Cote n° 33 · batch 6 · pages 101–120 · Transcription · SGA 1965. MS [Manuscrit] brouillon : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : 1965-[vers 1971]
Édition de démonstration

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Produit tensoriel dérivé : hypertor, formules, changement de base

101la page s'ouvre sur les faisceaux de cohomologie de \(L_{\bullet} \overset{\mathbb{L}}{\otimes} M_{\bullet}\) : la définition de ce produit tensoriel dérivé précède la présente liasse. On transcrit « L. » de l'auteur par \(L_{\bullet}\), et \(\overset{\mathbb{L}}{\otimes}\) rend le \(\otimes\) surmonté d'un L à double barre. Les […] faisceaux de cohomologie de \(L_{\bullet} \overset{\mathbb{L}}{\otimes} M_{\bullet}\) sont dits hypertor de \(L_{\bullet}, M_{\bullet}\), notation \(\mathrm{Tor}_i^{\mathcal{O}}(L_{\bullet}, M_{\bullet})\). […] Comme il s'agit ici de foncteurs ⌜« exacts »⌝ de catégories triangulées, tout triangle exact en l'un des arguments donne lieu à une suite exacte infinie habituelle. En particulier, les \(\mathrm{Tor}_i( \;, M_{\bullet})\) définissent un foncteur cohomologique en le premier argument, lorsqu'on prend pour celui-ci un Module ordinaire.

La formation de \(L_{\bullet} \overset{\mathbb{L}}{\otimes} M_{\bullet}\) commute au changement de base plat ⌜\(f : X \to Y\)⌝, quand celui-ci est défini [[…]] […] : \[\mathbb{L}f^{*}(M_{\bullet} \overset{\mathbb{L}}{\otimes} L_{\bullet}) \simeq \mathbb{L}f^{*}(M_{\bullet}) \overset{\mathbb{L}}{\otimes} \mathbb{L}f^{*}(L_{\bullet})\] la formule est encadrée ; un trait la barre en partie, sans qu'on puisse dire s'il la biffe. Pour définir le foncteur \(f^{*}\) ou \(\mathbb{L}f^{*}\) sur les \(D^{-}\), il faut noter que la platitude de \(f\) implique que \(f^{*}\) transforme quasi-isomorphismes plats en quasi-isomorphismes. D'autre part, \(f^{*}\) transforme plats en plats, d'où la commutation. — En particulier, la formation des \(L_{\bullet} \overset{\mathbb{L}}{\otimes} M_{\bullet}\) commute au passage aux fibres, ce qui donne la possibilité d'un calcul ⌜au moins⌝ […] […] des \(\overset{\mathbb{L}}{\otimes}\). est-ce vrai dans le contexte des topos généraux ?!

103Variante globale : on définit les hypertor globaux par \[\mathbb{R}\Gamma_{X}\, L_{\bullet} \overset{\mathbb{L}}{\otimes} M_{\bullet} .\] Mais il faut remarquer, […] […], que \(\Gamma_X \to\) […] […] […] \(L\), \(M\), […] cohomologie finie !

Lois formelles en […] […] (lois internes)

