Cote n° 2, pages 21–40

Cote n° 2 · batch 2 · pages 21–40 · Transcription · Théorème de Riemann-Roch / RR [Riemann-Roch] Notes Antiques (antérieur[es à] 1958) : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [1957]
Édition de démonstration

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Comparaison de $CK$ et de $GK$

Démonstration. Comme $CB \to CK$un indice, surchargé, est écrit sous le premier $C$ et $GB \to GK$ sont surjectifs, on est ramené au cas de $B$.

Soit $\xi^{i} \in C^{i}(B)$ provenant de $P \in B^{(i)}$, on a \[\psi_{B}(\xi^{i}) \;=\; C^{i}_{B}(P) \struck{\bigl(\gamma^{i}(X_{s}) \ldots\bigr)} ,\] d'où \[\varphi_{B}\psi_{B}(\xi^{i}) \;=\; \varphi_{B}\bigl(C^{i}_{B}(P)\bigr) \;=\; c^{i}_{B}(P) \;\equiv\; \struck{c^{i}_{B}}\ \struck{dans}\ \gamma^{i}\bigl(P - \varepsilon(P)\bigr) \pmod{B^{(i+1)}} ,\] […] \[\gamma^{i}\bigl(P - \varepsilon(P)\bigr) \;-\; (-1)^{i-1}(i-1)!\,P \;\in\; B^{(i+1)} ,\] mais […], on utilise la filtration de $B$, […] l'image par $\widetilde{c}_{B}$ […] […] […] $\widetilde{CB}^{(i+1)}$. […] […] […] \[\gamma^{i}\bigl(\overline{P} - \varepsilon(\overline{P})\bigr) \;-\; (-1)^{i-1}(i-1)!\,\overline{P}\] où $\overline{P} = \widetilde{C}_{B}(P) \in \struck{B}\,\widetilde{CB}^{(i)}$. Je ne […] bien […] que […] […] […] l'expression […] dans $\widetilde{CB}^{(i+1)}$. […] \[\varphi_{B}\psi_{B} \;=\; (-1)^{i-1}(i-1)! \quad \text{en degré } i .\] On en conclut que \[(\psi_{B}\varphi_{B})\psi_{B} \;=\; (-1)^{i-1}(i-1)!\,\psi_{B} \quad \text{en degré } i .\] Or […] $B$ $CB$ et $\psi_{B}\varphi_{B}$ […] sans torsion, […] […] simple […] facilement. […] $GB$ et $CB$ sans torsion, […] […] [[…] $\psi_{B}$ […] […] $S$ […] ; un élément […]] Il en résulte bien que \[\psi_{B}\varphi_{B} \;=\; (-1)^{i-1}(i-1)! ,\] cqfd.

[…] que $\varphi_{B} : CB \to GB$ est surjectif ([…] […] $S$ […] ; un élément) donc bijectif […] $\varphi_{B}\psi_{B} = (-1)^{i-1}(i-1)!$, et comme $CB$ est sans torsion. […]

Prop. 3. $\varphi_{B}$ est bijectif.

Corollaire. $\varphi_{K}$ est toujours surjectif. Son noyau est un groupe de torsion.

La première assertion résulte de ce que $GB \to GK$ est surjectif. La seconde assertion résulte de $\psi_{K}\varphi_{K} = (-1)^{i-1}(i-1)!$.

Question. Est-ce que $\varphi_{K}$ est toujours bijectif ??? Non ([…] […] finie $X_{s} = L$) (i.e. $K = K(P^{\,n-1})$) la réponse est encadrée sur le feuillet, avec le renvoi à l'exemple qui suit

Exemple. Soit[…] $K = \mathbb{Z}[L]/(L-1)^{n}$ […] $\bigl(\lambda_{t}L = 1 + Lt\bigr)$, donc \[CK \;=\; \mathbb{Z}[\xi] \big/ \text{idéal engendré par } (1+\xi)^{*n} \;=\; 1 + (-1)^{n-1}(n-1)!\,\xi^{n} + \cdots\] donc si $n-1 > 1$ i.e. $n \geqslant 3$, $CK$ a de la torsion. Cependant, on vérifie la filtration de $K$ […] par les […] isobares […] $\gamma^{i}\bigl(L - \varepsilon(L)\bigr) = \gamma^{i}(L-1)$ qui sont […] égaux : $L-1$ si $i = 1$, $0$ si $i > 1$. Donc la filtration de $K$ est celle par les puissances de l'idéal ⌜d'augmentation⌝ $(L-1)$, donc le gradué associé est sans torsion.

