Fonds Grothendieck, cote n° 22, pages 1–20

Tirés à part annotés : les deux notes de Jouanolou (1963)

Tiré à part, imprimé : la note de J.-P. Jouanolou « Étude différentielle des anneaux locaux réguliers : applications », Comptes rendus, t. 257, p. 2948-2950, séance du 4 novembre 1963. Le texte imprimé n'est pas de sa main et n'est pas transcrit ; ne sont relevées ici que ses annotations, avec l'indication de l'énoncé qu'elles visent.

appel en marge de gauche, à hauteur de la première phrase du nº 1, celle qui rappelle les critères différentiels de régularité de Nakai, Suzuki et Mount.

hypothèse en marge de droite, à la même hauteur. Dans la ligne imprimée il biffe le mot « condition » de « une condition de réduction analytique » et porte deux signes d'insertion ; l'annotation marginale est vraisemblablement le mot de remplacement, mais le premier trait ne se lit pas.

A/\mathfrak{a} en marge de gauche, en regard de la Proposition 1, dont l'hypothèse porte sur D(A) plat et \mathfrak{a} un idéal tel que A/\mathfrak{a} soit réduit ; il entoure au crayon le mot « réduit » de l'énoncé, et une accolade réunit la Proposition 1 et le point (d), D(A/\mathfrak{a}) libre.

trois lignes courtes en marge de droite, en regard du Corollaire 2 [Kunz] — celui qui caractérise la régularité d'une localité réduite par la liberté du module de différentielles absolu D(A). Le premier mot pourrait se lire « contenu », la suite ne se laisse pas lire.

assez rare ! en marge de droite, en regard du Corollaire 3 [Suzuki, Mount], dont l'hypothèse est que le séparé D'(A) soit de type fini.

séries formelles ?? en marge de droite, en regard de la Proposition 2, sur le lieu singulier d'une A-algèbre affine ; une accolade réunit les Propositions 2 et 3. La question porte sur le passage des séries convergentes du Corollaire 1 aux séries formelles.

un mot en marge de droite, en regard de la Proposition 3, sur le lieu singulier fermé d'un schéma de type fini sur un schéma en groupes régulier ; il se termine par « -ique » et n'a pas pu être lu.

Suite du même tiré à part, page 2 de la note imprimée.

connu en marge de droite, au bout d'un long trait vertical qui couvre tout le bloc allant du Lemme sur le noyau de \hat{A} \otimes_A D(A) \to D(\hat{A}) jusqu'à la Proposition 6, c'est-à-dire les énoncés de séparabilité de K_{\hat{A}} sur K_A et le passage par le théorème de structure de Cohen.

Il entoure à l'encre la condition (h_2) du Théorème, « D(A) est libre ».

faux A \to B ?? en marge de droite, en regard du Lemme du nº 3 — celui qui, de A local nœthérien analytiquement intègre et K_{\hat{A}} séparable sur K_A, conclut que B = C_{\mathfrak{p}} est analytiquement réduit. L'annotation est écrite en oblique sur quatre lignes brèves et n'est lisible qu'en partie : le premier mot est « faux », il y figure une flèche A \to B, et elle s'achève sur deux points d'interrogation.

Suite du même tiré à part, page 3 de la note imprimée.

C \supset A !!! en grand, en haut de la page, au bout d'un trait qui descend vers la première ligne imprimée ; il entoure le C de « toute A-algèbre intègre qui est localisée d'une A-algèbre finie C ». L'objection porte sur ce que l'énoncé suppose tacitement A contenu dans C.

faux en marge de droite, au bout d'un long trait horizontal qui souligne la parenthèse « (Pour appliquer le lemme, on remarque que h_1 et h_2 sont stables par localisation.) ».

connu (Nagata) en marge de droite, en regard de la Proposition 7 : finitude de la fermeture intégrale de A dans toute extension finie L de K_A.

