Fonds Grothendieck, cote n° 31, pages 81–100

Fin du calcul de \operatorname{cd}_{\ell} (pages 81 et 82)

La page achève le développement des pages 73 à 80 (batch 4).

Question X schéma noethérien affine, n = \operatorname*{Sup}_{x \in X}\bigl[\operatorname{cd}_{\ell}(k(x)) + \dim \mathcal{O}_{X,x}\bigr]. \ell premier car. rés. Alors n est aussi le Sup des coh. des affines de X. La question, \operatorname{cd}_{\ell}(X) \leqslant n .

Mais il est faux de dire que l' en d'un exemple de , n = 2 s'il est , alors que \operatorname{cd}(X) = 3 !

Dim. coh. d'un schéma affine sur \mathbb{Z}

X, f : X \to S = \operatorname{Spec}(\mathbb{Z}), avec \ell \cdot 1_{X} inversible i.e. \ell \notin f(X), \ell \ne 2. Supposons d'abord X de dim. relative d sur S. H^{*}(X,F) \Longleftarrow H^{p}\bigl(S_{\ell}, R^{q} f_{*}(F)\bigr) La lettre du foncteur image directe est tracée ici d'un jambage plus ample qu'aux lignes suivantes, où elle est nettement f. R^{q} f_{*}(F)_{\mathfrak{g}} \ne 0 \Longrightarrow q \leqslant \struck{1 + } d, \qquad R^{q} f_{*}(F)_{s} \ne 0 \Longrightarrow q \leqslant 1 + d \mathfrak{g} est le point générique de S, s un point fermé ; la mention marginale à droite de la première ligne est illisible.

Donc si q > 1+d, E_{2}^{pq} = 0 ;

si q = 1+d, alors R^{q} f_{*}(F)_{s} est concentré sur les points fermés, donc E_{2}^{pq} \ne 0 \Rightarrow p \leqslant 1 ;

si q \leqslant d +d, donc E_{2}^{pq} \ne 0 \Rightarrow p \leqslant 2.

Un croquis du plan (p,q) accompagne ces trois cas, portant les ordonnées 1+d et d ; il n'ajoute rien aux inégalités.

On trouve donc \operatorname{cd}_{\ell}(X) \leqslant d + 2 = \dim X + 1 = \uncertain{\operatorname{cd}'_{\ell} \mathcal{R}(X)} si X est concentré au dessus d'un point (Hp) de S = \operatorname{Spec}(\mathbb{Z}). Donc on trouve si X affine de type fini, \ell \cdot 1_{X} inversible, et X_{\mathbb{Q}} ~~devrait~~ est au dessus d'un corps ~~tot.~~ tot. premier \boxed{\operatorname{cd}_{\ell}(X) \leqslant \dim X + 1}

Théorèmes 3.1 et 3.2 du typescrit (page 83)

Feuillet du même typescrit que la page 71 (batch 4), corrigé de sa main : les lettres de groupe et plusieurs indices, que la machine n'avait pas, sont encrés à la main ; on les transcrit G, H comme au batch 4. Les ratures courtes sont de la machine (frappe sur frappe), les insertions et les suppressions signalées ci-dessous sont de sa main.

Théorème 3.1. Soient S un préschéma affine, G un S-groupe de type multiplicatif, F un faisceau quasi-cohérent sur S, sur lequel G opère (Exp 1, 4.7.). Alors ~~pour tout i > 0, la cohomologie de Hochschild~~ on a H^{i}(G,F) = 0 \qquad \text{pour } i > 0, où H^{i} est la cohomologie de Hochschild étudiée dans Exp. 1, 5.

En effet, d'après loc. cit., 5.3., la cohomologie de Hochschild s'explicite, en termes des anneaux affines A de S et B de G, et du module M sur A définissant F, comme cohomologie d'un complexe ~~C^{*}(G,F) dont la~~ de A-modules C^{\bullet}(G,F), dont la formation commute au changement de base A \to A'. Par suite, pour un changement de base A \to A' avec A' plat sur A, on aura H^{i}(G',F') = H^{i}(G,F) \otimes_{A} A', et par suite, si on suppose même A' fidèlement plat sur A, pour prouver que H^{i}(G,F) est nul, il suffit de prouver qu'il en est ainsi de H^{i}(G',F'). Cette remarque nous ramène à vérifier 3.1. dans le cas où G est diagonalisable, dans ce cas cela a été prouvé dans Exp 1, 5.3.3.

Utilisant les résultats de Exp. III, nous allons tirer de 3.1. diverses conséquences de nature géométrique :

Théorème 3.2. Soient S un préschéma affine, S_{0} un sous-schéma affine défini par un Idéal J de carré nul, G un groupe de type multiplicatif sur S, H un préschéma en groupes quelconque sur S, u, v : H \to G deux homomorphismes de groupes tels que u_{0} = v_{0}, où u_{0}, v_{0} : H_{0} \to G_{0} sont les homomorphismes déduits de u, v par changement de base S_{0} \to S. Alors il existe un g \in G(S) tel que v = \operatorname{int}(g) \cdot u et g_{0} = e.

