Fonds Grothendieck, cote n° 2, pages 21–40

Comparaison de CK et de GK

Démonstration. Comme CB \to CK et GB \to GK sont surjectifs, on est ramené au cas de B.

Soit \xi^{i} \in C^{i}(B) provenant de P \in B^{(i)}, on a c_{B}^{i}(\xi^{i}) \;=\; C^{i}_{B}(P) , d'où \varphi_{B}\psi_{B}(\xi^{i}) \;=\; \varphi_{B}\bigl(C^{i}_{B}(P)\bigr) \;=\; c^{i}_{B}(P) \;\equiv\; \struck{c^{i}_{B}}\ \struck{dans}\ \gamma^{i}\bigl(P - \varepsilon(P)\bigr) \pmod{B^{(i+1)}} , et \gamma^{i}\bigl(P - \varepsilon(P)\bigr) \;-\; (-1)^{i-1}(i-1)!\,P \;\in\; B^{(i+1)} , soit \varphi_{B}\psi_{B} \;=\; (-1)^{i-1}(i-1)! , cqfd.

Proposition 3. \varphi_{B} bijectif.

Corollaire. \varphi_{K} toujours surjectif

Question. Est-ce que \varphi_{K} est toujours bijectif ??? Non la réponse est encadrée sur le feuillet, avec le renvoi à l'exemple qui suit

Exemple. Soit K = \mathbb{Z}[L]/(L-1)^{n}, avec \lambda_{t}(L) = 1 + Lt , donc CK \;=\; \mathbb{Z}[\xi] \big/ \bigl(\text{idéal engendré par } \ill{}\bigr), \qquad (1+\xi)^{\ill{}} \;=\; 1 + (-1)^{n-1}(n-1)!\,\xi^{n} + \cdots c'est-à-dire K = K(P^{\,n-1}) Cependant, la filtration sur K est la filtration par les puissances de (L-1), donc sans torsion, tandis que CK a de la torsion.

Mais si l'idéal était : P(\ill{}) CK = \mathbb{Z}[\xi]/\xi^{n} la note court en diagonale le long du bord gauche du feuillet ; seuls l'idéal et l'anneau \mathbb{Z}[\xi]/\xi^{n} s'en laissent lire

Proposition (à prouver directement?). Soit K un \lambda-anneau, (X_{s})_{s \in S} une famille d'éléments ; conditions équivalentes :

engendré par les X_{s}, un déterminant ; c^{i}(X_{s}) = 0 si i > \varepsilon(X_{s})

tout le bloc est barré d'une grande croix ; il est repris, sous une autre forme, à la page 27

B \;=\; \mathbb{Z}\bigl[\,(\lambda^{i}(X_{s}))_{s \in S,\; 1 \leqslant i \leqslant \varepsilon(s)},\; (\lambda^{d}(Y_{t}))_{t \in T,\; d \geqslant 1}\,\bigr] , CB \;=\; \mathbb{Z}\bigl[\,(\xi^{i}_{s})_{s \in S,\; 1 \leqslant i \leqslant \varepsilon(s)},\; (\eta^{d}_{t})_{t \in T,\; d \geqslant 1}\,\bigr] .

Filtration sur B : ~~pour~~ B^{(k)} = sous-anneau engendré par les monômes P de poids \geqslant k en les \gamma^{i}\bigl(X_{s} - \varepsilon(X_{s})\bigr), \qquad \gamma^{d}\bigl(Y_{t} - \varepsilon(Y_{t})\bigr) , convention : définis par les \varepsilon(s), \varepsilon(t).

Lemme. Posons c^{i}(x) = \gamma^{i}\bigl(x - \varepsilon(x)\bigr) \bmod B^{(i+1)}. Alors x \;\longmapsto\; \widetilde{c}(x) \;=\; \bigl[\,\varepsilon(x),\; 1 + c^{1}(x)\,t + \cdots \,\bigr] On a \widetilde{c}(x+y) \;=\; \widetilde{c}(x)\,\widetilde{c}(y) dans le \lambda-anneau \widetilde{GB} : posant x' = x - \varepsilon(x), y' = y - \varepsilon(y), on a \gamma_{t}(x' + y') = \gamma_{t}(x')\,\gamma_{t}(y').