Mais si on […] l'idéal […] (qui […] […] $P(n-1)$) […] $L-1$ […] : […] $0$ […] $CK = \mathbb{Z}[\xi]/\xi^{n}$ […] la note court en diagonale le long du bord gauche du feuillet ; seuls l'idéal, $P(n-1)$ et l'anneau $\mathbb{Z}[\xi]/\xi^{n}$ s'en laissent lire

Proposition (à prouver directement) : Soit $K$ un $\lambda$-anneau, $(X_{s})_{s \in S}$ une famille d'éléments géométriques de $K$, $K'$ le sous-$\lambda$-anneau engendré par les $X_{s}$, $c$ un […] $K \to \widetilde{A}$. Conditions équivalentes : (i) $c^{i}(X_{s}) = 0$ si $i > \varepsilon(X_{s})$ ; (ii) tout le bloc est barré d'une grande croix, et (ii) est resté vide ; il est repris, sous une autre forme, à la page 27

\[B \;=\; \mathbb{Z}\bigl[\,(\lambda^{i}(X_{s}))_{s \in S,\; 1 \leqslant i \leqslant \varepsilon(s)},\; (\lambda^{d}(Y_{t}))_{t \in T,\; d \geqslant 1}\,\bigr]\] augmentation définie par les $\varepsilon(s)$, $\varepsilon(t)$ ; \[CB \;=\; \mathbb{Z}\bigl[\,(\xi^{i}_{s})_{s \in S,\; 1 \leqslant i \leqslant \varepsilon(s)},\; (\eta^{d}_{t})_{t \in T,\; d \geqslant 1}\,\bigr] .\]

Filtration sur $B$ : pour $B^{(k)} =$ sous-[…] ⌜engendré⌝ […] par les \[P\Bigl(\bigl(\gamma^{i}(X_{s} - \varepsilon(X_{s}))\bigr),\; \bigl(\gamma^{d}(Y_{t} - \varepsilon(Y_{t}))\bigr)\Bigr) ,\] avec $P$ […] isobare de poids $\geqslant k$.

[…] E). Lemme. Posons $c^{i}(x) = \gamma^{i}\bigl(x - \varepsilon(x)\bigr) \bmod B^{(i+1)}$. Alors \[x \;\longmapsto\; \widetilde{c}(x) \;=\; \bigl[\,\varepsilon(x),\; 1 + c^{1}(x)\,t + \cdots \,\bigr]\] est un $\lambda$-homomorphisme de $B$ dans $\widetilde{GB}$.

En effet, $\widetilde{c}(x+y) = \widetilde{c}(x)\,\widetilde{c}(y)$ se réduit à $\gamma_{t}(x' + y') = \gamma_{t}(x')\,\gamma_{t}(y')$ (posant $x' = x - \varepsilon(x)$, $y' = y - \varepsilon(y)$). Prouvons \[\widetilde{c}(xy) \;=\; \widetilde{c}(x) \ast \widetilde{c}(y) :\] a) $x = 1$ ou $y = 1$, trivial ; b) $x$ et $y$ d'augmentation $0$. Alors

i.e. $c^{i}(xy) = Q_{i}$ \[\widetilde{c}(xy) \;=\; Q_{i}\bigl(c^{1}(x), \ldots, c^{i}(x);\; c^{1}(y), \ldots, c^{i}(y)\bigr) \qquad \text{\uncertain{soit}} \ \ill{}\] […] \[\gamma^{i}(xy) \;\equiv\; Q_{i}\bigl(\gamma^{1}(x), \ldots, \gamma^{i}(x);\; \gamma^{1}(y), \ldots, \gamma^{i}(y)\bigr) .\] On […] […]. Mais $\gamma^{i}(xy) =$ polynôme à […] en les $\gamma^{k}(x)$, $\gamma^{h}(y)$, et […] […] […] que […] polynôme est d'[…] $\geqslant i$, et […] $Q_{i}$ de poids […] […] […] $Q_{i}$ la page s'arrête ici : le polynôme universel est annoncé et sa forme n'est pas écrite

