

Th. 8.1. Supposons que $V$ soit limite inductive ⌜filtrante⌝ de sous-anneaux locaux $V_{i}$, l'idéal ⌜l'idéal maximal $\mathfrak{m}_{i} = \mathfrak{m} \cap V_{i}$⌝ contenant l'uniformisant $t$, tels que les deux conditions suivantes soient satisfaites :

a) le des $V_{i}$ est ⌜régulier⌝ et le diviseur $\mathrm{div}(t)$ est … dans $\mathrm{Spec}\, V_{i}$ est à croisements normaux ⌜et $V_{i}/tV_{i}$ sont réguliers⌝, i.e. $t$ fait partie d'un système régulier de param. de $V_{i}$.

b) Le corps ⌜(résiduel)⌝ $k_{i} = k(V_{i})$ est tel qu'aucune extension finie de $k_{i}$ ne contienne toutes les racines $\ell^{\nu}$-ièmes de l'unité, pour $\ell \neq$ car. $k$.

Alors le th. de monodromie […] sous la forme 7.1 est vrai pour […] ⌜tout⌝ ⌜préschéma⌝ $X$ […] sur $K$, tel que ⌜lorsque l'opération de $I$ sur $H^{i}(X_{\overline{K}}, \mathbf{Z}_{\ell})$ $\otimes_{\mathbf{Z}_{\ell}} \mathbf{Q}_{\ell}$ se fait à travers $I_{t}$,⌝ $H^{i}(X_{\overline{K}},$ $\mathbf{Z}/\ell\mathbf{Z})$ soit fini dès dès que les $V_{\alpha}$ sont des anneaux de val. discrète.

Corollaire 8.2. Le théorème de monodromie ⌜sous la forme 7.1⌝ est vrai lorsque $H^{i}(X_{\overline{K}},$ $\mathbf{Z}/\ell\mathbf{Z})$ est fini pour $X_{K}$ propre sur $K$ dans […] chacun des cas suivants :

a) $V$ est ⌜le hensélisé de, le hensélisé strict de⌝ l'anneau local d'un point d'un schéma $S$ de type fini sur un ⌜un localisé de⌝ corps $k$, ou sur $\mathrm{Spec}$ $\mathbf{Z}$.

b) $V$ est de car. nulle, (i.e. $K$ est de caractéristique résiduelle nulle).

Démonstration 8.2. Cas a) Supposons $V$ le hensélisé de l'anneau local d'un … $S$ est de type fini sur $\mathrm{Spec}\,\mathbf{Z}$,

Cas a). Si … Supposons d'abord que $V$ soit l'anneau de v. d. […] ⌜qui⌝ est un localisé […] l'anneau local d'un schéma $S$ de type fini sur $\mathrm{Spec}$ ⌜un localisé de⌝ $\mathbf{Z}$, ou sur un corps $k_{0}$. Dans le premier cas, ⌜(où $S$ est de type fini sur le corps premier)⌝ le corps […] résiduel $k(V)$ est de type fini sur le corps premier, donc $V$ satisfait la condition

37p. 36 de l'auteur ; le bas de la page est vide. Dans le cas d'un corps de base $k_{0}$ quelconque, $k_{0}$ […] est limite inductive de sous-corps $k_{\alpha}$ de t.f. sur le corps premier, et pour $\alpha$ assez grand $S_{\alpha}$ provient d'un $S_{\alpha}$ sur $k_{\alpha}$. Soit $x_{\alpha}$ l'image de $x \in S$ dans $S_{\alpha}$. Comme $\mathcal{O}_{S,x}$ est plat sur $\mathcal{O}_{S_{\alpha}, x_{\alpha}}$, on a \[\dim \mathcal{O}_{S_{\alpha}, x_{\alpha}} \leq \dim \mathcal{O}_{S, x} = 1 ,\] et $\mathcal{O}_{S_{\alpha}, x_{\alpha}}$ est régulier, donc $\mathcal{O}_{S_{\alpha}, x_{\alpha}}$ est un corps ou spécial de ou un anneau de val. discrète.

D'ailleurs pour $\alpha$ assez grand, c'est un anneau de valuation discrète, et $t \in \mathfrak{m}_{\alpha}$ est (sinon $\mathcal{O}_{S,x}$ serait un corps !), et pour $\mathfrak{m}_{\alpha}$ est engendré par $t$ et $t \in \mathfrak{m}_{\alpha}$. Comme $\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^{2} = \varinjlim \mathfrak{m}_{\alpha}/\mathfrak{m}_{\alpha}^{2}$, on voit que $t \notin \mathfrak{m}_{\alpha}^{2}$ (puisque non dans $\mathfrak{m}^{2}$), donc on est sous les conditions de a), b) de 8.1.

