Fonds Grothendieck, cote n° 33, pages 101–120 — transcriptionAlexandre Grothendiecktranscription automatique — première passe, non vérifiée contre les pages par une personne (2026-10-03)Opus 5.5 (claude-opus-5-5)procédure, outillage, export TEIgrothendieck.commutator.io (Commutator, Paris)Édition de démonstrationCommutatorParis2026-10-03
Le fonds Alexandre Grothendieck est sous droits. Cette transcription
est une édition de démonstration, non autorisée, produite par une
machine et non vérifiée ; aucune image du fonds n'est reproduite. La
source LaTeX dont ce fichier dérive est publiée sous https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-project.
https://grothendieck.commutator.ioFranceMontpellierUniversité de MontpellierFonds Alexandre Grothendieck (archives mathématiques, 1949–1991)33
SGA 1965. MS [Manuscrit] brouillon : notes manuscrites (s.d.).
Pages 101 à 120 de la cote, dans la
numérotation des archivistes (crayon, en bas à gauche de chaque
page) ; lot 6 de vingt pages.
Les pages absentes de la transcription ne portent pas de
mathématiques et sont omises ; le saut dans la numérotation en est
le seul enregistrement.1965-[vers 1971]Datation de l'inventaire de l'Université de Montpellier, reproduite telle quelle ; les crochets sont ceux des archivistes.https://grothendieck.umontpellier.fr/33.pdfFac-similé numérique de l'Université de Montpellier. Sa
première page est une feuille de garde générée par
l'université : la page n des archivistes
est la page n+1 du PDF, et l'attribut
facs de chaque
pb tient compte de ce décalage.
Transcription mathématique du fonds, une passe de vingt pages par
conversation avec un grand modèle multimodal, sous la procédure
transcribe-grothendieck du dépôt. Le fichier
LaTeX est la source de référence ; ce TEI en est dérivé mécaniquement
par scripts/tei.mjs et n'a pas été relu.
L'édition n'est pas diplomatique : elle encode les mathématiques et
l'apparat, rien du support. Correspondance avec l'apparat de la source :
\ill devient gap[@reason='illegible']
(jamais deviné) ; \uncertain devient
unclear ; \supplied devient
supplied (restitué par le transcripteur) ;
\add devient add
(ajout de l'auteur, en interligne ou sur un mot biffé) ;
\struck devient
del (biffé par l'auteur) ;
\note devient note[@type='editorial']
(du transcripteur) ; \drawing devient
note[@type='drawing'] (dessin de l'auteur, décrit par le
transcripteur) ; \marginal devient
note[@type='authorial'][@place='margin'] (de l'auteur) ;
\page devient pb.
Restitution et ajout de l'auteur n'ont longtemps fait qu'une macro. Ils
ont été séparés le 26 septembre 2026 par une règle vérifiable dans le
fichier, non par une relecture : un ajout accolé au mot qu'il complète
est une restitution (supplied), un ajout
isolé est de l'auteur (add). Certains
add sont donc encore des restitutions du
transcripteur, que seuls les fac-similés départageront.
Les mathématiques sont transportées en TeX dans
formula[@notation='TeX'], les diagrammes
commutatifs en formula[@notation='tikz-cd'],
sans conversion. Une marque d'apparat située à l'intérieur d'une
formule (un exposant illisible, un symbole biffé) reste dans le TeX de
la formule, sous les mêmes macros.
Orthographe, ponctuation et lapsus de l'auteur sont conservés ; une
faute évidente est signalée par une note, jamais corrigée.
https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-projectfrançais, avec la notation mathématique de l'auteurExport TEI depuis la source LaTeX.Première passe de transcription.
Produit tensoriel dérivé : hypertor, formules, changement de base
la page s'ouvre sur les faisceaux de cohomologie de L_{\bullet} \overset{\mathbb{L}}{\otimes} M_{\bullet} : la définition de ce produit tensoriel dérivé précède la présente liasse. On transcrit « L. » de l'auteur par L_{\bullet}, et \overset{\mathbb{L}}{\otimes} rend le \otimes surmonté d'un L à double barre.
