Cote n° 33 · batch 1 · pages 1–20 · Transcription · SGA 1965. MS [Manuscrit] brouillon : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : 1965-[vers 1971]
Édition de démonstration

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Programme : cohomologie étale et fonctions \(L\)

1Nous prendrons comme prétexte la théorie des fonctions \(L\) pour développer plus avant le formalisme de la cohomologie étale. Trois parties

a) Continuer l'étude ⌜de la coh. étale⌝ avec des coefficients de torsion, en développant en particulier, dans ce cadre, […] avant le formalisme de dualité, donnant donnant des formules de Künneth et de Lefschetz.

b) Étendre le formalisme : aux coefficients \(\ell\)-adiques.

c) Appliquer les résultats au formalisme des fonctions \(L\).

1°) Site étale de \(X\),

\(X_{\mathrm{ét}}\) : catégorie, familles couvrantes, faisceaux, faisceaux abéliens, cohomologie

2°) Exemples \(X = \operatorname{Spec}(k)\), \(X_{\mathrm{ét}} \simeq \widetilde{X}_{\mathrm{ét}} \simeq \mathrm{Ens}(\pi)\), \(\pi = \operatorname{Gal}(\bar{k}/k)\) le premier \(\simeq\) est tel quel sur la page, entre le site et le topos.

3°) \(f : X \to Y\) définit \(X_{\mathrm{ét}} \to Y_{\mathrm{ét}}\) \[f^{*} : Y_{\mathrm{ét}} \to X_{\mathrm{ét}}, \qquad \widetilde{Y}_{\mathrm{ét}} \to \widetilde{X}_{\mathrm{ét}}, \qquad f_{*} : \widetilde{X}_{\mathrm{ét}} \to \widetilde{Y}_{\mathrm{ét}}\] pour \(f^{*}\) : commute aux lim. ind. quelc. et aux lim. proj. finies ; pour \(f_{*}\) : commute aux lim. proj. quelc.

2feuille de croquis au crayon. En haut à droite « McL » et « \(\times M'U\) », une lettre « A ». À gauche, un morphisme \(X \to k\) et \(k \to Y\) en équerre, puis \(X' \to X\) avec une flèche oblique \(X' \to k\) marquée « \(\phi\) ». En bas, deux esquisses \(Y \to X\) au-dessus de \(k\) et \(Y' \to X'\) au-dessus de \(k'\), une flèche \(k \to k'\) barrée d'un petit cercle hachuré ; à droite un carré \(X \leftarrow X\), \(K\), \(k'\), \(k \leftarrow K\), un \(X\) entouré.

Au milieu à droite, un carré entouré :

\begin{tikzcd}
Y \arrow[d, "f"'] & Y' \arrow[l, "h"'] \arrow[d, "{f'}"] \\
X & X' \arrow[l, "g"]
\end{tikzcd}

à côté du carré : « \(V'\) » près de \(Y'\), « \(g(U')\) » sous \(X\), et « \(U' \neq \emptyset\) » près de \(X'\).

3transitivité …

Suite spectrale de Leray ⌜\(R^i f_{*}\)⌝

4°) Foncteurs fibres

Soit \(\xi\) un pt géométrique de \(X\) \[\xi \to X, \quad \text{d'où foncteur fibre} \quad u^{*} : \widetilde{X}_{\mathrm{ét}} \to \widetilde{\xi}_{\mathrm{ét}} \simeq (\mathrm{Ens})\] La famille des foncteurs fibres est conservative : \(u : F \to G\) est un isom ssi les \(u_\xi : F_\xi \to G_\xi\) le sont pour tt \(\xi\) \(\in X\), d'où les cor. habituels. \[F_\xi = \varinjlim_{\substack{X' \text{ étale sur } X\\ \text{et pointé par } \xi}} F(X')\]

5°) Localisation stricte \[\mathcal{O}_{X,\xi} = \varinjlim_{\substack{X' \text{ étale sur } X\\ \text{et } \xi\text{-pointé}}} \Gamma(X', \mathcal{O}_{X'})\] à gauche un petit diagramme : \(\xi \to X'\), \(X' \to X\), et \(\xi \to X\) ; un symbole biffé précède le signe \(=\). anneau des stricts localisés en \(\xi\) [anneau […] ⌜strict. local⌝ i.e. hensélien et à corps rés. sép. clos] \[\overline{X}{}^{\xi} = \operatorname{Spec} \mathcal{O}_{X,\xi}, \qquad F_\xi = \Gamma(\overline{X}, F_{\overline{X}})\]

