Introduction

\begin{array}{ll} \mathbf{P}_1 \times \mathbf{P}_1 & \mathrm{PGL}_2 \times \mathrm{PGL}_2 \\[2pt] \mathbf{P}_2 & \mathrm{PGL}_3 \\[2pt] F_n \quad n \geq 2 & \bigl(\mathrm{GL}(2)\cdot \Gamma(\mathcal{O}(n))\bigr)/\mu_n \end{array} \qquad \begin{array}{l} (F_0 = \mathbf{P}_1 \times \mathbf{P}_1) \\[2pt] (F_1 = \mathbf{P}_2 \text{ éclaté}) \end{array}

le chiffre après \geq est surchargé ; on lit 2, lecture que les deux parenthèses de droite appellent. Après \mathrm{PGL}_3 une parenthèse contient un mot raturé. La troisième ligne de droite est écrite par-dessus une première rédaction : le facteur \mathrm{GL}(2) est repassé, et la parenthèse fermante est doublée

Th. (Enriques) tout sous-groupe de \mathrm{Cr}_2, algébrique linéaire connexe, est \subset un des précédents : à conjugaison près

Cor.

structure réductive de type A_n ils sont définis sur \mathbf{Z} sont des groupes d'automorphismes de variétés très simples, proj. et lisses (opérant avec orbites ouvertes) tores de rang 2

le premier article porte « structure » écrit au-dessus d'un mot biffé, et « type » est souligné ; les quatre articles sont pris dans une accolade

On va généraliser à la dimension n, sauf difficultés liées aux tores maximaux ; ou si on prend les s.-gpes de rang maximum

Sorites

(Cas X lisse séparé /S) un mot est inséré au-dessus de la barre oblique, non lu

Pseudo-morphismes, pseudo-isomorphismes (bel/S) l'abréviation entre parenthèses n'est pas résolue ; les lettres se lisent « bel », le tout suivi de « /S »

Pseudo-automorphismes \mathrm{Psaut}_S(X), \quad \mathrm{Baut}_S(X) \mathrm{Psaut}_k(K) ; \qquad \mathrm{Cr}_{n,k} = \mathrm{Baut}_k\bigl(k[t_1,\ldots,t_n]\bigr) \mathrm{Psaut}_k(K)(k) \simeq \mathrm{Aut}_k(K)^{\circ}, \qquad \mathrm{Lie}\bigl(\mathrm{Baut}_k(K)\bigr) \simeq \mathrm{Der}_k(K)^{\circ}

« Baut » est souligné à chacune de ses occurrences, « Psaut » ne l'est pas

Proposition Section unité de \mathrm{Baut}_S(X) immersion fermée dans chacun des 2 cas

a)S artinien b)fibres irréductibles « (géom.) » ajouté au-dessous, appelé par un signe d'insertion

Cor. G \longrightarrow \mathrm{Baut}_S(X) au-dessus de la flèche : « hom. de gp. » ; au-dessous du G : « schéma en groupes » alors le noyau est un sa réduction un groupe fermé

Prop. X courbe irréductible propre, S loc. noeth. normal, \mathrm{Baut}_S(X) tout ce bloc est biffé ; à sa droite, cerné d'un trait et appelé par une flèche, un ajout dont on lit « dans le corps »

Lemme G \longrightarrow \mathrm{Baut}_k(X), X courbe lisse propre au-dessous du G : « schéma en groupes » sur k, il se factorise par \mathrm{Baut} \mathrm{Aut}_k(X).

bien corps k, et X t.f. (/k). Que signifie G \longrightarrow \mathrm{Psaut}_k(X) \; ? au-dessous de la flèche : « schéma en groupes lisse de t.f. ». Les deux mots qui suivent le X ne sont pas lus

G \times X \dashrightarrow X ouvert de définition U (un ouvert de G \times X, en général e \times X)

(PO 1) pr. et op. dominants

(PO 2) associativité

\begin{tikzcd}[column sep=large] G \times G \times X \arrow[r, "u_a \times X"] \arrow[d, "G \times \varphi"'] & G \times X \arrow[d, "\varphi"] \\ G \times X \arrow[r, dashed] & X \end{tikzcd}

l'étiquette de la flèche du haut est de lecture douteuse : on lit « u_a \times X »

\left. \begin{array}{l} g, h \in G(S) \\ x \in X(S) \end{array} \right\} \quad \begin{array}{l} h \cdot x \text{ défini} \\ g(h \cdot x) \text{ défini} \end{array} \;\Longrightarrow\; \bigl(gh \cdot x \text{ défini et égal à } g(h\,x)\bigr)

\exists\, N \subset G (= \ker u) tel que G/N \hookrightarrow \mathrm{Baut}_k(X). un mot inséré au-dessus d'un mot biffé, à la fin de l'avant-dernière ligne, n'est pas lu

\begin{tikzcd} G \times X \arrow[r, dashed] & X \times X \\ U \arrow[u, hook] & \\ F \arrow[u, hook] \arrow[r] & X \arrow[uu] \end{tikzcd}

Opération rigidifiée si F \to X fid. plat

Prop. Si l'opération est rigidifiée, F_X est un sous-schéma en groupes de G_X.