\widetilde{c}(xy) \;=\; \widetilde{c}(x) \ast \widetilde{c}(y) : a) x = 1 ou y = 1, trivial ; b) x et y Alors

~~c^{i}(xy) = Q_{i}(\ill{})~~ \widetilde{c}(xy) \;=\; Q_{i}\bigl(c^{1}(x), \ldots, c^{i}(x);\; c^{1}(y), \ldots, c^{i}(y)\bigr) \qquad \text{soit} \ \ill{} car \gamma^{i}(xy) \;=\; Q_{i}\bigl(\gamma^{1}(x), \ldots, \gamma^{i}(x);\; \gamma^{1}(y), \ldots, \gamma^{i}(y)\bigr) . Mais \gamma^{i}(xy) = polynôme universel en les \gamma^{k}(x), \gamma^{h}(y), et soit \geqslant i, et Q_{i} la page s'arrête ici : le polynôme universel est annoncé et sa forme n'est pas écrite

Proposition. Soit x \in \widetilde{A} tel que \lambda_{t}(x) soit un polynôme de degré \leqslant n, \varepsilon(x) = n. Alors \gamma^{i}(x) = 0 pour i > n, i.e.

En effet, \lambda^{n}(x) et le fait que x nilpotent \gamma^{i}\bigl(x - \varepsilon(x)\bigr) \;=\; 0 \qquad \text{pour } i > n , alors (i-1)!\;x^{i} \;=\; 0 \qquad \text{pour } i > n , pour [\,1,\; 1 + x^{1}\,\ill{}\,] dans arithmétique de \widetilde{A}, donc > n.

Remarque. Posons, pour x = [\,n,\; 1 + \ill{} + x^{n} + x^{n+1}\,], soit n!\;x^{n+1} = 0 ; il faut et il suffit que n! Posant Y = [\,n+1,\; 1 + X^{n+1}\,], d'où x = X + Y - (n+1), qui D^{i}_{t}\bigl(\lambda_{t}(X)\,\lambda_{t}(Y)\bigr)\big|_{t=1} \;=\; 0 \qquad \text{pour } 0 \leqslant i \leqslant m .

Corollaire. Soit x un élément Soit n = \varepsilon(x), et m \geqslant \ill{} \gamma^{i}(x) Alors \gamma^{m}(x - \ill{}) \lambda^{m}(X) (i > \ill{}) m+1 les \gamma^{i}(X - n).

On peut supposer A = \mathbb{Z}\bigl[(\lambda^{i}(X))_{i \geqslant \ill{}}\bigr], \varepsilon(X) = m.

Démonstration. Soit I l'idéal par les \lambda^{i}(X) (i > n), que \gamma^{m}(X - m) I les P\bigl(\gamma^{i}(X - m)\bigr), P de poids m+1. Sur B = \mathbb{Z}\bigl[(\lambda^{i}(X))_{1 \leqslant i \leqslant m}\bigr] : \gamma^{m}(X - m) de « filtration » \geqslant m+1 (pour m \geqslant n).

Les axiomes : K augmenté, les E_{s}, le déterminant et les classes de Chern

K un \lambda-anneau \mathbb{Z}-augmenté, \varepsilon : K \longrightarrow \mathbb{Z} , muni d'une famille d'éléments (E_{s})_{s \in S} satisfaisant \begin{cases} \varepsilon(E_{s}) = n_{s} \geqslant 0, \\[2pt] \lambda^{i} E_{s} = 0 & \text{si } i > n_{s}, \\[2pt] \lambda^{n_{s}} E_{s} \text{ inversible}, \end{cases} pour les \lambda^{i} et (avec \varepsilon = 1) pour \sigma : \lambda^{i}

[\, engendré K\,], et K \;\xrightarrow{\ \text{dét}\ }\; K^{*} tel que \text{dét}(E_{s}) \;=\; \lambda^{n_{s}}(E_{s}) . [\,ce qui détermine \,]

Une deuxième ~~donnée~~ explicite des structures précédentes « dans » un \widetilde{A} , de \lambda- c : K \longrightarrow \widetilde{A} [\, défini par \lambda, commutatifs sur les E_{s}\,] tel que c^{i}(E_{s}) \;=\; 0 \quad \text{pour } i > n_{s} , \qquad c^{1}(E) \;=\; c^{1}(\text{dét } E) . comparaison ?? \lambda^{n_{s}}(E_{s})^{-1} les \lambda^{i} de E_{s} A universel,

