Fonds Grothendieck, cote n° 34, pages 21–40

p. 20 de l'auteur ; la phrase commence à la page précédente, hors du lot. la représentation quasi-unipotente s'il existe un sous-groupe ouvert U de \pi tel que la représentation induite u|U soit unipotente.

5.2. Supposons R infini, et soit G le groupe algébrique engendré par u(\pi), ~~Alors~~ égal à l'adhérence (pour la structure induite réduite) de l'ens. u(\pi)la page porte un signe que l'on peut lire u(G) ; le sens demande u(\pi). dans le schéma en groupes des automorphismes de E. Comme l'ens. des automorphismes unipotents est une partie Zariski-fermée de l'ens. \mathrm{Aut}(E), il s'ensuit que u est unipotente ssi G est unipotent (i.e. tous ses éléments sur \overline{R} sont des automorphismes unipotents de E_{\overline{R}}).

Notons que G/G^{0} est un groupe discret, isom. à \pi/U, si U est l'image inverse de G^{0}(R).

5.3. ~~Dès lors~~, Si R est un corps topologique, et u est continue, alors dire que u est quasi-unipotente revient à dire que G^{0} est unipotent. C'est évidemment suffisant, par la top. discrète de G/G^{0}, car l'homomorphisme \pi \longrightarrow (G/G^{0})(R) \simeq G(R)/G^{0}(R) est continu, donc le noyau l'image inverse de G^{0}(R) est un sous-groupe ouvert U de \pi. Inversement, si u est quasi-unipotente, il y a un sous-groupe ouvert U de \pi qui opère de façon unipotente, prenons U assez petit U \subset u^{-1}(G^{0}(R)). Alors \overline{u(U)} est un sous-groupe algébrique (lisse H) de G, dont

petit croquis à l'encre et au crayon dans la marge inférieure gauche : des arcs, des traits, la lettre R et le mot constante souligné ; le croquis ne se laisse pas lire.

p. 21 de l'auteur. la contient immédiatement qu'il suffit il H(\overline{R}) d'indice fini dans G^{0}(\overline{R}), implique que H = G^{0} ; ~~donc~~ comme H est unipotent, il en est de même de G^{0}.

dès qu'on dispose de la condition E^{\struck{H}} = E^{G^{0}}.

5.4. Supposons maintenant que \pi opère de façon quasi-unipotente (i.e. G^{0} est unipotent) et supposons que R est de car. nulle. ~~Si U est~~

Le passage qui suit, jusqu'à la fin de la page, est encadré et barré de deux longs traits obliques ; il est transcrit tel qu'il se lit. Soit U \pi qui opère de façon unipotente ( u^{-1}(G^{0}(R))), E^{U}, sur lequel \pi/U opère. Je dis que E^{U} ne dépend pas du choix de U : il suffit de voir que E^{U} = E^{U'} si U' \subset U, U' invariant. Or \pi/U' opère sur E^{U'}, donc via un groupe fini qui opère de façon unipotente, donc trivialement. De plus, E^{U} ne dépend pas du sous-groupe U invariant de \pi). Ceci nous permet de définir une filtration canonique de E, en posant \text{\struck{$E^{(0)} = 0$, \quad $E^{(i+1)} = $ image inverse de $(E/E^{i})^{U} = (E/E^{i})^{G^{0}}$ dans $E$.}} ~~L'hypothèse que G^{0} opère de façon unipotente implique que cette filtration est exhaustive. D'autre part, U opère trivialement sur les gradués associés, par construction.~~

p. 22 de l'auteur. Alors je dis que si g \in G(R), g est unipotent ssi g \in G^{0}(R). En effet, ~~on est réduit à prouver seulement « seulement si »~~. Il suffit de prouver : g unipotent \Rightarrow g \in G^{0}(R). On ~~considère une~~ l'image de g dans le groupe quotient \Gamma = G/G^{0} est un élément unipotent de \Gamma(R), et comme est un , c'est l'unité. ~~Par Autrement dit~~ :

~~On filtre E par~~ Le passage qui suit est encadré, et barré d'un trait oblique. ~~E^{0} = 0, … E^{i} …, \xi avec~~ \text{(5.4.1)} \qquad E^{i+1} = \text{image inverse dans $E$ de } (E/E^{i})^{G^{0}} . Cette filtration est exhaustive, i.e. \exists\, i t.q. E^{i} = E, ~~finie~~ et on a explicitement simplement que G^{0} est unipotent. Alors G/G^{0} opère sur les E^{i+1}/E^{i}, et si g \in G est unipotent, il induit des op. unipotents sur les E^{i+1}/E^{i}, donc des opérations triviales, i.e. il provient d'un élément du \mathrm{Gr}(E). Mais comme de l'op. de G/G^{0} est fidèle , ~~E \sim \mathrm{Gr}(E) par une~~ .

En particulier, l'image inverse U de G^{0}(R) dans R est le plus grand sous-groupe de \pi opérant de façon unipotente, a fortiori le plus grand sous-groupe ouvert ayant cette propriété.

