Cote n° 31, pages 81–100

Cote n° 31 · batch 5 · pages 81–100 · Transcription · SGA A [SGA 4] (Résidus de rédaction) : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : [1963-1973]
Édition de démonstration

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Fin du calcul de \(\operatorname{cd}_{\ell}\) (pages 81 et 82)

81La page achève le développement des pages 73 à 80 (batch 4).

Question \(X\) schéma noethérien affine, \[n = \operatorname*{Sup}_{x \in X}\bigl[\operatorname{cd}_{\ell}(k(x)) + \dim \mathcal{O}_{X,x}\bigr].\] \(\ell\) premier […] car. rés. Alors \(n\) est aussi le Sup des […] coh. des […] affines de \(X\). La question, […] […] \[\operatorname{cd}_{\ell}(X) \leqslant n .\]

Mais il est faux de dire que l'[…] […] en […] d'un exemple de […] […], \(n = 2\) s'il est […] […], alors que \(\operatorname{cd}(X) = 3\) !

Dim. coh. d'un schéma affine sur \(\mathbb{Z}\)

\(X\), \(f : X \to S = \operatorname{Spec}(\mathbb{Z})\), avec \(\ell \cdot 1_{X}\) inversible i.e. \(\ell \notin f(X)\), \(\ell \ne 2\). [Supposons d'abord \(X\) […] de dim. relative \(d\) sur \(S\).] \[H^{*}(X,F) \Longleftarrow H^{p}\bigl(S_{\ell}, R^{q} f_{*}(F)\bigr)\] La lettre du foncteur image directe est tracée ici d'un jambage plus ample qu'aux lignes suivantes, où elle est nettement \(f\). \[R^{q} f_{*}(F)_{\mathfrak{g}} \ne 0 \Longrightarrow q \leqslant \struck{1 + } d, \qquad R^{q} f_{*}(F)_{s} \ne 0 \Longrightarrow q \leqslant 1 + d\] \(\mathfrak{g}\) est le point générique de \(S\), \(s\) un point fermé ; la mention marginale à droite de la première ligne est illisible.

Donc si \(q > 1+d\), \(E_{2}^{pq} = 0\) ;

si \(q = 1+d\), alors \(R^{q} f_{*}(F)_{s}\) est concentré […] sur les points fermés, donc \(E_{2}^{pq} \ne 0 \Rightarrow p \leqslant 1\) ;

si \(q \leqslant d\) \(+d\), donc \(E_{2}^{pq} \ne 0 \Rightarrow p \leqslant 2\).

Un croquis du plan \((p,q)\) accompagne ces trois cas, portant les ordonnées \(1+d\) et \(d\) ; il n'ajoute rien aux inégalités.

On trouve donc \[\operatorname{cd}_{\ell}(X) \leqslant d + 2 = \dim X + 1 = \uncertain{\operatorname{cd}'_{\ell} \mathcal{R}(X)}\] […] […] si \(X\) est concentré […] au dessus d'un point (Hp) de \(S = \operatorname{Spec}(\mathbb{Z})\). Donc on trouve […] si \(X\) affine de type fini, \(\ell \cdot 1_{X}\) inversible, et […] \(X_{\mathbb{Q}}\) devrait est au dessus d'un corps tot. [tot.] premier […] \[\boxed{\operatorname{cd}_{\ell}(X) \leqslant \dim X + 1}\]

Théorèmes 3.1 et 3.2 du typescrit (page 83)

Feuillet du même typescrit que la page 71 (batch 4), corrigé de sa main : les lettres de groupe et plusieurs indices, que la machine n'avait pas, sont encrés à la main ; on les transcrit \(G\), \(H\) comme au batch 4. Les ratures courtes sont de la machine (frappe sur frappe), les insertions et les suppressions signalées ci-dessous sont de sa main.