Les faisceaux de cohomologie de L_{\bullet} \overset{\mathbb{L}}{\otimes} M_{\bullet} sont ditshypertor de L_{\bullet}, M_{\bullet}, notation \mathrm{Tor}_i^{\mathcal{O}}(L_{\bullet}, M_{\bullet}). Comme il s'agit ici de foncteurs « exacts » de catégories triangulées, tout triangle exact en l'un des arguments donne lieu à une suite exacte infinie habituelle. En particulier, les \mathrm{Tor}_i( \;, M_{\bullet}) définissent un foncteur cohomologique en le premier argument, lorsqu'on prend pour celui-ci un Module ordinaire.
La formation de L_{\bullet} \overset{\mathbb{L}}{\otimes} M_{\bullet} commute au changement de base platf : X \to Y, quand celui-ci est défini [] :
\mathbb{L}f^{*}(M_{\bullet} \overset{\mathbb{L}}{\otimes} L_{\bullet})
\simeq \mathbb{L}f^{*}(M_{\bullet}) \overset{\mathbb{L}}{\otimes} \mathbb{L}f^{*}(L_{\bullet})la formule est encadrée ; un trait la barre en partie, sans qu'on puisse dire s'il la biffe.
Pour définir le foncteur f^{*} ou \mathbb{L}f^{*} sur les D^{-}, il faut noter que la platitude de f implique que f^{*} transforme quasi-isomorphismes plats en quasi-isomorphismes. D'autre part, f^{*} transforme plats en plats, d'où la commutation. — En particulier, la formation des L_{\bullet} \overset{\mathbb{L}}{\otimes} M_{\bullet} commute au passage aux fibres, ce qui donne la possibilité d'un calculau moins des \overset{\mathbb{L}}{\otimes}.
est-ce vrai dans le contexte des topos généraux ?!
Variante globale : on définit les hypertor globaux par
\mathbb{R}\Gamma_{X}\, L_{\bullet} \overset{\mathbb{L}}{\otimes} M_{\bullet} .Mais il faut remarquer, , que \Gamma_X \toL, M, cohomologiefinie !
Lois formelles en (lois internes)
Associativité de \overset{\mathbb{L}}{\otimes}.Commutativité (attention aux signes !)\begin{align*}
\mathbb{R}\mathcal{H}om^{\bullet}(L_{\bullet} \overset{\mathbb{L}}{\otimes} M_{\bullet}, K^{\bullet})
&\simeq \mathbb{R}\mathcal{H}om^{\bullet}(L_{\bullet}, \mathbb{R}\mathcal{H}om^{\bullet}(M_{\bullet}, K^{\bullet})) \\
&\simeq \mathbb{R}\mathcal{H}om^{\bullet}(M_{\bullet}, \mathbb{R}\mathcal{H}om^{\bullet}(L_{\bullet}, K^{\bullet}))
\end{align*}\begin{align*}
\mathbb{R}\mathrm{Hom}^{\bullet}(L_{\bullet} \overset{\mathbb{L}}{\otimes} M_{\bullet}, K^{\bullet})
&\simeq \mathbb{R}\mathrm{Hom}^{\bullet}(L_{\bullet}, \mathbb{R}\mathcal{H}om^{\bullet}(M_{\bullet}, K^{\bullet})) \\
&\simeq \mathbb{R}\mathrm{Hom}^{\bullet}(M_{\bullet}, \mathbb{R}\mathcal{H}om^{\bullet}(L_{\bullet}, K^{\bullet}))
\end{align*}\mathrm{Hom}(L_{\bullet}, \mathbb{R}\mathcal{H}om\begin{align*}
\mathrm{Hom}(L_{\bullet} \overset{\mathbb{L}}{\otimes} M_{\bullet}, K^{\bullet})
&\simeq \mathrm{Hom}(L_{\bullet}, \mathbb{R}\mathcal{H}om^{\bullet}(M_{\bullet}, K^{\bullet})) \\
&\simeq \mathrm{Hom}(M_{\bullet}, \mathbb{R}\mathcal{H}om^{\bullet}(L_{\bullet}, K^{\bullet}))
\end{align*}la main ne distingue pas nettement le \mathcal{H}om faisceautique du \mathrm{Hom} global ; on a lu le premier groupe comme faisceautique, le second comme global, d'après la variante globale qui précède.
