Cote n° 33 · batch 4 · pages 61–80 · Transcription · SGA 1965. MS [Manuscrit] brouillon : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : 1965-[vers 1971]
Édition de démonstration

TEI P5 source — open the XML · download batch-04.fr.xml

23. Th. de dualité globale pour un morphisme lissement compactifiable

61le numéro « 23 » et le titre, soulignés, sont de sa main en tête de la page ; les paragraphes précédents (au moins jusqu'au n° 22) sont antérieurs au lot.

Le morphisme \(f : X \to Y\) sera dit lissement compactifiable s'il existe une \(Y\)-immersion […] \(X \to X'\), […] \(X'\) lisse et projectif sur \(Y\) […] […] […] \(Y\) !). Par exemple, si \(f\) est quasi-projectif et \(Y\) […] […] […], […] […] […] […] \(X\) […] \(\mathbb{P}^r_Y\), […] […] lissement compactifiable.

Supposons \(X\) […] compactifiable, et choisissons une immersion \(i : X \hookrightarrow X'\) […] […] de définition.

\begin{tikzcd}
X \arrow[r, hook, "i"] \arrow[d, "f"'] & X' \arrow[dl, "{f'}"] \\
Y &
\end{tikzcd}

Définissons un foncteur […] \[\mathbb{R}f^! : D^+(Y) \longrightarrow D^+(X)\] par \[\mathbb{R}f^!(G) = (\mathbb{R}i^!)(\mathbb{R}f'^!)\] la seconde parenthèse du membre de droite est mal formée sur la page ; on lit \(\mathbb{R}i^!\) suivi de \(\mathbb{R}f'^!\) d'après la suite, sans certitude. où \(\mathbb{R}f'^!\) a été défini […], et \(\mathbb{R}i^!\) dans […]. Compte tenu du th. de dualité pour \(f'\) et […] […] […] […] la phrase se poursuit en tête de la p. 63.

63isomorphisme fonctoriel \[\mathrm{Hom}(F^\bullet, \mathbb{R}f^!(G^\bullet)) \simeq \mathrm{Hom}(\mathbb{R}_!f_*F^\bullet, G^\bullet)\] \[\bigl(F^\bullet \in \mathrm{Ob}\, D^b(X),\ G^\bullet \in \mathrm{Ob}\, D^+(Y)\bigr).\] la formule est encadrée.

Lorsque \(X\) est lisse sur \(Y\), on a […] […] deux définitions de \(\mathbb{R}f^!\) définies […], et \(\mathbb{R}f^!\) défini directement en termes de \(f\) lisse, dans […] […] […] transitivité.

à préciser [C'est essentiellement le th. de dualité locale ⌜pureté relatif⌝ pour \(f : X \to Y\), cf. N.B. […] […] […] […] […] […] […] […] […] \(f^!(X)\) avec la formule de transitivité […] […] degrés …]. Ceci dit, le […] ⌜th.⌝ de dualité […] […] […] […] canonique \(f^!\) […] […] […] défini directement […] […] \(f\) : (c'est essentiellement […] […] « th. de pureté relatif […] […] fondamentales locales et globales ») […] […] […] fait allusion déjà. les crochets et le double trait vertical dans la marge gauche, avec « à préciser », isolent le passage de « C'est essentiellement » à « degrés ». La lecture du passage reste très lacunaire.

65Pour se sentir à l'aise, du point de […] […] […] variances, […] dans le cadre […], compte que la description de \(\mathbb{R}f^!\) et de l'isomorphisme de dualité ne dépend pas, essentiellement, de la factorisation choisie. L'argument qui suit est ⌜dû⌝, en ce qui concerne la dualité, à Hartshorne (dans le cas des faisceaux cohérents). […] […] […] deux […] […] telles que \(X'\), \(X''\), […] […]

\begin{tikzcd}[column sep=small]
 & X''' \arrow[ddl] \arrow[ddr] & \\
 & X \arrow[u] \arrow[dl] \arrow[dr] & \\
X' & & X''
\end{tikzcd}

entre \(X'''\) et \(X\) il trace deux flèches verticales accolées, dont une au moins monte de \(X\) vers \(X'''\) ; on n'a reporté que celle-ci.

\[X''' = X' \times_Y X'' ,\] et prenant […] […] […] […], […] isomorphisme canonique […] \(\mathbb{R}^!_{i'} f'^{\#}\) et \(\mathbb{R}^!_{i''} f''^{\#}\) compatible avec […] […] […] dualité, […] […] […] et \(\mathbb{R}^!_{i'''} f'''^{\#}\), i.e. que […] […] ramène […] […] situation […] […] […] […] lisse

\begin{tikzcd}
 & X'' \arrow[r, "g"] \arrow[dr, "{f''}"'] & X' \arrow[d, "{f'}"] \\
X \arrow[ur, "{i''}"] \arrow[urr, "{i'}" description] \arrow[rr, "f"'] & & Y
\end{tikzcd}

schéma redessiné à partir d'un croquis serré : les lettres sont sûres, la place exacte des étiquettes l'est moins. telle que \(i' = g\, i''\).