Théorème 3.1. Soient \(S\) un préschéma affine, \(G\) un \(S\)-groupe de type multiplicatif, \(F\) un faisceau quasi-cohérent sur \(S\), sur lequel \(G\) opère (Exp 1, 4.7.). Alors pour tout \(i > 0\), la cohomologie de Hochschild on a \[H^{i}(G,F) = 0 \qquad \text{pour } i > 0,\] où \(H^{i}\) est la cohomologie de Hochschild étudiée dans Exp. 1, 5.

En effet, d'après loc. cit., 5.3., la cohomologie de Hochschild s'explicite, en termes des anneaux affines \(A\) de \(S\) et \(B\) de \(G\), et [du] module \(M\) sur \(A\) définissant \(F\), comme cohomologie d'un complexe \(C^{*}(G,F)\) dont la de \(A\)-modules \(C^{\bullet}(G,F)\), dont la formation commute [au] changement de base \(A \to A'\). Par suite, pour un changement de base \(A \to A'\) avec \(A'\) plat sur \(A\), on aura \[H^{i}(G',F') = H^{i}(G,F) \otimes_{A} A',\] et par suite, si on suppose même \(A'\) fidèlement plat sur \(A\), pour prouver que \(H^{i}(G,F)\) est nul, il suffit de prouver qu'il en est ainsi de \(H^{i}(G',F')\). Cette remarque nous ramène à vérifier 3.1. dans le cas où \(G\) est diagonalisable, dans ce cas cela a été prouvé dans Exp 1, 5.3.3.

Utilisant les résultats de Exp. III, nous allons tirer de 3.1. diverses conséquences de nature géométrique :

Théorème 3.2. Soient \(S\) un préschéma affine, \(S_{0}\) un sous-schéma affine défini par un Idéal \(J\) de carré nul, \(G\) un groupe de type multiplicatif sur \(S\), \(H\) un préschéma en groupes quelconque sur \(S\), \(u, v : H \to G\) deux homomorphismes de groupes tels que \(u_{0} = v_{0}\), où \(u_{0}, v_{0} : H_{0} \to G_{0}\) sont les homomorphismes déduits de \(u, v\) par changement de base \(S_{0} \to S\). Alors il existe un [\(g \in G(S)\)] tel que \(v = \operatorname{int}(g) \cdot u\) [et \(g_{0} = e\)].

Cela résulte de Exp III et de 3.1.

Conjectures sur la cohomologie des schémas affines (page 84)

Conjectures sur la cohomologie des schémas affines

\(X\) un (« bon ») schéma affine, intègre, […] gén. \(a\), […] \(\ell\) un […] premier.

\(1^{\circ})\) Si \(\ell \cdot 1_{X}\) inversible, alors \[\operatorname{cd}_{\ell}(X) \leqslant \operatorname{cd}_{\ell}(k(x))\] [et est […] une égalité […] […] […] plus ?]

\(2^{\circ})\) Si \(\ell \cdot 1_{X}\) non inversible et non nilpotent, […] a \[\operatorname{cd}_{\ell}(X) \leqslant \operatorname{Sup}\bigl(\operatorname{cd}_{\ell}(k(x)),\; \nu(V(\ell)) + 3\bigr)\] où on pose, pour […] […] un schéma \(Z\) de car. \(\ell\), \[\nu(Z) = \operatorname*{Sup}_{z \text{ maximaux dans } Z} \nu(k(z))\] et pour un corps \(k\) de car. \(\ell\), \(\nu(k)\) est défini par \(\ell^{\nu(k)} = [k : k^{\ell}]\).

