Le cas d'une fibration, et les premiers exemples
la page commence par la formule encadrée numérotée (1 ter), qui poursuit
les formules (1), (1 bis) et (2) de la page 40 : les deux feuillets sont d'une
même course
\tau_{h}(Y)\sum_{i}(-1)^{i}\,\varphi_{Y}\bigl(E^{(i)}\bigr)
\;=\; f_{*}\bigl(\tau_{h}(X)\cdot\varphi_{X}(E)\bigr)
\tag{1 ter}
Prenant les des deux membres, cette formule se réduit
essentiellement à : R.R. usuel (Y réduit à un
point !) sur le fibre. En effet, cet énoncé étant local, le membre
de gauche est égal :
\sum_{i}(-1)^{i}\,\mathrm{rg}\,E^{(i)} \;=\; \chi(Z;\,E|Z)
(Z étant une fibre de X \to Y), le membre de droite est égal aussi :
K_{p}\Bigl(i^{*}\bigl[\bigl(\tau_{h}(X)\cdot\varphi_{X}(E)\bigr)^{(p)}\bigr]\Bigr),
où i : Z \to X l'application identique, et où p la dimension
de la fibre, et où ^{(p)} de degré p. On a :
\begin{align*}
i^{*}[\;\;] &= i^{*}\bigl(\tau_{h}(X)\bigr)\,\struck{\ill{}}\cdot
i^{*}\bigl(\varphi_{X}(E)\bigr) \\
&= \tau_{h}\bigl(C_{Z}(i^{*}(T_{X}))\bigr)\,
\varphi_{Z}\bigl(i^{*}(E)\bigr) \\
&= \tau_{h}\bigl(C_{Z}(T_{Z})\bigr)\,\varphi_{Z}(E|Z)
\;=\; \tau_{h}(Z)\,\varphi_{Z}(E|Z) .
\end{align*}
Ceci redonne bien () la formule de Hirzebruch pour le
fibre. — Mais, prenant des
ensuite dans le cas général
de n.
la ligne qui ouvre le feuillet achève la note portée au bas de la page
41 : « dépend polynômialement » / « de n ». Ce qui la suit, d'une encre plus
pâle, ne se laisse pas lire
\varphi_{X}\bigl(E(n)\bigr) \;=\; \varphi_{X}(E)\,\struck{\ill{}}\,e^{n\xi} .
d'où
\tau_{h}(X)\,\varphi_{X}\bigl(E(n)\bigr)
\;=\; \tau_{h}(X)\,\varphi_{X}(E)\,e^{n\xi}
\;=\; \sum_{k} n^{k}\left[\frac{\xi^{k}}{k!}\,\tau_{h}(X)\,\varphi_{X}(E)\right]
et
f_{*}\bigl(\tau_{h}(X)\,\varphi_{X}(E(n))\bigr)
\;=\; \sum_{k} n^{k}\, f_{*}\!\left(\frac{\xi^{k}}{k!}\,\tau_{h}(X)\,\varphi_{X}(E)\right)
Cas de morphismes propres particuliers
le titre est de lui, séparé de ce qui précède par un trait ondulé
1) Morphismes d'une courbe
On va évidemment supposer f un morphisme, X et Y
irréductibles.
a) Y est une courbe. Soit k' son diviseur canonique, d'où
\tau_{h}(Y) = 1 - \tfrac{1}{2}k'. Soit \delta le degré de f.