5.5. Notons que les composantes connexes des groupes algébriques unipotents commutatifs sur un corps R de car. nulle sont connexes, prenant les filtrations « caractéristiques » de G^{0} (par les commutateurs successifs, G^{(0)} = G,

p. 23 de l'auteur. G^{(i+1)} = [G^{(i)}, G]) tels que \mathrm{Gr}(G^{0}) soit un groupe vectoriel. On en conclut, comme H^{i}(\Gamma, V) = 0 \quad \text{pour } i \geq 0 si V est vectoriel sur lequel \Gamma opère (car V est uniquement divisible …), que l'extension G de \Gamma par G^{0} est splittée de façon unique à un unique près, ce qui veut dire \text{(5.5.1)} \qquad G \simeq \Gamma \cdot G^{0} , Ceci \Gamma opérant de façon naturelle sur E, ~~et \Gamma que g \in G(R),~~ ~~g unipotent \Rightarrow g \in G^{0}(R)~~].

~~(5.6)~~ : ~~5.6~~ P. ex.

p. 24 de l'auteur ; la page est barrée de deux longs traits obliques. 5.5. On en conclut que ~~il existe le plus grand~~ l'ens. des g \in \pi tels que u(g) ~~soit~~ unipotent est un sous-groupe ouvert invariant de \pi, à savoir u^{-1}(G^{0}(R)) ; c'est évidemment le plus grand sous-groupe (ouvert) de \pi qui opère de façon unipotente. Notons-le U. On a \text{(5.5.1)} \qquad \pi/U \simeq (G/G^{0})(R) = G(R)/G^{0}(R) . Soit U' un sous-groupe ouvert de \pi, opérant de façon unipotente, i.e. un sous-groupe ouvert de U, je dis

E^{U'} = E^{U} = E^{G^{0}} . En effet, on voit supposer que U' est invariant, alors U/U' opère sur E^{U'}, et c'est un groupe fini qui opère de façon unipotente, donc trivialement, donc E^{U'} = E^{U}. On a E^{U} = E^{G^{0}}, car il suffit de que \overline{u(U)} = G^{0}.

5.6. Supposons maintenant que R = \mathbf{Q}_{\ell}, ~~alors~~ (et G^{0} commutatif), i.e. que l'opération de \pi sur E soit « quasi-déployée ». Alors U \longrightarrow G^{0}(\mathbf{Q}_{\ell}) \simeq \mathbf{Q}_{\ell}^{d} , Donc G^{0} \simeq \mathbf{G}_{a}^{d} (avec structure vectorielle canonique) comme l'image un sous-groupe compact de \mathbf{Q}_{\ell}^{d}, lequel est nécessairement isomorphe à un \mathbf{Z}_{\ell}^{d'} (d' \leq d). Comme \overline{u(U)} engendre le groupe algébrique G^{0}, il s'ensuit aussitôt que d' = d, et que u(U) est un sous-\mathbf{Z}_{\ell}-module de G^{0}(\mathbf{Q}_{\ell}) qui engendre l'esp. vectoriel G^{0}(\mathbf{Q}_{\ell}).

p. 25 de l'auteur. Si \text{(5.6.1)} \qquad N = \operatorname{Ker}\bigl(u : \pi \longrightarrow G(\mathbf{Q}_{\ell}) \subset \mathrm{Aut}(E)\bigr), \quad \text{(donc $N \subset U$)}, on voit donc que U/U \cap N \hookrightarrow G^{0}(R) s'identifie à un \mathbf{Z}_{\ell}-module libre de rang d dans G^{0}(R) donc engendrant rationnellement G^{0}(R) qui engendre \mathbf{Q}_{\ell}. D'ailleurs, on trouve ainsi un homomorphisme d'extensions

\begin{tikzcd}[column sep=small] 1 \arrow[r] & U/N \arrow[r] \arrow[d, hook] & \pi/N \arrow[r] \arrow[d, hook] & \pi/U \arrow[r] \arrow[d, "\wr"] & 1 \\ 1 \arrow[r] & G^{0}(R) \arrow[r] & G(R) \arrow[r] & G(R)/G^{0}(R) \arrow[r] & 1 \end{tikzcd}

Ainsi, le groupe algébrique G(R) est canoniquement déterminé à iso unique prèsla parenthèse ajoutée, sous la ligne, se lit aussi « bornée » ; la lecture reste douteuse. (à isomorphisme unique près) par la connaissance du sous-groupe U de \pi, et du fermé sous-groupe N de \pi tel que U/N \simeq \mathbf{Z}_{\ell}^{d}. G(R) est en effet l'image de l'extension canonique de \pi/U par U/N par l'homomorphisme canonique U/N \longrightarrow U/N \otimes_{\mathbf{Z}_{\ell}} \mathbf{Q}_{\ell} .

[N.B. : la structure de \mathbf{Z}_{\ell}-module sur le groupe profini U/N est canoniquement déterminée), et la structure de groupe algébrique se détermine aussi trivialement …

Si {}^{1}M_{\ell} = U/[U,U]^{(\ell)} complété \ell-primaire est un \mathbf{Z}_{\ell}-module de t.f. l'extension correspondante, alors on construit une extension universelle de \Gamma = \pi/U par le groupe vectoriel correspondant : M_{\ell} \otimes_{\mathbf{Z}_{\ell}} \mathbf{Q}_{\ell}.

p. 26 de l'auteur. 5.7. Comme groupe algébrique abstrait cependant, G est déterminé par la connaissance de \Gamma \simeq \pi/U, et de sa représentation par automorphismes du vectoriel V E du vectoriel U/N \otimes_{\mathbf{Z}_{\ell}} \mathbf{Q}_{\ell} , quotient du vectoriel \underbrace{U/[U,U]^{(\ell)}}_{\text{complété $\ell$-primaire}} \otimes_{\mathbf{Z}_{\ell}} \mathbf{Q}_{\ell} .