Cela résulte de Exp III et de 3.1.

Conjectures sur la cohomologie des schémas affines (page 84)

Conjectures sur la cohomologie des schémas affines

X un (« bon ») schéma affine, intègre, gén. a, \ell un premier.

1^{\circ}) Si \ell \cdot 1_{X} inversible, alors \operatorname{cd}_{\ell}(X) \leqslant \operatorname{cd}_{\ell}(k(x)) [et est une égalité plus ?]

2^{\circ}) Si \ell \cdot 1_{X} non inversible et non nilpotent, a \operatorname{cd}_{\ell}(X) \leqslant \operatorname{Sup}\bigl(\operatorname{cd}_{\ell}(k(x)),\; \nu(V(\ell)) + 3\bigr) où on pose, pour un schéma Z de car. \ell, \nu(Z) = \operatorname*{Sup}_{z \text{ maximaux dans } Z} \nu(k(z)) et pour un corps k de car. \ell, \nu(k) est défini par \ell^{\nu(k)} = [k : k^{\ell}].

1\;\mathrm{bis}) Sous les conditions de 2^{\circ}, lorsque \exists\; \ell' tel ~~que \ell' \cdot 1_{X} inversible i.e. X sur \operatorname{Spec}(\mathbb{Z}_{\ell'}) (S = \operatorname{Spec} \mathbb{Z})~~ ~~alors quelconque dans le~~ A (\nu(V(\ell)) + 3) \nu(V(\ell)) + 1 ~~\nu(V(\ell))~~ de 2^{\circ}, lorsque ~~Supposons \exists\; \ell'~~ prenant que \mathbb{Z}_{\ell'} inversible. Alors \operatorname{cd}_{\ell}(X) \leqslant \operatorname{cd}_{\ell}(k(x)) Le passage 1\;\mathrm{bis}) est repris trois fois sur la page, chaque reprise raturant la précédente ; la prose de liaison n'est pas récupérable et une note filant la marge gauche, écrite en travers, l'est encore moins.

4^{\circ}) A bon anneau local hensélien intègre, car. résiduelle \ell, \operatorname{car} K = 0. Soit U ouvert de X = \operatorname{Spec} A. Alors \operatorname{cd}_{\ell}(U) \leqslant \dim A + \nu(k) + \operatorname{cd}_{\ell}(k)

Densité schématique : Corollaire 4.6 (page 85)

Notons en passant le résultat suivant, qui servira dans un exposé ultérieur :

Corollaire 4.6. Soient X un S-préschéma plat, U une partie ouverte de X, on suppose que pour tout s \in S, U_{s} est schématiquement dense dans X_{s}. Supposons de plus que X est localement noethérien, ou X localement de présentation finie sur S et U rétrocompact dans X (ou ce qui revient au même, U de présentation finie sur X ; il suffit par exemple X et U de présentation finie sur S). Alors U est schématiquement dense dans X.

Le cas X localement noethérien n'est mis que pour mémoire, il est contenu dans 4.3. Dans le deuxième cas envisagé, on peut évidemment supposer S et X affine, alors X et U sont de présentation finie sur S = \operatorname{Spec}(A). A est limite inductive de ses sous-\mathbb{Z}-algèbres A_{i} de type fini. Le « procédé breveté » déjà utilisé (explicité en long et en large dans EGA IV 8) montre qu'il existe un ~~schéma noethérien affine sous-anneau~~ i, un schéma affine X_{i} sur S_{i} = \operatorname{Spec}(A_{i}) et un ouvert U_{i} dans X_{i}, dont X, U se déduisent par changement de base si S \to S_{i}. ~~Pour tout j \geqslant i,~~ soit E_{i} la partie de S_{i} formée des s \in S_{i} tels que U_{i,s} soit schématiquement dense dans X_{i,s}. Cette condition signifie aussi que U_{i,s} contient l'ensemble \operatorname{Ass} \mathcal{O}_{X_{i,s}} des points « associés » au faisceau structural de X_{i,s}, et les résultats de EGA IV 9 montrent alors que cette condition est de nature constructible, i.e. que E_{i} est une partie constructible de S_{i}. D'ailleurs, la question envisagée sur les fibres est invariante par extension du corps de base, ce qui prouve en vertu de l'hypothèse faite que ~~que pour tout j,~~ l'image inverse de E_{i} par S \to S_{i} est S, et entraîne par EGA IV 8 qu'il existe un j \geqslant i tel que l'image inverse ~~de E_{j}~~ de E_{i} dans S_{j} soit S_{j}, i.e. que pour tout s \in S_{j}, U_{j,s} est schématiquement dense dans X_{j,s}. En vertu de 4.4. appliqué à (S_{j}, X_{j}, U_{j}) et au changement de base S \to S_{j}, il s'ensuit que U est schématiquement dense dans X. On notera d'ailleurs qu'on n'utilise ici 4.4. que dans le Le feuillet s'arrête en fin de phrase.