\(1\;\mathrm{bis})\) Sous les conditions de \(2^{\circ}\), lorsque \(\exists\; \ell'\) tel que \(\ell' \cdot 1_{X}\) inversible i.e. \(X\) sur \(\operatorname{Spec}(\mathbb{Z}_{\ell'})\) (\(S = \operatorname{Spec} \mathbb{Z}\)) alors […] […] quelconque […] dans le […] [\(A\)] \((\nu(V(\ell)) + 3)\) […] \(\nu(V(\ell)) + 1\) […] \(\nu(V(\ell))\) de \(2^{\circ}\), lorsque Supposons \(\exists\; \ell'\) prenant […] que \(\mathbb{Z}_{\ell'}\) inversible. Alors \[\operatorname{cd}_{\ell}(X) \leqslant \operatorname{cd}_{\ell}(k(x))\] Le passage \(1\;\mathrm{bis})\) est repris trois fois sur la page, chaque reprise raturant la précédente ; la prose de liaison n'est pas récupérable et une note filant la marge gauche, écrite en travers, l'est encore moins.

\(4^{\circ})\) \(A\) bon anneau local hensélien intègre, car. résiduelle \(\ell\), \(\operatorname{car} K = 0\). Soit \(U\) […] ouvert […] de \(X = \operatorname{Spec} A\). Alors \[\operatorname{cd}_{\ell}(U) \leqslant \dim A + \nu(k) + \operatorname{cd}_{\ell}(k)\]

Densité schématique : Corollaire 4.6 (page 85)

Notons en passant le résultat suivant, qui servira dans un exposé ultérieur :

Corollaire 4.6. Soient \(X\) un \(S\)-préschéma plat, \(U\) une partie ouverte de \(X\), on suppose que pour tout \(s \in S\), \(U_{s}\) est schématiquement dense dans \(X_{s}\). Supposons de plus que \(X\) est localement noethérien, ou \(X\) localement de présentation finie sur \(S\) et \(U\) rétrocompact dans \(X\) (ou ce qui revient au même, \(U\) de présentation finie sur \(X\) ; il suffit par exemple \(X\) et \(U\) de présentation finie sur \(S\)). Alors \(U\) est schématiquement dense dans \(X\).

Le cas \(X\) localement noethérien n'est mis que pour mémoire, il est contenu dans 4.3. Dans le deuxième cas envisagé, on peut évidemment supposer \(S\) et \(X\) affine, alors \(X\) et \(U\) sont de présentation finie sur \(S = \operatorname{Spec}(A)\). [\(A\) est limite inductive de ses sous-\(\mathbb{Z}\)-algèbres \(A_{i}\) de type fini.] Le « procédé breveté » déjà utilisé (explicité en long et en large dans EGA IV 8) montre qu'il existe un schéma noethérien affine sous-anneau \(i\), un schéma affine \(X_{i}\) sur \(S_{i} = \operatorname{Spec}(A_{i})\) et un ouvert \(U_{i}\) dans \(X_{i}\), dont \(X\), \(U\) se déduisent par changement de base si \(S \to S_{i}\). Pour tout \(j \geqslant i\), soit \(E_{i}\) la partie de \(S_{i}\) formée des \(s \in S_{i}\) tels que \(U_{i,s}\) soit schématiquement dense dans \(X_{i,s}\). Cette condition signifie aussi que \(U_{i,s}\) contient l'ensemble \(\operatorname{Ass} \mathcal{O}_{X_{i,s}}\) des points « associés » au faisceau structural de \(X_{i,s}\), et les résultats de EGA IV 9 montrent alors que cette condition est de nature constructible, i.e. que \(E_{i}\) est une partie constructible de \(S_{i}\). D'ailleurs, la question envisagée sur les fibres est invariante par extension du corps de base, ce qui prouve en vertu de l'hypothèse faite que que pour tout \(j\), […] l'image inverse de \(E_{i}\) par \(S \to S_{i}\) […] est \(S\), et entraîne par EGA IV 8 qu'il existe un \(j \geqslant i\) tel que l'image inverse de \(E_{j}\) de \(E_{i}\) dans \(S_{j}\) soit \(S_{j}\), i.e. que pour tout \(s \in S_{j}\), \(U_{j,s}\) est schématiquement dense dans \(X_{j,s}\). En vertu de 4.4. appliqué à \((S_{j}, X_{j}, U_{j})\) et au changement de base \(S \to S_{j}\), il s'ensuit que \(U\) est schématiquement dense dans \(X\). On notera d'ailleurs qu'on n'utilise ici 4.4. que dans le Le feuillet s'arrête en fin de phrase.