Lorsque \pi = I \simeq \mathbf{Z}_{\ell}(1) \mathrm{Gal}(\overline{K}/K) \simeq comme on sait, (cas strict. local), \Gamma puisque U est d'indice fini, \Gamma_{U}lecture douteuse : un \Gamma indicé d'un U souligné deux fois, à côté de « iso ». iso, isomorphisme canonique \text{(5.7.1)} \qquad U/[U,U]^{(\ell)} \simeq \mathbf{Z}_{\ell}(1) (isom. canonique), ~~donc~~ et une représentation naturelle de \pi/U = \Gamma « dans \mathbf{Z}_{\ell}(1) », i.e. \pi/U = \Gamma \longrightarrow \mathbf{Z}_{\ell}^{*} qui est connue pour être triviale (3.15). Donc on aura un isom. canonique déduit de (5.5.3)lu « (5.5.3) » ; aucune formule de ce numéro n'apparaît dans le lot. \text{(5.7.2)} \qquad G \simeq G^{0} \times \Gamma \quad \text{\struck{\ill{}}} ~~et G^{0} est le groupe~~ i.e. ici G^{0} est soit nul, soit canoniquement isomorphe au ~~\mathbf{Q}_{\ell}(1)~~, groupe algébrique défini par le vectoriel \mathbf{Q}_{\ell}(1). On a en particulier \text{(5.7.3)} \qquad \begin{cases} G(\mathbf{Q}_{\ell}) \simeq \Gamma = \pi/U & \text{si $G$ fini, i.e.\ $U$ opère trivialement,} \\ G(\mathbf{Q}_{\ell}) \simeq \mathbf{Q}_{\ell}(1) \times \Gamma & \text{sinon.} \end{cases}

p. 27 de l'auteur. Le haut de la page (5.10 et 5.10.1) est barré de grands traits croisés ; la section 6 qui suit, de deux traits obliques. ~~5.10. On peut aussi regarder, pour une représentation E \ell-adique donnée de I, le sous-module~~ \text{\struck{(5.10.1) \quad $E^{P}$}} ~~des invariants sous P. Il est stable par I, et par passage au quotient, I/P = I_{t} \simeq \prod_{\ell \neq p} \mathbf{Z}_{\ell}(1) opère sur E^{P}.~~

~~En tout cas, une représentation \ell-adique quasi-unipotente de \pi s'exprime en termes d'une représentation algébrique de \Gamma \times_{\mathbf{Q}_{\ell}} W(\mathbf{Q}_{\ell}(1))~~. On trouve des systèmes projectifs de telles sur \mathbf{Q}_{\ell} : \Gamma_{i} \times W(\mathbf{Q}_{\ell}(1)) (\Gamma_{i} quotients I/V_{i}, V_{i} sous-groupes ouverts invariants), les « variétés » donnant une \otimes-catégorie équivalente à celle des repr. \ell-adiques de I quasi-unipotentes.

6. Cas d'un corps résiduel fini

titre de l'auteur, souligné, barré avec le reste de la page ; « Cas d'un corps résiduel fini ».

généralisation à un corps résiduel de type fini obtenir l'exigence note de marge écrite en oblique, à moitié couverte par les traits ; lecture très incertaine.

~~Si k …~~ \text{\struck{(6.1) \quad card $k = q = p^{f}$}} ~~on sait que~~ \text{\struck{$\pi_{0} \simeq \widehat{\mathbf{Z}}$ ,}} ~~(6.2) l'isomorphisme étant défini par le \mathrm{frob}_{q} de \pi_{0}, défini par~~ \text{\struck{(6.3) \quad $\mathrm{frob}_{q}(\lambda) = \lambda^{q}$ \quad ($\lambda \in \overline{k}$) .}} ~~Cet automorphisme opère sur \overline{k}^{*} par élévation à la puissance q, donc il opère de même sur les \mu_{n}(\overline{k}^{*}), donc sur I_{t} = \prod_{\ell \neq p} \mathbf{Z}_{\ell}(1).~~

~~Par suite, se donner une représentation ( quelconque R) donnée~~ \text{\struck{$u : \pi \longrightarrow \mathrm{Aut}_{R}(E)$}} ~~est triviale sur le I^{P}…, donc, considérons I_{t} comme , isomorphisme : quotient de~~ \text{\struck{$\widehat{\mathbf{Z}} \simeq \prod_{\ell} \mathbf{Z}_{\ell}$}}

p. 28 de l'auteur. La section 6 reprend ici, sous un titre corrigé, ce que la p. 28 du fonds avait commencé et barré.