Anneaux locaux henséliens à corps résiduel nul (page 86)

N.B. Pour les bons anneaux locaux henséliens de car. résiduelle nulle, tout se simplifie grâce à Artin.

Corollaires 4.7 et 4.9, Remarque 4.9 (page 87)

Corollaire 4.7. Soient X un S-préschéma plat, U une partie ouverte de X, les conditions de 4.6. Alors :

a) pour tout S-préschéma plat X', U \times_{S} X' est schématiquement dense dans X \times_{S} X' ;

Corollaire 4.9.

Remarque 4.9. les conditions de 4.6 Les deux corollaires portent le même numéro 4.9 ; le chiffre du premier (4.7) est réencré par-dessus la frappe. On transcrit les numéros tels qu'ils figurent, sans les régulariser. Le corps de ces trois énoncés est en grande partie effacé sous les deux longues diagonales d'annulation.

Section hyperplane et théorème de Lefschetz (pages 89 et 90)

Application Soit X schéma projectif régulier sur un corps k sép. clos , Y une section hyperplane régulière, F un faisceau de \ell-~~tor~~sion loc. constant sur X [\ell premier \ne la car. de k]. On suppose \dim X = n. Considérons U = X - Y et

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] H^{i-1}(U,F) \arrow[r] & H^{i}_{Y}(X,F) \arrow[r] \arrow[d, no head, "\wr"] & H^{i}(X,F) \arrow[r] & H^{i}(U,F) \arrow[r] & H^{i+1}_{Y}(X,F) \arrow[d, no head, "\wr"] \\ & H^{i-2}(Y, F_{Y} \otimes \check{T}_{\ell}) & & & H^{i-1}(Y, F_{Y} \otimes \check{T}_{\ell}) \end{tikzcd}

et utilisons le fait que H^{i}(U,F) = 0 \quad \text{si } i > n .

On trouve le

Th. de Lefschetz H^{i-2}(Y, F_{Y} \otimes \check{T}_{\ell}) \longrightarrow H^{i}(X,F) est surjectif si i \geqslant n+1, bijectif si i \geqslant n+2.

Corollaire Supposons X connexe régulier (de dim n), alors H^{2n}(X, \mu_{N}^{\otimes n}) \simeq \mathbb{Z}/N\mathbb{Z} pour tout N premier à la car.

Dém. Récurrence sur n, [n = 0 trivial, n = 1 c'est connu, n \geqslant 2], on a 2n \geqslant n+2 d'où on le de Lefschetz H^{2n}(X, \mu_{N}^{\otimes n}) \simeq H^{2n-2}(Y, \mu_{N}^{\otimes n} \otimes \check{T}) Une accolade sous \mu_{N}^{\otimes n} \otimes \check{T} l'identifie à \mu_{N}^{\otimes (n-1)}, suivie de « o.k. ».

Corollaire 2 (Moyennant ) H^{j}(X,F) \longrightarrow H^{j}(Y,F) est injectif si j \leqslant n-1, bijectif si j \leqslant n-2.

Résulte du th. de Lefschetz 72 par simple ~~transposition~~, à valeurs dans \mathbb{Q}/\mathbb{Z}.

Théorème de Spécialisation : Corollaire (pages 92 à 98)

Le titre est de sa main, porté sur la page 91, feuillet par ailleurs vierge qui ouvre le développement suivant ; ce feuillet ne reçoit donc pas de numéro de page. Les pages qui suivent sont écrites vite : les énoncés passent, la prose qui les relie est en grande partie perdue.

Lemme 1 A anneau local noeth. quotient d'un régulier, ~~formellement normal~~, t \in \mathfrak{m}_{A} un élément A-régulier, le complété t-adique de A un anneau ~~A/tA~~ ~~formellement~~ ~~normal~~ (a fortiori ~~formellement~~ normal), et \dim A \geqslant 3. Soit ~~B finie A~~, B « extension » finie normale de A, et supposons que B/tB sur A/tA soit un revêtement étale ~~hors de l'origine~~ hors de l'origine. Alors B est un revêtement étale ~~hors de~~

N.B. L'hyp. indique que B est étale sur A en les points de V(t) - \text{origine} (à vérifier : la normalité de A et B …) ~~existe~~

Dém. Soit X = \operatorname{Spec} A, ~~soit~~ X' = X - \{a\}, U l' que B y soit étale, alors ~~[on a U \ne X]~~ (X - U) \cap V(t) \subset \{a\} donc \dim(X - U) \leqslant 1. On a un revêtement étale U, et il faut montrer qu'il se en un rev. étale de X'. points de X' - U, \mathcal{O}_{X,x} \geqslant 2 [car \dim \mathcal{O}_{X,x} \geqslant 2, \geqslant 2], car condition des chaînes

Feuillet très raturé, dont seuls des fragments se laissent lire.