Anneaux locaux henséliens à corps résiduel nul (page 86)

N.B. Pour les bons anneaux locaux henséliens de […] car. résiduelle nulle, tout se simplifie grâce à Artin.

Corollaires 4.7 et 4.9, Remarque 4.9 (page 87)

Corollaire 4.7. Soient \(X\) un \(S\)-préschéma plat, \(U\) une partie ouverte de \(X\), […] les conditions de 4.6. Alors :

a) pour tout \(S\)-préschéma plat \(X'\), \(U \times_{S} X'\) est schématiquement dense dans \(X \times_{S} X'\) ;

b) […] […] […] […] […] […]

Corollaire 4.9. […] […] […] […] […] […] […] […] […] […]

Remarque 4.9. […] les conditions de 4.6 […] […] […] […] […] […] Les deux corollaires portent le même numéro 4.9 ; le chiffre du premier (4.7) est réencré par-dessus la frappe. On transcrit les numéros tels qu'ils figurent, sans les régulariser. Le corps de ces trois énoncés est en grande partie effacé sous les deux longues diagonales d'annulation.

Section hyperplane et théorème de Lefschetz (pages 89 et 90)

Application Soit \(X\) schéma projectif régulier sur un corps \(k\) [sép. clos] […], \(Y\) une section hyperplane régulière, \(F\) un faisceau de \(\ell\)-torsion loc. constant sur \(X\) [\(\ell\) premier \(\ne\) la car. de \(k\)]. On suppose \(\dim X = n\). Considérons \(U = X - Y\) et

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
H^{i-1}(U,F) \arrow[r] & H^{i}_{Y}(X,F) \arrow[r] \arrow[d, no head, "\wr"] & H^{i}(X,F) \arrow[r] & H^{i}(U,F) \arrow[r] & H^{i+1}_{Y}(X,F) \arrow[d, no head, "\wr"] \\
 & H^{i-2}(Y, F_{Y} \otimes \check{T}_{\ell}) & & & H^{i-1}(Y, F_{Y} \otimes \check{T}_{\ell})
\end{tikzcd}

et utilisons le fait que \[H^{i}(U,F) = 0 \quad \text{si } i > n .\]

On trouve le

Th. de Lefschetz \[H^{i-2}(Y, F_{Y} \otimes \check{T}_{\ell}) \longrightarrow H^{i}(X,F)\] est surjectif si \(i \geqslant n+1\), bijectif si \(i \geqslant n+2\).

Corollaire Supposons \(X\) connexe [régulier] (de dim \(n\)), alors \[H^{2n}(X, \mu_{N}^{\otimes n}) \simeq \mathbb{Z}/N\mathbb{Z}\] pour tout […] \(N\) premier à la car.

Dém. Récurrence sur \(n\), […] […] [\(n = 0\) trivial, \(n = 1\) c'est connu, […] \(n \geqslant 2\)], on a […] \(2n \geqslant n+2\) d'où on […] […] le […] de Lefschetz \[H^{2n}(X, \mu_{N}^{\otimes n}) \simeq H^{2n-2}(Y, \mu_{N}^{\otimes n} \otimes \check{T})\] Une accolade sous \(\mu_{N}^{\otimes n} \otimes \check{T}\) l'identifie à \(\mu_{N}^{\otimes (n-1)}\), suivie de « o.k. ».

Corollaire 2 (Moyennant […]) \[H^{j}(X,F) \longrightarrow H^{j}(Y,F)\] est injectif si \(j \leqslant n-1\), bijectif si \(j \leqslant n-2\).

Résulte du th. de Lefschetz 72 par simple transposition, à valeurs dans \(\mathbb{Q}/\mathbb{Z}\).

