Cote n° 28 · batch 1 · pages 1–10 · Transcription · [Groupes algébriques (SGA 3)] : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : [vers 1970]
Édition de démonstration

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Demazure 5.1.1970

titre de sa main, souligné, en tête du premier feuillet ; à droite du titre, isolé et souligné, « \(\mathrm{Aut}^{\circ}\) ». Le titre bracketé du fonds est celui des archivistes ; les deux dates du dossier sont les siennes

1

Introduction

\[\begin{array}{ll} \mathbf{P}_1 \times \mathbf{P}_1 & \mathrm{PGL}_2 \times \mathrm{PGL}_2 \\[2pt] \mathbf{P}_2 & \mathrm{PGL}_3 \\[2pt] F_n \quad n \geq 2 & \bigl(\mathrm{GL}(2)\cdot \Gamma(\mathcal{O}(n))\bigr)/\mu_n \end{array} \qquad \begin{array}{l} (F_0 = \mathbf{P}_1 \times \mathbf{P}_1) \\[2pt] (F_1 = \mathbf{P}_2 \text{ éclaté}) \end{array}\]

le chiffre après \(\geq\) est surchargé ; on lit \(2\), lecture que les deux parenthèses de droite appellent. Après \(\mathrm{PGL}_3\) une parenthèse contient un mot raturé. La troisième ligne de droite est écrite par-dessus une première rédaction : le facteur \(\mathrm{GL}(2)\) est repassé, et la parenthèse fermante est doublée

Th. (Enriques) tout sous-groupe de \(\mathrm{Cr}_2\), algébrique linéaire connexe, est \(\subset\) un des précédents : à conjugaison près […]

Cor.

• […] structure réductive de type \(A_n\)
• ils sont définis sur \(\mathbf{Z}\)
• sont des groupes d'automorphismes de variétés très simples, proj. et lisses (opérant avec orbites ouvertes)
• tores de rang 2

le premier article porte « structure » écrit au-dessus d'un mot biffé, et « type » est souligné ; les quatre articles sont pris dans une accolade

On va généraliser à la dimension \(n\), sauf difficultés liées aux tores maximaux ; ou si on prend les s.-gpes de rang maximum […]

Sorites

(Cas \(X\) lisse séparé \(/S\)) un mot est inséré au-dessus de la barre oblique, non lu

Pseudo-morphismes, pseudo-isomorphismes (bel/\(S\)) l'abréviation entre parenthèses n'est pas résolue ; les lettres se lisent « bel », le tout suivi de « /S »

Pseudo-automorphismes \[\mathrm{Psaut}_S(X), \quad \mathrm{Baut}_S(X)\] \[\mathrm{Psaut}_k(K) ; \qquad \mathrm{Cr}_{n,k} = \mathrm{Baut}_k\bigl(k[t_1,\ldots,t_n]\bigr)\] \[\mathrm{Psaut}_k(K)(k) \simeq \mathrm{Aut}_k(K)^{\circ}, \qquad \mathrm{Lie}\bigl(\mathrm{Baut}_k(K)\bigr) \simeq \mathrm{Der}_k(K)^{\circ}\]

« Baut » est souligné à chacune de ses occurrences, « Psaut » ne l'est pas

Proposition Section unité de \(\mathrm{Baut}_S(X)\) immersion fermée dans chacun des 2 cas

• a)\(S\) artinien
• b)fibres irréductibles « (géom.) » ajouté au-dessous, appelé par un signe d'insertion

2

Cor. \(G \longrightarrow \mathrm{Baut}_S(X)\) au-dessus de la flèche : « hom. de gp. » ; au-dessous du \(G\) : « schéma en groupes » alors le noyau est un […] sa réduction […] un groupe fermé

Prop. \(X\) courbe irréductible propre, \(S\) loc. noeth. normal, \(\mathrm{Baut}_S(X)\) […] tout ce bloc est biffé ; à sa droite, cerné d'un trait et appelé par une flèche, un ajout dont on lit « dans le corps »

Lemme \(G \longrightarrow \mathrm{Baut}_k(X)\), \(X\) courbe lisse propre au-dessous du \(G\) : « schéma en groupes » sur \(k\), il se factorise par \(\mathrm{Baut}\) \(\mathrm{Aut}_k(X)\).