Proposition. Soit $x \in \widetilde{A}$ tel que ⌜[…] $\varepsilon(x) = n$ et⌝ $\lambda^{i}(x) = 0$ pour $i > n$, i.e. tel que $\lambda_{t}(x)$ soit un polynôme de degré $\leqslant n$. Alors […] \[(i-1)!\;x^{i} \;=\; 0 \qquad \text{pour } i > n .\]

En effet, $\lambda^{n}(x)$ […] […] […] pour […] $x$ […] […] nilpotent \[\gamma^{m}\bigl(x - \varepsilon(x)\bigr) \;=\; 0 \qquad \text{pour } m > n ,\] pour $[\,1,\; 1 + x^{1}\,\ill{}\,]$ […] […] […] […] ⌜du groupe⌝ de $\widetilde{A}$, […]. D'où la conclusion.

Remarque. Pour que $x = [\,n,\; 1 + \cdots + x^{n} + x^{n+1}\,]$ soit […], […] $A^{n+1} = 0$, il faut et il suffit que […] $n!\;x^{n+1} = 0$. Il faut […], posons $X = [\,n,\; 1 + x^{1} + \cdots + x^{n}\,]$, $Y = [\,n+1,\; 1 + X^{n+1}\,]$, d'où $x = X + Y - (n+1)$, que $\lambda_{t}(X)\,\lambda_{t}(Y)$ est divisible par $(1+t)^{\ill{}}$, i.e. \[D^{i}_{t}\bigl(\lambda_{t}(X)\,\lambda_{t}(Y)\bigr)\big|_{t=-1} \;=\; 0 \qquad \text{pour } 0 \leqslant i \leqslant \uncertain{m} ,\] […] […] $\lambda$-[…] […].

Corollaire. Soit $x$ un […] […] ⌜Soit $n = \varepsilon(x)$, et $m > \ill{}$⌝ $\varepsilon(x)$ $\lambda^{i}(x)$. Alors $\gamma^{m}(x - \struck{\ill{}})$ […] […] […] les $\lambda^{i}(X)$ ($i > n$) et […] d'où dans $P\bigl(\{\gamma^{i}(x - n)\}\bigr)$, $P$ […] […] […] $m+1$ en les $\gamma^{i}(X - n)$.

On peut supposer $A = \mathbb{Z}\bigl[(\lambda^{i}(X))_{i \geqslant m}\bigr]$, $\varepsilon(X) = m$ ⌜pour $x = X + n$ ($\varepsilon(X) = 0$)⌝.

Démonstration. Soit $I$ l'idéal […] par les $\lambda^{i}(X)$ ($i > n$), […] que $\gamma^{m}(X - n)$ […] $I$ […] : l'[…] signifie que […] l'idéal engendré par les $P\bigl(\gamma^{i}(X - n)\bigr)$, $P$ isobare de poids $m+1$. Or […] […] $B = \mathbb{Z}\bigl[(\lambda^{i}(X))_{1 \leqslant i \leqslant n}\bigr]$ : signifie […] $=$ […] […]. […] […] […], $\gamma^{m}(X - n)$ […] de « filtration » $\geqslant m+1$ (pour $m > n$). le bas de la page, depuis le corollaire, est traversé de longs traits de crayon en diagonale ; un calcul barré dans la marge gauche, sur les $\gamma^{i}(x)$, ne se laisse pas lire

Les axiomes : $K$ augmenté, les $E_{s}$, le déterminant et les classes de Chern

$K$ un $\lambda$-anneau $\mathbb{Z}$-augmenté, \[\varepsilon : K \longrightarrow \mathbb{Z} ,\] muni d'une famille d'éléments $(E_{s})_{s \in S}$ satisfaisant \[\begin{cases} \varepsilon(E_{s}) = n_{s} \geqslant 0, \\[2pt] \lambda^{i} E_{s} = 0 & \text{si } i > n_{s} \ \text{\add{pour tout $s$}}, \\[2pt] \lambda^{n_{s}} E_{s} \text{ inversible}, \end{cases}\] stable par les $\lambda^{i}$ et (avec $\varepsilon = 1$) pour $\sigma$ : $\lambda^{i}$ […]

$[\,$engendrant $K\,]$, $E$ et d'un homomorphisme \[K \;\xrightarrow{\ \text{dét}\ }\; K^{*}\] tel que \[\text{dét}(E_{s}) \;=\; \lambda^{n_{s}}(E_{s})\] $[\,$ce qui détermine […] […] de façon unique$\,]$.