Alors on a f_{*}(1) = \delta, donc
f_{*}\bigl(\varphi_{X}(\xi)\,\tau_{h}(X)\bigr)
\;=\; n\delta + \bigl(f_{*}(d) - n f_{*}(\tfrac{1}{2}k)\bigr)
d'où
\begin{align*}
\varphi_{X}\bigl(f_{!}(\xi)\bigr)
&= \tau_{h}(Y)^{-1} f_{*}(\cdot\;\ill{})
= \bigl(1 + \tfrac{1}{2}k'\bigr)
\Bigl(n\delta + \bigl(f_{*}(d) - n f_{*}(\tfrac{1}{2}k)\bigr)\Bigr) \\
&= n\delta + \Bigl[n\delta\tfrac{1}{2}k' + f_{*}(d)
- n f_{*}(\tfrac{1}{2}k)\Bigr]
\end{align*}
le membre de gauche est écrit \varphi_{X} sur le feuillet, là où le
calcul demande le caractère de Chern sur Y ; la lettre est reproduite telle
quelle
f_{!}(\xi) \;=\; \Bigl(n\delta,\;\;
n\delta\tfrac{1}{2}k_{y} + f_{*}(d)
- n f_{*}\bigl(\tfrac{1}{2}k_{x}\bigr)\Bigr)
\qquad (f : X \to Y)
dans l'encadré il distingue les deux classes canoniques en portant la
base en indice : k_{y} pour le k' des lignes
précédentes, k_{x} pour le k de la courbe
p. ex. si
b) Y est une surface non singulière. Soient k_{Y} et les deux
de Chern des fibrés tangents , dont k_{Y}^{(1)} est la
classe canonique, k_{Y}^{2}
c(T_{Y}) \;=\; 1 - k_{Y}^{1} + \ill{}
d'où
\tau_{h}(Y) \;=\; 1 - \tfrac{1}{2}k_{Y}^{1} + \struck{\ill{}}\;\ill{},
et
\tau_{h}(Y)^{-1} \;=\; 1 + \tfrac{1}{2}k_{Y}^{1} + \struck{\ill{}}
+ \tfrac{1}{4}k_{Y}^{1\,2}
\;=\; 1 + \tfrac{1}{2}k_{Y}^{1}
+ \tfrac{1}{12}\bigl[\,k_{Y}^{2}\;\ill{}\;k_{Y}^{1\,2}\,\bigr]
le signe qui joint les deux termes du crochet est recouvert et ne se
laisse pas trancher
f_{*}(1) \;=\; \delta f(X) \;=\; \delta\,\struck{\ill{}}\;C
C de X définie comme classe de diviseurs, et \delta le
degré de X \to C.
f_{*}(k_{X}), f_{*}(d) : classes de 0-cycles.
\varphi_{Y}\bigl(f_{!}(\xi)\bigr)
\;=\; \Bigl[\,1 + \tfrac{1}{2}k_{Y} + \struck{\ill{}}\,\Bigr]
\Bigl[\,\struck{\ill{}}\;\; n\delta C
+ \bigl(f_{*}(d) - \tfrac{1}{2}n\,f_{*}(k_{x})\bigr)\Bigr]
\varphi_{Y}\bigl(f_{!}(\xi)\bigr) \;=\; n\delta C
+ \Bigl[\,f_{*}(d) - \tfrac{1}{2}n\,f_{*}(k_{x})
+ \tfrac{1}{2}n\delta\,(C\cdot k_{Y})\,\Bigr]
\begin{align*}
c_{Y}\bigl(f_{!}(\xi)\bigr)
&= \exp\bigl(n\delta C - [\;\;]\bigr) \\
&= 1 + n\delta C - [\;\;] + \tfrac{1}{2}n^{2}\delta^{2}C^{2}
\end{align*}
le crochet laissé vide renvoie au crochet de la formule encadrée qui
précède
d'où
c_{Y}\bigl(f_{!}(\xi)\bigr) \;=\; 1 + n\delta C
+ \Bigl[\,\tfrac{1}{2}n^{2}\delta^{2}C^{2}
- \tfrac{1}{2}n\delta\,C k_{Y} - f_{*}(d)
+ \tfrac{1}{2}n\,f_{*}(k_{X})\,\Bigr]
, n = \delta = 1
En particulier, on trouve la dernière classe de Chern d'une courbe C dans la
surface Y :
c^{2}(\mathcal{O}_{C}) \;=\; \tfrac{1}{2}\bigl[\,C^{2} - C k_{Y}
+ f_{*}(k_{\widetilde{C}})\,\bigr]
l'indice du dernier k est recouvert d'encre ; il est lu sur la ligne
suivante, qui nomme k_{\widetilde{C}}
où f : \widetilde{C} \to \ill{} est l'homomorphisme canonique
dans X de la