6. Cas d'un corps résiduel de type fini

Proposition 6.1. Soit \pi un groupe profini, extension d'un groupe profini \pi_{0} par un groupe profini résoluble I, (supposons que pour tout sous-groupe ouvert \pi'_{0} de \pi_{0}, …) ( \pi' sous-groupe ouvert de \pi, I' = \pi' \cap I, [N.B. si I est commutatif, il suffit I'_{\pi'_{0}} = \varprojlim (I'_{\alpha})_{\pi'_{0}} ~~= I'/[I',\pi']~~ … (i.e. I prenant les quotients ~~finis~~ de I par un sous-groupe ouvert, invariant dans \pi)] ~~et \pi' un groupe~~ ~~invariant dans \pi~~ [fini] ~~i.e.~~ posant I' = \pi' \cap I, [I', \pi'] \quad \text{\emph{est d'indice fini dans} } I' , \quad \text{\emph{pour tout $\pi'$ ouvert}} invariant de \pi'_{0} dans \pi). Alors pour toute représentation \ell-adique de \pi, la représentation induite sur I est quasi-unipotente.

Vérifier nouvelle version à cause des groupes …note de marge écrite en oblique, à la hauteur de l'énoncé ; lecture très incertaine.

Soit E le vectoriel de dimension finie sur \mathbf{Q}_{\ell} sur lequel on fait opérer \pi. Soit ~~G = \ldots (~~ G(H) la composante neutre du groupe algébrique engendré par \pi (resp. I), on sait que lorsque \pi résoluble défini par \pi (resp. I) dans G. L'hypothèse ~~signifie~~ sur \pi implique) H \subset G , \quad H \text{ invariant dans } G , que [G, H] = H . On a aussi : H = \struck{H_{\ill{}}\, H_{u}} T \cdot U (produit semi-direct de partie torique et partie unipotente), ~~H_{r} et H_{u}~~ , U, donc H/U \simeq T et G opère sur ~~H_{r}~~ T ~~( )~~ trivialement (G étant connexe). Alors [G, T] = T donc T = 1, [G, H] = H \quad \text{implique} \quad \text{\struck{$H_{r} = 1$,}} donc H est unipotent, cqfd.

p. 29 de l'auteur. Proposition 6.2. Soit ~~\pi = \mathrm{Gal}(\overline{K}/K)~~, \pi comme dans 6.1, ~~le corps k~~ supposons que le corps résiduel k soit tel que l'extension obtenue de \overline{k} engendrée par les racines \ell^{\nu}-ièmes de l'unité (\nu \in \mathbf{N}) soit infinie. Alors ~~toute extension~~ toute représentation \ell-adique de \pi induit sur I une repr. quasi-unipotente.

En effet, quitte à remplacer K par une extension finie K' de K, et I par un sous-groupe ouvert, on peut supposer que l'action de I se fait à travers le quotient I(\ell) = I_{t}(\ell) = \mathbf{Z}_{\ell}(1), l'hyp. de 6.1 se traduit par … : la représentation d'un quotient \pi' de \pi, extension de \pi_{0} par \mathbf{Z}_{\ell}(1) \simeq \mathbf{Z}_{\ell}. L'hypothèse faite sur k signifie que l'hyp. de 6.1 est vérifiée.

Corollaire 6.3. Toute représentation \ell-adique continue de \pi induit une repr. unipotente triviale de I.

Cf. II 1.12, qu'il y aurait lieu de reprendre ici.

p. 30 de l'auteur. En tête, « I » puis « 6. » : une nouvelle rédaction de la proposition 6.1 commence. Prop. 6.1. Soit 1 \longrightarrow I \longrightarrow \pi \longrightarrow \pi_{0} \longrightarrow 1 une extension de groupes profinis, et supposons que pour tout sous-groupe ouvert \pi' de \pi, posant I' = I \cap \pi', le ~~l'action de I' sur I', i.e. le groupe [I', \pi'] soit ouvert dans~~ I'^{\mathrm{ab}}(\ell)_{\pi_{0}} plus grand quotient pro-fini de I'^{\mathrm{ab}}(\ell), sur lequel \pi'_{0} = \pi'/I' opère trivialement, est un groupe fini. Soit u : \pi \longrightarrow \mathrm{Aut}_{\mathbf{Q}_{\ell}}(E_{\ell}) une représentation \ell-adique de \pi, ~~soit et~~ considérons ~~la représentation induite par u sur~~ H (G) le sous-groupe algébrique de \mathrm{Aut}_{\mathbf{Q}_{\ell}}(E_{\ell}) engendré par u(I) (resp. I(G)). Alors

a) H est invariant dans G, donc H^{0} invariant dans G ~~et , dans G^{0}~~.

b) ~~L'affirmation de G^{0} sur~~ Soit R le radical de H^{0}, (quotient inv. dans G, et sur A = R/[R,R], Alors l'action de G^{0} sur A ~~satisfait~~ ~~sont~~ la condition A_{(G^{0})} = 0 , \quad \text{\emph{i.e.\ $A$ est} \struck{\emph{engendré}} \emph{engendré par les} } (1-g)(A), \ \text{\emph{où} } g \in G^{0}(\mathbf{Q}_{\ell}) .

c) R est un groupe unipotent.