Théorème de Spécialisation : Corollaire (pages 92 à 98)

Le titre est de sa main, porté sur la page 91, feuillet par ailleurs vierge qui ouvre le développement suivant ; ce feuillet ne reçoit donc pas de numéro de page. Les pages qui suivent sont écrites vite : les énoncés passent, la prose qui les relie est en grande partie perdue.

Lemme 1 \(A\) anneau local noeth. […] [quotient d'un régulier], formellement normal, \(t \in \mathfrak{m}_{A}\) [un élément \(A\)-régulier,] [le complété \(t\)-adique de \(A\) un anneau] \(A/tA\) formellement normal (a fortiori formellement normal), et \(\dim A \geqslant 3\). Soit \(B\) finie […] \(A\), \(B\) « extension » [finie] normale de \(A\), et [supposons que] \(B/tB\) sur \(A/tA\) soit […] un revêtement étale hors de l'origine [hors de l'origine]. Alors \(B\) est un revêtement étale hors de […]

N.B. L'hyp. indique que \(B\) est étale sur \(A\) en les points de \(V(t) - \text{origine}\) (à vérifier : la normalité de […] \(A\) et \(B\) …) […] […] […] […] […] existe […]

Dém. Soit \(X = \operatorname{Spec} A\), soit \(X' = X - \{a\}\), \(U\) l'[…] […] […] […] que \(B\) [y] soit étale, alors [on a \(U \ne X\)] \((X - U) \cap V(t) \subset \{a\}\) […] donc \(\dim(X - U) \leqslant 1\). On a […] un revêtement étale […] \(U\), et il faut montrer qu'il se […] en un rev. étale de \(X'\). […] […] points de \(X' - U\), […] \(\mathcal{O}_{X,x}\) \(\geqslant 2\) [car \(\dim \mathcal{O}_{X,x} \geqslant 2\), […] \(\geqslant 2\)], car […] […] condition des chaînes

93Feuillet très raturé, dont seuls des fragments se laissent lire.

\((2)\) […] […] \(i_{*}(\mathcal{A})\) sur \(X'\) […] […] [\(i : U \to X'\)] i.e. […] canonique, et l'Algèbre [sur \(U\)] […] qui […] \(V/U\)]. Donc, […] […] […], d'[…] […] […] […] que \(X_{1} \to X'\) […] […] \(A \to\) […] […] […] duplique \(t\)-adique.

De plus […] […] […] complétion des complétés

[…] […] un revêtement trivial de \(A\). […] […] duplique de \(B\) sur \(A\). Donc partout […] \(X'\) […] \(X_{1}\) […] […] […] \(B\), […] \(X' \times [1,\ill{}]\). Je […] à vérifier soigneusement La marge gauche porte en outre un petit carré tracé à la main, ses côtés étiquetés \(A/tA\) ; il schématise le passage au quotient et n'ajoute rien aux formules.

Lemme 2 Soit \(f : X \to Y\) [lisse] simple un morphisme […] à fibres de dim 1, \(s\) une section de \(X\) sur \(Y\), […] \(Y\) [intègre], […] avec \(X\) normal. Soit \[X' \longrightarrow X\] un rev. […] galoisien de groupe \(\Gamma\) premier aux car. résiduelles de \(Y\), […] […] d'un […] […] […] […] […] \(s^{-1}(X')\) […] […] […]. Alors […]

Supposons de plus que […] il existe […] […] […] \(B\) […] \(Y\), […] […] […] […] \(X - f(Z)\). Le reste de la page est un palimpseste dont la prose n'est pas récupérable.

[…] que \(g(x)\) […] […] diviseurs de […] […] ramené au cas […] d'un anneau […] définie localement par les […] certain]. On est ainsi […] […] […] \(Y\) le spectre […] d'un anneau de v. d. discrète, et […] […] [par ex. en […] \(\mathcal{O}_{X,g(x)}\)].

