Fonds Grothendieck, cote n° 33, pages 1–20

Programme : cohomologie étale et fonctions L

Nous prendrons comme prétexte la théorie des fonctions L pour développer plus avant le formalisme de la cohomologie étale. Trois parties

a) Continuer l'étude de la coh. étale avec des coefficients de torsion, en ~~développant~~ en particulier, dans ce cadre, avant le formalisme de dualité, ~~donnant~~ donnant des formules de Künneth et de Lefschetz.

b) Étendre le formalisme : aux coefficients \ell-adiques.

c) Appliquer les résultats au formalisme des fonctions L.

1°) Site étale de X,

X_{\mathrm{ét}} : catégorie, familles couvrantes, faisceaux, faisceaux abéliens, cohomologie

2°) Exemples X = \operatorname{Spec}(k), X_{\mathrm{ét}} \simeq \widetilde{X}_{\mathrm{ét}} \simeq \mathrm{Ens}(\pi), \pi = \operatorname{Gal}(\bar{k}/k) le premier \simeq est tel quel sur la page, entre le site et le topos.

3°) f : X \to Y définit X_{\mathrm{ét}} \to Y_{\mathrm{ét}} f^{*} : Y_{\mathrm{ét}} \to X_{\mathrm{ét}}, \qquad \widetilde{Y}_{\mathrm{ét}} \to \widetilde{X}_{\mathrm{ét}}, \qquad f_{*} : \widetilde{X}_{\mathrm{ét}} \to \widetilde{Y}_{\mathrm{ét}} pour f^{*} : commute aux lim. ind. quelc. et aux lim. proj. finies ; pour f_{*} : commute aux lim. proj. quelc.

feuille de croquis au crayon. En haut à droite « McL » et « \times M'U », une lettre « A ». À gauche, un morphisme X \to k et k \to Y en équerre, puis X' \to X avec une flèche oblique X' \to k marquée « \phi ». En bas, deux esquisses Y \to X au-dessus de k et Y' \to X' au-dessus de k', une flèche k \to k' barrée d'un petit cercle hachuré ; à droite un carré X \leftarrow X, K, k', k \leftarrow K, un X entouré.

Au milieu à droite, un carré entouré :

\begin{tikzcd} Y \arrow[d, "f"'] & Y' \arrow[l, "h"'] \arrow[d, "{f'}"] \\ X & X' \arrow[l, "g"] \end{tikzcd}

à côté du carré : « V' » près de Y', « g(U') » sous X, et « U' \neq \emptyset » près de X'.

transitivité …

Suite spectrale de Leray R^i f_{*}

4°) Foncteurs fibres

Soit \xi un pt géométrique de X \xi \to X, \quad \text{d'où foncteur fibre} \quad u^{*} : \widetilde{X}_{\mathrm{ét}} \to \widetilde{\xi}_{\mathrm{ét}} \simeq (\mathrm{Ens}) La famille des foncteurs fibres est conservative : u : F \to G est un isom ssi les u_\xi : F_\xi \to G_\xi le sont pour tt \xi \in X, d'où les cor. habituels. F_\xi = \varinjlim_{\substack{X' \text{ étale sur } X\\ \text{et pointé par } \xi}} F(X')

5°) Localisation stricte \mathcal{O}_{X,\xi} = \varinjlim_{\substack{X' \text{ étale sur } X\\ \text{et } \xi\text{-pointé}}} \Gamma(X', \mathcal{O}_{X'}) à gauche un petit diagramme : \xi \to X', X' \to X, et \xi \to X ; un symbole biffé précède le signe =. anneau des stricts localisés en \xi [anneau strict. local i.e. hensélien et à corps rés. sép. clos] \overline{X}{}^{\xi} = \operatorname{Spec} \mathcal{O}_{X,\xi}, \qquad F_\xi = \Gamma(\overline{X}, F_{\overline{X}})

6°) Application aux fibres des R^q f_{*}(F), pour f qu.-cpt. et qu.-sép. NB 5° et 6° n'ont pas vraiment d'analogue complet dans le cas des espaces top. ordinaires …

7°) Théorème fondamental Soit f : X \to Y morphisme propre, F faisceau de torsion sur X, alors la formation des R^q f_{*}(F)

commute à tt changement de base Y' \to Y.

NB Vrai sans hyp. de propreté si Y' \to Y est lisse, f qu.-cpt. qu.-sép., et F premier aux car. rés. de Y.

~~8°) Ex. Morphismes finis : R^q f_{*}(F) = 0 pour q \geq 1~~ ligne biffée, lecture approximative.

Ex. R^q f_{*}(F)_{\bar y} \simeq H^q(X_{\bar y}, F_{\bar y})

Ex. X propre sur k sép. clos, K ext. sép. close de k, d'où X' = X_{K}, F' = F_{X'}, et H^i(X, F) \simeq H^i(X', F')

NB Vrai sans hyp. de propreté si F de torsion premier à car k.