? en marge de droite, en regard de la phrase qui applique la Proposition 7 aux localités, aux localités analytiques et aux algèbres de Hopf régulières sur un corps parfait ; il souligne « algèbres de Hopf régulières sur un corps parfait ».

connu en marge de droite, en regard du dernier alinéa, celui qui tire du lemme 2 de Zariski-Samuel qu'une localité analytique normale vérifiant le Corollaire 2 est analytiquement normale.

Second tiré à part, imprimé : la note de J.-P. Jouanolou « Sur les modules de différentielles », Comptes rendus, t. 256, p. 842-844, séance du 14 janvier 1963. Même règle que ci-dessus : seules les annotations sont transcrites.

non vérifié en marge de gauche, souligné, en regard de la définition du nº 1 : B est dite quasi-séparable lorsque D_A(B) = 0. Le trait vise le caractère local de la propriété, affirmé dans la phrase suivante.

? en bas à gauche, en regard de la dernière ligne, « ce qui exprime que B n'est pas ramifié sur A », qui traduit la relation \mathfrak{n} = \mathfrak{m}B.

Tapuscrit annoté : le nº 3, algèbres de Cohen et algèbres formellement simples

Les neuf feuillets qui suivent forment une suite continue, paginée par lui 24 à 32 à l'encre en haut à droite. Le corps dactylographié est transcrit ; les surfrappes de la machine deviennent , les ajouts manuscrits interlinéaires , les notes qu'il porte en marge . Le chiffre qui ouvre chaque numéro d'énoncé est frappé puis repassé à l'encre, et ce qui est dessous ne se décide pas sur le film ; les renvois dactylographiés du corps du texte (« grâce à 3.1 », « en vertu de 3.5 », « dans 3.9 ») donnent 3.N, et c'est cette forme qui est retenue partout ici.

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inutile, résulte du fait que IB (ou IC) top. nilpotent.

… contenant IB resp. IC, enfin on suppose IB et IC fermés (condition automatiquement vérifiée si B, C sont nœthériens). Soient B_0 = B/IB, C_0 = C/IC, u : B \to C un homomorphisme continu de A-algèbres, u_i : B_i \to C_i l'homomorphisme ~~induit~~ déduit par passage au quotient (j'ai oublié d'introduire un système fondamental d'idéaux ouverts I_i \subset I_0 = I dans A, et les B_i et C_i en conséquence enfin ce sont tous les I_iB et I_iC qui doivent être fermés). Conditions équivalentes : la phrase « enfin ce sont tous les I_iB et I_iC qui doivent être fermés » est frappée en interligne et rattachée à la parenthèse par un trait de sa main ; il souligne « contenant IB resp. IC » et corrige au-dessus le T d'un « TC » frappé pour « IC ».

(i)u est ~~un isomorphisme~~ bijectif, et u_0 est un homéomorphisme. (i bis)u est un isomorphisme d'algèbres topologiques (ii)Pour tout i, u_i : B_i \to C_i est bijectif, u_0 est un homéomorphisme. (ii bis)pour tout i, munissant B_i et C_i des filtrations I-adiques, l'homomorphisme \mathrm{gr}_I(B_i) \to \mathrm{gr}_I(C_i) induit par u est bijectif, u_0 un homéomorphisme.

les étiquettes (i) et (i bis) portent l'une et l'autre une surcharge, un « bis » biffé sur la première ; un long trait courbe monte de la seconde vers la première. Il entoure à l'encre les quatre occurrences de « u_0 est un homéomorphisme » et porte devant chacune une flèche montante : la clause est à détacher de la liste.

une note brève de sa main, écrite verticalement dans la marge de gauche à hauteur de (ii bis) ; elle n'a pas pu être lue.

Enfin, lorsque les C_i sont plats sur les A_i, ces conditions équivalent également à

(iii)u_0 : B_0 \to C_0 est un ~~isomorphisme~~ homéomorphisme.