Lemme 3 Soit \(A\) un anneau local régulier et de dim 2, \((x,y)\) un syst. régulier de paramètres de \(A\), \(B\) une « extension » normale de \(A\), telle que […] […], (i) […] […] galoisien d'ordre premier […] : […] la car. résiduelle de \(A\), (ii) \(B \to\) […] l'[…] de ramification […] constante dans \(V(x)\), (iii) […] […] complétés en […] […] \(y\) de \(V(y)\). Un croquis accompagne l'énoncé : un cercle traversé de deux diamètres qui se coupent en un point marqué, l'un étiqueté \(V(x)\), l'autre \(V(y)\) — les deux diviseurs et leur point d'intersection.

[…] (Abhyankar), […] […] \(\Gamma = \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\), \(B\) […] intègre. Alors il […] […] (i) […] (ii) […] […] \(A' = A/yA\), […] […] \(B\) […] […] \[B \simeq A[T]/(T^{n} - x), \qquad B \otimes_{A} A' = A'[T]/(T^{n} - x'),\] […] \(x'\) […] l'image de \(x\) dans \(A'\), […] […] […] […] […] […] (iii).

Corollaire

Théorème Soit \(A\) […] […] noeth. Ceci […] […] \(f : X \to Y\) \(Y\) tor […] un morphisme [morphisme lisse,] […] alors \(f\) est loc. 1-asphérique […] pour les groupes finis d'ordre premier aux car. résiduelles de \(Y\).

Dém. On est […] ramené au cas où \(Y\) [noeth.] strictement local, et par […] […] au cas […] \(X \to\) […] de dim relative 1 sur \(Y\). […]

Applications \(1)\) Soit \(f : X \to Y\) un morphisme pr. quot. [lisse] […] […] \(R^{i} f_{*}(F)\) localement constant : […] extension […] […] lisse […] le bon.

\(2)\) Soit \(X\)

\(2)\) \(X\) projectif sur […] […], […] \(k'/k\) ext. sép. […], […] […] dernier […] \(X\) […] […] \[H^{i}(X,F) \;\overset{\sim}{\longrightarrow}\; H^{i}(X',F')\] (Étale […] \(H^{1}\) et \(H^{2}\) […] […] […] […] tifs […]).

\(3)\) Si \(X\) lisse […] \(S\), \(Y\) […] […] […] lisse, […] […]

Corollaire Soit […] \(Y\) […] […] de \(X\), […] […] […] équivalentes : \[h : V \longrightarrow S, \qquad i \ill{}\] \[F' = \operatorname{Hom}(F, I_{X/S}) \struck{\ill{}}\]

(ii) \(R^{i} h_{!}(F'|V)\)
(i) \(R^{i} h_{*}(F|V)\)
(iii) \(R^{i} g_{*}(\struck{F}\;F'|Y)\)

Une accolade relie (ii) et (i) ; à droite d'elles il écrit « loc. constantes pour tt […] ».

Conditions équivalentes : \(Y\) […] lisse […], […] \(X\) […] \(S\) […] […] […] variations sur […] \(S'\) […] […] \(S\), […] [[…] […] ??]. Rq. […] […] \(H^{q}(F)\) […] […] […] […]

Note sur la suite spectrale de \(R^{i} h_{*}\) (page 100)

100Note de sa main portée sur un feuillet dactylographié sans rapport, que le scan présente à l'envers ; l'écriture, elle, est à l'endroit.

N.B. […] […] […] […] […] \(V\) […] \(G_{1}\) […] : pr. l. […] […] […] […] \[R^{i} h_{*}(G_{1}) \Longleftarrow \ill{}\] […] \(h : V \to X\) […] […] […] \[\ill{} \; R^{i} h_{*}(G).\] […] […] spectrale ; \[c) \Longleftarrow R^{i} g_{*}\bigl(R^{i} i_{*}(G')\bigr), \qquad R^{i} g_{*}\bigl(R^{i} i_{*}(G)\bigr)\] […] […] […] […] Les deux exposants de la suite spectrale sont écrits \(i\) tous les deux ; on les transcrit tels quels sans les distinguer en \(p\) et \(q\).