Cote n° 22 · batch 1 · pages 1–20 · Transcription · [EGA IV]. [Chapitre] 0 IV. Cohen, différentielles, algèbres formellement simples (Compléments) : tirés à part (1963), tapuscrit annoté (s.d.), notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : 1963-[vers 1967]
Édition de démonstration

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Tirés à part annotés : les deux notes de Jouanolou (1963)

1Tiré à part, imprimé : la note de J.-P. Jouanolou « Étude différentielle des anneaux locaux réguliers : applications », Comptes rendus, t. 257, p. 2948-2950, séance du 4 novembre 1963. Le texte imprimé n'est pas de sa main et n'est pas transcrit ; ne sont relevées ici que ses annotations, avec l'indication de l'énoncé qu'elles visent.

appel en marge de gauche, à hauteur de la première phrase du nº 1, celle qui rappelle les critères différentiels de régularité de Nakai, Suzuki et Mount.

[…] hypothèse en marge de droite, à la même hauteur. Dans la ligne imprimée il biffe le mot « condition » de « une condition de réduction analytique » et porte deux signes d'insertion ; l'annotation marginale est vraisemblablement le mot de remplacement, mais le premier trait ne se lit pas.

\(A/\mathfrak{a}\) en marge de gauche, en regard de la Proposition 1, dont l'hypothèse porte sur \(D(A)\) plat et \(\mathfrak{a}\) un idéal tel que \(A/\mathfrak{a}\) soit réduit ; il entoure au crayon le mot « réduit » de l'énoncé, et une accolade réunit la Proposition 1 et le point (d), \(D(A/\mathfrak{a})\) libre.

[…] trois lignes courtes en marge de droite, en regard du Corollaire 2 [Kunz] — celui qui caractérise la régularité d'une localité réduite par la liberté du module de différentielles absolu \(D(A)\). Le premier mot pourrait se lire « contenu », la suite ne se laisse pas lire.

assez rare ! en marge de droite, en regard du Corollaire 3 [Suzuki, Mount], dont l'hypothèse est que le séparé \(D'(A)\) soit de type fini.

séries formelles ?? en marge de droite, en regard de la Proposition 2, sur le lieu singulier d'une \(A\)-algèbre affine ; une accolade réunit les Propositions 2 et 3. La question porte sur le passage des séries convergentes du Corollaire 1 aux séries formelles.

[…] un mot en marge de droite, en regard de la Proposition 3, sur le lieu singulier fermé d'un schéma de type fini sur un schéma en groupes régulier ; il se termine par « -ique » et n'a pas pu être lu.

2Suite du même tiré à part, page 2 de la note imprimée.

connu en marge de droite, au bout d'un long trait vertical qui couvre tout le bloc allant du Lemme sur le noyau de \(\hat{A} \otimes_A D(A) \to D(\hat{A})\) jusqu'à la Proposition 6, c'est-à-dire les énoncés de séparabilité de \(K_{\hat{A}}\) sur \(K_A\) et le passage par le théorème de structure de Cohen.

Il entoure à l'encre la condition \((h_2)\) du Théorème, « \(D(A)\) est libre ».

faux […] \(A \to B\) […] ?? en marge de droite, en regard du Lemme du nº 3 — celui qui, de \(A\) local nœthérien analytiquement intègre et \(K_{\hat{A}}\) séparable sur \(K_A\), conclut que \(B = C_{\mathfrak{p}}\) est analytiquement réduit. L'annotation est écrite en oblique sur quatre lignes brèves et n'est lisible qu'en partie : le premier mot est « faux », il y figure une flèche \(A \to B\), et elle s'achève sur deux points d'interrogation.

3Suite du même tiré à part, page 3 de la note imprimée.

\(C \supset A\) !!! en grand, en haut de la page, au bout d'un trait qui descend vers la première ligne imprimée ; il entoure le \(C\) de « toute \(A\)-algèbre intègre qui est localisée d'une \(A\)-algèbre finie \(C\) ». L'objection porte sur ce que l'énoncé suppose tacitement \(A\) contenu dans \(C\).

faux en marge de droite, au bout d'un long trait horizontal qui souligne la parenthèse « (Pour appliquer le lemme, on remarque que \(h_1\) et \(h_2\) sont stables par localisation.) ».

connu (Nagata) en marge de droite, en regard de la Proposition 7 : finitude de la fermeture intégrale de \(A\) dans toute extension finie \(L\) de \(K_A\).