  1. Associativité de \(\overset{\mathbb{L}}{\otimes}\).
  2. Commutativité (attention aux signes !)
  3. \[\begin{align*} \mathbb{R}\mathcal{H}om^{\bullet}(L_{\bullet} \overset{\mathbb{L}}{\otimes} M_{\bullet}, K^{\bullet}) &\simeq \mathbb{R}\mathcal{H}om^{\bullet}(L_{\bullet}, \mathbb{R}\mathcal{H}om^{\bullet}(M_{\bullet}, K^{\bullet})) \\ &\simeq \mathbb{R}\mathcal{H}om^{\bullet}(M_{\bullet}, \mathbb{R}\mathcal{H}om^{\bullet}(L_{\bullet}, K^{\bullet})) \end{align*}\] \[\begin{align*} \mathbb{R}\mathrm{Hom}^{\bullet}(L_{\bullet} \overset{\mathbb{L}}{\otimes} M_{\bullet}, K^{\bullet}) &\simeq \mathbb{R}\mathrm{Hom}^{\bullet}(L_{\bullet}, \mathbb{R}\mathcal{H}om^{\bullet}(M_{\bullet}, K^{\bullet})) \\ &\simeq \mathbb{R}\mathrm{Hom}^{\bullet}(M_{\bullet}, \mathbb{R}\mathcal{H}om^{\bullet}(L_{\bullet}, K^{\bullet})) \end{align*}\] \(\mathrm{Hom}(L_{\bullet}, \mathbb{R}\mathcal{H}om\) \[\begin{align*} \mathrm{Hom}(L_{\bullet} \overset{\mathbb{L}}{\otimes} M_{\bullet}, K^{\bullet}) &\simeq \mathrm{Hom}(L_{\bullet}, \mathbb{R}\mathcal{H}om^{\bullet}(M_{\bullet}, K^{\bullet})) \\ &\simeq \mathrm{Hom}(M_{\bullet}, \mathbb{R}\mathcal{H}om^{\bullet}(L_{\bullet}, K^{\bullet})) \end{align*}\] la main ne distingue pas nettement le \(\mathcal{H}om\) faisceautique du \(\mathrm{Hom}\) global ; on a lu le premier groupe comme faisceautique, le second comme global, d'après la variante globale qui précède.

N.B. \(\mathbb{R}\mathcal{H}om^{\bullet}(L_{\bullet}, K^{\bullet})\) défini dès que \(K^{\bullet} \in \mathrm{Ob}\, D^{+}(X)\), mais \(L_{\bullet}\) pour chaque quelconque.

Remarque sur changement de base non plat

On définit \(\mathbb{L}f^{*} : D^{-}(Y) \to D^{-}(X)\) comme on sait, en passant par \(K^{-}(Y)^{\mathrm{plat}}/\text{quasi-isom.}\), en notant que \(f^{*}\) […] envoie \(K^{-}(Y)^{\mathrm{plat}}\) dans \(K^{-}(X)^{\mathrm{plat}}\) et transforme quasi-isom. en quasi-isom. Avec cette définition, on a encore \[\mathbb{L}f^{*}(L_{\bullet} \overset{\mathbb{L}}{\otimes} M_{\bullet}) \simeq \mathbb{L}f^{*}(L_{\bullet}) \overset{\mathbb{L}}{\otimes} \mathbb{L}f^{*}(M_{\bullet}) .\] Notons aussi formule de transitivité

105\[\mathbb{L}(gf)^{*} \simeq \mathbb{L}f^{*}\, \mathbb{L}g^{*}\] valable sans hypothèse sur \(f, g\) […].

Écriture \(\otimes\) : \(f : X \to Y\), \(L_{\bullet}\) sur \(X\), \(M_{\bullet}\) sur \(Y\), \[L_{\bullet} \overset{\mathbb{L}}{\otimes}_{Y} M_{\bullet} \simeq L_{\bullet} \overset{\mathbb{L}}{\otimes} \mathbb{L}f^{*}(M_{\bullet}) .\]

Formule d'adjonction pour \(f : X \to Y\) :

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
  X \arrow[d, "f"'] & K^{\bullet} \\
  Y & L_{\bullet}
\end{tikzcd}

\[\mathrm{Hom}(\mathbb{L}f^{*}(L_{\bullet}), K^{\bullet}) \xrightarrow{\ \sim\ } \mathrm{Hom}(L_{\bullet}, \mathbb{R}f_{*}(K^{\bullet}))\] encadré ; au second membre un symbole biffé précède \(L_{\bullet}\). En effet, on peut supposer \(K^{\bullet}\) […] injectif, \(L_{\bullet}\) plat, alors le premier membre est ([…] \(K\) injectif) \(H^{0}\) \(\mathrm{Hom}^{\bullet}(f^{*}(L_{\bullet}), K^{\bullet})\), le \(H^{0}\) de \[\mathrm{Hom}^{\bullet}(f^{*}L_{\bullet}, K^{\bullet}) \simeq \mathrm{Hom}^{\bullet}(L_{\bullet}, f_{*}(K^{\bullet})) \qquad \text{OK.}\] Attention, […] que si \(K^{\bullet}\) injectif, \(f_{*}(K^{\bullet})\) […]. Donc […] […] […] […].