Dém. a) Résulte trivialement du fait que I invar. dans \pi. Je suppose que R est aussi invar. dans G, donc G opère sur A = R/[R,R].

b) Exprime l'hypothèse I'_{\mathrm{ab}}(\ell) fini, en notant que H^{0}/[H^{0},H^{0}] \longleftarrow R/[R,R] = A est une isogénie …

c) A priori, R = T \cdot U, U unipotent, T tore (U ss-groupe car. de R). Le groupe U est invariant ~~dans R, et G opère~~ sur R/U = T, de façon que G^{0} opère trivialement (car le groupe des aut. d'un tore fermement …

p. 31 de l'auteur ; le bas de la page est vide. un groupe discret). Donc T est un quotient de A_{G^{0}}, donc est nul ; i.e. R = U est unipotent.

Corollaire 6.2. Supposons que le radical … résoluble. Alors u|I est ess. unipotent.la ligne précédente se lit « que la restriction u|I soit ess. v. » ; l'énoncé est très abrégé.

Prop. 6.3. Application aux groupes de monodromie …

p. 32 de l'auteur. ~~Ce cas, on conclut grâce à 6.6.~~

7. Le théorème de monodromie

titre de l'auteur, souligné ; à sa suite, une ligne biffée où se lit « énoncé conjectural » au-dessus d'un mot raturé.

~~L'énoncé est le suivant~~ (Serre-Tate).

Conjecture 7.1. ~~Soit X un schéma de type fini sur K,~~ (Soit X …) ~~, … \neq p, et~~ ~~supposons que H^{i}(X_{\overline{K}}, \mathbf{Z}/\ell\mathbf{Z}) est fini~~ cf. 0.3). Sous les conditions de l'exemple 0.3, et supposons \ell \neq p, la représentation induite sur le groupe d'inertie I \longrightarrow \mathrm{Aut}_{\mathbf{Z}_{\ell}}\bigl(H^{i}(X_{\overline{K}}, \mathbf{Z}_{\ell})\bigr) est quasi-unipotente, i.e. \exists sous-groupe d'indice fini U dans I tel que l'image de U soit formée d'opérations unipotentes dans H^{i}(X_{\overline{K}}, \mathbf{Z}_{\ell}).

7.2. Nous allons voir par la suite deux démonstrations « relatives » de cette conjecture, utilisant l'une et l'autre la résolution des singularités, de façon d'ailleurs assez différente. De ces démonstrations, il résulte que la conjecture est vraie dans chacun des cas suivants : a) p = 1, i.e. k (ou ce qui revient au même, K) de car. nulle ; b) i = 1, mot de la marge biffé et encerclé, relié à b) par un trait. c) S est le hensélisé (ou le hensélisé strict) d'un anneau local d'un point d'un schéma de type fini sur un corps, ou sur \mathrm{Spec}\,\mathbf{Z}, et X_{K} est propre sur K ou K de car. nulle. La première démonstration, qui est de nature arithmétique, sera donnée dans la

p. 33 de l'auteur. présent exposé en se réduisant via 5.6 au cas d'un corps résiduel fini. Cette démonstration avec une résolution ~~s'applique~~ pour donner la conj. dans les cas a) et c). ~~Dans~~ La démonstration géométrique fera l'objet de l'exposé suivant ; elle permettra de préciser assez considérablement la conclusion de unipotence, et s'applique : l'énoncé actuel dans les cas a) et b).

7.3. On peut donner une autre forme précisée de 7.1, en y faisant varier le premier \ell, les nombres premiers (Serre et Tate) demandent dans distincts de p. \Gamma, groupe H^{i} pour deux \ell ~~distincts~~ que les ~~représentations~~ deux associés (quotients de \pi) … = s, et que les représentations distinctes, soient les « mêmes » dans un \Gamma suivant plus … \} de \mathbf{Q}_{\ell}, \mathbf{Q}_{\ell'} ; ~~\mathrm{Tr}\, g_{H^{i}(\overline{X}, \mathbf{Q}_{\ell})} …~~ une extension commune des deux, on va dans les précisément, on veut plus généralement pour g \in I, et qu'il soit indépendant de \ell \neq p : \text{(7.3.1)} \qquad \mathrm{Tr}\, g_{H^{i}(\overline{X}, \mathbf{Q}_{\ell})} = \mathrm{Tr}\, g_{H^{i}(\overline{X}, \mathbf{Q}_{\ell'})} pour tout g \in \pi. [Ceci sera prouvé pour i = 1 par dans les conditions de Néron.] ~~De la suite, on montrera questions Serre et Tate~~ .

7.4. Lorsque k est fini, (Serre et Tate) (dans \mathbf{Q}) ont formulé la conjecture que cette relation (7.3.1) entraîne encore \forall g \in \pi dont l'image dans \mathrm{Gal}(\overline{k}/k) \simeq \widehat{\mathbf{Z}} tombe dans \mathbf{Z}. [Cela sera précisé … notre séminaire.]

(où \mathrm{frobenius} les valeurs propres des g sur H^{i}(\overline{X}, \mathbf{Q}_{\ell}) entières algébriques de valeur absolue … q^{w/2}, où q = \mathrm{card}\, k, 0 \leq w \leq 2i)note marginale au crayon, en bas à gauche, reliée par une accolade au second 7.4 ; lecture très incertaine.

En outre il y a à voir que si g \in \pi va sur f^{-1} (f le générateur …) « f^{-1} » est cerclé ; un mot raturé à sa suite.