? en marge de droite, en regard de la phrase qui applique la Proposition 7 aux localités, aux localités analytiques et aux algèbres de Hopf régulières sur un corps parfait ; il souligne « algèbres de Hopf régulières sur un corps parfait ».

connu en marge de droite, en regard du dernier alinéa, celui qui tire du lemme 2 de Zariski-Samuel qu'une localité analytique normale vérifiant le Corollaire 2 est analytiquement normale.

5Second tiré à part, imprimé : la note de J.-P. Jouanolou « Sur les modules de différentielles », Comptes rendus, t. 256, p. 842-844, séance du 14 janvier 1963. Même règle que ci-dessus : seules les annotations sont transcrites.

non vérifié en marge de gauche, souligné, en regard de la définition du nº 1 : \(B\) est dite quasi-séparable lorsque \(D_A(B) = 0\). Le trait vise le caractère local de la propriété, affirmé dans la phrase suivante.

? en bas à gauche, en regard de la dernière ligne, « ce qui exprime que \(B\) n'est pas ramifié sur \(A\) », qui traduit la relation \(\mathfrak{n} = \mathfrak{m}B\).

Tapuscrit annoté : le nº 3, algèbres de Cohen et algèbres formellement simples

Les neuf feuillets qui suivent forment une suite continue, paginée par lui 24 à 32 à l'encre en haut à droite. Le corps dactylographié est transcrit ; les surfrappes de la machine deviennent , les ajouts manuscrits interlinéaires [], les notes qu'il porte en marge . Le chiffre qui ouvre chaque numéro d'énoncé est frappé puis repassé à l'encre, et ce qui est dessous ne se décide pas sur le film ; les renvois dactylographiés du corps du texte (« grâce à 3.1 », « en vertu de 3.5 », « dans 3.9 ») donnent 3.N, et c'est cette forme qui est retenue partout ici.

9sa page 24

[…] inutile, résulte du fait […] que \(IB\) (ou \(IC\)) top. nilpotent.

… contenant \(IB\) resp. \(IC\), enfin on suppose \(IB\) et \(IC\) fermés (condition automatiquement vérifiée si \(B\), \(C\) sont nœthériens). Soient \(B_0 = B/IB\), \(C_0 = C/IC\), \(u\) : [\(B \to C\)] un homomorphisme continu de \(A\)-algèbres, \(u_i : B_i \to C_i\) l'homomorphisme induit déduit par passage au quotient (j'ai oublié d'introduire un système fondamental d'idéaux ouverts \(I_i \subset I_0\) [\(= I\)] dans \(A\), et les \(B_i\) et \(C_i\) en conséquence [enfin ce sont tous les \(I_iB\) et \(I_iC\) qui doivent être fermés]). Conditions équivalentes : la phrase « enfin ce sont tous les \(I_iB\) et \(I_iC\) qui doivent être fermés » est frappée en interligne et rattachée à la parenthèse par un trait de sa main ; il souligne « contenant \(IB\) resp. \(IC\) » et corrige au-dessus le \(T\) d'un « TC » frappé pour « IC ».

  1. (i)\(u\) est un isomorphisme bijectif, et \(u_0\) est un homéomorphisme.
  2. (i bis)\(u\) est un isomorphisme d'algèbres topologiques
  3. (ii)Pour tout \(i\), \(u_i : B_i \to C_i\) est bijectif, \(u_0\) est un homéomorphisme.
  4. (ii bis)pour tout \(i\), munissant \(B_i\) et \(C_i\) des filtrations \(I\)-adiques, l'homomorphisme \(\mathrm{gr}_I(B_i) \to \mathrm{gr}_I(C_i)\) induit par \(u\) est bijectif, \(u_0\) un homéomorphisme.

les étiquettes (i) et (i bis) portent l'une et l'autre une surcharge, un « bis » biffé sur la première ; un long trait courbe monte de la seconde vers la première. Il entoure à l'encre les quatre occurrences de « \(u_0\) est un homéomorphisme » et porte devant chacune une flèche montante : la clause est à détacher de la liste.

[…] une note brève de sa main, écrite verticalement dans la marge de gauche à hauteur de (ii bis) ; elle n'a pas pu être lue.

Enfin, lorsque les \(C_i\) sont plats sur les \(A_i\), ces conditions équivalent également à

  1. (iii)\(u_0 : B_0 \to C_0\) est un isomorphisme homéomorphisme.