[…] bien corps \(k\), et \(X\) […] […] t.f. \((/k)\). Que signifie \[G \longrightarrow \mathrm{Psaut}_k(X) \; ?\] au-dessous de la flèche : « schéma en groupes lisse de t.f. ». Les deux mots qui suivent le \(X\) ne sont pas lus

\[G \times X \dashrightarrow X\] ouvert de définition \(U\) (un ouvert de \(G \times X\), […] en général […] \(e \times X\))

(PO 1) pr. et op. dominants

(PO 2) associativité

\begin{tikzcd}[column sep=large]
G \times G \times X \arrow[r, "u_a \times X"] \arrow[d, "G \times \varphi"'] & G \times X \arrow[d, "\varphi"] \\
G \times X \arrow[r, dashed] & X
\end{tikzcd}

l'étiquette de la flèche du haut est de lecture douteuse : on lit « \(u_a \times X\) »

\[\left. \begin{array}{l} g, h \in G(S) \\ x \in X(S) \end{array} \right\} \quad \begin{array}{l} h \cdot x \text{ défini} \\ g(h \cdot x) \text{ défini} \end{array} \;\Longrightarrow\; \bigl(gh \cdot x \text{ défini et égal à } g(h\,x)\bigr)\]

\(\exists\, N \subset G\) (\(= \ker u\)) tel que […] \(G/N \hookrightarrow \mathrm{Baut}_k(X)\). un mot inséré au-dessus d'un mot biffé, à la fin de l'avant-dernière ligne, n'est pas lu

3

\begin{tikzcd}
G \times X \arrow[r, dashed] & X \times X \\
U \arrow[u, hook] & \\
F \arrow[u, hook] \arrow[r] & X \arrow[uu]
\end{tikzcd}

Opération rigidifiée si \(F \to X\) fid. plat

Prop. Si l'opération est rigidifiée, \(F_X\) est un sous-schéma en groupes de \(G_X\).

Cor. \(N =\) le plus grand sous-schéma en groupes constant de \(F_X\).

Pseudo-opération (pseudo-)transitive si \(G \times X \to X \times X\) dominant

(dans le cas d'une vraie opération, cela signifie qu'il y a une (unique) orbite dense)

Proposition Si \(G\) est pseudo-transitif sur \(X\), \(X\) est pseudo-isomorphe à un espace homogène.

Sous-tores de \(\mathrm{Cr}_{n,k}\)

Prop. Soit \(T\) tore (déployé) qui pseudo-opère de façon […] rigidifiée, (\(X\) irréductible). Alors \(F = e \times X\) […]

Cor. 1 \(\dim T \leq \dim X\), égalité \(\Longleftrightarrow\) pseudo-transitivité sous « égalité » : « \(T\) déployé » ; sous « pseudo-transitivité », souligné : torseurs sous

Cor. 2 Supposons \(\dim T = \dim X\), alors \(X \simeq T\) (à pseudo-isomorphisme près)

Cor. 3 \(X\) irréductible, […] conditions équivalentes

• a)\(X\) rationnel
• b)\(\mathrm{Psaut}(X) \simeq \mathrm{Cr}_{n,k}\)
• c)\(\mathrm{Psaut}(X) \supset T\) tore de dim \(n\)

4

Cor. 4 Les tores déployés [de dim \(n\)] de \(\mathrm{Cr}_{n,k}\) sont conjugués.

Cor. 5 Ils sont maximaux, ils sont leurs propres […], et le normalisateur est un groupe […] lisse, et \(N/T \simeq \mathrm{Aut}_{\mathrm{gp}}(T)\).

Cor. 6 \(T\) est un tore maximal de \(\mathrm{Cr}_{n,k}\)

Proposition \(T\) déployé, \(X\) irréductible, pseudo-opération pseudo fidèle. Alors \(X \dashrightarrow T \times Y\), où \(Y\) est […] irréductible (quelconque) : pseudo-isomorphisme.

Cor. 1 Soient \(0 \leq d \leq n\). Conditions équivalentes

• a)\(\mathrm{Im}\ \mathbf{G}_m^d \subset \mathrm{Cr}_{n,k}\) […] contenu dans un […]
• b)[…] extension \(K/k\) de deg. tr. \(d\), et \(K[t_1,\ldots,t_{n-d}]\) pure, […] pure (« Lüroth »).

[NB OK si \(d = 0\), \(d = 1\), \(d = 2\) en regard : « car. nulle » (Castelnuovo). \(d = n\) en regard : « \(k\) alg. clos ». Marche si \(n \leq 3\)]

Pb. Classifier les \(G\) alg. lisses \(\subset \mathrm{Cr}_{n,k}\) qui contiennent un tore déployé de dimension \(n\).