7.4. On peut préciser partiellement les conjectures en tenant compte des représentations de tout le groupe des groupes algébriques \Gamma_{\mathbf{Q}_{\ell}} \times \Gamma_{\mathbf{Q}_{\ell}}, par exemple de \Gamma_{\mathbf{Q}_{\ell}},

p. 34 de l'auteur. en remarquant que ce groupe algébrique sur \mathbf{Q}_{\ell} provient d'un groupe algébrique G_{\mathbf{Q}} \times \Gamma_{\mathbf{Q}} sur \mathbf{Q}. On pourrait demander d'abord ~~que~~ si les représentations algébriques sur les adjoint \mathbf{Q}_{\ell} en fait, par les H^{i}(\overline{X}, \mathbf{Q}_{\ell}) proviennent d'une = représentation algébrique sur \mathbf{Q}. ce n'est raisonnable cependant ~~( )~~ car nulle, ou une démonstration par voie transcendante ~~pour i = 1 …~~ (utilisant la cohomologie entière transcendante) devrait être possible. En car. résiduelle > 0, on peut remarquer que …

que ces représentations s'écrivent (de façon pas unique à isom. près) sur \mathbf{Q} ; on peut demander qu'elles soient indépendantes de \ell. [N.B. H la représentation induite ne s'écrit pas sur \mathbf{Q} pour \ell \neq p, sinon pour i = 1 et une variété abélienne sur K ayant « bonne réduction potentielle ».note de marge écrite en oblique le long du bord gauche, reliée au texte par un trait ; lecture d'ensemble très incertaine.

Dans le cas d'un corps résiduel fini, … « l'homologie algébrique » donne un groupe \mathbf{Z}_{\mathbf{Q}}(G_{\mathbf{Q}} \times \Gamma_{\mathbf{Q}}) = G sur \mathbf{Q}, produit semi-direct, de générateur f_{q} \in \mathbf{Z}_{\mathbf{Q}}(\mathbf{Q}) … de G_{\mathbf{Q}} par la multiplication par q, et par \Gamma comme il opère sur (\Gamma/[\Gamma,\Gamma])(\ell) il opère ainsi par multiplication par \Gamma]. On peut alors demander que les représentations sur les adjoint \mathbf{Q}_{\ell} par les H^{i}(\overline{X}, \mathbf{Q}_{\ell}) soient ~~définies~~ déduites (\ell \neq p) définies par ~~… \mathbf{Q}, et déduites~~ d'une = représentation : celle-ci déduite … représentation de G sur \mathbf{Q}.

p. 35 de l'auteur.

8. Théorème de monodromie : démonstration arithmétique

titre de l'auteur, souligné.

Th. 8.1. Supposons que V soit limite inductive filtrante de sous-anneaux locaux V_{i}, ~~l'idéal~~ l'idéal maximal \mathfrak{m}_{i} = \mathfrak{m} \cap V_{i} contenant l'uniformisant t, tels que les deux conditions suivantes soient satisfaites :

a) ~~le des~~ V_{i} est régulier ~~et le diviseur \mathrm{div}(t) est … dans \mathrm{Spec}\, V_{i} est à croisements normaux~~ et V_{i}/tV_{i} sont réguliers~~, i.e. t fait partie d'un système régulier de param. de V_{i}~~.

b) Le corps (résiduel) k_{i} = k(V_{i}) est tel qu'aucune extension finie de k_{i} ne contienne toutes les racines \ell^{\nu}-ièmes de l'unité, pour \ell \neq car. k.

Alors le th. de monodromie sous la forme 7.1 est vrai pour tout préschéma X sur K, ~~tel que~~ lorsque l'opération de I sur H^{i}(X_{\overline{K}}, \mathbf{Z}_{\ell}) \otimes_{\mathbf{Z}_{\ell}} \mathbf{Q}_{\ell} se fait à travers I_{t}, ~~H^{i}(X_{\overline{K}}, \mathbf{Z}/\ell\mathbf{Z}) soit fini~~ ~~dès~~ dès que les V_{\alpha} sont des anneaux de val. discrète.

Corollaire 8.2. Le théorème de monodromie sous la forme 7.1 est vrai ~~lorsque~~ ~~H^{i}(X_{\overline{K}},~~ ~~\mathbf{Z}/\ell\mathbf{Z}) est fini~~ pour X_{K} propre sur K dans chacun des cas suivants :

a) V est le hensélisé de, le hensélisé strict de l'anneau local d'un point d'un schéma S de type fini sur un un localisé de corps k, ou sur ~~\mathrm{Spec}~~ \mathbf{Z}.

b) V est de car. nulle, (i.e. K est de caractéristique ~~résiduelle~~ nulle).