L'équivalence de (i) et (i bis) résulte trivialement du fait que les topologies de \(B\), \(C\) sont adiques définies par les puissances d'idéaux contenant \(IB\) resp. \(IC\). […] Évidemment (i bis) \(\Rightarrow\) (ii), pour (ii) \(\Rightarrow\) (i bis) on note que les applications canoniques \(B \to \varprojlim B_i\) et \(C \to \varprojlim C_i\) sont bijectives grâce au fait que les \(I_iB\) et \(I_iC\) sont fermés (cf rectification à \(0_{7.2.4}\)). L'équivalence de (ii) et (ii bis), qu mise pour mémoire, provient du fait que (\(I = I_0\) étant un idéal de définition, donc nilpotent dans les \(A_i\)) les filtrations mises sur \(B\), \(C\) sont finies. Enfin, reste à prouver que lorsque […] \(C_i\) est plat sur \(A_i\), alors \(u_0\) bijectif implique \(u_i\) bijectif ou si on veut \(\mathrm{gr}(u)\) bijectif, ce qui est immédiat et sauf erreur figure déjà en lemme quelque part au Chap III (j'espère, avec la généralité qui convient, et bien entendu modulé …). [cf diagramme]

LaTeX source
\begin{tikzcd}
\mathrm{gr}\,B \arrow[r, "\mathrm{surj}"] & \mathrm{gr}\,C \\
B_0 \otimes \mathrm{gr}\,A_i \arrow[r, "\mathrm{bij}"] \arrow[u, "\mathrm{surj}"] & C_0 \otimes \mathrm{gr}\,A_i \arrow[u, "\mathrm{bij}"]
\end{tikzcd}

le diagramme est de sa main, tracé au bas du feuillet sous la dernière ligne dactylographiée.

10sa page 25

Enfin, il nous sera commode d'avoir un critère permettant de déduire de la propriété P une propriété de platitude. Nous utiliserons :

Lemme 3.3. Soient \(A\) un anneau, \((P_i)_{i \in I}\) une famille de \(A\)-modules, [\(P\) leur produit] \(M\) un \(A\)-module de présentation finie. Alors l'homomorphisme canonique \[M \otimes P \longrightarrow \prod_i M \otimes P_i\] est un isomorphisme.

En effet, écrivant \(M\) comme comme un conoyau d'un homomorphisme de modules libres [de type fini] \(L' \to L\), et notant que le foncteur produit est exact donc exact à gauche, on est ramené au cas où \(M = A^n\), \(n\) entier \(> 0\), où c'est trivial.

Corollaire 3.4. Supposons \(A\) tel que tout module de type fini sur \(A\) soit de présentation finie, par exemple \(A\) nœthérien. Alors tout produit de \(A\)-modules plats est un \(A\)-module plat.

En effet, il suffit de montrer que \(P \otimes\) transforme un monomorphisme \(M \to N\) en un monomorphisme, quand \(M\) et \(N\) sont de type fini ; le lemme 3 donne alors immédiatement le résultat voulu.

Corollaire 3.5. Supposons que \(A\) satisfasse les conditions [par exemple \(A\) nœthérien] de 3.4. Soit \(P\) un \(A\)-module topologique isomorphe à une la limite projective […] d'un système projectif strict, de \(A\) admettant un système cofinal dénombrable, de \(A\)-modules projectifs. Alors \(P\) est un \(A\)-module plat. le passage biffé au milieu de l'énoncé est frappé de x et couvre deux lignes et demie ; on y lit encore « de \(A\)-modules projectifs de type fini (``stricte'' = par un système projectif strict… ``dénombrable'' par un système proj…) ». Les mots « stricte » et « dénombrable » sont repris à la main au-dessus.

En effet, on voit facilement que sous les conditions dites, \(P\) est isomorphe à un produit de \(A\)-modules projectifs, donc plats, d'où le résultat.

11sa page 26

Théorème 3.6. Soient \(A\) un anneau préadmissible muni d'un idéal de définition \(I = I_0\) et d'un système fondamental \((I_{i})\) d'idéaux de définition \(\subset I_0\), \(B\) une \(A\)-algèbre topologique. On suppose les \(A_i = A/I_iA\) nœthériens, et de plus les conditions suivantes sur \(B\) :

  1. a)les \(A_i\) sont nœthériens
  2. a)Les Module Modules topologiques [\(B\) sur \(A\)] […] satisfont la condition P.
  3. b)[\(B_0\) est formellement simple sur \(A_0\).]
  4. c)\(B\) est adique pour un idéal contenant \(IB\)
  5. d)Les idéaux \(I_iB\) dans \(B\) sont fermés (inutile [automatiquement vérifié] si \(B\) est nœthérien).

la liste est renumérotée à la main : l'ancien a) est biffé, une clause b) entièrement manuscrite est intercalée, et l'ancien b) devient c).