N.B. \mathbb{R}\mathcal{H}om^{\bullet}(L_{\bullet}, K^{\bullet}) défini dès que K^{\bullet} \in \mathrm{Ob}\, D^{+}(X), mais L_{\bullet}pourchaquequelconque.
Remarque sur changement de base non plat
On définit \mathbb{L}f^{*} : D^{-}(Y) \to D^{-}(X) comme on sait, en passant par K^{-}(Y)^{\mathrm{plat}}/\text{quasi-isom.}, en notant que f^{*}envoieK^{-}(Y)^{\mathrm{plat}} dans K^{-}(X)^{\mathrm{plat}} et transforme quasi-isom. en quasi-isom. Avec cette définition, on a encore
\mathbb{L}f^{*}(L_{\bullet} \overset{\mathbb{L}}{\otimes} M_{\bullet})
\simeq \mathbb{L}f^{*}(L_{\bullet}) \overset{\mathbb{L}}{\otimes} \mathbb{L}f^{*}(M_{\bullet}) .
Notons aussi formule de transitivité
\mathbb{L}(gf)^{*} \simeq \mathbb{L}f^{*}\, \mathbb{L}g^{*}
valable sans hypothèse sur f, g.
Écriture \otimes : f : X \to Y, L_{\bullet} sur X, M_{\bullet} sur Y,
L_{\bullet} \overset{\mathbb{L}}{\otimes}_{Y} M_{\bullet}
\simeq L_{\bullet} \overset{\mathbb{L}}{\otimes} \mathbb{L}f^{*}(M_{\bullet}) .
Formule d'adjonction pour f : X \to Y :
\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
X \arrow[d, "f"'] & K^{\bullet} \\
Y & L_{\bullet}
\end{tikzcd}
\mathrm{Hom}(\mathbb{L}f^{*}(L_{\bullet}), K^{\bullet})
\xrightarrow{\ \sim\ } \mathrm{Hom}(L_{\bullet}, \mathbb{R}f_{*}(K^{\bullet}))encadré ; au second membre un symbole biffé précède L_{\bullet}.
En effet, on peut supposer K^{\bullet} injectif, L_{\bullet} plat, alors le premier membre est
(K injectif)H^{0}\mathrm{Hom}^{\bullet}(f^{*}(L_{\bullet}), K^{\bullet}), le H^{0} de
\mathrm{Hom}^{\bullet}(f^{*}L_{\bullet}, K^{\bullet}) \simeq \mathrm{Hom}^{\bullet}(L_{\bullet}, f_{*}(K^{\bullet})) \qquad \text{OK.}Attention, que siK^{\bullet}injectif, f_{*}(K^{\bullet}). Donc .
de projection\mathbb{R}f_{*}\, \mathbb{R}\mathcal{H}om^{\bullet}(\mathbb{L}f^{*}(L_{\bullet}), K^{\bullet})
\simeq \mathbb{R}\mathcal{H}om^{\bullet}(L_{\bullet}, \mathbb{R}f_{*}(K^{\bullet}))un symbole biffé avant \mathcal{H}om au premier membre.