Démonstration 8.2. ~~Cas a)~~ ~~Supposons V le hensélisé de l'anneau local d'un … S est de type fini sur \mathrm{Spec}\,\mathbf{Z},~~

Cas a). ~~Si …~~ Supposons d'abord que V soit l'anneau de v. d. qui est un localisé l'anneau local d'un schéma S de type fini sur ~~\mathrm{Spec}~~ un localisé de \mathbf{Z}, ou sur un corps k_{0}. Dans le premier cas, (où S est de type fini sur le corps premier) le corps résiduel k(V) est de type fini sur le corps premier, donc V satisfait la condition

p. 36 de l'auteur ; le bas de la page est vide. Dans le cas d'un corps de base k_{0} quelconque, k_{0} est limite inductive de sous-corps k_{\alpha} de t.f. sur le corps premier, et pour \alpha assez grand S_{\alpha} provient d'un S_{\alpha} sur k_{\alpha}. Soit x_{\alpha} l'image de x \in S dans S_{\alpha}. Comme \mathcal{O}_{S,x} est plat sur \mathcal{O}_{S_{\alpha}, x_{\alpha}}, on a \dim \mathcal{O}_{S_{\alpha}, x_{\alpha}} \leq \dim \mathcal{O}_{S, x} = 1 , et \mathcal{O}_{S_{\alpha}, x_{\alpha}} est régulier, donc \mathcal{O}_{S_{\alpha}, x_{\alpha}} est un corps ~~ou spécial de~~ ou un anneau de val. discrète.

D'ailleurs pour \alpha assez grand, c'est un anneau de valuation discrète, ~~et t \in \mathfrak{m}_{\alpha} est~~ (sinon \mathcal{O}_{S,x} serait un corps !), ~~et pour \mathfrak{m}_{\alpha} est engendré par t~~ et t \in \mathfrak{m}_{\alpha}. ~~Comme \mathfrak{m}/\mathfrak{m}^{2} = \varinjlim \mathfrak{m}_{\alpha}/\mathfrak{m}_{\alpha}^{2}, on~~ ~~voit que~~ t \notin \mathfrak{m}_{\alpha}^{2} (puisque non dans \mathfrak{m}^{2}), donc on est sous les conditions de a), b) de 8.1.

p. 37 de l'auteur. Le haut de la page (jusqu'à « S_{\alpha} ») est barré de grandes croix ; il est transcrit tel qu'il se lit. ~~Dans le cas d'un corps , V écrit~~ 8.1. Dans le , V dans un V \otimes_{k_{0}} k'_{0}, où k'_{0} est une extension radicielle convenable de k_{0}, k_{0} = \varinjlim k_{\alpha}, où k_{\alpha} parcourt les sous-corps de k_{0} qui sont des extensions de type fini du corps premier. Pour \alpha assez grand, S provient d'un S_{\alpha} et le diviseur de S provient d'un diviseur réduit D_{\alpha} sur X_{\alpha}. Alors V est la limite des \mathcal{O}_{S_{\alpha}, x_{\alpha}}, x_{\alpha} le point générique de D_{\alpha} considéré dans S_{\alpha}. Or le \mathcal{O}_{S_{\alpha}, x_{\alpha}} est un anneau de valuation discrète, de type fini ( ).

(en quelques endroits de groupes d'inertie), remarquer que si k(V) est de type fini sur k … séparable … S lisse sur k_{0}, et … Écrivonsnote de marge écrite en oblique le long du bord gauche, reliée par une accolade au début du paragraphe barré ; lecture très incertaine.

Comp. V \otimes_{k_{0}} k'_{0} !

Dans les deux cas, l'anneau (par un ou plusieurs d'indices locaux) est limite filtrante de sous-anneaux de valuation discrète, V_{\alpha} à corps résiduel ~~de type fini. Donc~~ . … Le hensélisé V^{h} sh (resp. (V \otimes_{k_{0}} k'_{0})^{h} = V^{h} \otimes_{k_{0}} k'_{0}) est limite inductive des V_{\alpha}^{h}, et on peut lui appliquer 8.1. De … pour le hensélisé strict.

b) Cas V de car. nulle, i.e. algébrique sur \mathbf{Q}. (V est limite inductive de ses sous-\mathbf{Q}-algèbres ~~\mathbf{Q}_{i}~~ locales V_{\alpha}, … de type fini sur \mathbf{Q}, V_{\alpha} d'idéaux maximaux \mathfrak{m} \cap V_{\alpha} = \mathfrak{m}_{\alpha}. On peut supposer t \in V_{\alpha}. Par Hironaka, on peut trouver un schéma propre, intègre, régulier S'_{\alpha} sur S_{\alpha} = \mathrm{Spec}\, V_{\alpha}, avec S'_{\alpha} \to S_{\alpha} birationnel, et \mathrm{div}(t_{S'_{\alpha}}) l'image inverse de \mathrm{div}(t_{S_{\alpha}}) un diviseur à croisements normaux. ~~Prenant~~ Comme S'_{\alpha} \to S_{\alpha} est propre, il existe un point x'_{\alpha} de S'_{\alpha} tel que V domine l'anneau local V'_{\alpha} = \mathcal{O}_{S'_{\alpha}, x'_{\alpha}} soit dominé par V. ~~Donc~~ Or c'est un anneau local régulier, et le diviseur de t y est à croisements normaux. ~~Donc~~ Les V'_{\alpha} ayant cette propriété supplémentaire

t = \prod x_{i}^{n_{i}}, dans … x_{i} \in \mathfrak{m}_{\alpha} … les n_{i} \geq 1 … supposons … n_{1} = 1note en bas à gauche, en partie encadrée ; lecture très incertaine.

p. 38 de l'auteur. (V_{\alpha} régulier, ~~\mathrm{div}(t\ \text{dans}\ V_{\alpha})~~ V_{\alpha}/tV_{\alpha} régulier^{*}) sont cofinaux parmi les V_{\alpha}. De plus, tout V_{\alpha} a un corps résiduel de type fini. On est donc sous les conditions de 8.1.