Sous ces conditions, on a ce qui suit :

  1. (i)\(B\) est formellement simple sur \(A\).
  2. (ii)Soit \(C\) une \(A\)-algèbre topologique satisfaisant à c) et d) (mais pas nécessairement à a)), et soit \(u_0 : B_0 \to C_0\) un isomorphisme d'algèbres topologiques. Alors il existe un \(A\)-homomorphisme continu \(u : B \to C\) se réduisant suivant \(u_0\) (en vertu de (i) et de 1.7.). Ce dernier étant choisi, les conditions suivantes sont équivalentes :
  1. 1)\(B\) est formellement simple sur \(A\).
  2. 2)[…] \(B\) satisfait la condition a) ci-dessus, i.e. […] satisfait la condition P.
  3. 3)Les \(B_i\) sont plats sur \(A_i\).
  4. 4)L'homomorphisme \(u : B \to C\) est un isomorphisme de \(A\)-algèbres top.
  5. 5)[\(C\) est isom. à \(B\) comme \(A\)-algèbre top.]

Démonstration. L'assertion (i) résulte déjà de a), grâce à 3.1. Prouvons donc (ii). En vertu de (i) déjà prouvé, on a 2) \(\Rightarrow\) 1), et évidemment 4) \(\Rightarrow\) 2), d'ailleurs 2) \(\Rightarrow\) 3) en vertu de 3.5., grâce au fait que les \(A_i\) sont nœthériens. Reste à prouver 1) \(\Rightarrow\) 4) et 3) \(\Rightarrow\) 4).

Supposons 1) vérifié, alors en vertu de 1.7. \(u_0^{-1} : C_0 \to B_0\) se prolonge en un homomorphisme d'algèbres top \(v : C \to B\) (grâce aux hypothèses c) et d) ). Or on a déjà noté que les \(B_i\) sont plats sur les \(A_i\). Le lemme 3.2. (i) et (iii) (où on échange les rôles de \(B\), \(C\))

12sa page 27

garantit alors que \(v\) est un isomorphisme d'algèbres topologiques (grâce à c) et d) pour \(B\) et \(C\)). Donc les on a 2), [donc on a 3)] et le même argument en sens inverse montre que […] [3) implique 4). — Enfin 4) \(\Rightarrow\) 5) et 5) \(\Rightarrow\) 2).] On peut certainement améliorer la rédaction de la démonstration, évitant certaines redites.

Pour simplifier, nous nous restreindrons par la suite à des hypothèses nœthériennes (permettant de nous débarrasser en particulier de la désagréable hypothèse d) sur \(B\)).

Définition 3.7. Soit \(A \to B\) un homomorphisme continu d'anneaux nœthériens préadiques. On dit que \(B\) est une algèbre (topologique) de Cohen sur \(A\) si [a)] \(B\) est séparé et complet, i.e. [un] un anneau adique, […] [b)] s'il satisfait à la condition P, et si enfin [c)] \(B\) est formellement […] [simple] sur \(A\), [ou encore, \(I\) étant un idéal de définition de \(A\), \(B_0 = B/ID\) […] formellement simple sur \(A_0\)]. la phrase manuscrite qui ferme la définition court sur deux lignes en interligne ; elle porte en tête un « \(= A/I\) » et sa fin n'est lisible qu'en partie.

On notera qu'en vertu de 3.1., si \(I\) est un idéal de définition de \(A\), la dernière condition équivaut à la condition que \(B/IB\) est formellement simple sur \(A/IA\). D'ailleurs, on peut interpréter 3.6. de la façon suivante (et il est […] plus raisonnable de reléguer 3.6. en lemme, et de réserver le corollaire en théorème) :

Corollaire 3.8. Soient \(A\) un anneau préadique nœthérien, \(I\) un idéal de \(A\), munissons \(A\) de la topologie \(I\)-préadique, posons \(A_0 = A/IA\), et soit \(B_0\) une \(A_0\)-algèbre topologique. […] [Supposons qu']il existe une algèbre de Cohen \(B\) sur \(A\) telle que \(B/IB\) soit isomorphe à \(B_0\) comme \(A_0\)-algèbre topologique, [ce qui implique \(B_0\) aussi de Cohen sur \(A_0\)], alors \(B\) est unique à [un] isomorphisme près induisant l'isomorphisme donné sur (compatible avec les isomorphismes donnés des algèbres réduites réduites mod \(I\) avec \(B_0\)). De plus, si \(B\) est une \(A\)-algèbre topologique adique telle que \(B/IB\) soit isomorphisme à \(B_0\) comme \(A_0\)-algèbre topologique, alors les conditions suivantes sur \(B\) sont équivalentes : 0) \(B\) est une \(A\)-algèbre de Cohen « soit isomorphisme à \(B_0\) » est frappé ainsi ; la lettre qui ouvre la liste des conditions équivalentes est repassée à l'encre et se lit 0) ou a).

