Cote n° 22 · batch 2 · pages 21–29 · Transcription · [EGA IV]. [Chapitre] 0 IV. Cohen, différentielles, algèbres formellement simples (Compléments) : tirés à part (1963), tapuscrit annoté (s.d.), notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : 1963-[vers 1967]
Édition de démonstration

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21loc. artin. complets, \(A\) séparé […] […] […] pour la topologie habituelle, alors \(A\) est-il \(=\) […] […] pour la topologie discrète ??? les premières lignes du feuillet sont une question qu'il se pose à lui-même ; elles ne se laissent lire qu'en partie, et « loc. artin. complets » est écrit en interligne au-dessus de la ligne

1°) Cas \(p = 0\). On se ramène au cas où \(k\) est le corps premier […] […] […] […] \(K/k\) une extension, \(K/k\) l'ex. considérée.

2°) Cas \(p \geq 0\) Alors on a \(A \simeq K[[t_1,\dots,t_n]]\), \(K/k\) une extension séparable. […] […] \(k\), il […] […] que \(A\) […] sur \(K\).

Supposons que \(K/k\) admet une p-base […] \(K\) est parfait, alors

3°) Cas \(p > 0\). Alors \(A\) est une […] […], i.e. […] \((t_1,\dots,t_n)\) […] \(A\), ayant une p-base sur \(K\), […] […]

\(\Omega_{K/k}\) est libre sur \(K\).

p-base de \(A\) sur \(k\). Il me semble si \(K\) est fini sur \(K^{p}\), on prend une p-base \((x_1,\dots,x_n)\) de \(K\), et on y ajoute \(t_1,\dots,t_n\). Vu la complétion pour les \(t_i\), on trouve une p-base de \(A\) sur \(k\), et \(k(A^{p} \simeq \uncertain{K} \otimes_{K^{p}} A^{p}\). la parenthèse ouverte après \(k\) n'est pas refermée sur le feuillet ; le terme après \(\simeq\) est repassé et ne se lit pas avec certitude [cf. « Diff »]. Donc dans ce cas […] […] le renvoi vise le feuillet de couverture « Différentielles » qui ouvre la section suivante, quatre pages plus loin

223°) Cas contraire. Je suis pessimiste.

1°) Cas \(p = 0\). […] […] \(k[[t]]\) sur \(k\), […] […] […] […] Je présume que de dim \(A \geq 0\), \(A\) n'est jamais formellement lisse sur \(k\) pour la topologie discrète.

Donc, dans les cas défavorables, je cherche […] qu'il y a […] […] naturellement un corps […] [Cf. […] […] […] […] […]].

\[\Omega^{1}_{k} \otimes_{k} A \longrightarrow \Omega^{1}_{A}\] […] être un iso ?, pourquoi ?

Supposons […] \(\Omega_{k}\) \(k = \mathbf{Q}((x_i))\) \(k_0 = \mathbf{Q}\)

\(A = k[[t]]\), \(\Omega_{k} \otimes_{k} A \simeq A^{(I)} \subsetneq \prod_{i} A\,dx_i\), le symbole de produit est écrit par-dessus une rature […] cherchons \(A \xrightarrow{\;D\;} \Omega_{k} \otimes_{k} A\), qui soit donnée sur la base \[D(x_i) = 1/\alpha\; x_i .\] la lettre au dénominateur est une seule lettre, lue \(\alpha\) sans certitude ; elle revient deux lignes plus bas Si l'on a une telle \(D\), alors \(D(a)\) […] […] combinaison linéaire finie de certains \(1/\alpha\, x_i\), \(i \in J\), […] et posant \(\mathbf{Q}\) par \(k_0 = \mathbf{Q}((x_i : i \in J))\), […] […] pour […] que \(dt = 0\). […]

23Proposition. Soient \(k\) un corps, \(K\) une extension telle que \(\Omega_{K/k}\) soit de dim finie sur \(K\), et \(A = K[[t_1,\dots,t_n]]\) […] de dim finie sur \(K\), […] \(K\), […] \(n \geq 0\). Alors \(A\), […] […] […] discret, […] […] […] sur \(K\) rel. […] ; \(k\), et […] : donc […] […] […] l'énoncé est écrit d'un trait, sans reprise, et sa moitié droite ne se laisse pas lire ; ce qui est sûr est l'hypothèse — \(\Omega_{K/k}\) de dimension finie sur \(K\) — et l'anneau \(A = K[[t_1,\dots,t_n]]\)