L'équivalence de (i) et (i bis) résulte trivialement du fait que les topologies de B, C sont ~~adiques~~ définies par les puissances d'idéaux contenant IB resp. IC. Évidemment (i bis) \Rightarrow (ii), pour (ii) \Rightarrow (i bis) on note que les applications canoniques B \to \varprojlim B_i et C \to \varprojlim C_i sont bijectives grâce au fait que les I_iB et I_iC sont fermés (cf rectification à 0_{7.2.4}). L'équivalence de (ii) et (ii bis), qu mise pour mémoire, provient du fait que (I = I_0 étant un idéal de définition, donc nilpotent dans les A_i) les filtrations mises sur B, C sont finies. Enfin, reste à prouver que lorsque C_i est plat sur A_i, alors u_0 bijectif implique u_i bijectif ou si on veut \mathrm{gr}(u) bijectif, ce qui est immédiat et sauf erreur figure déjà en lemme quelque part au Chap III (j'espère, avec la généralité qui convient, et bien entendu modulé …). cf diagramme

\begin{tikzcd} \mathrm{gr}\,B \arrow[r, "\mathrm{surj}"] & \mathrm{gr}\,C \\ B_0 \otimes \mathrm{gr}\,A_i \arrow[r, "\mathrm{bij}"] \arrow[u, "\mathrm{surj}"] & C_0 \otimes \mathrm{gr}\,A_i \arrow[u, "\mathrm{bij}"] \end{tikzcd}

le diagramme est de sa main, tracé au bas du feuillet sous la dernière ligne dactylographiée.

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Enfin, il nous sera commode d'avoir un critère permettant de déduire de la propriété P une propriété de platitude. Nous utiliserons :

Lemme 3.3. Soient A un anneau, (P_i)_{i \in I} une famille de A-modules, P leur produit M un A-module de présentation finie. Alors l'homomorphisme canonique M \otimes P \longrightarrow \prod_i M \otimes P_i est un isomorphisme.

En effet, écrivant M comme ~~comme~~ un conoyau d'un homomorphisme de modules libres de type fini L' \to L, et notant que le foncteur produit est exact donc exact à gauche, on est ramené au cas où M = A^n, n entier > 0, où c'est trivial.

Corollaire 3.4. Supposons A tel que tout module de type fini sur A soit de présentation finie, par exemple A nœthérien. Alors tout produit de A-modules plats est un A-module plat.

En effet, il suffit de montrer que P \otimes transforme un monomorphisme M \to N en un monomorphisme, quand M et N sont de type fini ; le lemme 3 donne alors immédiatement le résultat voulu.

Corollaire 3.5. Supposons que A satisfasse ~~les conditions~~ par exemple A nœthérien de 3.4. Soit P un A-module ~~topologique~~ isomorphe à ~~une~~ la limite projective d'un système projectif strict, ~~de A~~ admettant un système cofinal dénombrable, de A-modules projectifs. Alors P est un A-module plat. le passage biffé au milieu de l'énoncé est frappé de x et couvre deux lignes et demie ; on y lit encore « de A-modules projectifs de type fini (``stricte'' = par un système projectif strict… ``dénombrable'' par un système proj…) ». Les mots « stricte » et « dénombrable » sont repris à la main au-dessus.

En effet, on voit facilement que sous les conditions dites, P est isomorphe à un produit de A-modules projectifs, donc plats, d'où le résultat.

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Théorème 3.6. Soient A un anneau préadmissible muni d'un idéal de définition I = I_0 et d'un système fondamental (I_{i}) d'idéaux de définition \subset I_0, B une A-algèbre topologique. On suppose les A_i = A/I_iA nœthériens, et de plus les conditions suivantes sur B :

a)~~les A_i sont nœthériens~~ a)Les ~~Module~~ Modules topologiques B sur A satisfont la condition P. b)B_0 est formellement simple sur A_0. c)B est adique ~~pour un idéal contenant IB~~ d)Les idéaux I_iB dans B sont fermés (~~inutile~~ automatiquement vérifié si B est nœthérien).

la liste est renumérotée à la main : l'ancien a) est biffé, une clause b) entièrement manuscrite est intercalée, et l'ancien b) devient c).