13sa page 28

  1. 1)\(B\) est formellement simple sur \(A\)
  2. 2)\(B\) satisfait la condition P
  3. 3)\(B\) est plat sur \(A\)
  4. 3 bis)Pour tout entier \(n \geqslant 0\), \(B_n = B/I^{n+1}B\) est plat sur \(A_n = A/I^{n+1}\). […]

Il reste seulement à montrer l'équivalence de 3) et 3 bis), qui est contenue en effet (moyennant les hypothèses nœthériennes faites) dans la platitude supérieure.

Le résultat précédent Il conviendrait de noter aussi [dès après 3.7.] que ``algèbre de Cohen'' est une notion stable par extension de la base via produits tensoriels complétés : c'est une trivialité.

Le résultat 3.8. montre l'intérêt qu'il y a, \(A\), \(I\) et \(B_0\) étant donnés, de disposer d'un théorème d'existence pour une algèbre de Cohen \(B\) sur \(A\) se réduisant suivant \(B_0\). On notera que la construction habituelle de proche en proche nous ramène au cas où \(A\) est discret (remplaçant \(A\) par des \(A_i\) et \(I\) par des puissances) au cas où \(I\) est de carré nul, (donc où \(A\) est discret). On obtient alors un problème de nature essentiellement infinitésimale, dont nous ignorons s'il existe toujours une solution, faute de savoir caractériser la structure des algèbres de Cohen \(B_0\) sur l'anneau discret \(A_0\). Cependant, nous obtenons [(3.10.)] un théorème d'existence dans un cas particulier intéressant, en utilisant les résultats du Nº2. Notons d'abord

[…] un long passage biffé de deux grands traits diagonaux, sur six lignes : il portait un « Théorème 3.9 » sur \(A\) local nœthérien de corps résiduel \(k\), \(B_0\) une \(k\)-algèbre qui soit un anneau local nœthérien complet de corps résiduel \(K\) de degré de multiplicité radicielle finie sur \(k\), extension séparable de \(k\), et s'achevait sur « \(B_0\) est (pour sa topolo- ». Il est remplacé par le corollaire qui suit.

Corollaire 3.9. Soit \(A \to B\) un homomorphisme local d'anneaux locaux nœthériens, tel que l'extension résiduelle \(k(B)/k(A)\) soit à multiplicité

14sa page 29

radicielle finie (par exemple, soit séparable) [Conditions équivalentes :] [1)] Pour que \(B\) soit [est] une algèbre de Cohen sur \(A\) (sous-entendu : pour les topologies habituelles, — il faudrait le préciser dans 3.7.), il f et suffit que \(B\) [2)] est plat sur \(A\), complet, et que \(B_0 = B/\mathfrak{m}B\) soit [est] une algèbre de Cohen sur \(k = A/\mathfrak{m}\), i.e. formellement simple sur \(k\), [3) \(B\) est formellement simple sur \(A\)] […] l'énoncé est retourné à la main en liste de conditions équivalentes : trois numéros manuscrits 1), 2), 3) sont plantés dans la phrase, la troisième condition est écrite en entier à l'encre puis en partie biffée d'un griffonnage, et « il faut et suffit que » est biffé.

(On aura noté […] après 3.7. que pour une algèbre topologique sur un corps \(k\), Cohen \(=\) adique et formellement simple). La nécessité étant déjà acquise (sans hypothèse de multiplicité radicielle finie), prouvons la suffisance [1) \(\Rightarrow\) 2)] [2) \(\Rightarrow\) 1)]. En vertu de la définition, on est ramené simplement à prouver que \(B\) satisfait la condition P. Cela nous ramène au cas où \(A\) est artinien. En vertu du Nº2, on sait que \(B_0\) est régulier, considérons un système régulier de paramètres de \(B_0\) (un système de paramètres formant une \(B_0\)-suite suffirait), relevons le en un système de paramètres de \(B\), soit \(x = (x_1, \ldots, x_r)\). Alors les idéaux engendrés par les \(x^n = (x_1^n, \ldots, x_r^n)\), pour \(n \geqslant 0\), forment un système fondamental de voisinages [\(J_n\)] de \(0\) dans \(B\), d'autre part on constate aussitôt que les \(B/J_n\) sont des modules plats sur \(A\) (il y a un lemme corollaire dans la platitude supérieure, dans le cas où on divise par un seul élément […] régulier, cas auquel on est ramené aussitôt). Comme \(A\) est artinien, ils sont donc projectifs.