Utilisant \(\mathbb{R}^! f'' \cdot \mathbb{R}^! (f') \simeq (\mathbb{R}^! g)(\mathbb{R}^! f')\), on est ramené au cas où \(X' = Y\) et \(f' = \mathrm{id}_Y\). Changeant de notation, on est ramené […] […] […] \(g : X \to Y\) lisse, et \(Y' \xrightarrow{\;i\;} Y\) […], et […] […] […] […] […] […] de \(Y'\) dans \(X\), i.e. une section \(\sigma\) de \(X' = X \times_Y Y'\) sur \(Y'\).

\begin{tikzcd}
X \arrow[r, hook, "j"] \arrow[d, "g"'] & X' \arrow[d, "{g'}"] \\
Y \arrow[r, hook, "i"'] & Y' \arrow[u, bend right=40, "\sigma"']
\end{tikzcd}

dans le coin inférieur droit, \(Y'\) est écrit sur un \(X'\) biffé. \(g\), \(g'\) lisses, \(i\), \(j\), \(\sigma\) immersions.

67À […] démontrer un isom. de foncteurs. \[(*) \qquad \mathbb{R}i^! \simeq \text{\struck{$\mathbb{R}g$}}\ \mathbb{R}(j\sigma)^!\, \mathbb{R}^! g .\] et une commutativité de diagrammes […] […] concernant les \(\mathrm{Tr}_i\) et, \(\mathrm{Tr}_g\), \(\mathrm{Tr}_{j\sigma}\). \[\mathbb{R}(j\sigma)^! \simeq \mathbb{R}\sigma^!\, \mathbb{R}j^!\] Prouvons (*). \[(j\sigma)^! \simeq \sigma^!\, j^!\] On […] (*) comme […] \[\mathbb{R}i^! \simeq \mathbb{R}\sigma^!\,(\mathbb{R}j^!\, \mathbb{R}^! g)\] déduit des isom. suivants \[\begin{cases} (\mathbb{R}^! g')(\mathbb{R}i^!) \simeq (\mathbb{R}j^!)(\mathbb{R}^! g) & (a)\\ \text{\struck{$\mathbb{R}\,\mathrm{id}_{D^+(Y)}$}}\ \mathbb{R}^!\,\mathrm{id}_{Y'} \simeq (\mathbb{R}\sigma^!)(\mathbb{R}^! g') & (b), \end{cases}\] d'où \[\mathbb{R}i^! = \text{\struck{$\mathbb{R}i^!$}}\,(\mathbb{R}^!\,\mathrm{id}_{Y'})\,\mathbb{R}i^! \simeq \text{\struck{$\mathbb{R}i^!$}}\ \mathbb{R}\sigma^!\, \mathbb{R}^! g'\, \mathbb{R}i^!\] \[\simeq \mathbb{R}\sigma^!\,\mathbb{R}j^!\,\mathbb{R}^! g\ \text{\struck{$\mathbb{R}i^!$}}\] au-dessus des deux derniers facteurs il écrit, entouré, « \(\mathbb{R}\sigma^!\) » ; sous \(\mathbb{R}^! g'\,\mathbb{R}i^!\) un mot biffé illisible, avec un renvoi « qui (a) ».

en […] […] […] définition. Il faut […] (a) et (b). (b) […] […] […] […] […] des « […] locales et globales ». […] […] […] de définition (a) et (b) […] […] compatibilité […] […] […] […] […] (lorsque l'un des […] […] […] […] […] […] […] …)

69d'autre part (a) s'écrit, […] […] shift. […] degrés et tensorisation par […]. […] \(\underline{\Omega}^d_{X'/Y'}\) \[\Bigl(\text{N.B.}\quad \underline{\Omega}^d_{X'/Y'} \simeq \underline{\Omega}^d_{X/Y} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{O}_{X'}\Bigr)\] \[g'^*(\mathbb{R}i^!) \simeq (\mathbb{R}j^!)\, g^* .\] Il résulte donc […] […] du Th. de changement de base lisse.

C'est d'ailleurs l'isom. de foncteurs […] intervient dans […] définition. Il […] à vérifier la compatibilité […] les traces […] dualité, […] […] […] […] difficultés, et […] laisse […] […] …

Remarques. a) Pour […] […] […] […], à […] […] […], […] vérifier […] laissons […] […] […] […] fonctorialité \(\mathbb{R}^! f'\), […] […] […] […] \(X'\) lisses \(/Y\), […] […] […] […] […] de transitivité […] […]. […] la compatibilité […] […] […] triviale. […] […] compatibilité […] […] […] plus loin dans le « formulaire ».