Cor. N = le plus grand sous-schéma en groupes constant de F_X.

Pseudo-opération (pseudo-)transitive si G \times X \to X \times X dominant

(dans le cas d'une vraie opération, cela signifie qu'il y a une (unique) orbite dense)

Proposition Si G est pseudo-transitif sur X, X est pseudo-isomorphe à un espace homogène.

Sous-tores de \mathrm{Cr}_{n,k}

Prop. Soit T tore (déployé) qui pseudo-opère de façon rigidifiée, (X irréductible). Alors F = e \times X

Cor. 1 \dim T \leq \dim X, égalité \Longleftrightarrow pseudo-transitivité sous « égalité » : « T déployé » ; sous « pseudo-transitivité », souligné : torseurs sous

Cor. 2 Supposons \dim T = \dim X, alors X \simeq T (à pseudo-isomorphisme près)

Cor. 3 X irréductible, conditions équivalentes

a)X rationnel b)\mathrm{Psaut}(X) \simeq \mathrm{Cr}_{n,k} c)\mathrm{Psaut}(X) \supset T tore de dim n

Cor. 4 Les tores déployés de dim n de \mathrm{Cr}_{n,k} sont conjugués.

Cor. 5 Ils sont maximaux, ils sont leurs propres , et le normalisateur est un groupe lisse, et N/T \simeq \mathrm{Aut}_{\mathrm{gp}}(T).

Cor. 6 T est un tore maximal de \mathrm{Cr}_{n,k}

Proposition T déployé, X irréductible, pseudo-opération pseudo fidèle. Alors X \dashrightarrow T \times Y, où Y est irréductible (quelconque) : pseudo-isomorphisme.

Cor. 1 Soient 0 \leq d \leq n. Conditions équivalentes

a)\mathrm{Im}\ \mathbf{G}_m^d \subset \mathrm{Cr}_{n,k} contenu dans un b) extension K/k de deg. tr. d, et K[t_1,\ldots,t_{n-d}] pure, pure (« Lüroth »). [NB OK si d = 0, d = 1, d = 2 en regard : « car. nulle » (Castelnuovo). d = n en regard : « k alg. clos ». Marche si n \leq 3]

Pb. Classifier les G alg. lisses \subset \mathrm{Cr}_{n,k} qui contiennent un tore déployé de dimension n.

Th. de structure On se fixe T, et T \subset G \subset \mathrm{Baut}(T) L'opération de G est transitive. On veut exprimer homogène X sous G, de dimension n, de telle façon que T opère fidèlement avec une orbite ouverte

Utilisant , on aura \begin{array}{c} T \subset G \\ \cup \\ H \end{array} \qquad \left\{ \begin{array}{l} T \times H \longrightarrow G \quad \text{immersion ouverte} \\ \struck{\ill{}} \quad \bigcap \text{ conjugués de } H = e \end{array} \right.

On aura pseudo-explicitement G \dashrightarrow T, \qquad (g, t) \mapsto f(gt) le f est porté au-dessus de la flèche pointillée ; au-dessous de cette ligne, sans liaison explicite : « t\,f(t^{-1}\,g\,t) »

[pseudo-opération ]

Axiomes sur f 1)f(gg') = f\bigl(g\,f(g')\bigr) (si f(g') est défini, les 2 sens le sont simultanément) 2)f définie en tt pt de T, et y induit l'identité 3)Si g, g' \in G(S), et f(gt) = f(g't) , alors g = g'.

\Longrightarrow \quad f(tg) = t\,f(g)

le reste du feuillet est blanc, sous trois longs traits horizontaux

Cas particulier

\dim G - \dim T = 1. G n'est pas commutatif ; produit \frac{1}{2} direct donné par non trivial (car T n'est pas central si T \neq G). « \frac{1}{2} direct » : semi-direct, son abréviation

On aura G = T \cdot G_u, G_u \simeq \mathbf{G}_a

Proposition \exists\,! \left\{ \begin{array}{l} x_\alpha : \mathbf{G}_a \xrightarrow{\ \sim\ } U \\ \rho_\alpha : \mathbf{G}_m \longrightarrow T \end{array} \right. une flèche courbe part de T et revient sous les deux lignes, étiquetée \alpha t.q. \left\{ \begin{array}{l} t\,x_\alpha(\lambda)\,t^{-1} = x_\alpha\bigl(\alpha(t)\lambda\bigr) \\ f\bigl(x_\alpha(\lambda)\bigr) = \rho_\alpha(1+\lambda) \end{array} \right. (f définie x_\alpha(\lambda) ssi 1+\lambda inversible)