Une […] explicitation des axiomes pour $K$ […] des structures précédentes) « dans » un $A$ […], et […] définition d'un […]homomorphisme de $\lambda$-anneaux augmentés \[c : K \longrightarrow \widetilde{A}\] $[\,$donc défini par […] […] […] les $E_{s}\,]$ tel que $=$ \[c^{i}(E_{s}) \;=\; 0 \quad \text{pour } i > n_{s} , \qquad c^{1}(E) \;=\; c^{1}(\text{dét } E)\] les deux conditions sont encadrées ; un trait relie la seconde à la remarque « […] automatique ?? » écrite à droite […] […] […] […] […] condition […] […] la famille des $E_{s}$ pour $\lambda^{i}$ et $\lambda^{n_{s}}(E_{s})^{-1}$ …

Je […] […] un $A$ universel,

En particulier, ceci définit pour $n_{s} = 1$ : $\widehat{E}_{s}$, $\widetilde{c}(\widehat{E}_{s}) = [\,1,\; 1 + c^{1}(\widehat{E}_{s})\,]$ et $c^{1}(\widehat{E}_{s})$ additive : $c_{1}(\widehat{E}_{s}E_{t}) = c_{1}(\widehat{E}_{s}) + c_{1}(E_{t})$ la note est entourée, en bas à gauche de la page ; le chapeau sur $\widehat{E}_{s}$ est celui de la page

noté $C^{*}K$, défini par les générateurs \[c^{i}(x) \qquad i \geqslant 1\] et les relations \[\begin{cases} c^{i}(1) = 0 & i \geqslant 1, \\[3pt] c^{n}(x+y) = \displaystyle\sum_{i+j=n} c^{i}(x)\,c^{j}(y) & x, y \in K,\ n \geqslant 1, \\[8pt] c^{n}(x \ast y) = Q_{n}\bigl(c^{1}(x), \ldots, c^{n}(x);\; c^{1}(y), \ldots, c^{n}(y)\bigr) & x, y \in I(K),\ n \geqslant 1, \\[5pt] c^{n}(E_{s}) = 0 & n > n_{s}, \end{cases}\] pour tous les $E_{s}$ ; pour […] […] relations […].

Notons que l'on a \[\gamma^{n}(E_{s} - n_{s}) \;=\; 0 \qquad \text{pour } n > n_{s} ,\] $[\,$[…] […] de $\lambda^{i}(E_{s}) = 0$ pour $i > n_{s}\,]$, donc les classes de Chern […] satisfont aux conditions de classes de Chern géométriques ⌜admissibles⌝ pour les $E_{s}$, […] […] […] […] \[\varphi_{K} : CK \longrightarrow GK, \qquad c^{i}(x) \;\rightsquigarrow\; \gamma^{i}\bigl(x - \varepsilon(x)\bigr) \bmod K^{(i+1)} ,\] évidemment surjectif.

$[\,$N.B. plus la famille […] $E_{s}$ […], plus […] importantes […], plus $CK$ devient petit, […] plus d'espoir que $\varphi_{K}$ soit un […] D'ailleurs, […] […] de […]$\,]$

À voir : la filtration de $\ast$ définie par les $P\bigl(\gamma^{i}(x - \varepsilon(x))\bigr)$ […] […] définie […] les $P\bigl(\gamma^{i}(E_{s} - \varepsilon(E_{s}))\bigr)$ [[…] les $E_{s}$ engendrent] ??