8°) Comparaison avec la cohomologie classique

X préschéma loc. de type fini sur \mathbb{C}, alors pour tt F faisceau de torsion sur X, H^i(X, F) \to H^i(X^{\mathrm{an}}, F^{\mathrm{an}}) est un isomorphisme. Résultat analogue pour les R^i f_{*} pour un morphisme f : X \to Y, si f est de type fini.

le paragraphe suivant est biffé de quatre grands traits obliques ; il est lu ici en partie. Soit X un schéma propre sur un anneau A = \mathcal{O}_{Y,y} \mathbb{C}, Y . Alors X « provient » d'un algébrique sur \mathbb{C} X' propre au-dessus d'un voisinage Y' de Y. faisceau de torsion constr. F' sur X' « induisant » un faisceau constr. F sur X.

Utiliser de plus résolution des singularités et l'hyp. de propreté. GAGA plus complet : OK. Ext. pour faisceaux de torsion. Équivalence de catégories des faisceaux constructibles algébriques et faisceaux constructibles analytiques se réduisant de torsion. relatives …

~~On peut certainement que H^i(X, F) \simeq \varinjlim_{U \ni y} H^i(f^{-1}(U), F)~~ Il y a aussi des relatifs dans le type :

Remarque Soit f : X \to Y un « schéma relatif » de type fini sur un espace analytique Y, d'où f^{\mathrm{an}} : X^{\mathrm{an}} \to Y. Tout faisceau étale de torsion F constructible sur X définit un faisceau analytique F^{\mathrm{an}} sur X^{\mathrm{an}}, d'où les hom. H^q(X, F) \to H^q(X^{\mathrm{an}}, F^{\mathrm{an}}), \qquad R^q f_{*}(F)^{\mathrm{an}} \to R^q f^{\mathrm{an}}_{*}(F^{\mathrm{an}}) À prouver que ce sont des isomorphismes. Devrait aussi se généraliser au contexte rigide-analytique …

Var. Passant à la limite sur les voisinages d'un pt y de Y, on trouverait alors H^i(X \times_{Y} \mathcal{O}_{Y,y}, F \otimes \mathcal{O}_{Y,y}) \simeq \varinjlim_{U \ni y} H^i((f^{\mathrm{an}})^{-1}(U), F^{\mathrm{an}}) sous le premier membre, une flèche vers l'annotation « schéma ordinaire de t.f. sur \mathcal{O}_{Y,y} ».

Par exemple, prenons X = Y - Z, Z fermé analytique, en vérifiant par là la classe des R^q f_{*}(F) (F faisceau de torsion, loc. cst, sur X - Z) provient d'un faisceau dans le cadre de la géom. alg.

9°) Th. de spécialisation Voici le type d'une forme précise : f : X \to Y morphisme propre et lisse, F faisceau de torsion loc. libre sur X, premier aux car. résiduelles de X, alors les R^q f_{*}(F) [dont les fibres sont les coh. des fibres …] sont loc. libres.

10°) Dim. cohomologique.

X de type fini sur k sép. clos, n = \dim X, alors H^i(X, F) = 0 pour i ~~\geq~~ > 2n, (F faisceau de torsion sur X). un \geq biffé est corrigé en >.

Si X est affine, on a même H^i(X, F) = 0 pour i > n (th. du type Lefschetz).

La dimension « topologique » de X devant donc être en général le double de la dimension de Krull — il y a un abaissement dans le cas affine, qui peut donner des idées fausses.

(cf Artin, Woodshole, par changement de base)

11) Supports ~~Désignons par U ouvert U de X,~~

Faisceau final : X/X lui-même, X(X') = \{e\} ; les sous-faisceaux du faisceau final ~~sont~~ sont les ouverts de X.

~~Support d'un f~~ ~~Si F est un fai~~ La catégorie des faisceaux F sur X qui sur U sont le faisceau final est équivalente à la catégorie des faisceaux sur Y = X - U, par le foncteur image directe. D'où : faisceaux abéliens sur X nuls sur U = faisceaux abéliens sur Y.

Support d'un faisceau abélien ~~\operatorname{Supp}(F) \subset \Gamma(F) fermé.~~ Support d'une section d'un faisceau abélien \Gamma_Y(F) \subset \Gamma(F), \qquad \underline{\Gamma}_Y(F) \subset F, \qquad \underline{\Gamma}_Y(F)(X') = \Gamma_{Y'}(X', F')

Foncteurs dérivés H^i_Y(X, F) \simeq \operatorname{Ext}^i(X ; \mathbb{Z}_Y, F), \qquad \underline{H}^i_Y(F) \simeq \underline{\operatorname{Ext}}^i(\mathbb{Z}_Y, F) = R^{i-1} u_{*}(F|U) \quad \text{si } i \geq 2 si i = 0 ou 1, noyau et conoyau de F \to u_{*}(F|U) Suite exacte, spectrale … cf SGA 1962, notes Hartshorne 1961

