Fonds Grothendieck, cote n° 33, pages 61–80

23. Th. de dualité globale pour un morphisme lissement compactifiable

le numéro « 23 » et le titre, soulignés, sont de sa main en tête de la page ; les paragraphes précédents (au moins jusqu'au n° 22) sont antérieurs au lot.

Le morphisme f : X \to Y sera dit lissement compactifiable s'il existe une Y-immersion X \to X', X' lisse et projectif sur Y Y !). Par exemple, si f est quasi-projectif et Y , X \mathbb{P}^r_Y, lissement compactifiable.

Supposons X compactifiable, et choisissons une immersion i : X \hookrightarrow X' de définition.

\begin{tikzcd} X \arrow[r, hook, "i"] \arrow[d, "f"'] & X' \arrow[dl, "{f'}"] \\ Y & \end{tikzcd}

Définissons un foncteur \mathbb{R}f^! : D^+(Y) \longrightarrow D^+(X) par \mathbb{R}f^!(G) = (\mathbb{R}i^!)(\mathbb{R}f'^!) la seconde parenthèse du membre de droite est mal formée sur la page ; on lit \mathbb{R}i^! suivi de \mathbb{R}f'^! d'après la suite, sans certitude. où \mathbb{R}f'^! a été défini , et \mathbb{R}i^! dans . Compte tenu du th. de dualité pour f' et la phrase se poursuit en tête de la p. 63.

isomorphisme fonctoriel \mathrm{Hom}(F^\bullet, \mathbb{R}f^!(G^\bullet)) \simeq \mathrm{Hom}(\mathbb{R}_!f_*F^\bullet, G^\bullet) \bigl(F^\bullet \in \mathrm{Ob}\, D^b(X),\ G^\bullet \in \mathrm{Ob}\, D^+(Y)\bigr). la formule est encadrée.

Lorsque X est lisse sur Y, on a deux définitions de \mathbb{R}f^! définies , et \mathbb{R}f^! défini directement en termes de f lisse, dans transitivité.

à préciser [C'est essentiellement le th. de ~~dualité locale~~ pureté relatif pour f : X \to Y, cf. N.B. f^!(X) avec la formule de transitivité degrés …]. Ceci dit, le th. de dualité canonique f^! défini directement f : (c'est essentiellement « th. de pureté relatif fondamentales locales et globales ») fait allusion déjà. les crochets et le double trait vertical dans la marge gauche, avec « à préciser », isolent le passage de « C'est essentiellement » à « degrés ». La lecture du passage reste très lacunaire.

Pour se sentir à l'aise, du point de variances, dans le cadre , compte que la description de \mathbb{R}f^! et de l'isomorphisme de dualité ne dépend pas, essentiellement, de la factorisation choisie. L'argument qui suit est dû, en ce qui concerne la dualité, à Hartshorne (dans le cas des faisceaux cohérents). deux telles que X', X'',

\begin{tikzcd}[column sep=small] & X''' \arrow[ddl] \arrow[ddr] & \\ & X \arrow[u] \arrow[dl] \arrow[dr] & \\ X' & & X'' \end{tikzcd}

entre X''' et X il trace deux flèches verticales accolées, dont une au moins monte de X vers X''' ; on n'a reporté que celle-ci.

X''' = X' \times_Y X'' , et prenant , isomorphisme canonique \mathbb{R}^!_{i'} f'^{\#} et \mathbb{R}^!_{i''} f''^{\#} compatible avec dualité, et \mathbb{R}^!_{i'''} f'''^{\#}, i.e. que ramène situation lisse

\begin{tikzcd} & X'' \arrow[r, "g"] \arrow[dr, "{f''}"'] & X' \arrow[d, "{f'}"] \\ X \arrow[ur, "{i''}"] \arrow[urr, "{i'}" description] \arrow[rr, "f"'] & & Y \end{tikzcd}

schéma redessiné à partir d'un croquis serré : les lettres sont sûres, la place exacte des étiquettes l'est moins. telle que i' = g\, i''.