N.B. […] la longue note du bas du feuillet, d'une plume plus fine, ne se laisse lire qu'au premier mot

D'ailleurs, […] […] déjà noté des […] […] fois que tout homomorphisme de Chern \[\chi : K \longrightarrow \widetilde{A}\] $[\,$qui « respecte » les $E_{s}$ ou non$\,]$ transforme les éléments de $K^{(i)}$ en éléments de $A^{(i)}$, d'où un homomorphisme naturel (additif) \[\psi : \mathrm{Gr}\,K \longrightarrow \struck{A}\ \mathrm{Gr}(\widetilde{A}) \simeq A\,!\] $\bigl[\simeq A$ additivement […] […] […] $\neq 0\bigr]$

[…] […] […]

En particulier, on a un homomorphisme \[\psi : \mathrm{Gr}\,K \longrightarrow CK\,!\] Les […] d'ailleurs le feuillet s'arrête ici ; les deux tiers inférieurs sont vierges

Construction des Chern covariants, et $K^{\bullet}$ et $A^{\bullet}$ à supports

titre pris du feuillet 31, qui ne porte que ces mots, de sa main : « Construction des Chern covariants, et $K^{\bullet}$ et $A^{\bullet}$ à supports »

Soit $f : X \to Y$ loc. de t.f. On définit $D_{\mathrm{parf}}(f)$ comme la catégorie ⌜triangulée⌝ des complexes de $\mathcal{O}_{X}$-Modules parfaits rel. à $f$, et on définit $K_{\mathrm{parf}}(f)$ en conséquence.

Soit $Z \subset X$ un fermé […] […] […]. On définit $D_{\mathrm{parf},Z}(X)$ comme la catégorie des complexes de $\mathcal{O}_{X}$-Modules […] […] parfaits à support : support $\subset Z$. D'où […] $K_{Z}(X)$.

On définit de même $D_{\mathrm{parf},\Phi}(X)$, $K_{\Phi}(X)$, $\Phi$ une famille […] $\Phi$, […] : \[\begin{cases} D_{\mathrm{parf},\Phi}(X) = \varinjlim_{Z \in \Phi} D_{\mathrm{parf},Z}(X), \\[3pt] K_{\Phi}(X) = \varinjlim_{Z \in \Phi} K_{Z}(X) . \end{cases}\]

Soit $i : Z \to X$ une immersion fermée. On a un foncteur ⌜exact⌝ \[R\,i_{*} : D_{\mathrm{parf}}(i) \longrightarrow D_{Z}(X),\] d'où \[i_{!} : K(i) \longrightarrow K'_{Z}(X) .\] l'argument de $D_{\mathrm{parf}}$ et de $K$ est écrit d'un trait qui peut se lire $i$ ou $f$ ; on lit $i$, d'après l'immersion de la ligne précédente

Soit […] $i_{n} : Z_{n} \to X$ le $n$-ième vois. inf. de $Z$ dans $X$, alors \[\varinjlim_{n} D_{\mathrm{parf}}(i_{n}) \longrightarrow D_{Z}(X) ;\] le foncteur est pl. fidèle.

Définir $K_{\Phi}(X)$ ($X$ préschéma).

Définir […] ⌜en⌝ substituant à l'anneau de Chow \[\struck{A}\ A_{\Phi}(X)\] (qui peut être des ⌜pseudo⌝-anneaux commutatifs (par voie d'éliminer $1$) ⌜et qui opère sur $A(X)$, « l'anneau de Chow ordinaire » whatever that means]⌝ les quatre derniers mots sont en anglais sur le feuillet et des classes de Chern \[c^{i}_{\Phi} : K_{\Phi}(X) \longrightarrow A_{\Phi}(X) \qquad [\,i > 0\,]\] qui doivent satisfaire la condition de multiplicativité ordinaire \[c^{n}_{\Phi}(x+y) \;=\; c^{n}_{\Phi}(x) + c^{n}_{\Phi}(y) \;+\; \sum_{\substack{p+q=n \\ p,\,q > 0}} c^{p}_{\Phi}(x)\,c^{q}_{\Phi}(y)\] $\bigl(x, y \in K_{\Phi}(X)\bigr)$ et […] être compatibles avec […] les homomorphismes canoniques.