En particulier, ceci définit pour n_{s} = 1 : \widetilde{E}_{s}, \widetilde{c}(E_{s}) = [\,1,\; 1 + c^{1}(E_{s})\,] et c^{1}(E_{s}) additive : c_{1}(E_{s}E_{t}) = c_{1}(E_{s}) + c_{1}(E_{t})

noté C^{*}K, défini par les générateurs c^{i}(x) \qquad i \geqslant 1 et les relations \begin{cases} c^{i}(1) = 0 & i \geqslant 1, \\[3pt] c^{n}(x+y) = \displaystyle\sum_{i+j=n} c^{i}(x)\,c^{j}(y) & x, y \in K,\ n \geqslant 1, \\[8pt] c^{n}(x \ast y) = Q_{n}\bigl(c^{1}(x), \ldots, c^{n}(x);\; c^{1}(y), \ldots, c^{n}(y)\bigr) & x, y \in I(K),\ n \geqslant 1, \\[5pt] c^{n}(E_{s}) = 0 & n > n_{s}, \end{cases} pour tous les E_{s}.

Notons que l'on a \gamma^{n}(E_{s} - n_{s}) \;=\; 0 \qquad \text{pour } n > n_{s} , [\, de \lambda^{i}(E_{s}) = 0 pour i > n_{s}\,], donc les satisfont aux conditions de admissibles pour les E_{s}, \varphi_{K} : CK \longrightarrow GK, \qquad c^{i}(x) \;\rightsquigarrow\; \gamma^{i}\bigl(x - \varepsilon(x)\bigr) \bmod K^{(i+1)} , évidemment surjectif.

[\,N.B. plus la famille (E_{s}) , plus CK devient plus petit, plus que \varphi_{K} soit un isomorphisme \,]

À voir : le \ast de l'itération de P\bigl(\gamma^{i}(x - \varepsilon(x))\bigr) P\bigl(\gamma^{i}(E_{s} - \varepsilon(E_{s}))\bigr) \varepsilon(E_{s}) ??

N.B. la longue note du bas du feuillet, d'une plume plus fine, ne se laisse lire qu'au premier mot

D'ailleurs, fois que tout homomorphisme de Chern \chi : K \longrightarrow \widetilde{A} [\,qui « respecte » les E_{s} \,] transforme les éléments de K^{(i)} en éléments de A^{(i)}, d'où ~~(additif)~~ \psi : \mathrm{Gr}\,K \longrightarrow \struck{A}\ G(\widetilde{A}) \simeq A\,! \bigl[\simeq A additivement \neq 0\bigr]

En particulier on a les \psi : \mathrm{Gr}\,K \longrightarrow \ill{} , \qquad K \longrightarrow CK\,! d'ailleurs le feuillet s'arrête ici ; les deux tiers inférieurs sont vierges

Construction des Chern covariants, et K^{\bullet} et A^{\bullet} à supports

titre pris du feuillet 31, qui ne porte que ces mots, de sa main : « Construction des Chern covariants, et K^{\bullet} et A^{\bullet} à supports »

Soit f : X \to Y localement de type fini. On définit D_{\mathrm{parf}}(f) comme la catégorie ~~des~~ hégélienne complexes de \mathcal{O}_{X}-Modules ~~parfaits~~ parfaits relativement à f, et K_{\mathrm{parf}}(f) en conséquence.

Soit Z \subset X un fermé On définit D_{\mathrm{parf},Z}(X) comme la catégorie de complexes de \mathcal{O}_{X}-Modules parfaits conjoint d'où K_{Z}(X).

On définit de même, \Phi famille : D_{\mathrm{parf},\Phi}(X), \quad K_{\Phi}(X), \qquad D_{\mathrm{parf},\Phi}(X) = \varinjlim_{Z \in \Phi} D_{\mathrm{parf},Z}(X), \quad K_{\Phi}(X) = \varinjlim_{Z \in \Phi} K_{Z}(X) .

Soit i : Z \to X f R\,i_{*} : D_{\mathrm{parf}}(\ill{}) \longrightarrow D_{Z}(X), \qquad i_{!} : K_{\ill{}}(\ill{}) \longrightarrow K'_{Z}(X) .