Sous ces conditions, on a ce qui suit :

(i)B est formellement simple sur A. (ii)Soit C une A-algèbre topologique satisfaisant à c) et d) (mais pas nécessairement à a)), et soit u_0 : B_0 \to C_0 un isomorphisme d'algèbres topologiques. Alors il existe un A-homomorphisme continu u : B \to C se réduisant suivant u_0 (en vertu de (i) et de 1.7.). Ce dernier étant choisi, les conditions suivantes sont équivalentes : 1)B est formellement simple sur A. 2) B satisfait la condition a) ci-dessus, i.e. satisfait la condition P. 3)Les B_i sont plats sur A_i. 4)L'homomorphisme u : B \to C est un isomorphisme de A-algèbres top. 5)C est isom. à B comme A-algèbre top.

Démonstration. L'assertion (i) résulte déjà de a), grâce à 3.1. Prouvons donc (ii). En vertu de (i) déjà prouvé, on a 2) \Rightarrow 1), et évidemment 4) \Rightarrow 2), d'ailleurs 2) \Rightarrow 3) en vertu de 3.5., grâce au fait que les A_i sont nœthériens. Reste à prouver 1) \Rightarrow 4) et 3) \Rightarrow 4).

Supposons 1) vérifié, alors en vertu de 1.7. u_0^{-1} : C_0 \to B_0 se prolonge en un homomorphisme d'algèbres top v : C \to B (grâce aux hypothèses c) et d) ). Or on a déjà noté que les B_i sont plats sur les A_i. Le lemme 3.2. (i) et (iii) (où on échange les rôles de B, C)

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garantit alors que v est un isomorphisme d'algèbres topologiques (grâce à c) et d) pour B et C). Donc ~~les~~ on a 2), donc on a 3) et le même argument en sens inverse montre que 3) implique 4). — Enfin 4) \Rightarrow 5) et 5) \Rightarrow 2). On peut certainement améliorer la rédaction de la démonstration, évitant certaines redites.

Pour simplifier, nous nous restreindrons par la suite à des hypothèses nœthériennes (permettant de nous débarrasser en particulier de la désagréable hypothèse d) sur B).

Définition 3.7. Soit A \to B un homomorphisme continu d'anneaux nœthériens préadiques. On dit que B est une algèbre (topologique) de Cohen sur A si a) B est séparé et complet, i.e. un un anneau adique, b) s'il satisfait à la condition P, et si enfin c) B est formellement simple sur A, ou encore, I étant un idéal de définition de A, B_0 = B/ID formellement simple sur A_0. la phrase manuscrite qui ferme la définition court sur deux lignes en interligne ; elle porte en tête un « = A/I » et sa fin n'est lisible qu'en partie.

On notera qu'en vertu de 3.1., si I est un idéal de définition de A, la dernière condition équivaut à la condition que B/IB est formellement simple sur A/IA. D'ailleurs, on peut interpréter 3.6. de la façon suivante (et il est plus raisonnable de reléguer 3.6. en lemme, et de réserver le corollaire en théorème) :

Corollaire 3.8. Soient A un anneau ~~préadique~~ nœthérien, I un idéal de A, munissons A de la topologie I-préadique, posons A_0 = A/IA, et soit B_0 une A_0-algèbre topologique. Supposons qu'il existe une algèbre de Cohen B sur A telle que B/IB soit isomorphe à B_0 comme A_0-algèbre topologique, ce qui implique B_0 aussi de Cohen sur A_0, alors B est unique à un isomorphisme près ~~induisant l'isomorphisme donné sur~~ (compatible avec les isomorphismes donnés des algèbres ~~réduites~~ réduites mod I avec B_0). De plus, si B est une A-algèbre topologique adique telle que B/IB soit isomorphisme à B_0 comme A_0-algèbre topologique, alors les conditions suivantes sur B sont équivalentes : 0) B est une A-algèbre de Cohen « soit isomorphisme à B_0 » est frappé ainsi ; la lettre qui ouvre la liste des conditions équivalentes est repassée à l'encre et se lit 0) ou a).