LaTeX source

\begin{tikzcd}[column sep=large, row sep=small]
K_{\Phi}(X) \arrow[r, "i"] \arrow[d, "c_{\Phi}"'] & K(X) \arrow[d, "c"] \\
A_{\Phi}(X) \arrow[r, "j"] & A(X)
\end{tikzcd}

[…] la démonstration est […] […] les multiplicités ⌜particulières⌝ […] étudiées […] canoniques). Cas :

$X$ est lisse quasi-projectif sur un […] corps $k$ ; on pourra […] la définition habituelle de l'équivalence rationnelle, mais en prenant toujours des cycles sur $X$ à support $\subset \Phi$ ;
$X$ général : on essaiera de définir $A_{\Phi}(X)$ […] la $\lambda$-procédure ordinaire, via une filtration sur $K_{\Phi}(X)$ ?? ;
Classes de Chern cohomologiques ??

On voit les voisinages habituelles raisonnables sur les $K_{\Phi}(X)$, $A_{\Phi}(X)$ […] […] (conditions […], non nécessaires […] […]), […] simplifiées parfaites […] conditions […] propriétés […] supports.

Utilisant des constructions, […] deux classifications, définies des alors, \[K^{\Phi}_{?}(X/S) \;=\; K^{\Phi}_{?}(f), \qquad A^{\Phi}_{?}(X/S) \;=\; A^{\Phi}_{?}(f),\] non nécessairement additifs, […] […] […] « covariants » […] et donc de Chern les indices inférieurs « ? » sont de sa main : il laisse l'indice à fixer \[\struck{c^{\ast}}\ \operatorname{ch}^{X,\Phi}_{?} : K_{?}(X/S) \longrightarrow A_{?}(X,S),\] $K^{\Phi}_{?}(X/S)$, $A^{\Phi}_{?}(X/S)$ covariants, […] […] les types de propriétés non triviales (sans plus) ; et $\operatorname{ch}_{?}$ satisfait \[\operatorname{ch}^{Y/S}_{?}\bigl(g_{?}(x)\bigr) \;=\; g_{*}\bigl(\operatorname{ch}^{X/S}_{?}(x)\bigr) ,\] $f^{?}\bigl(\ill{}\bigr)\ g_{?}\bigl(\operatorname{ch}^{X}_{?}(x)\bigr) = \operatorname{ch}_{?}\ldots$ i.e. compatible dans plus avec l'image directe.

Mais R.R. s'interprète comme donnant dans certains cas […] […] […] de \[\bigl[\,X/S \ \text{parfait} \ \ldots\,\bigr]\] d'image […] $\operatorname{ch}^{X/S}_{?}$ comme une […] […] […] à […] (canonique) explicitable \[K^{\bullet}(X) \longrightarrow K_{?}(X/\Sigma) ,\] […] utilisant la structure d'anneau de $K^{\bullet}(X)$ […] les deux dernières lignes sont d'une encre plus brune ; « canonique » est cerclé

LaTeX source

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
K^{\bullet}(i) \arrow[r, "u"] \arrow[d, "\alpha"'] & \varinjlim_{n} K^{\bullet}(i_{n}) \simeq K^{\bullet}\bigl(\varinjlim D(i_{n})_{\mathrm{parf}}\bigr) \arrow[r, "v"] \arrow[d, "\beta"] & K^{\bullet}_{X}(X') \arrow[r, "w"] \arrow[d, "\gamma"] & K^{\bullet}(X') \arrow[d, "\delta"] \\
K_{\bullet}(X_{0}) \arrow[r, "u'"'] & \varinjlim_{n} K_{\bullet}(X_{n}) \arrow[r, "v'"'] & K^{X}_{\bullet}(X') \arrow[r, "w'"'] & K_{\bullet}(X')
\end{tikzcd}

sur le feuillet les deux lignes sont décalées et $\alpha$, $\beta$ descendent en oblique. Les quatre flèches verticales portent chacune la même glose, « isom. si $X'$ rég. » ; la flèche $u$ est annotée « surj. si $X'$ régulier », la flèche $u'$ « surj. si $X'$ rég. ». Au-dessus de $K^{\bullet}_{X}(X')$, de sa main : « “algèbre” […] ([…]) ou $K^{\bullet}(X')$ ou […] ». Une flèche oblique barrée va de $\varinjlim_{n} K_{\bullet}(X_{n})$ vers $K^{\bullet}_{X}(X')$, et une flèche courbe, revenant de $K^{X}_{\bullet}(X')$ vers la ligne du bas, porte un mot raturé, « pareille »

$w'v' = \mathrm{id}$, $v'w' = \mathrm{id}$.