[[…]] une phrase manuscrite traverse ici la page sur deux lignes, entre « projectifs. » et le NB, et déborde des deux côtés ; on n'en lit avec certitude que des fragments — un « que … 3) \(\Rightarrow\) 2) », un « … suffisante », et la fin « … d'ailleurs ci-dessous 3.11. » La ligne dactylographiée « projectifs. » porte à sa suite un mot biffé.

NB On n'a utilisé l'hypothèse sur la multiplicité radicielle que pour pouvoir savoir que \(B_0\) est Cohen-Macaulay. L'hypothèse faite est très probablement inutile. Serre vient de me dire que Mac-Lane a prouvé la réciproque de 2.3. sans hypothèse de multiplicité rad finie, dans ``Note on a relative structure of \(p\)-adic fields'' Ann Math t.41 1940, page 751–753. Cela vaudrait peut-être le coup, pour liquider le coup d'œil, que tu regardes cela et donnes le résultat complet dans 2.3. On tout le NB est barré de six longs traits diagonaux au crayon bleu et enfermé dans un crochet ; il est barré, non supprimé, et reste lisible d'un bout à l'autre.

15sa page 30

pourra alors resper [fait donc dans 3.9.] l'hypothèse […] avec : ``ou […] \(r(B) = r(A)B\)'' […]

Corollaire 3.10. Soient \(A\) un anneau local nœthérien, de corps résiduel \(k\), \(B_0\) une \(k\)-algèbre qui soit un anneau local nœthérien, et soit une \(k\)-algèbre de Cohen i.e. une \(k\)-algèbre formellement simple pour sa et complète pour sa topologie ordinaire. Supposons de plus l'extension résiduelle \(K/k\) séparable (ce qui n'est donc pas une restriction si \(B_0 = K\) […] mais en est évidemment une en général). Alors il existe une \(A\)-algèbre topologique de Cohen [\(B\)] qui se réduit suivant \(B_0\), \(B\) est unique à isomorphisme près en vertu de 3.8., et c'est un anneau nœthérien local complet comme il se doit.

En vertu du théorème de structure 3.4. on a \(B_0 \simeq K[[T_1, \ldots, T_n]]\) et on est ramené, grâce au critère 3.9. 2) et la transitivité de la platitude, aux deux cas types : \(1^{\mathrm{o}}\)) \(B_0 = K\), \(2^{\mathrm{o}}\)) \(B_0 = k[[T_1, \ldots, T_n]]\). Dans le premier cas, on utilise le résultat général de \(0_{\mathrm{III}}\) [10.3.1.], et dans le deuxième cas, il suffit de prendre \(B = \hat{A}[[T_1, \ldots, T_n]]\).

Théorème 3.11 Corollaire 3.11. Sous les conditions de 3.9., [si \(k(B)/k(A)\) de mult. rad. finie,] les conditions 1) et 2) équivalent aussi à : 3) \(B\) est complet et formellement simple sur \(A\).

En effet, on sait déjà que c'est nécessaire reste à prouver la 3) \(\Rightarrow\) 1) [1) \(\Rightarrow\) 3)] suffisance ou encore 3) \(\Rightarrow\) 2), i.e. on est ramené à prouver simplement que \(B\) est plat sur \(A\). Or […] faisant une extension de la base \(A \to A'\), \(A'\) local [de type fini] libre sur \(A\) à extension radicielle convenable (cf \(0_{\mathrm{III}}\)), on trouve un \(B'\) [local] sur \(A'\) qui sera encore formellement simple sur \(A'\), et de plus à extension résiduelle triviale séparable. On dispose alors du théorème d'existence 3.10. qui nous garantit, grâce à 3.8. (équiv de 0) et 1) ) que \(B'\) est Cohen sur \(A'\) donc plat sur \(A'\). Donc \(B\) est plat sur \(A\).

Réduction inutile dans le cas ``vrai'' du NB en bas à droite, de sa main : elle renvoie au NB barré de la page précédente.