Cor.\mathbb{R}\mathrm{Hom}^{\bullet}(\mathbb{L}f^{*}(L_{\bullet}), K^{\bullet})
\simeq \mathbb{R}\mathrm{Hom}^{\bullet}(L_{\bullet}, \mathbb{R}f_{*}(K^{\bullet}))Démonstration de Cor. : on se ramène à faireL_{\bullet} = A_{Y'}, :\begin{align*}
\mathbb{R}\mathrm{Hom}^{\bullet}(f^{*}L_{\bullet}, K^{\bullet})
&= \mathbb{R}\mathrm{Hom}^{\bullet}(A_{X'}, K^{\bullet})
= \mathbb{R}\Gamma_{X'}(\mathbb{L}j'^{*}(K^{\bullet})) \\
&\simeq \mathbb{R}\Gamma_{Y'}(\mathbb{R}f'_{*}\, \mathbb{L}j'^{*}(K^{\bullet})) \\
&\simeq \mathbb{R}\mathrm{Hom}^{\bullet}(A_{Y'}, \mathbb{L}i^{*}(\mathbb{R}f_{*}(K^{\bullet}))) \\
&= \mathbb{R}\mathrm{Hom}^{\bullet}(L_{\bullet}, \mathbb{R}f_{*}(K^{\bullet}))
\end{align*}ce calcul court en bas de page, sous le corollaire et dans la marge. Sous \mathbb{L}j'^{*}(K^{\bullet}) : « image sur X' » ; une accolade sous \mathbb{R}f'_{*}\,\mathbb{L}j'^{*}(K^{\bullet}) porte \mathbb{L}i^{*}(\mathbb{R}f_{*}(K^{\bullet})), avec la justification « car i : Y' \to Y est un morphisme de localisation… » (l'auteur écrit j là où le carré porte i). Avant \mathbb{R}\Gamma_{X'}, un \mathrm{Hom} biffé. Le carré dessiné en marge :
\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
X' \arrow[r, "j'"] \arrow[d, "f'"'] & X \arrow[d, "f"] \\
Y' \arrow[r, "i"'] & Y
\end{tikzcd}
Remarque. Nous nous sommes bornés ici aux formules générales valables sans conditions de régularité (genre pseudo-cohérence, ou quasi-cohérence) qui donnent des entreautres formules. D'autre part, nous nous sommes bornés aux cas « naturels » en général d'existence des opérations cohomologiques \overset{\mathbb{L}}{\otimes}, \mathbb{L}f^{*}, \mathbb{R}\mathcal{H}om, \mathbb{R}f_{*}, sans examiner les variantes d'hypothèse de Tor-dimension ou Ext-dimension finie…
(2) Formules pour les , faisant intervenirégalement ! en plus de \overset{\mathbb{L}}{\otimes} : Künneth.
Théorème. Soit f : X \to Y un morphisme compactifiablesous le titre biffé, un mot encadré et hachuré, illisible.
Notons que en général on sera bien obligé de travailler sur des faisceaux de modules sur un anneau \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} = A qui n'est pas de dimension globalefinie, , commeonsait, à faire\overset{\mathbb{L}}{\otimes}, aux faisceaux réduits au degré 0, des D^{-}. Il faut
donc, pour cette raison, savoir définir les \mathbb{R}f_{*}, \mathbb{R}_{!}f_{*} pour des arguments qui ne sontpasnécessairement dans D^{+}, pour les foncteurs D^{-}(X) \to D^{-}(Y), D(X) \to D(Y). Pour \mathbb{R}f_{*}, ce sera possible dès que f_{*} est de dim. cohomologique finie. C'est peut-être vrai dès que Y est noethérien, résultat en tout cas de la finitude de la dimensioncohomologique des corps de type fini sur le corps premier, donc toujours pour Y de type fini sur \mathbb{Z}. Pour \mathbb{R}_{!}f_{*}, au changement de base propre, dès que Yqu. cpt. \begin{align*}
\mathbb{R}_{!}f_{*} :\ & D(X) \to D(Y) \\
& D^{+}(X) \to D^{+}(Y) \\
& D^{-}(X) \to D^{-}(Y) \\
& D^{b}(X) \to D^{b}(Y)
&& \text{si $Y$ qu.\ cpt, $f$ compactifiable}
\end{align*}Comme à Y, ,
\begin{align*}
\mathbb{R}f_{*} :\ & D(X) \to D(Y) \\
& D^{+}(X) \to D^{+}(Y) \\
& D^{-}(X) \to D^{-}(Y) \\
& D^{b}(X) \to D^{b}(Y)
&& \text{si $Y$ de t.f.\ sur un corps}\\
&&& \text{ou sur $\mathrm{Spec}\, \mathbb{Z}$, et $f$ de t.f.}
\end{align*}\begin{align*}
\mathbb{L}f^{*} :\ & D(\text{\struck{$X$}}\, Y) \to D(X) \\
& D^{-}(Y) \to D^{-}(X) \\
& D^{+}(Y) \to D^{+}(X)
\qquad D^{b}(Y) \to D^{b}(X)
\end{align*}
\begin{align*}
\mathbb{R}^{!}f :\ & D(\text{\struck{$X$}}\, Y) \to D(X) \\
& D^{+}(Y) \to D^{+}(X) \\
& D^{-}(Y) \to D^{-}(X) \\
& D^{b}(Y) \to D^{b}(X)
&& \text{si $f$ compactifiable de t.f., $Y$ de t.f.}\\
&&& \text{sur un corps, ou sur $\mathrm{Spec}\, \mathbb{Z}$.}
\end{align*}
NB Mais \overset{\mathbb{L}}{\otimes} et \mathbb{R}\mathcal{H}omaucun à être de dim. coh. finie, même si Xexcellent : !