(2) i_{*}(\mathcal{A}) sur X' [i : U \to X'] i.e. canonique, et l'Algèbre sur U qui V/U]. Donc, , d' que X_{1} \to X' A \to duplique t-adique.

~~De plus complétion des complétés~~

un revêtement trivial de A. ~~duplique~~ de B sur A. Donc partout X' X_{1} B, X' \times [1,\ill{}]. Je à vérifier soigneusement La marge gauche porte en outre un petit carré tracé à la main, ses côtés étiquetés A/tA ; il schématise le passage au quotient et n'ajoute rien aux formules.

Lemme 2 Soit f : X \to Y lisse ~~simple~~ un morphisme à fibres de dim 1, s une section de X sur Y, Y intègre, avec X normal. Soit X' \longrightarrow X un rev. galoisien de groupe \Gamma premier aux car. résiduelles de Y, d'un s^{-1}(X') . Alors

Supposons de plus que ~~il existe~~ B Y, X - f(Z). Le reste de la page est un palimpseste dont la prose n'est pas récupérable.

que g(x) diviseurs de ramené au cas d'un anneau ~~définie localement par les~~ certain]. On est ainsi Y le spectre d'un anneau de v. d. discrète, et [par ex. en \mathcal{O}_{X,g(x)}].

Lemme 3 Soit A un anneau local régulier et de dim 2, (x,y) un syst. régulier de paramètres de A, B une « extension » normale de A, ~~telle que~~ , (i) galoisien d'ordre premier : la car. résiduelle de A, (ii) B \to l' de ramification constante dans V(x), (iii) complétés en y de V(y). Un croquis accompagne l'énoncé : un cercle traversé de deux diamètres qui se coupent en un point marqué, l'un étiqueté V(x), l'autre V(y) — les deux diviseurs et leur point d'intersection.

(Abhyankar), \Gamma = \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, B intègre. Alors il (i) (ii) A' = A/yA, B B \simeq A[T]/(T^{n} - x), \qquad B \otimes_{A} A' = A'[T]/(T^{n} - x'), x' l'image de x dans A', (iii).

~~Corollaire~~

Théorème Soit ~~A noeth.~~ ~~Ceci~~ f : X \to Y ~~Y tor~~ un ~~morphisme~~ morphisme lisse, alors f est loc. 1-asphérique pour les groupes finis d'ordre premier aux car. résiduelles de Y.

Dém. On est ramené au cas où Y noeth. ~~strictement local~~, et par au cas X \to de dim relative 1 sur Y.

Applications 1) Soit f : X \to Y un morphisme pr. quot. lisse R^{i} f_{*}(F) localement constant : extension lisse le bon.

~~2) Soit X~~

2) X projectif sur , k'/k ext. sép. , dernier X H^{i}(X,F) \;\overset{\sim}{\longrightarrow}\; H^{i}(X',F') (Étale H^{1} et H^{2} tifs ).

3) Si X lisse S, Y lisse,

Corollaire Soit Y de X, équivalentes : h : V \longrightarrow S, \qquad i \ill{} F' = \operatorname{Hom}(F, I_{X/S}) \struck{\ill{}}

(ii) R^{i} h_{!}(F'|V) (i) R^{i} h_{*}(F|V) (iii) R^{i} g_{*}(\struck{F}\;F'|Y)

Une accolade relie (ii) et (i) ; à droite d'elles il écrit « loc. constantes pour tt ».

Conditions équivalentes : Y ~~lisse~~ , X S variations sur S' S, [ ??]. Rq. H^{q}(F)

Note sur la suite spectrale de R^{i} h_{*} (page 100)

Note de sa main portée sur un feuillet dactylographié sans rapport, que le scan présente à l'envers ; l'écriture, elle, est à l'endroit.

N.B. V G_{1} : pr. l. R^{i} h_{*}(G_{1}) \Longleftarrow \ill{} h : V \to X \ill{} \; R^{i} h_{*}(G). spectrale ; c) \Longleftarrow R^{i} g_{*}\bigl(R^{i} i_{*}(G')\bigr), \qquad R^{i} g_{*}\bigl(R^{i} i_{*}(G)\bigr) Les deux exposants de la suite spectrale sont écrits i tous les deux ; on les transcrit tels quels sans les distinguer en p et q.