[…] de projection \[\mathbb{R}f_{*}\, \mathbb{R}\mathcal{H}om^{\bullet}(\mathbb{L}f^{*}(L_{\bullet}), K^{\bullet}) \simeq \mathbb{R}\mathcal{H}om^{\bullet}(L_{\bullet}, \mathbb{R}f_{*}(K^{\bullet}))\] un symbole biffé avant \(\mathcal{H}om\) au premier membre.

Cor. \[\mathbb{R}\mathrm{Hom}^{\bullet}(\mathbb{L}f^{*}(L_{\bullet}), K^{\bullet}) \simeq \mathbb{R}\mathrm{Hom}^{\bullet}(L_{\bullet}, \mathbb{R}f_{*}(K^{\bullet}))\] Démonstration de Cor. : on se ramène à faire […] […] \(L_{\bullet} = A_{Y'}\), […] […] […] : \[\begin{align*} \mathbb{R}\mathrm{Hom}^{\bullet}(f^{*}L_{\bullet}, K^{\bullet}) &= \mathbb{R}\mathrm{Hom}^{\bullet}(A_{X'}, K^{\bullet}) = \mathbb{R}\Gamma_{X'}(\mathbb{L}j'^{*}(K^{\bullet})) \\ &\simeq \mathbb{R}\Gamma_{Y'}(\mathbb{R}f'_{*}\, \mathbb{L}j'^{*}(K^{\bullet})) \\ &\simeq \mathbb{R}\mathrm{Hom}^{\bullet}(A_{Y'}, \mathbb{L}i^{*}(\mathbb{R}f_{*}(K^{\bullet}))) \\ &= \mathbb{R}\mathrm{Hom}^{\bullet}(L_{\bullet}, \mathbb{R}f_{*}(K^{\bullet})) \end{align*}\] ce calcul court en bas de page, sous le corollaire et dans la marge. Sous \(\mathbb{L}j'^{*}(K^{\bullet})\) : « image sur \(X'\) » ; une accolade sous \(\mathbb{R}f'_{*}\,\mathbb{L}j'^{*}(K^{\bullet})\) porte \(\mathbb{L}i^{*}(\mathbb{R}f_{*}(K^{\bullet}))\), avec la justification « car \(i : Y' \to Y\) est un morphisme de localisation… » (l'auteur écrit \(j\) là où le carré porte \(i\)). Avant \(\mathbb{R}\Gamma_{X'}\), un \(\mathrm{Hom}\) biffé. Le carré dessiné en marge :

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
  X' \arrow[r, "j'"] \arrow[d, "f'"'] & X \arrow[d, "f"] \\
  Y' \arrow[r, "i"'] & Y
\end{tikzcd}

107Remarque. Nous nous sommes bornés ici aux formules générales valables sans conditions de régularité (genre pseudo-cohérence, ou quasi-cohérence) qui donnent des […] entre autres formules. D'autre part, nous nous sommes bornés aux cas « naturels » en général d'existence des opérations cohomologiques \(\overset{\mathbb{L}}{\otimes}\), ⌜\(\mathbb{L}f^{*}\), \(\mathbb{R}\mathcal{H}om\)⌝, \(\mathbb{R}f_{*}\), sans examiner les variantes […] d'hypothèse de Tor-dimension ou Ext-dimension finie…

(2) Formules pour les […], faisant intervenir ⌜également !⌝ en plus de \(\overset{\mathbb{L}}{\otimes}\) : Künneth.

Théorème. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme compactifiable sous le titre biffé, un mot encadré et hachuré, illisible.

