Cote n° 2 · batch 3 · pages 41–44 · Transcription · Théorème de Riemann-Roch / RR [Riemann-Roch] Notes Antiques (antérieur[es à] 1958) : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [1957]
Édition de démonstration

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Le cas d'une fibration, et les premiers exemples

41la page commence par la formule encadrée numérotée (1 ter), qui poursuit les formules (1), (1 bis) et (2) de la page 40 : les deux feuillets sont d'une même course

\[\tau_{h}(Y)\sum_{i}(-1)^{i}\,\varphi_{Y}\bigl(E^{(i)}\bigr) \;=\; f_{*}\bigl(\tau_{h}(X)\cdot\varphi_{X}(E)\bigr) \tag{1 ter}\]

Prenant les […] des deux membres, ce[tte] formule se réduit essentiellement à : R.R. usuel (\(Y\) réduit à un point !) sur le fibre. En effet, cet énoncé étant local, le membre de gauche est égal : \[\sum_{i}(-1)^{i}\,\mathrm{rg}\,E^{(i)} \;=\; \chi(Z;\,E|Z)\] (\(Z\) étant une fibre de \(X \to Y\)), le membre de droite est égal aussi : \[K_{p}\Bigl(i^{*}\bigl[\bigl(\tau_{h}(X)\cdot\varphi_{X}(E)\bigr)^{(p)}\bigr]\Bigr),\] où \(i : Z \to X\) […] l'application identique, et où \(p\) […] la dimension de la fibre, et où \(^{(p)}\) […] […] […] de degré \(p\). On a […] : \[\begin{align*} i^{*}[\;\;] &= i^{*}\bigl(\tau_{h}(X)\bigr)\,\struck{\ill{}}\cdot i^{*}\bigl(\varphi_{X}(E)\bigr) \\ &= \tau_{h}\bigl(C_{Z}(i^{*}(T_{X}))\bigr)\, \varphi_{Z}\bigl(i^{*}(E)\bigr) \\ &= \tau_{h}\bigl(C_{Z}(T_{Z})\bigr)\,\varphi_{Z}(E|Z) \;=\; \tau_{h}(Z)\,\varphi_{Z}(E|Z) . \end{align*}\]

Ce[ci] redonne bien [(][…][)] la formule de Hirzebruch pour le fibre. — Mais, prenant des […] composantes de degré \(\geqslant 1\) des deux membres, on obtient des classes de Chern [(][…][)] de \(\sum_{i}(-1)^{i}E^{(i)}\) [(][…][)] de \(E^{(0)}\), ce qui n'est pas contenu dans la formule de Hirzebruch proprement dite. Ce[ci] traduit en particulier le résultat suivant (qui n'est pas non plus trivial) : pour \(n\) grand, la classe de Chern modifiée de \(E(n)^{\circ} = f_{*}(E(n))\) dépend polynômialement […] les deux dernières lignes courent au bas du feuillet sous une longue barre, terminée par une flèche vers la droite : c'est une note ajoutée au résultat annoncé, et non la suite du texte

[…] ensuite […] dans le cas général

42de \(n\). […] la ligne qui ouvre le feuillet achève la note portée au bas de la page 41 : « dépend polynômialement » / « de \(n\) ». Ce qui la suit, d'une encre plus pâle, ne se laisse pas lire

\[\varphi_{X}\bigl(E(n)\bigr) \;=\; \varphi_{X}(E)\,\struck{\ill{}}\,e^{n\xi} .\] d'où \[\tau_{h}(X)\,\varphi_{X}\bigl(E(n)\bigr) \;=\; \tau_{h}(X)\,\varphi_{X}(E)\,e^{n\xi} \;=\; \sum_{k} n^{k}\left[\frac{\xi^{k}}{k!}\,\tau_{h}(X)\,\varphi_{X}(E)\right]\] et \[f_{*}\bigl(\tau_{h}(X)\,\varphi_{X}(E(n))\bigr) \;=\; \sum_{k} n^{k}\, f_{*}\!\left(\frac{\xi^{k}}{k!}\,\tau_{h}(X)\,\varphi_{X}(E)\right)\]

Cas de morphismes propres particuliers

le titre est de lui, séparé de ce qui précède par un trait ondulé

1) Morphismes d'une courbe […] dans une variété \(X\). une addition interlinéaire d'une encre plus claire court au-dessus de « courbe » et rejoint le mot biffé : elle ne se laisse pas lire. À partir d'ici et jusqu'au bas du feuillet, \(X\) désigne la courbe et \(Y\) le but ; la lettre est effacée sous un pâté à chacune de ses premières occurrences, et la formule encadrée porte \(f : X \to Y\)

On va évidemment supposer \(f\) un morphisme, \(X\) et \(Y\) irréductibles.