16sa page 31

En particulier, on obtient :

Corollaire 3.12. Soient \(A \to B\) un homomorphisme local d'anneaux locaux nœthériens, tels que \(r(B) = r(A)B\) et que l'extens soit \(K/k\) l'extension résiduelle. Conditions équivalentes : 1) \(B\) est complet et formellement simple sur \(A\). 2) \(B\) est complet, plat sur \(A\), et \(K/k\) est séparable. 3) \(B\) est une algèbre de Cohen sur \(A\). De plus, une extension séparable \(K\) de \(k\) étant donnée, il existe une algèbre de Cohen \(B\) sur \(A\) se réduisant suivant \(K\), et \(B\) est unique à isomorphisme de \(A\)-algèbres près.

La rédaction commence à faire un peu touffu, j'espère que tu pourras la rendre plus lisible. D'ailleurs, je me repens un peu de la définition 3.7. telle quelle, il n'est pas vraiment naturel de supposer \(B\) séparée et complète pour sa topologie propre, mais simplement pour sa topologie \(IB\)-adique (ce qui est moins fort) ; mais une telle modification demanderait des réajustements analogues pour 3.2., 3.6. et la suite. Je t'en laisse donc le choix, pensant que le choix adopté n'aura pas de grande importance pratique pour la suite : dans 3.9. à 3.12. cela obligera simplement à supprimer à certains endroits le mot ``complet'', [ou à le remplacer par un autre complet] en particulier ``Cohen'' deviendra synonyme dans le contexte des anneaux locaux nœthériens de ``formellement simple'', — sous réserve de l'embêtante hypothèse de multiplicité radicielle. Il est vrai Ce serait plutôt un avantage, mais il est vrai par contre que cela ne s'harmoniserait plus de plus les anneaux de Cohen sont

[[…]] le bas du feuillet porte, sur quatre lignes et dans une écriture très rapide, un début de « Corollaire 3.13 » manuscrit — on y lit « \(A \to B\) … local d'anneaux locaux nœth., … de corps … à mult. deg. finie. Alors conditions équivalentes » — aussitôt annulé par cinq grandes boucles. C'est le premier jet du corollaire que le feuillet suivant reprend au propre.

17sa page 32

Corollaire 3.13. Soit \(A \to B\) un homomorphisme local d'anneaux locaux nœthériens, on suppose \(k(B)/k(A)\) à multiplicité radicielle finie (par exemple une extension séparable, ou de type fini), [ou \(k(B) = k(A)B\).] Conditions On munit \(A\) et \(B\) de leurs topologies habituelles. Alors les conditions suivantes sont équivalentes : (i) \(B\) est formellement simple sur \(A\) (ii) \(B\) est plat sur \(A\), et \(B_0 = B \otimes_A k\) est une algèbre universellement régulière sur \(k\) (cf 2.6.).

En effet, les conditions (i) et (ii) étant invariantes par changement de \(B\) en \(\hat{B}\), on est ramené au cas où \(B\) est complet, où cela est contenu dans 3.11. [resp. 2.12.] compte tenu que pour \(B_0\), formellement simple \(=\) universellement régulier en vertu de 2.6.

Du point de vue pratique, les résultats du présent numéro consistent essentiellement en 3.13., et l'existence l'unicité […] (moyennant les conditions de 3.13.) du \(B\) correspondant à un \(B_0\) donné, sous réserve que \(B\) soit complet pour la topologie \(r(A)\)-adique (cette […] unicité étant un corollaire immédiat d'ailleurs, puisqu'on dispose pour \(B\) des deux propriétés complémentaires formellement simple \(+\) plat), [et enfin l'existence moyennant la séparabilité de \(K/k\).] À force de dévissage et de généralité, cette substance n'apparait pas assez clairement, et la terminologie ``algèbre de Cohen'' introduite concurremment à ``formellement simple'' risque […] [plutôt] d'embrouiller les idées (d'autant plus que nous n'utiliserons plus jamais que ``formellement simple''). Aussi le présent numéro rendra peut-être plus service si on commence à énoncer simplement 3.13. en théorème, avec le corollaire bien senti précédent, et qu'on les démontre simultanément en deux pages ou trois, avec en laissant de côté tout le fatras anneaux admissibles, algèbres de Cohen etc. Commencer par l'existence d'un \(B\) satisfaisant à la fois (i) et (ii) si \(K/k\) est séparable, se ramener à ce cas pour 3.13. par descente comme dans 3.11. prouver 3.13. alors par comparaison du \(B\)-type avec le \(B\) donné, ce qui donne en même temps l'unicité, et un point c'est tout.