71b) Dans la définition […] foncteurs \(\mathbb{R}^! f\), […] […] […] utilisé […] […] que \(f\). […] […] projectif […] « localement projectif » ; […] […] […] \(X'\) lisse ⌜des⌝ […] […] relation […] \(Y\) […]. L'hyp. […] […] « lisse compactifiable » […] […] […] […] […] […] […] […] \(\mathbb{R}_!f\) (\(\mathbb{R}^!f\)) et […] que […] […] […] […] […] […] […] […] définition […] pour \(f\) loc. de type fini […] lisse, […] […] comme […] \(\mathbb{R}_! f\) […] […] […] \(f\) […] […] […] […] définition […] […] […].

[…] […] définition […] \(\mathbb{R}_!f\) […] […], […] […] […] […] […]. […] […] […] […] […] […] […] définis, […] Th : \[\mathrm{Tr}_f : (\mathbb{R}_!f)(\mathbb{R}^!f) \longrightarrow \mathrm{id}_{D^+(Y)}\] qui devrait donner […] […] « […] de dualité » […] […] \(f\) […] […] […] trivial […] […], isom. […] […] le reste de la page est biffé ou illisible ; plusieurs mots ont été remplacés par d'autres au-dessus de la ligne.

23 bis. L'homom. de dualité par un sous-préschéma ⌜lisse⌝ d'un préschéma lisse

73le titre, souligné, est de sa main : « 23 », corrigé, est suivi de « bis » en exposant ; dans la seconde ligne du titre un mot est biffé ([…]) et remplacé au-dessus de la ligne.

\begin{tikzcd}
Y \arrow[rr, hook, "i"] \arrow[dr, "g"'] & & X \arrow[dl, "f"] \\
 & S &
\end{tikzcd}

il note les dimensions relatives : « \((d)\) » sous \(i\), « \((r-d)\) » à côté de \(g\), « \((r)\) » à côté de \(f\).

Définition ⌜L'hom⌝ \[\mathbb{R}i_!\bigl(\mathbb{R}i^!(T_{X/S})\bigr) \simeq \mathbb{R}i_!\bigl(T_{Y/S}[2d]\bigr) \longrightarrow \mathbb{R}_!f_*(T_{X/S})\] au-dessus : « \(\mathbb{R}i^!\) […] une immersion […] » et « \((\mathbb{R}i_!)\,\mathbb{R}i^!(F^\bullet) \to F^\bullet\) » ; une flèche descend de \(\mathbb{R}i^!(T_{X/S})\) vers le mot « redéfinition ». Le terme médian est réécrit sur une formule biffée, illisible. \[\mathbb{R}_!i_*\bigl(T_{Y/S}[-2d]\bigr) \longrightarrow \mathbb{R}_!f_*(T_{X/S})\] \[\mathbb{R}_!g_*(T_{Y/S})[-2d] \longrightarrow \mathbb{R}_!f_*(T_{X/S})\] \[R^{\,i-2d}_!\, g_*(T_{Y/S}) \longrightarrow R^{\,i}_!\, f_*(T_{X/S})\] dans les deux exposants de la dernière ligne un premier signe est biffé et remplacé. Faisons \(i = 2r\) […], […] : \[R^{2(r-d)}_!\, g_*(T_{Y/S}) \longrightarrow T_{X/S}\] le but se lit \(T_{X/S}\) ; on attendrait un faisceau sur \(S\). Transcrit tel quel.

a) Cet homom. et compatible des homom. trace.

b) Plus généralement, on a […] un \(G\) sur \(S\) un isom. de foncteurs \[\text{\struck{$\mathbb{R}^! g^*(G) \simeq \mathbb{R}i^!\,\mathbb{R}f^!(G)$}}\] \[\mathbb{R}g^!(G) \simeq \mathbb{R}i^!\,\mathbb{R}f^!(G)\]

75qui généralise le th. de pureté relatif. [et se déduit d'ailleurs du th. de dualité globale — cela devrait être explicité dans SGAA […]]. […] en déduit […] formules le crochet ouvert à « et se déduit » est accompagné de trois traits verticaux dans la marge gauche. \[\underline{H}^i_Y(f^*(G)) = \begin{cases} 0 & i \neq 2d\\ g^*(G) \otimes T^{-1}_{Y/X} & i = 2d \end{cases}\] Cet isomorphisme se généralise dans […] […] […] un \(G^\bullet\). \[\mathbb{R}g^!(G^\bullet) \simeq \mathbb{R}i^!\bigl(\mathbb{R}f^!(G^\bullet)\bigr)\] On en déduit un homom. canonique \[\text{\struck{$\mathbb{R}_!g_*(\mathbb{R}g^!(G^\bullet)) \to \mathbb{R}f$}}\] \[\mathbb{R}_!i_*\bigl(\mathbb{R}g^!(G^\bullet)\bigr) \longrightarrow \mathbb{R}f^!(G^\bullet)\] d'où […] […] \(\mathbb{R}_!f_*\), et utilisant la transitivité :