Notons que en général on sera bien obligé de travailler sur des faisceaux de modules sur un anneau \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} = A\) qui n'est pas de dimension ⌜globale⌝ finie, […] […] […] […] […] […], […] […] comme on sait, […] […] à faire […] \(\overset{\mathbb{L}}{\otimes}\), […] […] […] […] aux faisceaux réduits au degré \(0\), […] […] […] des \(D^{-}\). Il faut

109donc, pour cette raison, savoir définir les \(\mathbb{R}f_{*}\), \(\mathbb{R}_{!}f_{*}\) pour des arguments qui ne sont pas nécessairement dans \(D^{+}\), ⌜pour les foncteurs \(D^{-}(X) \to D^{-}(Y)\), \(D(X) \to D(Y)\)⌝. Pour \(\mathbb{R}f_{*}\), ce sera possible dès que \(f_{*}\) est de dim. cohomologique finie. C'est peut-être vrai dès que \(Y\) est noethérien, ⌜résultat⌝ […] en tout cas de la finitude de la dimension cohomologique des corps de type fini sur le corps premier, […] donc toujours pour \(Y\) de type fini sur \(\mathbb{Z}\). Pour \(\mathbb{R}_{!}f_{*}\), […] […] […] […] au changement de base propre, […] dès que \(Y\) qu. cpt. […] […] \[\begin{align*} \mathbb{R}_{!}f_{*} :\ & D(X) \to D(Y) \\ & D^{+}(X) \to D^{+}(Y) \\ & D^{-}(X) \to D^{-}(Y) \\ & D^{b}(X) \to D^{b}(Y) && \text{si $Y$ qu.\ cpt, $f$ compactifiable} \end{align*}\] Comme à \(Y\) […], […], \[\begin{align*} \mathbb{R}f_{*} :\ & D(X) \to D(Y) \\ & D^{+}(X) \to D^{+}(Y) \\ & D^{-}(X) \to D^{-}(Y) \\ & D^{b}(X) \to D^{b}(Y) && \text{si $Y$ de t.f.\ sur un corps}\\ &&& \text{ou sur $\mathrm{Spec}\, \mathbb{Z}$, et $f$ de t.f.} \end{align*}\] \[\begin{align*} \mathbb{L}f^{*} :\ & D(\text{\struck{$X$}}\, Y) \to D(X) \\ & D^{-}(Y) \to D^{-}(X) \\ & D^{+}(Y) \to D^{+}(X) \qquad D^{b}(Y) \to D^{b}(X) \end{align*}\]

111\[\begin{align*} \mathbb{R}^{!}f :\ & D(\text{\struck{$X$}}\, Y) \to D(X) \\ & D^{+}(Y) \to D^{+}(X) \\ & D^{-}(Y) \to D^{-}(X) \\ & D^{b}(Y) \to D^{b}(X) && \text{si $f$ compactifiable de t.f., $Y$ de t.f.}\\ &&& \text{sur un corps, ou sur $\mathrm{Spec}\, \mathbb{Z}$.} \end{align*}\]

NB Mais \(\overset{\mathbb{L}}{\otimes}\) et \(\mathbb{R}\mathcal{H}om\) […] […] aucun […] […] à être de dim. coh. finie, même si \(X\) excellent : […] […] […] !

Prop. \(\mathbb{R}f_{*}(L_{\bullet}) \overset{\mathbb{L}}{\otimes} M_{\bullet} \xrightarrow{\ \sim\ } \mathbb{R}f_{*}(L_{\bullet}) \overset{\mathbb{L}}{\otimes} M_{\bullet}\) si \(M_{\bullet}\) à cohomologie loc. cte et constructible (= ⌜\(M_{\bullet}\)⌝ pseudo-cohérent) ou \(f\) qu. cpt qu. sép. et \(M_{\bullet}\) à coh. loc. constants — sans réserve de dim. coh. finie. […] […], […] les deux membres de la proposition se lisent identiques sur la page ; on transcrit tel quel. La forme qu'il démontre p. 113 et énonce p. 119 a \(\mathbb{R}f_{*}(L_{\bullet} \overset{\mathbb{L}}{\otimes} M_{\bullet})\) au second membre. Cette ligne d'une encre plus foncée est ajoutée entre le NB et le théorème. NB. […] […] […] […] […] […] ordinaires…