Th. de structure On se fixe \(T\), et \[T \subset G \subset \mathrm{Baut}(T)\] L'opération de \(G\) est transitive. On veut exprimer […] homogène \(X\) sous \(G\), de dimension \(n\), de telle façon que \(T\) opère fidèlement avec une orbite ouverte

5

Utilisant […], on aura \[\begin{array}{c} T \subset G \\ \cup \\ H \end{array} \qquad \left\{ \begin{array}{l} T \times H \longrightarrow G \quad \text{immersion ouverte} \\ \struck{\ill{}} \quad \bigcap \text{ conjugués de } H = e \end{array} \right.\]

On aura pseudo-explicitement \[G \dashrightarrow T, \qquad (g, t) \mapsto f(gt)\] le \(f\) est porté au-dessus de la flèche pointillée ; au-dessous de cette ligne, sans liaison explicite : « \(t\,f(t^{-1}\,g\,t)\) »

[pseudo-opération […]]

Axiomes sur \(f\)

1. 1)\(f(gg') = f\bigl(g\,f(g')\bigr)\) (si \(f(g')\) est défini, les 2 sens le sont simultanément)
2. 2)\(f\) définie en tt pt de \(T\), et y induit l'identité
3. 3)Si \(g, g' \in G(S)\), et \(f(gt) = f(g't)\) […], alors \(g = g'\).

\[\Longrightarrow \quad f(tg) = t\,f(g)\]

le reste du feuillet est blanc, sous trois longs traits horizontaux

Demazure 12.2.70

6

\[\begin{array}{c} T \subset G \\ \subset G' \end{array}\] au-dessus du premier \(\subset\), une flèche rentrante étiquetée \(f\) possibilité de restreindre à un \(G'\)

Ex. \(G' = \mathrm{Cent}_G(Q)\) \(Q =\) sous-tore de \(T\)

à la ligne suivante, « N.B. » suivi de deux mots non lus et de « central »

Si \(Z \subset T\) central dans \(G\), alors […] par passage au quotient, les conditions 1) 2) 3) restent vérifiées (il faut un peu d'attention pour \(3^{\circ}\))

Cas particulier

\(\dim G - \dim T = 1\). \(G\) n'est pas commutatif ; produit \(\frac{1}{2}\) direct donné par […] non trivial (car \(T\) n'est pas central si \(T \neq G\)). « \(\frac{1}{2}\) direct » : semi-direct, son abréviation

On aura \(G = T \cdot G_u\), \(G_u \simeq \mathbf{G}_a\)

Proposition \[\exists\,! \left\{ \begin{array}{l} x_\alpha : \mathbf{G}_a \xrightarrow{\ \sim\ } U \\ \rho_\alpha : \mathbf{G}_m \longrightarrow T \end{array} \right.\] une flèche courbe part de \(T\) et revient sous les deux lignes, étiquetée \(\alpha\) t.q. \[\left\{ \begin{array}{l} t\,x_\alpha(\lambda)\,t^{-1} = x_\alpha\bigl(\alpha(t)\lambda\bigr) \\ f\bigl(x_\alpha(\lambda)\bigr) = \rho_\alpha(1+\lambda) \end{array} \right.\] (\(f\) définie […] \(x_\alpha(\lambda)\) ssi \(1+\lambda\) inversible)

De plus, on aura \[\left\{ \begin{array}{l} \langle \rho_\alpha, \alpha \rangle = 1 \\ H = x_\alpha(1)\,T\,x_\alpha(-1) \qquad (?) \end{array} \right.\] le « (?) » est de sa main

Inversement, si on se donne \(\alpha, \rho_\alpha\) tels que \(\langle \alpha, \rho_\alpha \rangle = 1\), on reconstitue […]

Cas général

\(T \subset G\) \(f\) porté au-dessous, en pointillé \[\mathfrak{g} = \mathfrak{g}_0 + \sum_{\alpha \in R} \mathfrak{g}^{\alpha}, \qquad R \subset \mathrm{Hom}(T, \mathbf{G}_m)\] \[\mathfrak{g}_0 = \mathrm{Lie}\,T \quad (T = \mathrm{Cent}_G T), \qquad \dim \mathfrak{g}^{\alpha} = 1\]

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Soit \(\chi : T \to \mathbf{G}_m\) \[T_\chi = (\mathrm{Ker}\,\chi)^{\circ} \subset T, \qquad Z_\chi = \mathrm{Cent}(T_\chi)\] \(Z_\chi / T_\chi\) a comme tore maximal \(T/T_\chi\) qui […] de dim 1 \[Z_\chi / T_\chi \hookrightarrow \mathrm{Aut}(\mathbf{P}^1) = \mathrm{PGL}(2) \qquad (\text{car } \mathbf{P}^1 \text{ de dim } 1)\] une flèche montante joint cette ligne à « \(\mathrm{Baut}(G/T_\chi)\) », porté au-dessus

4 possibilités, suivant le type de \(\mathrm{PGL}(2)\) […] tore maximal :

• tore maximal : \(Z_\chi = T\)
• […] non-commutatives : \(Z_\chi/T\) de rang 2
• Borel : \(\dim Z_\chi/T = 1\)
• tout : \(Z_\chi\) identifié de rg. […]

en regard du dernier article, encadré : « \(\frac{1}{2}\) […] 1 »

Conclusion Supposons \(\chi \in R\), les deux premières sont exclues.