38p. 37 de l'auteur. Le haut de la page (jusqu'à « $S_{\alpha}$ ») est barré de grandes croix ; il est transcrit tel qu'il se lit. Dans le cas d'un corps […] […] […] […] […], $V$ […] écrit 8.1. Dans le […], $V$ […] dans un $V \otimes_{k_{0}} k'_{0}$, où $k'_{0}$ est une extension radicielle convenable de $k_{0}$, $k_{0} = \varinjlim k_{\alpha}$, où $k_{\alpha}$ parcourt les sous-corps de $k_{0}$ qui sont des extensions de type fini du corps premier. Pour $\alpha$ assez grand, $S$ provient d'un $S_{\alpha}$ […] […] et le diviseur […] de $S$ provient d'un diviseur ⌜réduit⌝ $D_{\alpha}$ sur $X_{\alpha}$. Alors $V$ est la limite des $\mathcal{O}_{S_{\alpha}, x_{\alpha}}$, $x_{\alpha}$ le point générique de $D_{\alpha}$ […] […] considéré dans $S_{\alpha}$. Or le […] $\mathcal{O}_{S_{\alpha}, x_{\alpha}}$ est un anneau de valuation discrète, […] […] de type fini ([…] […]).

(en quelques endroits de groupes d'inertie), […] remarquer que si $k(V)$ est de type fini sur $k$ … séparable … $S$ lisse sur $k_{0}$, et … Écrivonsnote de marge écrite en oblique le long du bord gauche, reliée par une accolade au début du paragraphe barré ; lecture très incertaine.

⌜Comp. $V \otimes_{k_{0}} k'_{0}$ !⌝

Dans les deux cas, l'anneau […] ⌜(par un ou plusieurs d'indices locaux)⌝ est limite filtrante ⌜de⌝ […] sous-anneaux de valuation discrète, $V_{\alpha}$ à corps résiduel […] […] […] de type fini. Donc […] […] […][.] … Le hensélisé $V^{h}$ ⌜sh⌝ (resp. $(V \otimes_{k_{0}} k'_{0})^{h} = V^{h} \otimes_{k_{0}} k'_{0}$) est limite inductive des $V_{\alpha}^{h}$, et on peut lui appliquer 8.1. De … pour le hensélisé strict.

b) Cas $V$ de car. nulle, ⌜i.e. algébrique sur $\mathbf{Q}$.⌝ ($V$ est limite inductive de ses sous-$\mathbf{Q}$-algèbres $\mathbf{Q}_{i}$ locales $V_{\alpha}$, … de type fini sur $\mathbf{Q}$, […] $V_{\alpha}$ d'idéaux maximaux $\mathfrak{m} \cap V_{\alpha} = \mathfrak{m}_{\alpha}$. On peut supposer $t \in V_{\alpha}$. Par Hironaka, on peut trouver un […] schéma propre, […] intègre, régulier $S'_{\alpha}$ sur $S_{\alpha} = \mathrm{Spec}\, V_{\alpha}$, avec $S'_{\alpha} \to S_{\alpha}$ birationnel, et […] ⌜$\mathrm{div}(t_{S'_{\alpha}})$⌝ l'image inverse […] de $\mathrm{div}(t_{S_{\alpha}})$ un diviseur à croisements normaux. Prenant Comme $S'_{\alpha} \to S_{\alpha}$ est propre, il existe un point $x'_{\alpha}$ de $S'_{\alpha}$ tel que $V$ domine l'anneau local $V'_{\alpha} = \mathcal{O}_{S'_{\alpha}, x'_{\alpha}}$ soit dominé par $V$. Donc Or c'est un anneau local régulier, et le diviseur de $t$ y est à croisements normaux. Donc Les $V'_{\alpha}$ ayant cette propriété supplémentaire

[…] $t = \prod x_{i}^{n_{i}}$, dans … $x_{i} \in \mathfrak{m}_{\alpha}$ … les $n_{i} \geq 1$ … supposons … $n_{1} = 1$note en bas à gauche, en partie encadrée ; lecture très incertaine.

39p. 38 de l'auteur. ($V_{\alpha}$ régulier, $\mathrm{div}(t\ \text{dans}\ V_{\alpha})$ […] $V_{\alpha}/tV_{\alpha}$ régulier$^{*}$) sont cofinaux parmi les $V_{\alpha}$. De plus, tout $V_{\alpha}$ a un corps résiduel de type fini. On est donc sous les conditions de 8.1.

Remarque 8.3. Cette dém. La démonstration du cas b) […] serait valable sans restriction sur $V$, une fois qu'on disposerait de la résolution des singularités ⌜sous la forme⌝ de Hironaka […] (avec diviseur à croisements normaux …) pour les schémas de type fini sur $\mathbf{Z}$ ; il suffirait même, indiquons que […] l'hyp. de 8.1 sur $V$ est très satisfaite. Elle serait en particulier encore […] […] si $V$ est de car. $p > 0$, si on dispose de la résolution des singularités : pour les schémas de t.f. sur $\mathbf{F}_{p}$. Notons qu'on aurait seulement besoin ici […] […] que de « l'uniformisation locale ».