Remarque 8.3. ~~Cette dém.~~ La démonstration du cas b) serait valable sans restriction sur V, une fois qu'on disposerait de la résolution des singularités sous la forme de Hironaka (avec diviseur à croisements normaux …) pour les schémas de type fini sur \mathbf{Z} ; il suffirait même, indiquons que l'hyp. de 8.1 sur V est très satisfaite. Elle serait en particulier encore si V est de car. p > 0, si on dispose de la résolution des singularités : pour les schémas de t.f. sur \mathbf{F}_{p}. Notons qu'on aurait seulement besoin ici que de « l'uniformisation locale ».

8.4. Démonstration de 8.1. On peut supposer les V_{\alpha} henséliens … quitte à les remplacer par leurs hensélisés. On a K = \varinjlim \underbrace{(V_{\alpha})_{t}}_{K_{\alpha}} , donc pour \alpha assez grand, X_{K} provient d'un schéma ~~vérif.~~ X_{\alpha} sur ~~K_{\alpha}~~ un (V_{\alpha})_{t}, i.e. sur l'ouvert U_{\alpha} = S_{\alpha t} de S_{\alpha} = \mathrm{Spec}\, V_{\alpha}, soit \eta_{\alpha} le pt générique de S_{\alpha} i.e. de S_{\alpha t}, c'est l'image de \eta_{\alpha}. ~~Comme f_{\alpha} : X_{\alpha} \to U_{\alpha} … propre …~~ ~~Choisissons …~~ Comme f_{\alpha} est propre, on sait (SGA 5 VI) que E_{U_{\alpha}} = R^{i} f_{\alpha *}(\mathbf{Z}_{\ell}) \text{ sur } U_{\alpha} est constructible, donc sur un voisinage ouvert U'_{\alpha} de \eta_{\alpha} sur lequel E_{\alpha} soit localement constant tordu. Augmentant au besoin \alpha, (… comme g^{-1}(U_{\alpha}) = g^{-1}(N_{\alpha}) = \{\eta\}),

S \ni \eta_{\alpha} ; g : S \to S_{\alpha} \supset U_{\alpha}petit schéma de l'auteur dans la marge inférieure gauche ; disposition reproduite approximativement.

p. 39 de l'auteur. Le bas de la page (à partir de « Nous allons utiliser ») est barré de deux longs traits obliques ; l'argument continue au-delà du lot. on peut supposer V_{\alpha} = U_{\alpha} (SGA IV 8), donc E_{\alpha} est un faisceau constant tordu, sur U_{\alpha}, (E_{\alpha} provient d'une représentation \ell-adique de \pi_{1}(U_{\alpha}, \overline{\eta}) dans un …) et par le th. de changement de base lisse propre (SGA 4 XII), donnant E de t.f. sur \mathbf{Z}_{\ell} R f_{K *}\bigl((\mathbf{Z}_{\ell})_{X_{K}}\bigr) = E_{K} est ~~l'image~~ isomorphe à l'image inverse de E_{U_{\alpha}} par ~~\ldots~~ \eta \to U_{\alpha}, donc la représentation de \pi définie par H^{i}(X_{\overline{K}}, \mathbf{Z}_{\ell}) est celle déduite de \pi_{\alpha} par l'homomorphisme canonique \pi \longrightarrow \pi_{\alpha} \qquad \text{\struck{$\ldots \to \pi_{\alpha}$}} ~~Notons que \pi_{\alpha} est une extension de \pi_{\alpha,0} = \mathrm{Gal}(\overline{k}_{\alpha}/k_{\alpha})~~ Par le même, remplaçant l'exposant \ell au lieu de l'indice \alpha, et abrégeant, on a \pi \longrightarrow \pi' . Notons que \pi' est une extension de \pi'_{0} = \mathrm{Gal}(\overline{k}'/k') \simeq \pi_{1}(S'_{\alpha}) par un ss-groupe I', et que l'hom. induit un hom. : I \longrightarrow I' \subset \pi' . Dans le cas où V_{\alpha} est de val. discrète, la conclusion résulte de n° 6.

Ceci suffit déjà à traiter le cas 8.2 a), qui ne sera utile que pour donner l'idée de la dém. « générale » de l'exposé suivant (comme ici à titre d'exemple) … à traiter le cas des variétés abéliennes … de choisir V comme limite de V_{\alpha} … dans quelques cas !)note de marge écrite en oblique le long du bord gauche, reliée au texte par une accolade ; lecture d'ensemble très incertaine.

~~Nous allons utiliser dans le théorème de structure … des variantes du « lemme d'Abhyankar » :~~

Lemme 8.5. Soit A un anneau local noethérien hensélien, k son corps résiduel k, … l'exp. caractéristique de k, S = \mathrm{Spec}\, A, D = \sum_{i \in I} D_{i} un diviseur à croisements normaux … d'un syst. de paramètres (x_{i})_{i \in I}, x = \prod x_{i}^{n_{i}}, U = S_{x}, \xi un pt géom. de U. Alors \xi définit une clôture séparable \overline{k} de k, et …