6°) Application aux fibres des \(R^q f_{*}(F)\), pour \(f\) qu.-cpt. et qu.-sép. NB 5° et 6° n'ont pas vraiment d'analogue complet dans le cas des espaces top. ordinaires …

7°) Théorème fondamental Soit \(f : X \to Y\) morphisme propre, \(F\) faisceau de torsion sur \(X\), alors la formation des \(R^q f_{*}(F)\)

5commute à tt changement de base \(Y' \to Y\).

NB Vrai sans hyp. de propreté si \(Y' \to Y\) est lisse, \(f\) qu.-cpt. qu.-sép., et \(F\) premier aux car. rés. de \(Y\).

8°) Ex. Morphismes finis : \(R^q f_{*}(F) = 0\) pour \(q \geq 1\) ligne biffée, lecture approximative.

Ex. \(R^q f_{*}(F)_{\bar y} \simeq H^q(X_{\bar y}, F_{\bar y})\)

Ex. \(X\) propre sur \(k\) sép. clos, \(K\) ext. sép. close de \(k\), d'où \(X' = X_{K}\), \(F' = F_{X'}\), et \(H^i(X, F) \simeq H^i(X', F')\)

NB Vrai sans hyp. de propreté si \(F\) de torsion premier à […] car \(k\).

8°) Comparaison avec la cohomologie classique

\(X\) préschéma loc. de type fini sur \(\mathbb{C}\), alors pour tt \(F\) faisceau de torsion sur \(X\), \[H^i(X, F) \to H^i(X^{\mathrm{an}}, F^{\mathrm{an}})\] est un isomorphisme. Résultat analogue pour les \(R^i f_{*}\) pour un morphisme \(f : X \to Y\), si \(f\) est de type fini.

le paragraphe suivant est biffé de quatre grands traits obliques ; il est lu ici en partie. Soit \(X\) un schéma propre sur un anneau \(A = \mathcal{O}_{Y,y}\) […] \(\mathbb{C}\), […] \(Y\) […]. Alors \(X\) « provient » d'un […] algébrique sur \(\mathbb{C}\) […] \(X'\) propre […] au-dessus d'un voisinage […] \(Y'\) de \(Y\). […] faisceau de torsion constr. \(F'\) sur \(X'\) « induisant » un faisceau constr. \(F\) sur \(X\).

Utiliser de plus résolution des singularités […] et l'hyp. de propreté. GAGA plus complet : OK. […] Ext. pour faisceaux de torsion. Équivalence de catégories des faisceaux constructibles algébriques et faisceaux constructibles analytiques se réduisant de torsion. […] relatives …

7On peut certainement […] que \(H^i(X, F) \simeq \varinjlim_{U \ni y} H^i(f^{-1}(U), F)\) ⌜Il y a aussi des […] relatifs dans le type :⌝

Remarque Soit \(f : X \to Y\) un « schéma relatif » de type fini sur un espace analytique \(Y\), d'où \(f^{\mathrm{an}} : X^{\mathrm{an}} \to Y\). Tout faisceau étale ⌜de torsion⌝ \(F\) constructible sur \(X\) définit un faisceau analytique \(F^{\mathrm{an}}\) sur \(X^{\mathrm{an}}\), d'où les hom. \[H^q(X, F) \to H^q(X^{\mathrm{an}}, F^{\mathrm{an}}), \qquad R^q f_{*}(F)^{\mathrm{an}} \to R^q f^{\mathrm{an}}_{*}(F^{\mathrm{an}})\] À prouver que ce sont des isomorphismes. Devrait aussi se généraliser au contexte rigide-analytique …

Var. Passant à la limite sur les voisinages d'un pt \(y\) de \(Y\), on trouverait alors \[H^i(X \times_{Y} \mathcal{O}_{Y,y}, F \otimes \mathcal{O}_{Y,y}) \simeq \varinjlim_{U \ni y} H^i((f^{\mathrm{an}})^{-1}(U), F^{\mathrm{an}})\] sous le premier membre, une flèche vers l'annotation « schéma ordinaire de t.f. sur \(\mathcal{O}_{Y,y}\) ».