Utilisant \mathbb{R}^! f'' \cdot \mathbb{R}^! (f') \simeq (\mathbb{R}^! g)(\mathbb{R}^! f'), on est ramené au cas où X' = Y et f' = \mathrm{id}_Y. Changeant de notation, on est ramené g : X \to Y lisse, et Y' \xrightarrow{\;i\;} Y , et de Y' dans X, i.e. une section \sigma de X' = X \times_Y Y' sur Y'.

\begin{tikzcd} X \arrow[r, hook, "j"] \arrow[d, "g"'] & X' \arrow[d, "{g'}"] \\ Y \arrow[r, hook, "i"'] & Y' \arrow[u, bend right=40, "\sigma"'] \end{tikzcd}

dans le coin inférieur droit, Y' est écrit sur un X' biffé. g, g' lisses, i, j, ~~\sigma~~ immersions.

À démontrer un isom. de foncteurs. (*) \qquad \mathbb{R}i^! \simeq \text{\struck{$\mathbb{R}g$}}\ \mathbb{R}(j\sigma)^!\, \mathbb{R}^! g . et une commutativité de diagrammes concernant les \mathrm{Tr}_i et, \mathrm{Tr}_g, \mathrm{Tr}_{j\sigma}. \mathbb{R}(j\sigma)^! \simeq \mathbb{R}\sigma^!\, \mathbb{R}j^! Prouvons (*). (j\sigma)^! \simeq \sigma^!\, j^! On (*) comme \mathbb{R}i^! \simeq \mathbb{R}\sigma^!\,(\mathbb{R}j^!\, \mathbb{R}^! g) déduit des isom. suivants \begin{cases} (\mathbb{R}^! g')(\mathbb{R}i^!) \simeq (\mathbb{R}j^!)(\mathbb{R}^! g) & (a)\\ \text{\struck{$\mathbb{R}\,\mathrm{id}_{D^+(Y)}$}}\ \mathbb{R}^!\,\mathrm{id}_{Y'} \simeq (\mathbb{R}\sigma^!)(\mathbb{R}^! g') & (b), \end{cases} d'où \mathbb{R}i^! = \text{\struck{$\mathbb{R}i^!$}}\,(\mathbb{R}^!\,\mathrm{id}_{Y'})\,\mathbb{R}i^! \simeq \text{\struck{$\mathbb{R}i^!$}}\ \mathbb{R}\sigma^!\, \mathbb{R}^! g'\, \mathbb{R}i^! \simeq \mathbb{R}\sigma^!\,\mathbb{R}j^!\,\mathbb{R}^! g\ \text{\struck{$\mathbb{R}i^!$}} au-dessus des deux derniers facteurs il écrit, entouré, « \mathbb{R}\sigma^! » ; sous \mathbb{R}^! g'\,\mathbb{R}i^! un mot biffé illisible, avec un renvoi « qui (a) ».

en définition. Il faut (a) et (b). (b) des « locales et globales ». de définition (a) et (b) compatibilité (lorsque l'un des …)

d'autre part (a) s'écrit, shift. degrés et tensorisation par . \underline{\Omega}^d_{X'/Y'} \Bigl(\text{N.B.}\quad \underline{\Omega}^d_{X'/Y'} \simeq \underline{\Omega}^d_{X/Y} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{O}_{X'}\Bigr) g'^*(\mathbb{R}i^!) \simeq (\mathbb{R}j^!)\, g^* . Il résulte donc du Th. de changement de base lisse.