De plus, on aura \left\{ \begin{array}{l} \langle \rho_\alpha, \alpha \rangle = 1 \\ H = x_\alpha(1)\,T\,x_\alpha(-1) \qquad (?) \end{array} \right. le « (?) » est de sa main

Inversement, si on se donne \alpha, \rho_\alpha tels que \langle \alpha, \rho_\alpha \rangle = 1, on reconstitue

Cas général

T \subset G f porté au-dessous, en pointillé \mathfrak{g} = \mathfrak{g}_0 + \sum_{\alpha \in R} \mathfrak{g}^{\alpha}, \qquad R \subset \mathrm{Hom}(T, \mathbf{G}_m) \mathfrak{g}_0 = \mathrm{Lie}\,T \quad (T = \mathrm{Cent}_G T), \qquad \dim \mathfrak{g}^{\alpha} = 1

Soit \chi : T \to \mathbf{G}_m T_\chi = (\mathrm{Ker}\,\chi)^{\circ} \subset T, \qquad Z_\chi = \mathrm{Cent}(T_\chi) Z_\chi / T_\chi a comme tore maximal T/T_\chi qui de dim 1 Z_\chi / T_\chi \hookrightarrow \mathrm{Aut}(\mathbf{P}^1) = \mathrm{PGL}(2) \qquad (\text{car } \mathbf{P}^1 \text{ de dim } 1) une flèche montante joint cette ligne à « \mathrm{Baut}(G/T_\chi) », porté au-dessus

4 possibilités, suivant le type de \mathrm{PGL}(2) tore maximal :

tore maximal : Z_\chi = T non-commutatives : Z_\chi/T de rang 2 Borel : \dim Z_\chi/T = 1 tout : Z_\chi identifié de rg.

en regard du dernier article, encadré : « \frac{1}{2} 1 »

Conclusion Supposons \chi \in R, les deux premières sont exclues.

(1)On a \left\{ \begin{array}{l} \dim \mathfrak{g}_\alpha = 1 \\ \exists\,! \; x_\alpha : \mathbf{G}_a \longrightarrow Z_\chi \subset G, \quad x_\alpha(\mathbf{G}_a) = U_\alpha, \; \mathrm{Lie}(U_\alpha) = \mathfrak{g}_\alpha \\ \phantom{\exists\,! \;} t\,x_\alpha(\lambda)\,t^{-1} = x_\alpha\bigl(\alpha(t)\lambda\bigr) \\ \rho_\alpha : \mathbf{G}_m \longrightarrow T, \quad f\bigl(x_\alpha(\lambda)\bigr) = \rho_\alpha(1+\lambda), \quad \langle \rho_\alpha, \alpha \rangle = 1 \end{array} \right. \mathrm{Lie}\,Z_\chi = \mathfrak{g}_0 + \sum_{\beta \in \mathbf{Q}\chi \,\cap\, R} \mathfrak{g}^{\beta} (2)Si \lambda\alpha \in R, \lambda \neq 1, alors \lambda = -1 et Z_\alpha est identifié de 19.SS.1, d'où les 2 sous-groupes de Borel qui \supset T, à savoir T\,U_\alpha et T\,U_{-\alpha}

les deux numéros sont cerclés de sa main ; la référence donnée pour Z_\alpha est de lecture douteuse

une double barre suivie d'une flèche descendante porte, écrit dessus : « SGA 3 XXVI », doublement souligné

\exists décomposition de Lévi G^{\circ} = L \cdot U, \qquad L \supset T sous L, appelé par une flèche : « réductif » Les racines de L sont les \alpha \in R telles que -\alpha \in R.

Cor. si G connexe, G^{\circ} est engendré par les U_\alpha et T (groupe abélien) ; f est déterminée par la connaissance des x_\alpha, \rho_\alpha

Th. Si \alpha, -\alpha \in R, \exists\, \varphi_\alpha : \mathrm{GL}(2) \longrightarrow G tel que \varphi_\alpha \begin{pmatrix} 1 & \lambda \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = x_\alpha(\lambda), \qquad \varphi_\alpha \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \lambda & 1 \end{pmatrix} = x_{-\alpha}(\lambda) \varphi_\alpha \begin{pmatrix} \mu & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \rho_\alpha(\mu), \qquad \varphi_\alpha \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \mu \end{pmatrix} = \rho_{-\alpha}(\mu) f\left(\varphi_\alpha \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\right) = \rho_\alpha(a+b)\,\rho_{-\alpha}(c+d) \varphi_\alpha \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \cdot t = t \cdot \rho_\alpha\!\left(a + \frac{b}{\alpha(t)}\right) \rho_{-\alpha}\bigl(c\,\alpha(t) + d\bigr)