1. (1)On a \[\left\{ \begin{array}{l} \dim \mathfrak{g}_\alpha = 1 \\ \exists\,! \; x_\alpha : \mathbf{G}_a \longrightarrow Z_\chi \subset G, \quad x_\alpha(\mathbf{G}_a) = U_\alpha, \; \mathrm{Lie}(U_\alpha) = \mathfrak{g}_\alpha \\ \phantom{\exists\,! \;} t\,x_\alpha(\lambda)\,t^{-1} = x_\alpha\bigl(\alpha(t)\lambda\bigr) \\ \rho_\alpha : \mathbf{G}_m \longrightarrow T, \quad f\bigl(x_\alpha(\lambda)\bigr) = \rho_\alpha(1+\lambda), \quad \langle \rho_\alpha, \alpha \rangle = 1 \end{array} \right.\] \[\mathrm{Lie}\,Z_\chi = \mathfrak{g}_0 + \sum_{\beta \in \mathbf{Q}\chi \,\cap\, R} \mathfrak{g}^{\beta}\]
2. (2)Si \(\lambda\alpha \in R\), \(\lambda \neq 1\), alors \(\lambda = -1\) et \(Z_\alpha\) est identifié de 19.SS.1, d'où les 2 sous-groupes de Borel qui \(\supset T\), à savoir \(T\,U_\alpha\) et \(T\,U_{-\alpha}\)

les deux numéros sont cerclés de sa main ; la référence donnée pour \(Z_\alpha\) est de lecture douteuse

une double barre suivie d'une flèche descendante porte, écrit dessus : « SGA 3 XXVI », doublement souligné

\(\exists\) décomposition de Lévi \[G^{\circ} = L \cdot U, \qquad L \supset T\] sous \(L\), appelé par une flèche : « réductif » Les racines de \(L\) sont les \(\alpha \in R\) telles que \(-\alpha \in R\).

8

Cor. [si \(G\) connexe,] \(G^{\circ}\) est engendré par les \(U_\alpha\) et \(T\) (groupe abélien) ; \(f\) est déterminée par la connaissance des \(x_\alpha\), \(\rho_\alpha\)

Th. Si \(\alpha, -\alpha \in R\), \(\exists\, \varphi_\alpha : \mathrm{GL}(2) \longrightarrow G\) tel que \[\varphi_\alpha \begin{pmatrix} 1 & \lambda \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = x_\alpha(\lambda), \qquad \varphi_\alpha \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \lambda & 1 \end{pmatrix} = x_{-\alpha}(\lambda)\] \[\varphi_\alpha \begin{pmatrix} \mu & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \rho_\alpha(\mu), \qquad \varphi_\alpha \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \mu \end{pmatrix} = \rho_{-\alpha}(\mu)\] \[f\left(\varphi_\alpha \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\right) = \rho_\alpha(a+b)\,\rho_{-\alpha}(c+d)\] \[\varphi_\alpha \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \cdot t = t \cdot \rho_\alpha\!\left(a + \frac{b}{\alpha(t)}\right) \rho_{-\alpha}\bigl(c\,\alpha(t) + d\bigr)\]

Obs. Considérons \(\varphi_\alpha \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = w_\alpha\), on trouve \[w_\alpha \cdot t = \struck{\ill{}} \; s_\alpha(t) = t\;\alpha^{*}\bigl(\alpha(t)\bigr)^{-1}, \qquad \alpha^{*} = \rho_\alpha - \rho_{-\alpha}\] sous \(\alpha^{*}\), appelé par un trait : « coracine »

\[\left\{ \begin{array}{l} \text{Si } M = \mathrm{Hom}(T, \mathbf{G}_m), \; \ill{} \text{ syst. de racines de } L \text{ est } \{M, R_s, \; \alpha \mapsto \rho_\alpha - \rho_{-\alpha}\} \\ \phantom{\text{Si } M} R_s = R \cap (-R) \end{array} \right.\] \[\left\{ \begin{array}{l} \mathrm{Norm}_{G^{\circ}}(T) = T \cdot W^{*} \\ W^{*} \text{ engendré par les } w_\alpha \; (\alpha \in R_s), \quad R_s = R \cap (-R) \end{array} \right.\] « \(R \cap (-R)\) » est écrit au-dessous de \(R_s\), relié par un signe d'égalité, aux deux endroits

en marge droite : « NB Ce \(W^{*}\) opère trivialement […] sur \(T\) ! »