[…] \[K(\ill{}) \;\simeq\; \mathbf{Z} + P(\ill{}),\] un isomorphisme étant précisément donné par le morphisme […] \(\widetilde{C}\) de Chern. On doit […] […] calculer, où \(\xi = (n,d)\) […] \(f_{!}(\xi) \in K(Y)\) […] fonction de \(n\), \(d\). Notons […] \[\varphi_{X}(\xi) = n + d, \qquad \widetilde{C}(T_{X}) = (1, -k),\] d'où \[\tau_{h}(X) \;=\; \frac{-k}{1 - e^{k}} \;=\; 1 - \tfrac{1}{2}k,\] \(k\) étant la classe canonique. D[…] […]. \[\varphi_{X}(\xi)\,\tau_{h}(X) \;=\; \bigl(1 - \tfrac{1}{2}k\bigr)(n + d) \;=\; \struck{\ill{}}\;\; n + \bigl(d - n\tfrac{1}{2}k\bigr)\]

a) \(Y\) est une courbe. Soit \(k'\) son diviseur canonique, d'où \(\tau_{h}(Y) = 1 - \tfrac{1}{2}k'\). Soit \(\delta\) le degré de \(f\). Alors on a \(f_{*}(1) = \delta\), donc \[f_{*}\bigl(\varphi_{X}(\xi)\,\tau_{h}(X)\bigr) \;=\; n\delta + \bigl(f_{*}(d) - n f_{*}(\tfrac{1}{2}k)\bigr)\] d'où \[\begin{align*} \varphi_{X}\bigl(f_{!}(\xi)\bigr) &= \tau_{h}(Y)^{-1} f_{*}(\cdot\;\ill{}) = \bigl(1 + \tfrac{1}{2}k'\bigr) \Bigl(n\delta + \bigl(f_{*}(d) - n f_{*}(\tfrac{1}{2}k)\bigr)\Bigr) \\ &= n\delta + \Bigl[n\delta\tfrac{1}{2}k' + f_{*}(d) - n f_{*}(\tfrac{1}{2}k)\Bigr] \end{align*}\] le membre de gauche est écrit \(\varphi_{X}\) sur le feuillet, là où le calcul demande le caractère de Chern sur \(Y\) ; la lettre est reproduite telle quelle […] \[f_{!}(\xi) \;=\; \Bigl(n\delta,\;\; n\delta\tfrac{1}{2}k_{y} + f_{*}(d) - n f_{*}\bigl(\tfrac{1}{2}k_{x}\bigr)\Bigr) \qquad (f : X \to Y)\] dans l'encadré il distingue les deux classes canoniques en portant la base en indice : \(k_{y}\) pour le \(k'\) des lignes précédentes, \(k_{x}\) pour le \(k\) de la courbe

43p. ex. si […] est un revêtement […] [(][…][)] de degré \(\delta\) de \(Y\) par \(f\), alors \(f_{*}(\mathcal{O}_{X})\) est un […] fibré vectoriel sur \(X\) correspondant à un fibré […] de degré […] \(-\,g\,\delta\), et donc la classe de Chern est \[\tfrac{1}{2}\,\struck{\ill{}}\bigl(\delta k_{Y} - f_{*}(k_{X})\bigr) .\] le feuillet place \(f_{*}(\mathcal{O}_{X})\) « sur \(X\) », là où le calcul le demande sur \(Y\) ; la lettre est reproduite telle quelle

b) \(Y\) est une surface non singulière. Soient \(k_{Y}\) et […] les deux […] de Chern des fibrés tangents […], dont \(k_{Y}^{(1)}\) est la classe canonique, \(k_{Y}^{2}\) […]. ces trois lignes sont barrées d'un long trait horizontal et portent deux additions interlinéaires : seuls les mots donnés ici se laissent lire