(garder cependant 3.1. au Nº3. On peut signaler 2.6. […] pour remarque, à réserver pour l'avenir) écrit verticalement dans la marge de gauche, sur quatre lignes, en regard du dernier alinéa.

Questions ouvertes

Le feuillet 18 est une couverture : une feuille par ailleurs nue, portant en haut à droite, de sa main, le seul mot « Questions ». Il ne reçoit pas de page ; les deux feuillets manuscrits qu'il enveloppe suivent. Ceux-ci sont d'une écriture rapide et fine, et la prose de liaison ne se laisse lire qu'en partie : ce qui suit garde les énoncés et laisse […] partout où la feuille ne porte pas de lecture sûre.

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Questions ouvertes

  1. 1)Soit \(A\) algèbre locale nœthérienne sur \(k\). Est-il vrai que \(A\) formellement simple sur \(k\) si \(A\) est universellement régulière sur \(k\) [définition, pour hom. local \(A \to B\) d'anneaux locaux nœthériens, équivalence entre « ft simple » et « universellement régulier » […] sur \(A\) ].
  2. 2)Soit \(A\) algèbre locale nœthérienne sur \(k\), ft simple sur \(k\) (pour sa topologie habituelle). Est-il vrai que \(A\) est ft simple pour sa top. […] discrète ? Ou : \(A\) est complète ? ([…] possible que le rigoureux soit […] […] […] […] \(0\)). — On peut […] […] […]. \(A\) plat sur \(\Lambda\), […] \(\Lambda\) […] nœthériens : si les […] de \(A\) est ft simple sur […] de \(\Lambda\) […] pour une topologie habituelle, \(A\) est-il ft. simple sur \(\Lambda\) pour sa top. discrète.
  3. 3)\(B\) plat sur \(A\), \(A\) et \(B\) nœthériens. L'[…] […] de \(\mathrm{Spec}\) \(B\) dans l'[…] […] fermé dans le \(\mathrm{Spec}\,A\) […] est ft simple sur le corps résiduel de \(A\), est-il ouvert ? […] [ Si \(B\) […] pas […] \(A\),

[…] un long bloc de sa main court en oblique, de bas en haut, dans toute la marge de gauche du feuillet, sur une douzaine de lignes ; c'est un ajout postérieur au corps de la page. Il n'a pas pu être lu. On y distingue seulement, dans les premières lignes, « Faut-il supposer […] vraiment […] ? Peut-être qu'… », ainsi qu'une formule « \(\Lambda = VA\) » ou « \(\mathfrak{p} \cap A\) » ; à hauteur de la question 1) figure en outre une brève note isolée, de deux ou trois caractères.

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l'[…] des Vs de tout \(B\) […] \(B\) l'est aussi ? ]. Il faut-il supposer […] que \(A\) et \(B\) soient des « bons anneaux ».

l'[…] \(A\), \(A\) […] local, \(A \to B\) localisation ? Cf IV 2.10.1 la ligne barrée et la mention « Cf IV 2.10.1 » sont réunies par un crochet tracé à l'encre ; c'est le seul renvoi précis à un autre chapitre que portent ces deux feuillets.

[…] d'extension résiduelle finie.

[…] contre-t-il critère jacobien de […] de Nagata pour une algèbre locale nœth […] […] on a dit […] en vrais.

[…] Ok. en caractéristique \(0\) pour les bons […] […], puis : la résolution des singularités. « bons », « résolution des singularités » et le dernier mot sont soulignés sur la feuille.

  1. 4)\(A \to B\) hom d'anneaux nœth. L'[…] des Vs de tout \(B\) […] le quotient \(D\) […] sur \(A\) […] est-il ouvert ? [ […] […] enfin que […] \(VA\) \(\mathfrak{p} \cap \mathrm{Spec}\,A\), et […] \(VA\) […] de […] \(VA\) […] […] \(A' = A_{\mathfrak{p}}\), […] \(B' = A_{\mathfrak{p}}\) […] \(\Lambda \subset B'\) […] […] \(B \otimes_{A'}\) […] […] […] […] \(B'\) […] plat sur \(A'\). ]

la question 4) est tracée dans la moitié droite du feuillet, en colonne étroite, et ses dernières lignes chevauchent l'en-tête imprimé du papier ; elles ne se lisent que par fragments. Les identifications \(A'\), \(B'\) portées ici sont douteuses.

[…] comme au feuillet précédent, un bloc écrit en oblique occupe toute la marge de gauche, plus dense encore : une vingtaine de lignes, avec au moins trois renvois numérotés (1), (2), (3) et des passages soulignés. Il n'a pas pu être lu.