Je […] pour […] que l'[…] \[\Omega_{K/k} \otimes_{K} A \longrightarrow \Omega_{A/k}\] […] par […] : quotients, i.e. […] […] distinct. […] \[D : A \longrightarrow \Omega_{K/k} \otimes_{K} A\] […] induisant \(d_{K/k} \otimes_{K} A\). […] une telle \(D\), […] […] […] que les \(D(t_i)\) soient dans […] […] \(V \otimes_{K} A\), avec \(V \subset \Omega_{K/k}\) […] […] […] il existe […] […] sous-corps \(K'\) de \(k\), […] […] […] de type fini […] \(I \subset \Omega_{K'/K} \otimes_{K} A\), […] \(\Omega_{K/k} \otimes_{K} A\) […] […] […] contenue dans type fini, […] […] […] \(dt_i\) […] […] […] \(A\), donc […] […] […] […] l'hypothèse ! tout le bas du feuillet est un palimpseste rapide ; seuls les objets nommés — \(V\), \(K'\), les \(D(t_i)\) — se laissent relever

24[…] \(D t_i = 0\). […] Prenons […] base […] \(\Omega_{K/k}\) […] \(K\), […] \((\omega_i)_{i \in I}\), donc \(\Omega_{K/k} \otimes_{K} A = A^{(I)} \subset A^{I}\). En […] […] […] […] \(A^{I}\), \(D\) est donnée […] […] […], \(D_i\), […] […] […] uniquement déterminé […] \[D\Big(\sum_{\lambda} a_{\lambda} t^{\lambda}\Big) \;=\; \sum_{\lambda} d_{K/k}(a_{\lambda})\, t^{\lambda} .\] le \(d\) du membre de droite est repassé plusieurs fois

Il veut […] […] qui […] […] […] \(t = \sum a_{\lambda} t^{\lambda}\) […] […] […] \((D\varphi)_{\lambda \in I}\) […] \(\notin A^{(I)}\). Je […] Choisissons […] […] \(D(a_{\lambda})\) […] […] […] \(i_0, i_1, \dots, i_{\ill{}}\) […] \(i\), telle que […] […] d'où […] \(D_{i_n}(a_n) \neq 0\) […] […] […] […] \(a_n \in K\) […] […] que \(d_{K/k}\, a_n \neq 0\)) il […] […] […] prendre \[f = \sum a_n t^{n} . \qquad \dots\] le feuillet s'arrête sur cette construction : la suite du contre-exemple n'est pas sur la page

Différentielles

le mot est de sa main, souligné, seul en haut à droite du feuillet 25, autrement blanc : c'est une couverture pour ce qui suit, et c'est à elle que renvoie le « cf. "Diff" » du feuillet 21. Le feuillet ne porte rien d'autre et ne reçoit pas de page

26Remarque Soient […]

\begin{tikzcd}
k \arrow[r] \arrow[d, no head] & K \arrow[d, no head] \\
k' = k \cap K^{p} \arrow[r, no head] & K^{p}
\end{tikzcd}

les deux traits verticaux et le trait du bas sont sans pointe sur le feuillet ; seule la flèche du haut en porte une

dans […] il […] […] \(\gamma\) de \(k\) provenant [dans \(K\)] être principalement […] \(k \cap K^{p}\), et les crochets d'ajout marquent ici, et une fois encore au feuillet 28, un ajout de sa main porté en interligne, non une addition de l'éditeur […] ([…] \(K^{p}\), […] […] […] i.e. \(d_{k/k'}\, x\) et \(d_{K/k'}\, \gamma\) proviennent de […] indiqués, […] […] […] […] \(d_{K/K^{p}}\, x\) et \(d_{K/K^{p}}\, \gamma\) […] […] ; […] […] […] […] injection, \[\Omega^{1}_{k/k \cap K^{p}} \otimes_{k} K \longrightarrow \Omega^{1}_{K}\] […] […] […] […] injectif, […] \[\Omega^{1}_{k \cap K^{p}} \otimes_{k \cap K^{p}} K \to \Omega^{1}_{k} \otimes_{k} K \to \Omega^{1}_{K}\] le second \(K\) de cette suite est biffé sur le feuillet […] […] l'existence dessus […] […] il […] […] avoir […] \(N_{K/k}\) […] \[\Omega_{k} \otimes_{k} K \longrightarrow \Omega_{K}\] […] […] […] \(d x \otimes 1\) (\(x \in k \cap K^{p}\)).