12) Pureté Y \subset X régulière, codim{}_X(Y) = p en chaque pt de Y

\begin{tikzcd} Y \arrow[rr, hook] \arrow[dr, "\text{lisse}"'] & & X \arrow[dl, "\text{lisse}"] \\ & k & \end{tikzcd}

\underline{H}^i_Y((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})_X) = \begin{cases} 0 & \text{si } i \neq 2p \\ \simeq \mu_n^{\otimes(-p)} & \text{si } i = 2p \end{cases} \qquad n \text{ premier aux car.\ résiduelles de } Y l'exposant se lit \otimes(-p) sur la page. Donner explication de ~~lisse~~ la classe fondamentale

NB un cercle traversé d'un diamètre horizontal, un point au centre. \mu_n = \operatorname{Ker}(\mathbb{G}_m \xrightarrow{\;n\;} \mathbb{G}_m), \qquad \mu_n(X') = {}_n\Gamma(X', \mathcal{O}_{X'})^{*} un « Ker » est biffé devant {}_n\Gamma. gr. fini plat sur X.

Si n premier aux car. de X, \mu_{n,X} est étale sur X, loc. isom. (pour top. étale) à \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}. Il ne faut surtout pas les confondre. Les \mu_{n,X}^{\otimes d} (d \in \mathbb{Z}) sont donc définis, et sont loc. isomorphes à (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})_X [le choix d'une section génératrice de \mu_n définit un isom \mu_{n,X}^{\otimes d} \simeq (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})_X, multiplié par \lambda^d si on multiplie la section par \lambda \in (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{*} \lambda^d …]. Dém. pureté immédiate par th. de changement de base …

Pb [Pureté « absolue »] avec hypothèse de lissité remplacée par hyp. régularité. OK pour toutes puissances [pour ] dépend de la résolution des singularités (Artin).

Il y a aussi un th. de pureté relatif sur une base quelconque …

la suite de la page et le haut de la p. 15 sont barrés de grands traits croisés ; l'article est repris en 14) p. 17. ~~13) B) Les R^i_{!} f(F). Morphismes compactifiables f : X \to Y Ext. aux croisements normaux …~~

~~ouvert, \bar{f} propre quasi-projectif st. .~~

13) Faisceaux constructibles

Faisceaux loc. constants

Faisceaux constructibles : en général, il a loc. constant : fibres ~~finies~~ de t.f. sur des ens. loc. fermés qui partitionnent U. Dans le cas noethérien, critère par adhérences .

Th. Si f : X \to Y propre, Y loc. noethérien, alors pour tt faisceau de torsion constructible F sur X, les R^i f_{*}(F) sur Y sont constr.

Cor. X propre sur un corps sép. clos, F de torsion constructible sur X, les H^i(X, F) sont finis.

Remarques Questions de la généralisation

: au f de type fini au lieu de f propre. Se ramène au cas d'une immersion. Se ramène par la résolution des singularités + pureté ou plutôt « bons modèles », lorsque . Cf. là-dessus la bons modèles des singularités dans ce cadre …

14) Les R^i_{!} f(F).

Soit f : X \to Y morphisme compactifiable, i.e. qui se factorise en X \xrightarrow{\;i\;} \overline{X} \xrightarrow{\;\bar{f}\;} Y i immersion ouverte, \bar{f} propre (cas où f qu.-proj. et Y qu.-cpt).

Pour tt faisceau de torsion F sur X, on considère les i_{!}(F) [ext. de F par 0], puis les R^q \bar{f}_{*}(i_{!}(F)), foncteurs coh. en F. Je vérifie qu'ils ne dépendent de façon fonctions cohomologiques foncteur coh.

à près, indépendant du choix de la factorisation. Notation R^q_{!} f_{*}(F). R^q_{!} f_{*}(F) = (R^q \bar{f}_{*})(i_{!}(F)) lecture du membre de droite douteuse ; suit sur la même ligne « : propre sur Y ».

~~Propriétés~~ Propriétés fondamentales, identiques à celles des R^q f_{*}(F), aussi bien que si f propre :

(i') Comparaison avec cas classiques sur \mathbb{C}

(ii) Th. de changement de base , dito.

(iii) Th. de finitude ~~Suite spectrale de Leray~~

(iv) Suite spectrale de Leray

(v) Si f quasi-fini, alors les R^i_{!} f_{*}(F) = 0 pour i > 0 phénomènes spéciaux

(vi) ~~D'autre part~~ Si f étale, on a un hom. can. \operatorname{Tr}_f(F) : f_{!}(F) \to F [d'où les covariants, par f : X' \to X morphisme , compactifiable sur Y R^q_{!} g'_{*}(F') \to R^q_{!} g_{*}(f_{!}(F')) on en tire R^q_{!} g'_{*}(f^{*}(F)) \to R^q_{!} g_{*}(F) \;]

(vi) Suite exacte en cohomologie relative deux articles portent le numéro (vi) sur la page. La liste se poursuit au-delà de la p. 19, dans le lot suivant.