\(W^{*}\) opère sur \(T\) […] […] \(R\) et on aura \[\rho_{s_\alpha(\beta)} = s_\alpha(\rho_\beta), \qquad \mathrm{int}(w_\alpha)\,x_\beta = x_{s_\alpha(\beta)}\]

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Proposition Soient \(\alpha, \beta \in R\) ; \(U_\alpha\) et \(U_\beta\) commutent […] \[\rho_\alpha = \rho_\beta \quad \text{ou} \quad \langle \rho_\alpha, \beta \rangle = \langle \rho_\beta, \alpha \rangle = 0\]

Cor 1 \(\rho_\alpha \neq \rho_\beta \Longrightarrow \langle \rho_\alpha, \beta \rangle \leq 0\)

Cor. 2 \(\langle \rho_\alpha, \beta \rangle < 0\), \(\langle \rho_\beta, \alpha \rangle < 0 \Longrightarrow \alpha + \beta = 0\)

Si \(\rho_\alpha \neq \rho_\alpha\)

Cas

• a)\(\rho_\alpha = \rho_\beta\)
• b)\(\alpha + \beta = 0\)
• c)à l'index près, \(\left\{ \begin{array}{l} \langle \rho_\alpha, \beta \rangle = -n \leq 0 \\ \langle \rho_\beta, \alpha \rangle = 0 \end{array} \right.\)

Prop. Dans le cas c) ci-dessus :

1. 1)\(\lambda\alpha + \mu\beta \subset R\), \(\lambda, \mu \in \mathbf{N} \Longrightarrow \lambda\alpha + \mu\beta = \left\{ \begin{array}{l} \alpha \\ \beta + i\alpha \end{array} \right.\) où \(i \leq\) […]
2. 2)Si \(\exists\, 0 \leq i \leq n\), et si \(\binom{n}{i} \neq 0\) dans \(k\), alors \(\beta + i\alpha \in R\) au-dessus : « et \(\rho_{\beta+i\alpha} = \rho_\beta\) »
3. 3)\(x_\alpha(\lambda)\,x_\beta(\mu)\,x_\alpha(-\lambda) = \prod_i x_{\beta + i\alpha}\left(\pm \binom{n}{i} \lambda^{i} \mu\right)\)

\[[X_\alpha, X_\beta] = \bigl(\langle \rho_\alpha, \beta \rangle - \langle \rho_\beta, \alpha \rangle\bigr) X_{\alpha+\beta} \qquad \text{si } \alpha + \beta \neq 0\] de plus \[[X_\alpha, X_{-\alpha}] = \rho_\alpha - \rho_{-\alpha}\]

NB Toutes les formules à coeff. \(\in \mathbf{Z}\).

Th. de conjugaison Deux sous-groupes \(G\), \(G' \supset T\) de \(\mathrm{Cr}_{n,k}\), […] \(G\), \(G'\) connexes, avec les mêmes […] \(R\) et \(\rho\), sont conjugués dans \(\mathrm{Cr}_{n,k}\) […]

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Syst. d'Enriques

\(M\), \(M^{*}\), \(R \subset M\), \(\rho : R \longrightarrow M^{*}\)

1. 1)\(R\) fini
2. 2)\(\langle \rho_\alpha, \alpha \rangle = 1\) \(\forall\, \alpha \in R\)
3. 3)\(\rho_\alpha \neq \rho_\beta \Longrightarrow \langle \rho_\alpha, \beta \rangle \leq 0\)
4. 4)\(\langle \rho_\alpha, \beta \rangle < 0\), \(\langle \rho_\beta, \alpha \rangle < 0 \Longrightarrow \alpha + \beta = 0\)
5. 5)Si \(\rho_\alpha \neq \rho_\beta\), \(\langle \rho_\beta, \alpha \rangle = 0\), alors \(\beta + i\alpha \in R\) dès que \(\binom{n}{i} \neq 0\) dans \(k\) (\(0 \leq i \leq n\))

un gribouillis biffé précède le numéro 5)

Th. d'existence On trouve tous les syst. d'Enriques.