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1)B est formellement simple sur A 2)B satisfait la condition P 3)B est plat sur A 3 bis)Pour tout entier n \geqslant 0, B_n = B/I^{n+1}B est plat sur A_n = A/I^{n+1}.

Il reste seulement à montrer l'équivalence de 3) et 3 bis), qui est contenue en effet (moyennant les hypothèses nœthériennes faites) dans la platitude supérieure.

~~Le résultat précédent~~ Il conviendrait de noter ~~aussi~~ dès après 3.7. que ``algèbre de Cohen'' est une notion stable par extension de la base via produits tensoriels complétés : c'est une trivialité.

Le résultat 3.8. montre l'intérêt qu'il y a, A, I et B_0 étant donnés, de disposer d'un théorème d'existence pour une algèbre de Cohen B sur A se réduisant suivant B_0. On notera que la construction habituelle de proche en proche nous ramène ~~au cas où A est discret~~ (remplaçant A par des A_i et I par des puissances) au cas où I est de carré nul, (donc où A est discret). On obtient alors un problème de nature essentiellement infinitésimale, dont nous ignorons s'il existe toujours une solution, faute de savoir caractériser la structure des algèbres de Cohen B_0 sur l'anneau discret A_0. Cependant, nous obtenons (3.10.) un théorème d'existence dans un cas particulier intéressant, en utilisant les résultats du Nº2. Notons d'abord

un long passage biffé de deux grands traits diagonaux, sur six lignes : il portait un « Théorème 3.9 » sur A local nœthérien de corps résiduel k, B_0 une k-algèbre qui soit un anneau local nœthérien complet de corps résiduel K de degré de multiplicité radicielle finie sur k, extension séparable de k, et s'achevait sur « B_0 est (pour sa topolo- ». Il est remplacé par le corollaire qui suit.

Corollaire 3.9. Soit A \to B un homomorphisme local d'anneaux locaux nœthériens, ~~tel que l'extension résiduelle k(B)/k(A) soit à multiplicité~~

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radicielle finie (par exemple, ~~soit~~ séparable) Conditions équivalentes : 1) Pour que B ~~soit~~ est une algèbre de Cohen sur A (sous-entendu : pour les topologies habituelles, — il faudrait le préciser dans 3.7.), ~~il f et suffit que~~ B 2) ~~est~~ plat sur A, complet, et ~~que~~ B_0 = B/\mathfrak{m}B ~~soit~~ est une algèbre de Cohen sur k = A/\mathfrak{m}, i.e. formellement simple sur k, 3) B est formellement simple sur A l'énoncé est retourné à la main en liste de conditions équivalentes : trois numéros manuscrits 1), 2), 3) sont plantés dans la phrase, la troisième condition est écrite en entier à l'encre puis en partie biffée d'un griffonnage, et « il faut et suffit que » est biffé.

(On aura noté après 3.7. que pour une algèbre topologique sur un corps k, Cohen = adique et formellement simple). ~~La nécessité~~ étant déjà ~~acquise~~ (sans hypothèse de multiplicité radicielle finie), prouvons ~~la suffisance~~ 1) \Rightarrow 2) 2) \Rightarrow 1). En vertu de la définition, on est ramené simplement à prouver que B satisfait la condition P. Cela nous ramène au cas où A est artinien. En vertu du Nº2, on sait que B_0 est régulier, considérons un système régulier de paramètres de B_0 (un système de paramètres formant une B_0-suite suffirait), relevons le en un système de paramètres de B, soit x = (x_1, \ldots, x_r). Alors les idéaux engendrés par les x^n = (x_1^n, \ldots, x_r^n), pour n \geqslant 0, forment un système fondamental de voisinages J_n de 0 dans B, d'autre part on constate aussitôt que les B/J_n sont des modules plats sur A (il y a un ~~lemme~~ corollaire dans la platitude supérieure, dans le cas où on divise par un seul élément régulier, cas auquel on est ramené aussitôt). Comme A est artinien, ils sont donc projectifs.