C'est d'ailleurs l'isom. de foncteurs intervient dans définition. Il à vérifier la compatibilité les traces dualité, difficultés, et laisse …

Remarques. a) Pour , à , vérifier laissons fonctorialité \mathbb{R}^! f', X' lisses /Y, de transitivité . la compatibilité triviale. compatibilité plus loin dans le « formulaire ».

b) Dans la définition foncteurs \mathbb{R}^! f, utilisé que f. projectif « localement projectif » ; X' lisse des relation Y . L'hyp. « lisse compactifiable » \mathbb{R}_!f (\mathbb{R}^!f) et que définition pour f loc. de type fini lisse, comme \mathbb{R}_! f f définition .

définition \mathbb{R}_!f , . définis, Th : \mathrm{Tr}_f : (\mathbb{R}_!f)(\mathbb{R}^!f) \longrightarrow \mathrm{id}_{D^+(Y)} qui devrait donner « de dualité » f trivial , isom. le reste de la page est biffé ou illisible ; plusieurs mots ont été remplacés par d'autres au-dessus de la ligne.

23 bis. L'homom. de dualité par un sous-préschéma lisse d'un préschéma lisse

le titre, souligné, est de sa main : « 23 », corrigé, est suivi de « bis » en exposant ; dans la seconde ligne du titre un mot est biffé () et remplacé au-dessus de la ligne.

\begin{tikzcd} Y \arrow[rr, hook, "i"] \arrow[dr, "g"'] & & X \arrow[dl, "f"] \\ & S & \end{tikzcd}

il note les dimensions relatives : « (d) » sous i, « (r-d) » à côté de g, « (r) » à côté de f.

~~Définition~~ L'hom \mathbb{R}i_!\bigl(\mathbb{R}i^!(T_{X/S})\bigr) \simeq \mathbb{R}i_!\bigl(T_{Y/S}[2d]\bigr) \longrightarrow \mathbb{R}_!f_*(T_{X/S}) au-dessus : « \mathbb{R}i^! une immersion » et « (\mathbb{R}i_!)\,\mathbb{R}i^!(F^\bullet) \to F^\bullet » ; une flèche descend de \mathbb{R}i^!(T_{X/S}) vers le mot « redéfinition ». Le terme médian est réécrit sur une formule biffée, illisible. \mathbb{R}_!i_*\bigl(T_{Y/S}[-2d]\bigr) \longrightarrow \mathbb{R}_!f_*(T_{X/S}) \mathbb{R}_!g_*(T_{Y/S})[-2d] \longrightarrow \mathbb{R}_!f_*(T_{X/S}) R^{\,i-2d}_!\, g_*(T_{Y/S}) \longrightarrow R^{\,i}_!\, f_*(T_{X/S}) dans les deux exposants de la dernière ligne un premier signe est biffé et remplacé. Faisons i = 2r , : R^{2(r-d)}_!\, g_*(T_{Y/S}) \longrightarrow T_{X/S} le but se lit T_{X/S} ; on attendrait un faisceau sur S. Transcrit tel quel.

a) Cet homom. et compatible des homom. trace.

b) Plus généralement, on a un G sur S un isom. de foncteurs \text{\struck{$\mathbb{R}^! g^*(G) \simeq \mathbb{R}i^!\,\mathbb{R}f^!(G)$}} \mathbb{R}g^!(G) \simeq \mathbb{R}i^!\,\mathbb{R}f^!(G)

qui généralise le th. de pureté relatif. [et se déduit d'ailleurs du th. de dualité globale — cela devrait être explicité dans SGAA ]. en déduit formules le crochet ouvert à « et se déduit » est accompagné de trois traits verticaux dans la marge gauche. \underline{H}^i_Y(f^*(G)) = \begin{cases} 0 & i \neq 2d\\ g^*(G) \otimes T^{-1}_{Y/X} & i = 2d \end{cases} Cet isomorphisme se généralise dans un G^\bullet. \mathbb{R}g^!(G^\bullet) \simeq \mathbb{R}i^!\bigl(\mathbb{R}f^!(G^\bullet)\bigr) On en déduit un homom. canonique \text{\struck{$\mathbb{R}_!g_*(\mathbb{R}g^!(G^\bullet)) \to \mathbb{R}f$}} \mathbb{R}_!i_*\bigl(\mathbb{R}g^!(G^\bullet)\bigr) \longrightarrow \mathbb{R}f^!(G^\bullet) d'où \mathbb{R}_!f_*, et utilisant la transitivité :