Prop.\mathbb{R}f_{*}(L_{\bullet}) \overset{\mathbb{L}}{\otimes} M_{\bullet} \xrightarrow{\ \sim\ } \mathbb{R}f_{*}(L_{\bullet}) \overset{\mathbb{L}}{\otimes} M_{\bullet} si M_{\bullet} à cohomologie loc. cte et constructible (= M_{\bullet} pseudo-cohérent) ouf qu. cpt qu. sép. et M_{\bullet} à coh. loc. constants — sans réserve de dim. coh. finie. , les deux membres de la proposition se lisent identiques sur la page ; on transcrit tel quel. La forme qu'il démontre p. 113 et énonce p. 119 a \mathbb{R}f_{*}(L_{\bullet} \overset{\mathbb{L}}{\otimes} M_{\bullet}) au second membre. Cette ligne d'une encre plus foncée est ajoutée entre le NB et le théorème.NB. ordinaires…
Théorème. Soit f : X \to Y un morphisme avec Y qu. cpt, compactifiable, L_{\bullet} \in \mathrm{Ob}\, D^{-}(X), M_{\bullet} \in \mathrm{Ob}\, D^{-}(Y), alors on a un isomorphisme canonique bi-fonctoriel
\mathbb{R}_{!}f(L_{\bullet}) \overset{\mathbb{L}}{\otimes} M_{\bullet}
\simeq \mathbb{R}_{!}f(L_{\bullet} \overset{\mathbb{L}}{\otimes} M_{\bullet})encadré. Au second membre, M_{\bullet} est pris sur X sans \mathbb{L}f^{*} écrit, selon la convention d'écriture de p. 105.
On peut supposer f propre,
définition Donc
\mathbb{R}f_{*}(L_{\bullet}) \overset{\mathbb{L}}{\otimes} M_{\bullet}
\simeq \mathbb{R}f_{*}(L_{\bullet} \overset{\mathbb{L}}{\otimes} M_{\bullet})
On peut supposer, utilisant la définition, que L_{\bullet} est f_{*}-acyclique toutdegré, et que M_{\bullet} est plat toutdegré, et il faut définir
f_{*}(L_{\bullet}) \otimes M_{\bullet} \longrightarrow f_{*}(C^{\bullet}(L_{\bullet} \otimes M_{\bullet}))
où C^{\bullet}(L_{\bullet} \otimes M_{\bullet}) désigne une « résolution » de L_{\bullet} \otimes M_{\bullet} par un complexef_{*}-acyclique.
On a un homomorphisme canonique
f_{*}(L_{\bullet}) \otimes M_{\bullet} \text{\struck{$\otimes$}} \longrightarrow f_{*}(L_{\bullet} \otimes M_{\bullet})
provenant de
M_{\bullet} \longrightarrow \mathcal{H}om^{\bullet}(f_{*}(L_{\bullet}), f_{*}(L_{\bullet} \otimes M_{\bullet}))
(lui-même provenant de M_{\bullet} \to \mathcal{H}om^{\bullet}(L_{\bullet}, L_{\bullet} \otimes M_{\bullet})) composéf_{*}(L_{\bullet} \otimes M_{\bullet}) \longrightarrow f_{*}(C^{\bullet}(L_{\bullet} \otimes M_{\bullet}))
Il faut prouver que l'homomorphisme . fonctoriel pour la catégorie dérivée.