une phrase manuscrite traverse ici la page sur deux lignes, entre « projectifs. » et le NB, et déborde des deux côtés ; on n'en lit avec certitude que des fragments — un « que … 3) \Rightarrow 2) », un « … suffisante », et la fin « … d'ailleurs ci-dessous 3.11. » La ligne dactylographiée « projectifs. » porte à sa suite un mot biffé.

NB On n'a utilisé l'hypothèse sur la multiplicité radicielle que pour ~~pouvoir~~ savoir que B_0 est Cohen-Macaulay. L'hypothèse faite est très probablement inutile. Serre vient de me dire que Mac-Lane a prouvé la réciproque de 2.3. sans hypothèse de multiplicité rad finie, dans ``Note on a relative structure of p-adic fields'' Ann Math t.41 1940, page 751–753. Cela vaudrait peut-être le coup, pour ~~liquider~~ le coup d'œil, que tu regardes cela et donnes le résultat complet dans 2.3. On tout le NB est barré de six longs traits diagonaux au crayon bleu et enfermé dans un crochet ; il est barré, non supprimé, et reste lisible d'un bout à l'autre.

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~~pourra alors resper~~ fait donc dans 3.9. l'hypothèse avec : ``ou r(B) = r(A)B''

Corollaire 3.10. Soient A un anneau local nœthérien, de corps résiduel k, B_0 une k-algèbre qui soit un anneau local nœthérien, et soit une k-algèbre de Cohen i.e. une k-algèbre formellement simple ~~pour sa~~ et complète pour sa topologie ordinaire. Supposons de plus l'extension résiduelle K/k séparable (ce qui n'est donc pas une restriction si B_0 = K mais en est évidemment une en général). Alors il existe une A-algèbre topologique de Cohen B qui se réduit suivant B_0, B est unique à isomorphisme près en vertu de 3.8., et c'est un anneau nœthérien local complet comme il se doit.

En vertu du théorème de structure 3.4. on a B_0 \simeq K[[T_1, \ldots, T_n]] et on est ramené, grâce au critère 3.9. 2) et la transitivité de la platitude, aux deux cas types : 1^{\mathrm{o}}) B_0 = K, 2^{\mathrm{o}}) B_0 = k[[T_1, \ldots, T_n]]. Dans le premier cas, on utilise le résultat général de 0_{\mathrm{III}} 10.3.1., et dans le deuxième cas, il suffit de prendre B = \hat{A}[[T_1, \ldots, T_n]].

~~Théorème 3.11~~ Corollaire 3.11. Sous les conditions de 3.9., si k(B)/k(A) de mult. rad. finie, les conditions 1) et 2) équivalent aussi à : 3) B est complet et formellement simple sur A.

En effet, on sait déjà que ~~c'est nécessaire~~ reste à prouver la 3) \Rightarrow 1) 1) \Rightarrow 3) ~~suffisance~~ ou encore 3) \Rightarrow 2), i.e. on est ramené à prouver simplement que B est plat sur A. Or faisant une extension de la base A \to A', A' local de type fini libre sur A à extension radicielle convenable (cf 0_{\mathrm{III}}), on trouve un B' local sur A' qui sera encore formellement simple sur A', et de plus à extension résiduelle ~~triviale~~ séparable. On dispose alors du théorème d'existence 3.10. qui nous garantit, grâce à 3.8. (équiv de 0) et 1) ) que B' est Cohen sur A' donc plat sur A'. Donc B est plat sur A.

Réduction inutile dans le cas ``vrai'' du NB en bas à droite, de sa main : elle renvoie au NB barré de la page précédente.