Théorème. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme ⌜avec \(Y\) qu. cpt,⌝ compactifiable, \(L_{\bullet} \in \mathrm{Ob}\, D^{-}(X)\), \(M_{\bullet} \in \mathrm{Ob}\, D^{-}(Y)\), alors on a un isomorphisme canonique bi-fonctoriel \[\mathbb{R}_{!}f(L_{\bullet}) \overset{\mathbb{L}}{\otimes} M_{\bullet} \simeq \mathbb{R}_{!}f(L_{\bullet} \overset{\mathbb{L}}{\otimes} M_{\bullet})\] encadré. Au second membre, \(M_{\bullet}\) est pris sur \(X\) sans \(\mathbb{L}f^{*}\) écrit, selon la convention d'écriture de p. 105.

On peut supposer \(f\) propre, […] […]

définition Donc \[\mathbb{R}f_{*}(L_{\bullet}) \overset{\mathbb{L}}{\otimes} M_{\bullet} \simeq \mathbb{R}f_{*}(L_{\bullet} \overset{\mathbb{L}}{\otimes} M_{\bullet})\] On peut supposer, utilisant la définition, que \(L_{\bullet}\) est \(f_{*}\)-acyclique tout degré, et que \(M_{\bullet}\) est plat tout degré, et il faut définir \[f_{*}(L_{\bullet}) \otimes M_{\bullet} \longrightarrow f_{*}(C^{\bullet}(L_{\bullet} \otimes M_{\bullet}))\] où \(C^{\bullet}(L_{\bullet} \otimes M_{\bullet})\) désigne une « résolution » de \(L_{\bullet} \otimes M_{\bullet}\) par un complexe \(f_{*}\)-acyclique.

113On a […] un homomorphisme canonique \[f_{*}(L_{\bullet}) \otimes M_{\bullet} \text{\struck{$\otimes$}} \longrightarrow f_{*}(L_{\bullet} \otimes M_{\bullet})\] provenant de \[M_{\bullet} \longrightarrow \mathcal{H}om^{\bullet}(f_{*}(L_{\bullet}), f_{*}(L_{\bullet} \otimes M_{\bullet}))\] (lui-même provenant de \(M_{\bullet} \to \mathcal{H}om^{\bullet}(L_{\bullet}, L_{\bullet} \otimes M_{\bullet})\) […] […]) […] […] composé \[f_{*}(L_{\bullet} \otimes M_{\bullet}) \longrightarrow f_{*}(C^{\bullet}(L_{\bullet} \otimes M_{\bullet}))\] Il faut prouver que l'homomorphisme […] […]. […] […] […] fonctoriel pour la catégorie dérivée. […] […] […]

Pour prouver que […] […] […] […], […] […] […] […] \(L_{\bullet}\), \(M_{\bullet}\) […] \(Y\)-plats, puis […] […] […] \(M_{\bullet}\) […], […] […] […] […] de la forme \(i_{!}(A_{Y'})\), […] \(i : Y' \to Y\) […] […] […] […]. […] […] plat et le \(\otimes\) est ordinaire. Notons […] […] […] \(P_{\bullet}\) […] \(Y\), […] \(Q_{\bullet}\) […] \(Y'\), \[i_{!}(Q) \otimes P \simeq i_{!}(Q \otimes i^{*}P)\] (c'est […] […] […] fibre par fibre…) on

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
  X' \arrow[r, "j"] \arrow[d, "f'"'] & X \arrow[d, "f"] \\
  Y' \arrow[r, "i"'] & Y
\end{tikzcd}

Se simplifie, […] […] […] […] […] […] […] […], […] […] […] ([…] […] […] […] !)