Par exemple, prenons \(X = Y - Z\), \(Z\) fermé analytique, en vérifiant par là la classe des \(R^q f_{*}(F)\) (\(F\) faisceau de torsion, loc. cst, sur \(X - Z\)) […] provient d'un faisceau dans le cadre de la géom. alg.

99°) Th. de spécialisation Voici le type d'une forme précise : \(f : X \to Y\) morphisme propre et lisse, \(F\) faisceau de torsion loc. libre sur \(X\), premier aux car. résiduelles de \(X\), alors les \(R^q f_{*}(F)\) [dont les fibres sont les coh. des fibres …] sont loc. libres.

10°) Dim. cohomologique.

\(X\) de type fini sur \(k\) sép. clos, \(n = \dim X\), alors \(H^i(X, F) = 0\) pour \(i\) \(\geq\) \(> 2n\), (\(F\) faisceau de torsion sur \(X\)). un \(\geq\) biffé est corrigé en \(>\).

Si \(X\) est affine, on a même \(H^i(X, F) = 0\) pour \(i > n\) (th. du type Lefschetz).

La dimension « topologique » de \(X\) devant donc être en général le double de la dimension de Krull — il y a un abaissement dans le cas affine, qui peut donner des idées fausses.

11(cf Artin, Woodshole, par changement de base)

11) Supports Désignons par \(U\) ouvert \(U\) de \(X\),

Faisceau final : \(X/X\) lui-même, \(X(X') = \{e\}\) ; les sous-faisceaux du faisceau final sont sont les ouverts de \(X\).

Support d'un f Si \(F\) est un fai La catégorie des faisceaux \(F\) sur \(X\) qui sur \(U\) sont le faisceau final est équivalente à la catégorie des faisceaux sur \(Y = X - U\), par le foncteur image ⌜directe⌝. D'où : faisceaux abéliens sur \(X\) nuls sur \(U\) \(=\) faisceaux abéliens sur \(Y\).

Support d'un faisceau abélien \(\operatorname{Supp}(F) \subset \Gamma(F)\) fermé. Support d'une section d'un faisceau abélien \[\Gamma_Y(F) \subset \Gamma(F), \qquad \underline{\Gamma}_Y(F) \subset F, \qquad \underline{\Gamma}_Y(F)(X') = \Gamma_{Y'}(X', F')\]

Foncteurs dérivés \[H^i_Y(X, F) \simeq \operatorname{Ext}^i(X ; \mathbb{Z}_Y, F), \qquad \underline{H}^i_Y(F) \simeq \underline{\operatorname{Ext}}^i(\mathbb{Z}_Y, F) = R^{i-1} u_{*}(F|U) \quad \text{si } i \geq 2\] si \(i = 0\) ou \(1\), noyau et conoyau de \(F \to u_{*}(F|U)\) Suite exacte, spectrale … cf SGA 1962, notes Hartshorne 1961

12) Pureté \(Y \subset X\) régulière, codim\({}_X(Y) = p\) en chaque pt de \(Y\)

\begin{tikzcd}
Y \arrow[rr, hook] \arrow[dr, "\text{lisse}"'] & & X \arrow[dl, "\text{lisse}"] \\
& k &
\end{tikzcd}

\[\underline{H}^i_Y((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})_X) = \begin{cases} 0 & \text{si } i \neq 2p \\ \simeq \mu_n^{\otimes(-p)} & \text{si } i = 2p \end{cases} \qquad n \text{ premier aux car.\ résiduelles de } Y\] l'exposant se lit \(\otimes(-p)\) sur la page. Donner explication de lisse la classe fondamentale

13NB un cercle traversé d'un diamètre horizontal, un point au centre. \[\mu_n = \operatorname{Ker}(\mathbb{G}_m \xrightarrow{\;n\;} \mathbb{G}_m), \qquad \mu_n(X') = {}_n\Gamma(X', \mathcal{O}_{X'})^{*}\] un « Ker » est biffé devant \({}_n\Gamma\). gr. fini plat sur \(X\).