8.4. Démonstration de 8.1. On […] ⌜peut supposer les $V_{\alpha}$ henséliens⌝ … quitte à les remplacer par leurs hensélisés. On a \[K = \varinjlim \underbrace{(V_{\alpha})_{t}}_{K_{\alpha}} ,\] donc pour $\alpha$ assez grand, $X_{K}$ provient d'un […] […] schéma […] vérif. $X_{\alpha}$ sur $K_{\alpha}$ ⌜un⌝ $(V_{\alpha})_{t}$, i.e. […] sur l'ouvert $U_{\alpha} = S_{\alpha t}$ de $S_{\alpha} = \mathrm{Spec}\, V_{\alpha}$, […] soit $\eta_{\alpha}$ le pt générique de $S_{\alpha}$ i.e. de $S_{\alpha t}$, c'est l'image de $\eta_{\alpha}$. Comme $f_{\alpha} : X_{\alpha} \to U_{\alpha}$ … propre … Choisissons … Comme $f_{\alpha}$ est propre, on sait ⌜(SGA 5 VI)⌝ que \[E_{U_{\alpha}} = R^{i} f_{\alpha *}(\mathbf{Z}_{\ell}) \text{ sur } U_{\alpha}\] est constructible, donc […] sur un voisinage ouvert $U'_{\alpha}$ de $\eta_{\alpha}$ sur lequel $E_{\alpha}$ soit localement constant tordu. Augmentant au besoin $\alpha$, ⌜(… comme $g^{-1}(U_{\alpha}) = g^{-1}(N_{\alpha}) = \{\eta\}$),⌝

$S \ni \eta_{\alpha}$ ; $g : S \to S_{\alpha} \supset U_{\alpha}$petit schéma de l'auteur dans la marge inférieure gauche ; disposition reproduite approximativement.

40p. 39 de l'auteur. Le bas de la page (à partir de « Nous allons utiliser ») est barré de deux longs traits obliques ; l'argument continue au-delà du lot. on peut supposer $V_{\alpha} = U_{\alpha}$ (SGA IV 8), donc $E_{\alpha}$ est un faisceau constant tordu, sur $U_{\alpha}$, ⌜($E_{\alpha}$ provient d'une représentation $\ell$-adique de $\pi_{1}(U_{\alpha}, \overline{\eta})$ dans un …)⌝ et par le th. de changement de base lisse propre (SGA 4 XII), donnant $E$ de t.f. sur $\mathbf{Z}_{\ell}$ \[R f_{K *}\bigl((\mathbf{Z}_{\ell})_{X_{K}}\bigr) = E_{K}\] est l'image isomorphe à l'image inverse de $E_{U_{\alpha}}$ par $\ldots$ $\eta \to U_{\alpha}$, donc la représentation de $\pi$ […] définie par $H^{i}(X_{\overline{K}}, \mathbf{Z}_{\ell})$ est celle déduite de $\pi_{\alpha}$ par l'homomorphisme canonique \[\pi \longrightarrow \pi_{\alpha} \qquad \text{\struck{$\ldots \to \pi_{\alpha}$}}\] Notons que $\pi_{\alpha}$ est une extension de $\pi_{\alpha,0} = \mathrm{Gal}(\overline{k}_{\alpha}/k_{\alpha})$ Par le même, remplaçant l'exposant $\ell$ au lieu de l'indice $\alpha$, et abrégeant, on a \[\pi \longrightarrow \pi' .\] Notons que $\pi'$ est une extension de \[\pi'_{0} = \mathrm{Gal}(\overline{k}'/k') \simeq \pi_{1}(S'_{\alpha})\] par un ss-groupe […] $I'$, et que l'hom. induit un hom. : \[I \longrightarrow I' \subset \pi' .\] Dans le cas où $V_{\alpha}$ est de val. discrète, […] la conclusion résulte de n° 6.

Ceci suffit déjà à traiter le cas 8.2 a), qui ne sera utile que pour donner l'idée de la dém. « générale » de l'exposé suivant (comme ici à titre d'exemple) … à traiter le cas des variétés abéliennes … de choisir $V$ comme limite de $V_{\alpha}$ … dans quelques cas !)note de marge écrite en oblique le long du bord gauche, reliée au texte par une accolade ; lecture d'ensemble très incertaine.

Nous allons utiliser dans le théorème de structure … des variantes du « lemme d'Abhyankar » :

Lemme 8.5. Soit $A$ un anneau local noethérien hensélien, $k$ son corps résiduel $k$, … l'exp. caractéristique de $k$, $S = \mathrm{Spec}\, A$, $D = \sum_{i \in I} D_{i}$ un diviseur à croisements normaux … d'un syst. de paramètres $(x_{i})_{i \in I}$, $x = \prod x_{i}^{n_{i}}$, $U = S_{x}$, $\xi$ un pt géom. de $U$. Alors $\xi$ définit une clôture séparable $\overline{k}$ de $k$, et …