Fonds Grothendieck, cote n° 22, pages 21–29

loc. artin. complets, A séparé pour la topologie habituelle, alors A est-il = pour la topologie discrète ??? les premières lignes du feuillet sont une question qu'il se pose à lui-même ; elles ne se laissent lire qu'en partie, et « loc. artin. complets » est écrit en interligne au-dessus de la ligne

1°) Cas p = 0. On se ramène au cas où k est le corps premier K/k une extension, K/k l'ex. considérée.

2°) ~~Cas p \geq 0~~ Alors on a A \simeq K[[t_1,\dots,t_n]], K/k une extension séparable. k, il que A sur K.

Supposons que K/k admet une p-base ~~K est parfait, alors~~

3°) Cas p > 0. ~~Alors A est une~~ , i.e. (t_1,\dots,t_n) A, ayant une p-base sur K,

\Omega_{K/k} est libre sur K.

p-base de A sur k. Il me semble si K est fini sur K^{p}, on prend une p-base (x_1,\dots,x_n) de K, et on y ajoute t_1,\dots,t_n. Vu la complétion pour les t_i, on trouve une p-base de A sur k, et k(A^{p} \simeq \uncertain{K} \otimes_{K^{p}} A^{p}. la parenthèse ouverte après k n'est pas refermée sur le feuillet ; le terme après \simeq est repassé et ne se lit pas avec certitude [cf. « Diff »]. Donc dans ce cas le renvoi vise le feuillet de couverture « Différentielles » qui ouvre la section suivante, quatre pages plus loin

~~3°)~~ Cas contraire. Je suis pessimiste.

1°) Cas p = 0. k[[t]] sur k, Je présume que de dim A \geq 0, A n'est jamais formellement lisse sur k pour la topologie discrète.

Donc, dans les cas défavorables, je cherche qu'il y a naturellement un corps [Cf. ].

\Omega^{1}_{k} \otimes_{k} A \longrightarrow \Omega^{1}_{A} ~~être un iso ?, pourquoi ?~~

Supposons ~~\Omega_{k}~~ k = \mathbf{Q}((x_i)) ~~k_0 = \mathbf{Q}~~

A = k[[t]], \Omega_{k} \otimes_{k} A \simeq A^{(I)} \subsetneq \prod_{i} A\,dx_i, le symbole de produit est écrit par-dessus une rature cherchons A \xrightarrow{\;D\;} \Omega_{k} \otimes_{k} A, qui soit donnée sur la base D(x_i) = 1/\alpha\; x_i . la lettre au dénominateur est une seule lettre, lue \alpha sans certitude ; elle revient deux lignes plus bas Si l'on a une telle D, alors D(a) combinaison linéaire finie de certains 1/\alpha\, x_i, i \in J, et posant \mathbf{Q} par k_0 = \mathbf{Q}((x_i : i \in J)), pour que dt = 0.

Proposition. Soient k un corps, K une extension telle que \Omega_{K/k} soit de dim finie sur K, et A = K[[t_1,\dots,t_n]] de dim finie sur K, K, n \geq 0. Alors A, discret, sur K rel. ; k, et : donc l'énoncé est écrit d'un trait, sans reprise, et sa moitié droite ne se laisse pas lire ; ce qui est sûr est l'hypothèse — \Omega_{K/k} de dimension finie sur K — et l'anneau A = K[[t_1,\dots,t_n]]

Je pour que l' \Omega_{K/k} \otimes_{K} A \longrightarrow \Omega_{A/k} par : quotients, i.e. distinct. D : A \longrightarrow \Omega_{K/k} \otimes_{K} A induisant d_{K/k} \otimes_{K} A. une telle D, que les D(t_i) soient dans V \otimes_{K} A, avec V \subset \Omega_{K/k} il existe sous-corps K' de k, de type fini I \subset \Omega_{K'/K} \otimes_{K} A, \Omega_{K/k} \otimes_{K} A contenue dans type fini, dt_i A, donc l'hypothèse ! tout le bas du feuillet est un palimpseste rapide ; seuls les objets nommés — V, K', les D(t_i) — se laissent relever

D t_i = 0. Prenons base \Omega_{K/k} K, (\omega_i)_{i \in I}, donc \Omega_{K/k} \otimes_{K} A = A^{(I)} \subset A^{I}. En A^{I}, D est donnée , D_i, uniquement déterminé D\Big(\sum_{\lambda} a_{\lambda} t^{\lambda}\Big) \;=\; \sum_{\lambda} d_{K/k}(a_{\lambda})\, t^{\lambda} . le d du membre de droite est repassé plusieurs fois

Il veut qui t = \sum a_{\lambda} t^{\lambda} (D\varphi)_{\lambda \in I} \notin A^{(I)}. Je Choisissons ~~D(a_{\lambda})~~ i_0, i_1, \dots, i_{\ill{}} i, ~~telle que~~ d'où ~~D_{i_n}(a_n) \neq 0~~ a_n \in K que ~~d_{K/k}\, a_n \neq 0)~~ il prendre f = \sum a_n t^{n} . \qquad \dots le feuillet s'arrête sur cette construction : la suite du contre-exemple n'est pas sur la page