Si \(n\) premier aux car. de \(X\), \(\mu_{n,X}\) est étale sur \(X\), loc. isom. (pour top. étale) à \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\). Il ⌜ne⌝ faut surtout pas les confondre. Les \(\mu_{n,X}^{\otimes d}\) (\(d \in \mathbb{Z}\)) sont donc définis, et sont ⌜loc.⌝ isomorphes à \((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})_X\) [le choix d'une section génératrice de \(\mu_n\) définit un isom \(\mu_{n,X}^{\otimes d} \simeq (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})_X\), multiplié par \(\lambda^d\) si on multiplie la section par \(\lambda \in (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{*}\) […] \(\lambda^d\) …]. Dém. pureté immédiate par th. de changement de base …

Pb [Pureté « absolue »] avec hypothèse de lissité remplacée par hyp. régularité. OK pour toutes puissances [pour […] […]] […] dépend de la résolution des singularités (Artin).

Il y a aussi un th. de pureté relatif sur une base quelconque …

la suite de la page et le haut de la p. 15 sont barrés de grands traits croisés ; l'article est repris en 14) p. 17. 13) B) Les \(R^i_{!} f(F)\). Morphismes compactifiables \(f : X \to Y\) […] […] Ext. aux […] […] croisements normaux …

15[…] ouvert, \(\bar{f}\) propre […] […] quasi-projectif […] st. […] […].

13) Faisceaux constructibles

Faisceaux loc. […] constants

Faisceaux constructibles : en général, il a loc. constant : fibres finies ⌜de t.f.⌝ sur des ens. loc. fermés qui partitionnent \(U\). Dans le cas noethérien, critère par adhérences […] […].

Th. Si \(f : X \to Y\) propre, \(Y\) loc. noethérien, alors pour tt faisceau de torsion constructible \(F\) sur \(X\), les \(R^i f_{*}(F)\) sur \(Y\) sont constr.

Cor. \(X\) propre sur un corps sép. clos, […] \(F\) de torsion constructible sur \(X\), les \(H^i(X, F)\) sont finis.

Remarques Questions de la généralisation

17: au \(f\) de type fini au lieu de \(f\) propre. Se ramène au cas d'une immersion. Se ramène par la résolution des singularités ⌜+ pureté⌝ ⌜ou plutôt « bons modèles »⌝, lorsque […]. Cf. là-dessus la […] bons modèles […] des singularités […] dans ce cadre …

14) Les \(R^i_{!} f(F)\).

Soit \(f : X \to Y\) morphisme compactifiable, i.e. qui se factorise en \[X \xrightarrow{\;i\;} \overline{X} \xrightarrow{\;\bar{f}\;} Y\] \(i\) immersion ouverte, \(\bar{f}\) propre (cas où \(f\) qu.-proj. et \(Y\) qu.-cpt).

Pour tt faisceau de torsion \(F\) sur \(X\), on considère les \(i_{!}(F)\) [ext. de \(F\) par \(0\)], puis les \(R^q \bar{f}_{*}(i_{!}(F))\), foncteurs coh. en \(F\). Je vérifie qu'ils ne dépendent […] de façon […] […] […] fonctions cohomologiques […] […] […] foncteur coh.

19à […] près, […] indépendant du choix de la factorisation. Notation \(R^q_{!} f_{*}(F)\). \[R^q_{!} f_{*}(F) = (R^q \bar{f}_{*})(i_{!}(F))\] lecture du membre de droite douteuse ; suit sur la même ligne « […] : […] propre sur \(Y\) ».

Propriétés Propriétés fondamentales, identiques à celles des \(R^q f_{*}(F)\), aussi bien que si \(f\) propre :

(i') Comparaison avec cas classiques sur \(\mathbb{C}\)

(ii) Th. de changement de base […], dito.

(iii) ⌜Th. de finitude⌝ Suite spectrale de Leray

(iv) Suite spectrale de Leray

(v) Si \(f\) quasi-fini, ⌜alors⌝ […] les \(R^i_{!} f_{*}(F) = 0\) pour \(i > 0\) phénomènes spéciaux

(vi) D'autre part Si \(f\) étale, on a un hom. can. \[\operatorname{Tr}_f(F) : f_{!}(F) \to F\] [d'où les covariants, par \(f : X' \to X\) morphisme […], […] […] […] […] compactifiable sur \(Y\) \[R^q_{!} g'_{*}(F') \to R^q_{!} g_{*}(f_{!}(F'))\] on en tire \[R^q_{!} g'_{*}(f^{*}(F)) \to R^q_{!} g_{*}(F) \;]\]

(vi) Suite exacte en cohomologie relative deux articles portent le numéro (vi) sur la page. La liste se poursuit au-delà de la p. 19, dans le lot suivant.