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En particulier, on obtient :

Corollaire 3.12. Soient A \to B un homomorphisme local d'anneaux locaux nœthériens, tels que r(B) = r(A)B et ~~que l'extens~~ soit K/k l'extension résiduelle. Conditions équivalentes : 1) B est complet et formellement simple sur A. 2) B est complet, plat sur A, et K/k est séparable. 3) B est une algèbre de Cohen sur A. De plus, une extension séparable K de k étant donnée, il existe une algèbre de Cohen B sur A se réduisant suivant K, et B est unique à isomorphisme de A-algèbres près.

La rédaction commence à faire un peu touffu, j'espère que tu pourras la rendre plus lisible. D'ailleurs, je me repens un peu de la définition 3.7. telle quelle, il n'est pas vraiment naturel de supposer B séparée et complète pour sa topologie propre, mais simplement pour sa topologie IB-adique (ce qui est moins fort) ; mais une telle modification demanderait des réajustements analogues pour 3.2., 3.6. et la suite. Je t'en laisse donc le choix, pensant que le choix adopté n'aura pas de grande importance pratique pour la suite : dans 3.9. à 3.12. cela obligera simplement à supprimer à certains endroits le mot ``complet'', ou à le remplacer par un autre complet ~~en particulier ``Cohen'' deviendra synonyme dans le contexte des anneaux locaux nœthériens de ``formellement simple''~~, — sous réserve de l'embêtante hypothèse de ~~multiplicité radicielle~~. ~~Il est vrai~~ Ce serait plutôt un avantage, ~~mais il est vrai par contre que cela ne s'harmoniserait plus~~ de plus les ~~anneaux de Cohen sont~~

le bas du feuillet porte, sur quatre lignes et dans une écriture très rapide, un début de « Corollaire 3.13 » manuscrit — on y lit « A \to B … local d'anneaux locaux nœth., … de corps … à mult. deg. finie. Alors conditions équivalentes » — aussitôt annulé par cinq grandes boucles. C'est le premier jet du corollaire que le feuillet suivant reprend au propre.

sa page 32

Corollaire 3.13. Soit A \to B un homomorphisme local d'anneaux locaux nœthériens, on suppose k(B)/k(A) à multiplicité radicielle finie (par exemple une extension séparable, ou de type fini), ou k(B) = k(A)B. ~~Conditions~~ On munit A et B de leurs topologies habituelles. Alors les conditions suivantes sont équivalentes : (i) B est formellement simple sur A (ii) B est plat sur A, et B_0 = B \otimes_A k est une algèbre universellement régulière sur k (cf 2.6.).

En effet, les conditions (i) et (ii) étant invariantes par changement de B en \hat{B}, on est ramené au cas où B est complet, où cela est contenu dans 3.11. resp. 2.12. compte tenu que pour B_0, formellement simple = universellement régulier en vertu de 2.6.

Du point de vue pratique, les résultats du présent numéro consistent essentiellement en 3.13., ~~et l'existence~~ l'unicité (moyennant les conditions de 3.13.) du B correspondant à un B_0 donné, sous réserve que B soit complet pour la topologie r(A)-adique (cette unicité étant un corollaire immédiat d'ailleurs, puisqu'on dispose pour B des deux propriétés complémentaires formellement simple + plat), et enfin l'existence moyennant la séparabilité de K/k. À force de dévissage et de généralité, cette substance n'apparait pas assez clairement, et la terminologie ``algèbre de Cohen'' introduite concurremment à ``formellement simple'' risque plutôt d'embrouiller les idées (d'autant plus que nous n'utiliserons plus jamais que ``formellement simple''). Aussi le présent numéro rendra peut-être plus service si on commence à énoncer simplement 3.13. en théorème, avec le corollaire bien senti précédent, et qu'on les démontre simultanément en deux pages ou trois, ~~avec~~ en laissant de côté tout le fatras anneaux admissibles, algèbres de Cohen etc. Commencer par l'existence d'un B satisfaisant à la fois (i) et (ii) si K/k est séparable, se ramener à ce cas pour 3.13. par descente comme dans 3.11. prouver 3.13. alors par comparaison du B-type avec le B donné, ce qui donne en même temps l'unicité, et un point c'est tout.