Obs. Considérons \varphi_\alpha \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = w_\alpha, on trouve w_\alpha \cdot t = \struck{\ill{}} \; s_\alpha(t) = t\;\alpha^{*}\bigl(\alpha(t)\bigr)^{-1}, \qquad \alpha^{*} = \rho_\alpha - \rho_{-\alpha} sous \alpha^{*}, appelé par un trait : « coracine »

\left\{ \begin{array}{l} \text{Si } M = \mathrm{Hom}(T, \mathbf{G}_m), \; \ill{} \text{ syst. de racines de } L \text{ est } \{M, R_s, \; \alpha \mapsto \rho_\alpha - \rho_{-\alpha}\} \\ \phantom{\text{Si } M} R_s = R \cap (-R) \end{array} \right. \left\{ \begin{array}{l} \mathrm{Norm}_{G^{\circ}}(T) = T \cdot W^{*} \\ W^{*} \text{ engendré par les } w_\alpha \; (\alpha \in R_s), \quad R_s = R \cap (-R) \end{array} \right. « R \cap (-R) » est écrit au-dessous de R_s, relié par un signe d'égalité, aux deux endroits

en marge droite : « NB Ce W^{*} opère trivialement sur T ! »

W^{*} opère sur T R et on aura \rho_{s_\alpha(\beta)} = s_\alpha(\rho_\beta), \qquad \mathrm{int}(w_\alpha)\,x_\beta = x_{s_\alpha(\beta)}

Proposition Soient \alpha, \beta \in R ; U_\alpha et U_\beta commutent \rho_\alpha = \rho_\beta \quad \text{ou} \quad \langle \rho_\alpha, \beta \rangle = \langle \rho_\beta, \alpha \rangle = 0

Cor 1 \rho_\alpha \neq \rho_\beta \Longrightarrow \langle \rho_\alpha, \beta \rangle \leq 0

Cor. 2 \langle \rho_\alpha, \beta \rangle < 0, \langle \rho_\beta, \alpha \rangle < 0 \Longrightarrow \alpha + \beta = 0

Si \rho_\alpha \neq \rho_\alpha

Cas

a)\rho_\alpha = \rho_\beta b)\alpha + \beta = 0 c)à l'index près, \left\{ \begin{array}{l} \langle \rho_\alpha, \beta \rangle = -n \leq 0 \\ \langle \rho_\beta, \alpha \rangle = 0 \end{array} \right.

Prop. Dans le cas c) ci-dessus :

1)\lambda\alpha + \mu\beta \subset R, \lambda, \mu \in \mathbf{N} \Longrightarrow \lambda\alpha + \mu\beta = \left\{ \begin{array}{l} \alpha \\ \beta + i\alpha \end{array} \right. où i \leq 2)Si \exists\, 0 \leq i \leq n, et si \binom{n}{i} \neq 0 dans k, alors \beta + i\alpha \in R au-dessus : « et \rho_{\beta+i\alpha} = \rho_\beta » 3)x_\alpha(\lambda)\,x_\beta(\mu)\,x_\alpha(-\lambda) = \prod_i x_{\beta + i\alpha}\left(\pm \binom{n}{i} \lambda^{i} \mu\right)

[X_\alpha, X_\beta] = \bigl(\langle \rho_\alpha, \beta \rangle - \langle \rho_\beta, \alpha \rangle\bigr) X_{\alpha+\beta} \qquad \text{si } \alpha + \beta \neq 0 de plus [X_\alpha, X_{-\alpha}] = \rho_\alpha - \rho_{-\alpha}

NB Toutes les formules à coeff. \in \mathbf{Z}.

Th. de conjugaison Deux sous-groupes G, G' \supset T de \mathrm{Cr}_{n,k}, G, G' connexes, avec les mêmes R et \rho, sont conjugués dans \mathrm{Cr}_{n,k}

Syst. d'Enriques

M, M^{*}, R \subset M, \rho : R \longrightarrow M^{*}

1)R fini 2)\langle \rho_\alpha, \alpha \rangle = 1 \forall\, \alpha \in R 3)\rho_\alpha \neq \rho_\beta \Longrightarrow \langle \rho_\alpha, \beta \rangle \leq 0 4)\langle \rho_\alpha, \beta \rangle < 0, \langle \rho_\beta, \alpha \rangle < 0 \Longrightarrow \alpha + \beta = 0 5)Si \rho_\alpha \neq \rho_\beta, \langle \rho_\beta, \alpha \rangle = 0, alors \beta + i\alpha \in R dès que \binom{n}{i} \neq 0 dans k (0 \leq i \leq n)

un gribouillis biffé précède le numéro 5)

Th. d'existence On trouve tous les syst. d'Enriques.