\begin{tikzcd}[column sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
\mathbb{R}_!g_*\bigl(\mathbb{R}g^!(G^\bullet)\bigr) \arrow[rr] \arrow[dr, "{\mathrm{Tr}_g(G^\bullet)}"'] & & \mathbb{R}_!f_*\,\mathbb{R}f^!(G^\bullet) \arrow[dl, "{\mathrm{Tr}_f(G^\bullet)}"] \\
 & G^\bullet &
\end{tikzcd}

rend commutatif

77On en conclut que si \(F^\bullet\) […] […] […] […] […] \(Y\), alors […] commutativité dans

\begin{tikzcd}[column sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
\mathrm{Ext}^i\bigl(Y; F^\bullet, \mathbb{R}g^!(G^\bullet)\bigr) \arrow[r, "\Theta_g"] \arrow[d, "{\Theta_i}"'] & \mathrm{Ext}^i\bigl(S; \mathbb{R}_!g_*(F^\bullet), G^\bullet\bigr) \arrow[d, "{\text{transitivité}}"] \\
\mathrm{Ext}^i\bigl(X; \mathbb{R}_!i_*(F^\bullet), \mathbb{R}f^!(G^\bullet)\bigr) \arrow[r, "\Theta_f"] & \mathrm{Ext}^i\bigl(S; \mathbb{R}_!f_*(\mathbb{R}_!i_*(F^\bullet)), G^\bullet\bigr)
\end{tikzcd}

les deux flèches verticales portent le signe d'isomorphisme ; au-dessus de \(\mathbb{R}g^!(G^\bullet)\) il écrit « \(= \mathbb{R}i^!\,\mathbb{R}f^!(G^\bullet)\) » ; dans le premier \(\mathrm{Ext}\), un « \(X\), » est biffé devant \(Y\) ; sous le coin inférieur gauche une égalité \(\mathbb{R}f^!(G^\bullet) = \mathbb{R}i^!\,\mathbb{R}\ldots\) est rayée.

i.e. compatibilité […] […] de l'isom. de dualité \(\Theta_i\) (cas trivial) et de l'isom. de transitivité pour \(f\), \(i\) (cas trivial aussi) à l'isom. de dualité \(\Theta_g\) […] « induit » […] \(\Theta_f\). Kif-kif en localisant sur la base …

79On, ainsi des isomorphismes ⌜des lois covariantes⌝ […] […] […]. C'est très explicite pour \(f\) lisse. Pour \(f\) général, pour l'explicitation, […] […] servira […] […] […] […]

2°) L'hom. de transitivité \[\mathbb{R}^!(gf) \simeq \mathbb{R}^!f\ \mathbb{R}^!g\] (Pour mémoire, \(f\) plus haut).

3°) Revenons […] […] : 1°) lorsque \(X\), \(Y\) […] […] \(Z\), soit \(F^\bullet \in \mathrm{Ob}\, D^+(Z)\), et prenons \[G^\bullet = \mathbb{L}g^*(F^\bullet)\] d'où : […] \(g \to\) […] \[G^\bullet \simeq g^!(F^\bullet)\ \text{\struck{$[-2d]$}}\otimes T_{Y/Z}\,[-2d]\] au-dessus de la ligne, en partie barré : « […] […] rel. \(d\) ». \[f^!(G^\bullet) = \bigl[f^!\, g^!(F^\bullet)\bigr] \otimes T^{-1}_{Y/Z}\,[-2d]\] une accolade sous \(f^!\,g^!(F^\bullet)\) renvoie à la ligne suivante. \[f^!\, g^!(F^\bullet) \simeq h^!(F^\bullet) = \mathbb{L}h^*(F^\bullet) \otimes T_{X/Z}\,[2d']\] le facteur \(T_{X/Z}\) est réécrit sur un signe biffé ; en marge droite : « […] \(d'\) dim. relative de […] ». \[f^!(G^\bullet) \simeq \mathbb{L}h^*(F^\bullet) \otimes T_{X/Y}\,[2d_{X/Y}]\] dans le crochet final, un signe et un indice sont biffés et corrigés. où \[T_{X/Y} \simeq T_{X/Z} \otimes T^{-1}_{Y/Z} , \qquad d_{X/Y} = \dim_{X/Z} - \dim_{Y/Z}\] \(=\) dim. relative absolue. la page s'arrête ici ; la suite du 3°) n'est pas dans le lot.