\[c(T_{Y}) \;=\; 1 - k_{Y}^{1} + \ill{}\] d'où \[\tau_{h}(Y) \;=\; 1 - \tfrac{1}{2}k_{Y}^{1} + \struck{\ill{}}\;\ill{},\] et […] \[\tau_{h}(Y)^{-1} \;=\; 1 + \tfrac{1}{2}k_{Y}^{1} + \struck{\ill{}} + \tfrac{1}{4}k_{Y}^{1\,2} \;=\; 1 + \tfrac{1}{2}k_{Y}^{1} + \tfrac{1}{12}\bigl[\,k_{Y}^{2}\;\ill{}\;k_{Y}^{1\,2}\,\bigr]\] le signe qui joint les deux termes du crochet est recouvert et ne se laisse pas trancher

\[f_{*}(1) \;=\; \delta f(X) \;=\; \delta\,\struck{\ill{}}\;C\] \(C\) […] de \(X\) […] définie comme classe de diviseurs, et \(\delta\) le degré de \(X \to C\).

\(f_{*}(k_{X})\), \(f_{*}(d)\) : classes de \(0\)-cycles.

\[\varphi_{Y}\bigl(f_{!}(\xi)\bigr) \;=\; \Bigl[\,1 + \tfrac{1}{2}k_{Y} + \struck{\ill{}}\,\Bigr] \Bigl[\,\struck{\ill{}}\;\; n\delta C + \bigl(f_{*}(d) - \tfrac{1}{2}n\,f_{*}(k_{x})\bigr)\Bigr]\] \[\varphi_{Y}\bigl(f_{!}(\xi)\bigr) \;=\; n\delta C + \Bigl[\,f_{*}(d) - \tfrac{1}{2}n\,f_{*}(k_{x}) + \tfrac{1}{2}n\delta\,(C\cdot k_{Y})\,\Bigr]\] \[\begin{align*} c_{Y}\bigl(f_{!}(\xi)\bigr) &= \exp\bigl(n\delta C - [\;\;]\bigr) \\ &= 1 + n\delta C - [\;\;] + \tfrac{1}{2}n^{2}\delta^{2}C^{2} \end{align*}\] le crochet laissé vide renvoie au crochet de la formule encadrée qui précède d'où \[c_{Y}\bigl(f_{!}(\xi)\bigr) \;=\; 1 + n\delta C + \Bigl[\,\tfrac{1}{2}n^{2}\delta^{2}C^{2} - \tfrac{1}{2}n\delta\,C k_{Y} - f_{*}(d) + \tfrac{1}{2}n\,f_{*}(k_{X})\,\Bigr]\] […], \(n = \delta = 1\) […] on trouve \[c_{Y}\bigl(f_{!}(\xi)\bigr) \;=\; 1 + C + \Bigl[\,\tfrac{1}{2}\bigl(C^{2} - C k_{Y}\bigr) - f_{*}(d) + \tfrac{1}{2}f_{*}(k_{X})\,\Bigr]\] sur le feuillet les trois résultats de ce paragraphe sont encadrés

44En particulier, on trouve la dernière classe de Chern d'une courbe \(C\) dans la surface \(Y\) : \[c^{2}(\mathcal{O}_{C}) \;=\; \tfrac{1}{2}\bigl[\,C^{2} - C k_{Y} + f_{*}(k_{\widetilde{C}})\,\bigr]\] l'indice du dernier \(k\) est recouvert d'encre ; il est lu sur la ligne suivante, qui nomme \(k_{\widetilde{C}}\) où \(f : \widetilde{C} \to \ill{}\) est l'homomorphisme canonique dans \(X\) de la […] normalisée \(\widetilde{C}\) de \(C\), et \(k_{\widetilde{C}}\) la classe canonique sur \(\widetilde{C}\). Si \(Y\) est compacte, et \(\widetilde{C}\) […] genre \(g\), on trouve, en prenant le \(K_{2}\) des deux membres : \[K_{2}\bigl(c^{2}(\mathcal{O}_{C})\bigr) \;=\; \tfrac{1}{2}\bigl[\,C^{2} - C k_{Y} + 2g - 2\,\bigr] \;=\; \tfrac{1}{2}\bigl(C^{2} - C k_{Y}\bigr) + g - 1\] la surface est appelée \(Y\) dans les formules et \(X\) dans la phrase qui les commente, sans que rien sur le feuillet distingue les deux ; l'opérateur \(K_{2}\) est celui de la page 41, où \(K_{p}\) prend la composante de degré \(p\). Le feuillet s'arrête ici et le reste en est blanc : c'est la fin du dossier