\begin{tikzcd}[column sep=small, nodes={font=\scriptsize}] \mathbb{R}_!g_*\bigl(\mathbb{R}g^!(G^\bullet)\bigr) \arrow[rr] \arrow[dr, "{\mathrm{Tr}_g(G^\bullet)}"'] & & \mathbb{R}_!f_*\,\mathbb{R}f^!(G^\bullet) \arrow[dl, "{\mathrm{Tr}_f(G^\bullet)}"] \\ & G^\bullet & \end{tikzcd}

rend commutatif

On en conclut que si F^\bullet Y, alors commutativité dans

\begin{tikzcd}[column sep=small, nodes={font=\scriptsize}] \mathrm{Ext}^i\bigl(Y; F^\bullet, \mathbb{R}g^!(G^\bullet)\bigr) \arrow[r, "\Theta_g"] \arrow[d, "{\Theta_i}"'] & \mathrm{Ext}^i\bigl(S; \mathbb{R}_!g_*(F^\bullet), G^\bullet\bigr) \arrow[d, "{\text{transitivité}}"] \\ \mathrm{Ext}^i\bigl(X; \mathbb{R}_!i_*(F^\bullet), \mathbb{R}f^!(G^\bullet)\bigr) \arrow[r, "\Theta_f"] & \mathrm{Ext}^i\bigl(S; \mathbb{R}_!f_*(\mathbb{R}_!i_*(F^\bullet)), G^\bullet\bigr) \end{tikzcd}

les deux flèches verticales portent le signe d'isomorphisme ; au-dessus de \mathbb{R}g^!(G^\bullet) il écrit « = \mathbb{R}i^!\,\mathbb{R}f^!(G^\bullet) » ; dans le premier \mathrm{Ext}, un « X, » est biffé devant Y ; sous le coin inférieur gauche une égalité \mathbb{R}f^!(G^\bullet) = \mathbb{R}i^!\,\mathbb{R}\ldots est rayée.

i.e. compatibilité de l'isom. de dualité \Theta_i (cas trivial) et de l'isom. de transitivité pour f, i (cas trivial aussi) à l'isom. de dualité \Theta_g « induit » \Theta_f. Kif-kif en localisant sur la base …

On, ainsi ~~des isomorphismes~~ des lois covariantes . C'est très explicite pour f lisse. Pour f général, pour l'explicitation, servira

2°) L'hom. de transitivité \mathbb{R}^!(gf) \simeq \mathbb{R}^!f\ \mathbb{R}^!g (Pour mémoire, f plus haut).

3°) Revenons : 1°) lorsque X, Y Z, soit F^\bullet \in \mathrm{Ob}\, D^+(Z), et prenons G^\bullet = \mathbb{L}g^*(F^\bullet) d'où : g \to G^\bullet \simeq g^!(F^\bullet)\ \text{\struck{$[-2d]$}}\otimes T_{Y/Z}\,[-2d] au-dessus de la ligne, en partie barré : « rel. d ». f^!(G^\bullet) = \bigl[f^!\, g^!(F^\bullet)\bigr] \otimes T^{-1}_{Y/Z}\,[-2d] une accolade sous f^!\,g^!(F^\bullet) renvoie à la ligne suivante. f^!\, g^!(F^\bullet) \simeq h^!(F^\bullet) = \mathbb{L}h^*(F^\bullet) \otimes T_{X/Z}\,[2d'] le facteur T_{X/Z} est réécrit sur un signe biffé ; en marge droite : « d' dim. relative de ». f^!(G^\bullet) \simeq \mathbb{L}h^*(F^\bullet) \otimes T_{X/Y}\,[2d_{X/Y}] dans le crochet final, un signe et un indice sont biffés et corrigés. où T_{X/Y} \simeq T_{X/Z} \otimes T^{-1}_{Y/Z} , \qquad d_{X/Y} = \dim_{X/Z} - \dim_{Y/Z} = dim. relative absolue. la page s'arrête ici ; la suite du 3°) n'est pas dans le lot.