(garder cependant 3.1. au Nº3. On peut signaler 2.6. pour remarque, à réserver pour l'avenir) écrit verticalement dans la marge de gauche, sur quatre lignes, en regard du dernier alinéa.

Questions ouvertes

Le feuillet 18 est une couverture : une feuille par ailleurs nue, portant en haut à droite, de sa main, le seul mot « Questions ». Il ne reçoit pas de page ; les deux feuillets manuscrits qu'il enveloppe suivent. Ceux-ci sont d'une écriture rapide et fine, et la prose de liaison ne se laisse lire qu'en partie : ce qui suit garde les énoncés et laisse partout où la feuille ne porte pas de lecture sûre.

Questions ouvertes

1)Soit A algèbre locale nœthérienne sur k. Est-il vrai que A formellement simple sur k si A est universellement régulière sur k [définition, pour hom. local A \to B d'anneaux locaux nœthériens, équivalence entre « ft simple » et « universellement régulier » sur A ]. 2)Soit A algèbre locale nœthérienne sur k, ft simple sur k (pour sa topologie habituelle). Est-il vrai que A est ft simple pour sa top. discrète ? Ou : A est complète ? ( possible que le rigoureux soit 0). — On peut . A plat sur \Lambda, \Lambda nœthériens : si les de A est ft simple sur de \Lambda pour une topologie habituelle, A est-il ft. simple sur \Lambda pour sa top. discrète. 3)B plat sur A, A et B nœthériens. L' de \mathrm{Spec} B dans l' fermé dans le \mathrm{Spec}\,A est ft simple sur le corps résiduel de A, est-il ouvert ? [ Si B pas A,

un long bloc de sa main court en oblique, de bas en haut, dans toute la marge de gauche du feuillet, sur une douzaine de lignes ; c'est un ajout postérieur au corps de la page. Il n'a pas pu être lu. On y distingue seulement, dans les premières lignes, « Faut-il supposer vraiment ? Peut-être qu'… », ainsi qu'une formule « \Lambda = VA » ou « \mathfrak{p} \cap A » ; à hauteur de la question 1) figure en outre une brève note isolée, de deux ou trois caractères.

l' des Vs de tout B B l'est aussi ? ]. Il faut-il supposer que A et B soient des « bons anneaux ».

~~l' A, A local, A \to B localisation ?~~ Cf IV 2.10.1 la ligne barrée et la mention « Cf IV 2.10.1 » sont réunies par un crochet tracé à l'encre ; c'est le seul renvoi précis à un autre chapitre que portent ces deux feuillets.

d'extension résiduelle finie.

contre-t-il critère jacobien de de Nagata pour une algèbre locale nœth on a dit en vrais.

Ok. en caractéristique 0 pour les bons , puis : la résolution des singularités. « bons », « résolution des singularités » et le dernier mot sont soulignés sur la feuille.

4)A \to B hom d'anneaux nœth. L' des Vs de tout B le quotient D sur A est-il ouvert ? [ enfin que VA \mathfrak{p} \cap \mathrm{Spec}\,A, et VA de VA A' = A_{\mathfrak{p}}, B' = A_{\mathfrak{p}} \Lambda \subset B' B \otimes_{A'} B' plat sur A'. ]

la question 4) est tracée dans la moitié droite du feuillet, en colonne étroite, et ses dernières lignes chevauchent l'en-tête imprimé du papier ; elles ne se lisent que par fragments. Les identifications A', B' portées ici sont douteuses.

comme au feuillet précédent, un bloc écrit en oblique occupe toute la marge de gauche, plus dense encore : une vingtaine de lignes, avec au moins trois renvois numérotés (1), (2), (3) et des passages soulignés. Il n'a pas pu être lu.