Pour prouver que , L_{\bullet}, M_{\bullet}Y-plats, puisM_{\bullet}, de la forme i_{!}(A_{Y'}), i : Y' \to Y. plat et le \otimesestordinaire. Notons P_{\bullet}Y, Q_{\bullet}Y',
i_{!}(Q) \otimes P \simeq i_{!}(Q \otimes i^{*}P)
(c'est fibreparfibre…) on
\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
X' \arrow[r, "j"] \arrow[d, "f'"'] & X \arrow[d, "f"] \\
Y' \arrow[r, "i"'] & Y
\end{tikzcd}
Se simplifie, , ( !)
particulier i_{!}(A_{Y'}) \otimes Q \simeq i_{!}(i^{*}(Q)) d'où aussitôt
\begin{align*}
i_{!}(A_{Y'}) \otimes \mathbb{R}_{!}f(L_{\bullet})
&\simeq \mathbb{R}i_{!}(\mathbb{L}i^{*}(\mathbb{R}_{!}f(L_{\bullet}))) \\
&\simeq \mathbb{R}i_{!}\, \mathbb{R}_{!}f'(\mathbb{L}j^{*}(L_{\bullet})) \\
&\simeq \mathbb{R}_{!}f(\mathbb{R}_{!}j(\mathbb{L}j^{*}(L_{\bullet}))) \\
&\simeq \mathbb{R}_{!}f(\mathbb{L}f^{*}i_{!}(A_{Y'}) \otimes \mathbb{L}j^{*}(L_{\bullet}))
\end{align*}
O.K.
une accolade sous \mathbb{R}_{!}j(\mathbb{L}j^{*}(L_{\bullet})) renvoie à j_{!}(A_{X'}) \otimes \mathbb{L}j^{*}(L_{\bullet}), et une seconde sous j_{!}(A_{X'}) à \mathbb{L}f^{*}(i_{!}(A_{Y'})). Devant cette dernière formule et à la première ligne, un A biffé ; à la troisième, un (f) biffé entre \mathbb{R}_{!} et f. Au dernier membre, le second facteur se lit \mathbb{L}j^{*}(L_{\bullet}), là où l'on attendrait L_{\bullet} : \mathbb{L}j^{*}.
Corollaire (Formule de Künneth). Soient f : X \to S, g : Y \to S compactifiables, avec S qu. cpt, et L_{\bullet} \in \mathrm{Ob}\, D^{-}(X), M_{\bullet} \in \mathrm{Ob}\, D^{-}(Y), alors on a un isomorphisme bifonctoriel en L_{\bullet}, M_{\bullet}\begin{align*}
&\mathbb{R}_{!}h_{*}(\mathbb{L}g'^{*}(L_{\bullet}) \overset{\mathbb{L}}{\otimes} \mathbb{L}f'^{*}(M_{\bullet})) \\
&\qquad \simeq \mathbb{R}_{!}f_{*}(L_{\bullet}) \overset{\mathbb{L}}{\otimes} \mathbb{R}_{!}g_{*}(M_{\bullet})
\end{align*}encadré.
\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
& Z = X \times_S Y \arrow[dl, "g'"'] \arrow[dr, "f'"] \arrow[dd, "h"] & \\
X \arrow[dr, "f"'] & & Y \arrow[dl, "g"] \\
& S &
\end{tikzcd}
Redonne g : Y \to S
S'obtient en appliquant 2 fois la formule de projection pour \overset{\mathbb{L}}{\otimes}.
Cas particulier. Supposons F sur X, G sur Y tels que L_{\bullet}, M_{\bullet} plats FouG soit plat, et les R^{i}_{!}f(F)ou les R^{j}_{!}(G) soient plats, alors
\mathbb{R}^{n}_{!}h(g'^{*}(F) \otimes f'^{*}(G))
\simeq \sum_{i+j=n} R^{i}_{!}f(F) \otimes R^{j}_{!}g(G) .encadré. Le premier facteur est écrit sur un f surchargé ; la lecture g'^{*} est celle que demande le carré.