N.B. […] […] Voici un contre-exemple. […] \(N_{K/k}\) […] […] […] Prenons […] […] […] premier […] […] […] […] les […] déterminations […]

\(K^{p} = \mathbf{F}(x^{p}, y^{p}, (a_i))\) \(K = \mathbf{F}(x, y, (a_i))_{i \geq 1}\)

N.B. \(a\) et \((a_i)_{1 \leq i \leq p-1}\) […] […] alg. […] […] \(\mathbf{F}\)

\[\begin{cases} a_0 = y - \sum_{1}^{p-1} a_i x^{i} \\ a = x^{p} \end{cases} \qquad \text{d'où} \qquad y = \sum_{0}^{p-1} a_i x^{i}\] \((1 \leq i \leq p-1)\) \[K^{p} = \mathbf{F}(a, a_0, \dots, a_p) = \struck{\mathbf{F}(\alpha, x^{p}, y - \alpha x)}\; \mathbf{F}\Big(x^{p}, a_1, \dots, a_{p-1},\, y - \sum_{1}^{p-1} a_i x^{i}\Big)\] la première expression du membre de droite est biffée et remplacée par la seconde, écrite au-dessus \[\struck{K = \mathbf{F}\big(\alpha^{1/p}, x, (y - \alpha x)^{1/p}\big)} \qquad \text{i.e.} \qquad K = \mathbf{F}\big(x, a_1^{1/p}, \dots, a_{p-1}^{1/p}, \ill{}\big)\] \(\mathbf{F}(x,y)\) [N.B. \(x, y \in K\), […] \(y = \alpha x + \beta \in k\), […] \(k \subset K\) […] le crochet ouvert de ce N.B. n'est pas refermé : la fin de la ligne se perd dans le bas du feuillet

28[…] […] \(x, y \notin\) […] Voir […] […], […] \(x \in K\), \(x \notin K^{p}\), […] (cf. le N.B. précédent) \(y \notin K^{p}\), \(y \in K^{p}(x)\), donc […] les \(a_i\) […] […] […] […] […] \(\in K^{p}\). Comme \(x \notin K^{p}\), […] […] \(y = \sum_{0}^{p-1} a_i x^{i}\). \(y = \alpha x + \beta\). Évident

[…] \(x\,y \in K^{p} \cap k\), […] \(x \notin K^{p} \cap k\), mais bien […] […] […] \(\cap\, k\), si donc \((x,y)\) n'était […] […] \(K^{p} \cap k\), […] […] […] \(y = \sum_{0}^{p-1} a_i x^{i}\), les \(a_i \in K^{p} \cap k\), donc […] […] les \(a'_i = a_i\), […] […] donc \(a_i \in k = \mathbf{F}(x,y)\), absurde.

N.B. Condition isomorphes […] \[\begin{cases} (x,y) \;\text{p-libre sur}\; \ill{} \\ \ill{}\; \lambda \notin \mathbf{F}(x,y) \end{cases}\] Je voudrais […] exemple \(\lambda = \mathbf{F}(a_1, \dots, a_{p-1})\), et […] (par \(x, y\) […] \(\mathbf{F}(x,y)\) […] […]) […] par […] […] \(\lambda\) […] \(a_i\) […] […] \(\mathbf{F}(x,y,a)\), […] \[\lambda = \mathbf{F}(a_1, \dots, a_{p-1})\] Prenons \(x, y, a_1, \dots, a_{p-1}\) alg. indép. sur \(\mathbf{F}_0\) [et prendre] \(a_i = 0\) pour \(2 \leq i \leq p-1\).

[…] […] […] […] […] Bien entendu, \(\mathbf{F}\) peut […] […] peut aussi […] être un corps fini […] […] […] […] \(x, y\) alg. indép. sur \(\mathbf{F}\), […] et \(a_1\) […] sur \(\mathbf{F}\), \(a_1 \notin \mathbf{F}\), […] \(K\) […] obtenu […] […] […] […] (\(y - \alpha x\)) […] \(k(b)\), où \(b\) […] […] \(\mathbf{F}\) \([\,b = a^{1/p}\,]\).