115particulier \(i_{!}(A_{Y'}) \otimes Q \simeq i_{!}(i^{*}(Q))\) d'où aussitôt \[\begin{align*} i_{!}(A_{Y'}) \otimes \mathbb{R}_{!}f(L_{\bullet}) &\simeq \mathbb{R}i_{!}(\mathbb{L}i^{*}(\mathbb{R}_{!}f(L_{\bullet}))) \\ &\simeq \mathbb{R}i_{!}\, \mathbb{R}_{!}f'(\mathbb{L}j^{*}(L_{\bullet})) \\ &\simeq \mathbb{R}_{!}f(\mathbb{R}_{!}j(\mathbb{L}j^{*}(L_{\bullet}))) \\ &\simeq \mathbb{R}_{!}f(\mathbb{L}f^{*}i_{!}(A_{Y'}) \otimes \mathbb{L}j^{*}(L_{\bullet})) \end{align*}\] O.K. une accolade sous \(\mathbb{R}_{!}j(\mathbb{L}j^{*}(L_{\bullet}))\) renvoie à \(j_{!}(A_{X'}) \otimes \mathbb{L}j^{*}(L_{\bullet})\), et une seconde sous \(j_{!}(A_{X'})\) à \(\mathbb{L}f^{*}(i_{!}(A_{Y'}))\). Devant cette dernière formule et à la première ligne, un \(A\) biffé ; à la troisième, un \((f)\) biffé entre \(\mathbb{R}_{!}\) et \(f\). Au dernier membre, le second facteur se lit \(\mathbb{L}j^{*}(L_{\bullet})\), là où l'on attendrait \(L_{\bullet}\) : \(\mathbb{L}j^{*}\).

Corollaire (Formule de Künneth). Soient \(f : X \to S\), \(g : Y \to S\) compactifiables, avec \(S\) qu. cpt, et \(L_{\bullet} \in \mathrm{Ob}\, D^{-}(X)\), \(M_{\bullet} \in \mathrm{Ob}\, D^{-}(Y)\), alors on a un isomorphisme bifonctoriel en \(L_{\bullet}, M_{\bullet}\) \[\begin{align*} &\mathbb{R}_{!}h_{*}(\mathbb{L}g'^{*}(L_{\bullet}) \overset{\mathbb{L}}{\otimes} \mathbb{L}f'^{*}(M_{\bullet})) \\ &\qquad \simeq \mathbb{R}_{!}f_{*}(L_{\bullet}) \overset{\mathbb{L}}{\otimes} \mathbb{R}_{!}g_{*}(M_{\bullet}) \end{align*}\] encadré.

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
  & Z = X \times_S Y \arrow[dl, "g'"'] \arrow[dr, "f'"] \arrow[dd, "h"] & \\
  X \arrow[dr, "f"'] & & Y \arrow[dl, "g"] \\
  & S &
\end{tikzcd}

Redonne […] […] […] […] \(g : Y \to S\) […]

S'obtient en appliquant 2 fois la formule de projection pour \(\overset{\mathbb{L}}{\otimes}\).

Cas particulier. Supposons \(F\) sur \(X\), \(G\) sur \(Y\) tels que \(L_{\bullet}\), \(M_{\bullet}\) plats […] […] […] […] \(F\) ou \(G\) soit plat, et les \(R^{i}_{!}f(F)\) ou les \(R^{j}_{!}(G)\) soient plats, alors \[\mathbb{R}^{n}_{!}h(g'^{*}(F) \otimes f'^{*}(G)) \simeq \sum_{i+j=n} R^{i}_{!}f(F) \otimes R^{j}_{!}g(G) .\] encadré. Le premier facteur est écrit sur un \(f\) surchargé ; la lecture \(g'^{*}\) est celle que demande le carré.

117Remarque. On ne peut espérer mieux comme formule de Künneth pour la coh. à supports propres, même sur un corps de base alg. clos, car il faut tjs s'attendre en général à avoir des \(\mathrm{Tor}_i\) ….