Remarque. On ne peut espérer mieux comme formule de Künneth pour la coh. à supports propres, même sur un corps de base alg. clos, car il faut tjs s'attendre en général à avoir des \mathrm{Tor}_i ….
Pour la cohomologie à supports quelconques de X et Yde t.f. sur un k (alg. clos), on Künneth, à coefficients dans \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}parexemple (p = \text{car.}). Cependant, si XY propre sur k, .
\begin{align*}
(*) \qquad &\mathbb{R}(f \times g)_{*}(L_{\bullet} \overset{\mathbb{L}}{\boxtimes} M_{\bullet}) \\
&\qquad \xleftarrow{\ \sim\ } \mathbb{R}f_{*}(L_{\bullet}) \overset{\mathbb{L}}{\boxtimes} \mathbb{R}g_{*}(M_{\bullet})
\end{align*}l'auteur biffe un symbole devant L_{\bullet} au premier membre ; \boxtimes rend son \otimes encadré.
Comment (f propre)
\begin{align*}
\mathbb{R}(f \times g)_{*}(L_{\bullet} \overset{\mathbb{L}}{\boxtimes} M_{\bullet})
&\simeq \mathbb{R}g_{*}\big[\mathbb{R}f'_{*}(\mathbb{L}g'^{*}(L_{\bullet})) \overset{\mathbb{L}}{\otimes} M_{\bullet}\big] \\
&\simeq \mathbb{R}f_{*}(L_{\bullet}) \overset{\mathbb{L}}{\otimes} \mathbb{R}g_{*}(M_{\bullet})
\end{align*}au-dessus du premier \simeq : \mathbb{R}g_{*}(\mathbb{R}f'_{*})(-) ; sous L_{\bullet} \overset{\mathbb{L}}{\boxtimes} M_{\bullet} : \mathbb{L}g'^{*}(L) \overset{\mathbb{L}}{\otimes} M ; une accolade sous \mathbb{R}f'_{*}(\mathbb{L}g'^{*}(L_{\bullet})) porte \mathbb{L}g^{*}(\mathbb{R}f_{*}(L_{\bullet})), avec en dessous « formule de projection pour f' » ; sous le second \simeq : « formule de projection pour g : que HfaisceauS \toloc.constant !!! ».
Lorsque ni f ni g propres, alors un corpsavoir la formule \mathbb{R}f, si est premier à la caractéristique, dimension à l'aide du th. de dualité locale…
Notons que ces résultats ; le Künneth établis ici premier : le cas, et ne dépendent pas du th. de dualité : la formule de Künneth propre dite avaitdéjà été établie par Verdier par en utilisant le th. de dualité globale.
remarque
Notons que les formules de projection n'ont exacte si complexes\mathbb{R}_{!}f_{*}\mathbb{R}f_{*}, : L_{\bullet} = A_{X}, X = U \hookrightarrow Y (UX), et le H^{0}, on
M_{\bullet} = A_{U,X} , que si U à Y, et F que F|(X - f^{-1}(U)) = 0, f_{*}(F)|(Y - U) = 0, que si f… Cependant, une démonstration presqueimmédiate (valable pour Htoposarbitraire, sans réserve d'une finitude de dim. cl.) prouve un isom.
\mathbb{R}f_{*}(L_{\bullet}) \overset{\mathbb{L}}{\otimes} M_{\bullet}
\longrightarrow \mathbb{R}f_{*}(L_{\bullet} \overset{\mathbb{L}}{\otimes} M_{\bullet})
lorsque M_{\bullet} est à cohomologie localement constante, de t.f. (la restriction « de type fini » étant d'ailleurs inutile si f est qu. cpt qu. sép.) : M = A_{Y} !
la page s'arrête là ; la remarque sur les limites des formules de projection ne se poursuit pas dans la liasse (la page 120 est le seul texte dactylographié du verso).