[…]

\[\operatorname{ch}\bigl(i_{!}\,x\bigr)\,\operatorname{Todd}(X'/S) \qquad X'/S \ \struck{\ill{}}\]

Filtration sur $K^{\bullet}_{X}(X')$. le feuillet s'arrête sur ce titre : rien ne suit

R.R. des surfaces, et autres cas particuliers divers

titre pris du feuillet 39, qui ne porte que ces mots, de sa main : « R.R. des surfaces, et autres cas particuliers divers »

$f : X \longrightarrow Y$ morphisme propre.

LaTeX source

\begin{tikzcd}[column sep=large, row sep=small]
K(X) \arrow[r, "f_{!}"] \arrow[d, "\widetilde{c}_{X}"'] & K(Y) \arrow[d, "\widetilde{c}_{Y}"] \\
\widetilde{A}(X) \arrow[d, "h_{X}"'] & \widetilde{A}(Y) \arrow[d, "h_{Y}"] \\
A(X) \otimes \mathbb{Q} \arrow[d, "\tau_{h}(X)"'] & A(Y) \otimes \mathbb{Q} \arrow[d, "\tau_{h}(Y)"] \\
A(X) \otimes \mathbb{Q} \arrow[r, "f_{*}"] & A(Y) \otimes \mathbb{Q}
\end{tikzcd}

\[\tau_{h}(Y)\,\varphi_{Y}\bigl(f_{!}(\xi)\bigr) \;=\; f_{*}\bigl(\tau_{h}(X)\,\varphi_{X}(\xi)\bigr) \tag{1}\]

Exemples.

1) $f$ une injection. Si $Y$ […] alors une formule meilleure, donnant \[c^{d}_{Y}\bigl(f_{!}(\xi)\bigr) \;=\; f_{*}\left[\, \frac{c^{q+d}\bigl(\struck{\ill{}}\ \widetilde{C}(\xi) \ast \lambda_{-1}\bigl(\widetilde{C}(T_{Y/X})\bigr)\bigr)} {(-1)^{q}\,c^{q}_{Y}(T_{Y/X})}\,\right] \tag{2}\] la ligne inférieure de (2), $(-1)^{q}$ à l'encre bleue, est écrite sous la barre de fraction et et (1) prend la forme \[\varphi_{Y}\bigl(f_{!}(\xi)\bigr) \;=\; f_{*}\Bigl(\varphi_{X}(\xi)\,\tau_{h}(T_{Y/X})^{-1}\Bigr) \tag{1 bis}\]

Notons qu'ici \[f_{!}\bigl(\gamma_{X}(F)\bigr) \;=\; \gamma_{Y}(F) .\]

2) $f$ est une projection fibrée. Supposons $E$ fibré vectoriel sur $X$, alors […] : \[f_{!}\bigl(\gamma_{X}(E)\bigr) \;=\; \sum (-1)^{i}\,\gamma_{Y}\bigl(E^{(i)}\bigr) ,\] où $E^{(i)}$ est le fibré vectoriel sur $Y$ dont la fibre en […] est le $i$-ème groupe […] de la fibre de $X \to Y$. On a donc \[\varphi_{Y}\bigl(f_{!}(\gamma_{X}(E))\bigr) \;=\; \sum (-1)^{i}\,\varphi_{Y}\bigl(E^{(i)}\bigr) .\] Dans le cas où $E^{(i)} = 0$ pour $i > 0$ (p. ex. […] […] […] ⌜suffisamment⌝ […] $E(n)$, […] provenant d'un […] […] $E$ […] […] loc. fermé dans un […] immersion de $X$ […] […] projectif) on obtient ainsi $\varphi_{Y}\bigl(E^{(0)}\bigr)$ dans $\widetilde{C}_{Y}\bigl(E^{(0)}\bigr)$ […] […] mod. 2-torsion. Si […] […] […] […] […] les dernières lignes sont traversées par l'encre du verso et ne se laissent lire que par fragments

Comparaison de \(CK\) et de \(GK\)

Les axiomes : \(K\) augmenté, les \(E_{s}\), le déterminant et les classes de Chern

Construction des Chern covariants, et \(K^{\bullet}\) et \(A^{\bullet}\) à supports

R.R. des surfaces, et autres cas particuliers divers