Pour la cohomologie à supports quelconques de \(X\) et \(Y\) ⌜de t.f.⌝ sur un \(k\) (alg. clos), on […] […] Künneth, à coefficients dans \(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\) par exemple (\(p = \text{car.}\)). Cependant, si \(X\) […] \(Y\) propre sur \(k\), […] […] […].

\[\begin{align*} (*) \qquad &\mathbb{R}(f \times g)_{*}(L_{\bullet} \overset{\mathbb{L}}{\boxtimes} M_{\bullet}) \\ &\qquad \xleftarrow{\ \sim\ } \mathbb{R}f_{*}(L_{\bullet}) \overset{\mathbb{L}}{\boxtimes} \mathbb{R}g_{*}(M_{\bullet}) \end{align*}\] l'auteur biffe un symbole devant \(L_{\bullet}\) au premier membre ; \(\boxtimes\) rend son \(\otimes\) encadré.

Comment […] […] […] ([…] […] \(f\) propre) \[\begin{align*} \mathbb{R}(f \times g)_{*}(L_{\bullet} \overset{\mathbb{L}}{\boxtimes} M_{\bullet}) &\simeq \mathbb{R}g_{*}\big[\mathbb{R}f'_{*}(\mathbb{L}g'^{*}(L_{\bullet})) \overset{\mathbb{L}}{\otimes} M_{\bullet}\big] \\ &\simeq \mathbb{R}f_{*}(L_{\bullet}) \overset{\mathbb{L}}{\otimes} \mathbb{R}g_{*}(M_{\bullet}) \end{align*}\] au-dessus du premier \(\simeq\) : \(\mathbb{R}g_{*}(\mathbb{R}f'_{*})(-)\) ; sous \(L_{\bullet} \overset{\mathbb{L}}{\boxtimes} M_{\bullet}\) : \(\mathbb{L}g'^{*}(L) \overset{\mathbb{L}}{\otimes} M\) ; une accolade sous \(\mathbb{R}f'_{*}(\mathbb{L}g'^{*}(L_{\bullet}))\) porte \(\mathbb{L}g^{*}(\mathbb{R}f_{*}(L_{\bullet}))\), avec en dessous « formule de projection pour \(f'\) […] » ; sous le second \(\simeq\) : « formule de projection pour \(g\) : […] que […] \(H\) faisceau […] \(S \to\) loc. constant !!! ».

Lorsque ni \(f\) ni \(g\) propres, alors […] […] […] […] un corps […] […] […] […] […] avoir la formule \(\mathbb{R}f\) […], si […] est premier à la caractéristique, […] […] […] dimension à l'aide du th. de dualité locale…

119Notons que ces résultats ; le Künneth établis ici […] […] […] premier : le cas, et ne dépendent pas du th. de dualité : la formule de Künneth propre dite avait déjà été établie par Verdier par en utilisant le th. de dualité globale.

remarque Notons que les formules de projection n'ont […] […] exacte si […] ⌜complexes⌝ \(\mathbb{R}_{!}f_{*}\) […] \(\mathbb{R}f_{*}\), […] […] […] : \(L_{\bullet} = A_{X}\), \(X = U \hookrightarrow Y\) […] […] (\(U\) […] […] \(X\)), et le \(H^{0}\), on \[M_{\bullet} = A_{U,X} ,\] […] […] […] que si \(U\) […] […] […] […] à \(Y\), et \(F\) […] […] que \(F|(X - f^{-1}(U)) = 0\), […] \(f_{*}(F)|(Y - U) = 0\), […] […] que […] […] […] si \(f\) […] […]… […] Cependant, une démonstration presque immédiate (valable pour \(H\) topos arbitraire, sans […] réserve d'une finitude de dim. cl.) prouve […] […] […] un isom. \[\mathbb{R}f_{*}(L_{\bullet}) \overset{\mathbb{L}}{\otimes} M_{\bullet} \longrightarrow \mathbb{R}f_{*}(L_{\bullet} \overset{\mathbb{L}}{\otimes} M_{\bullet})\] lorsque \(M_{\bullet}\) est à cohomologie localement constante, de t.f. (la restriction « de type fini » étant d'ailleurs inutile si \(f\) est qu. cpt qu. sép.) : […] […] […] […] […] […] \(M = A_{Y}\) ! la page s'arrête là ; la remarque sur les limites des formules de projection ne se poursuit pas dans la liasse (la page 120 est le seul texte dactylographié du verso).