Différentielles

le mot est de sa main, souligné, seul en haut à droite du feuillet 25, autrement blanc : c'est une couverture pour ce qui suit, et c'est à elle que renvoie le « cf. "Diff" » du feuillet 21. Le feuillet ne porte rien d'autre et ne reçoit pas de page

Remarque Soient

\begin{tikzcd} k \arrow[r] \arrow[d, no head] & K \arrow[d, no head] \\ k' = k \cap K^{p} \arrow[r, no head] & K^{p} \end{tikzcd}

les deux traits verticaux et le trait du bas sont sans pointe sur le feuillet ; seule la flèche du haut en porte une

dans il \gamma de k provenant dans K être principalement k \cap K^{p}, et les crochets d'ajout marquent ici, et une fois encore au feuillet 28, un ajout de sa main porté en interligne, non une addition de l'éditeur ( K^{p}, i.e. d_{k/k'}\, x et d_{K/k'}\, \gamma proviennent de indiqués, d_{K/K^{p}}\, x et d_{K/K^{p}}\, \gamma ; injection, \Omega^{1}_{k/k \cap K^{p}} \otimes_{k} K \longrightarrow \Omega^{1}_{K} injectif, \Omega^{1}_{k \cap K^{p}} \otimes_{k \cap K^{p}} K \to \Omega^{1}_{k} \otimes_{k} K \to \Omega^{1}_{K} le second K de cette suite est biffé sur le feuillet l'existence dessus il avoir N_{K/k} \Omega_{k} \otimes_{k} K \longrightarrow \Omega_{K} d x \otimes 1 (x \in k \cap K^{p}).

N.B. Voici un contre-exemple. N_{K/k} Prenons premier les déterminations

~~K^{p} = \mathbf{F}(x^{p}, y^{p}, (a_i))~~ ~~K = \mathbf{F}(x, y, (a_i))_{i \geq 1}~~

N.B. a et (a_i)_{1 \leq i \leq p-1} alg. \mathbf{F}

\begin{cases} a_0 = y - \sum_{1}^{p-1} a_i x^{i} \\ a = x^{p} \end{cases} \qquad \text{d'où} \qquad y = \sum_{0}^{p-1} a_i x^{i} (1 \leq i \leq p-1) K^{p} = \mathbf{F}(a, a_0, \dots, a_p) = \struck{\mathbf{F}(\alpha, x^{p}, y - \alpha x)}\; \mathbf{F}\Big(x^{p}, a_1, \dots, a_{p-1},\, y - \sum_{1}^{p-1} a_i x^{i}\Big) la première expression du membre de droite est biffée et remplacée par la seconde, écrite au-dessus \struck{K = \mathbf{F}\big(\alpha^{1/p}, x, (y - \alpha x)^{1/p}\big)} \qquad \text{i.e.} \qquad K = \mathbf{F}\big(x, a_1^{1/p}, \dots, a_{p-1}^{1/p}, \ill{}\big) \mathbf{F}(x,y) [N.B. x, y \in K, y = \alpha x + \beta \in k, k \subset K le crochet ouvert de ce N.B. n'est pas refermé : la fin de la ligne se perd dans le bas du feuillet

~~x, y \notin~~ Voir , x \in K, x \notin K^{p}, (cf. le N.B. précédent) y \notin K^{p}, y \in K^{p}(x), donc les a_i \in K^{p}. Comme x \notin K^{p}, y = \sum_{0}^{p-1} a_i x^{i}. ~~y = \alpha x + \beta. Évident~~

x\,y \in K^{p} \cap k, x \notin K^{p} \cap k, mais bien \cap\, k, si donc (x,y) n'était K^{p} \cap k, y = \sum_{0}^{p-1} a_i x^{i}, les a_i \in K^{p} \cap k, donc les a'_i = a_i, donc a_i \in k = \mathbf{F}(x,y), absurde.

N.B. Condition isomorphes \begin{cases} (x,y) \;\text{p-libre sur}\; \ill{} \\ \ill{}\; \lambda \notin \mathbf{F}(x,y) \end{cases} ~~Je voudrais~~ exemple ~~\lambda = \mathbf{F}(a_1, \dots, a_{p-1}), et~~ ~~(par x, y \mathbf{F}(x,y) )~~ ~~par \lambda a_i~~ \mathbf{F}(x,y,a), \lambda = \mathbf{F}(a_1, \dots, a_{p-1}) Prenons x, y, a_1, \dots, a_{p-1} alg. indép. sur \mathbf{F}_0 et prendre a_i = 0 pour 2 \leq i \leq p-1.

Bien entendu, \mathbf{F} peut peut aussi être un corps fini x, y alg. indép. sur \mathbf{F}, et a_1 sur \mathbf{F}, a_1 \notin \mathbf{F}, K obtenu (y - \alpha x) k(b), où b \mathbf{F} [\,b = a^{1/p}\,].