Soit i_{n} : Z_{n} \to X voisinages de Z dans X, alors \varinjlim_{n} D_{\mathrm{parf}}(i_{n}) \longrightarrow D_{Z}(X) , le foncteur pleinement fidèle

Définir K_{\Phi}(X) (X préschéma), définir en substituant et l'anneau de Chow \struck{A}\ A_{\Phi}(X) (qui être les (pseudo-)anneaux par voie d'éliminer 1) et les classes de Chern « l'anneau de Chow ordinaire whatever that means » les trois derniers mots sont en anglais sur le feuillet c^{i}_{\Phi} : K_{\Phi}(X) \longrightarrow A_{\Phi}(X) \qquad [\,i > 0\,] qui Les conditions de multiplicativité ordinaire c^{n}_{\Phi}(x+y) \;=\; c^{n}_{\Phi}(x) + c^{n}_{\Phi}(y) \;+\; \sum_{\substack{p+q=n \\ p,\,q > 0}} c^{p}_{\Phi}(x)\,c^{q}_{\Phi}(y) \qquad \bigl(x, y \in K_{\Phi}(X)\bigr) et être compatibles avec les homomorphismes canoniques

\begin{tikzcd}[column sep=large, row sep=small] K_{\Phi}(X) \arrow[r] \arrow[d, "c_{\Phi}"'] & K(X) \arrow[d, "c"] \\ A_{\Phi}(X) \arrow[r] & A(X) \end{tikzcd}

la démonstration est les multiplicités ~~Intégrer~~ étudier canoniques). Cas :

X ~~est~~ lisse définition de , mais en prenant les cycles sur X à support \subset \Phi ; X général : on manière de définir A_{\Phi}(X) par la \lambda-procédure si une filtration sur K_{\Phi}(X) ?? ; Classes de Chern cohomologiques ??

On voit les voisinages les plus favorables les K_{\Phi}(X), A_{\Phi}(X) (multiplications parfaites) , \to B. Utile) alors, les classifications, définies dans K^{\Phi}_{\ill{}}(X/S) \;=\; K^{\Phi}_{\ill{}}(f), \qquad A^{\Phi}_{\ill{}}(X/S) \;=\; A^{\Phi}_{\ill{}}(f), « covariants » « covariants » classes de Chern \operatorname{ch}^{X,\Phi}_{\ill{}} : K_{\ill{}}(X/S) \longrightarrow A_{\ill{}}(X,S), \qquad K^{\Phi}_{\ill{}}(X/S), \quad A^{\Phi}_{\ill{}}(X/S) \ \text{covariants} , les types de propriétés \operatorname{ch}^{Y/S}_{\ill{}}\bigl(g_{\ill{}}(x)\bigr) \;=\; g_{*}\bigl(\operatorname{ch}^{X/S}_{\ill{}}(x)\bigr) , ~~g_{\ill{}}\bigl(\operatorname{ch}^{X}_{\ill{}}(x)\bigr) = \operatorname{ch}^{\ill{}}_{\ill{}}(\ill{})~~ plus avec l'image directe. C'est-à-dire compatible dans

Mais « R.R. » s'interprète comme donnant dans certains cas fait calculé \bigl[\,X/S \ \text{parfait} \ \ill{}\,\bigr] ~~d'image~~ \operatorname{ch}^{X/S}_{\ill{}} comme à (comme que) explicitables K^{\bullet}(X) \longrightarrow K_{\ill{}}(X/\Sigma) , utilisant K^{\bullet}(X)

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] K^{\bullet}(i_{n}) \arrow[r, "u"] \arrow[d, "\alpha"'] & \varinjlim_{n} K^{\bullet}(i_{n}) \arrow[r] \arrow[d, "\beta"] & K^{\bullet}_{X}(X') \arrow[r] \arrow[d, "\gamma"] & K^{\bullet}(X') \arrow[d, "\delta"] \\ K_{\bullet}(X_{n}) \arrow[r, "u'"'] & \varinjlim_{n} K_{\bullet}(X_{n}) \arrow[r] & K^{X}_{\bullet}(X') \arrow[r, "w'"'] & K_{\bullet}(X') \end{tikzcd}

les quatre flèches verticales portent chacune la même glose, lue « isom. si X'/X rig. » ; la flèche u est annotée « surj. si X' », et la flèche u' « surj. si X' ». Le membre médian de la ligne supérieure porte en outre, d'une autre encre, la mention « algèbre » et une parenthèse

\varinjlim_{n} \struck{D^{\bullet}(i_{n})} \ill{} un bloc de trois lignes, au milieu du feuillet, est entièrement raturé ; deux relations subsistent en marge : w'v' = \mathrm{id} et v'w' = \mathrm{id}

\operatorname{ch}\bigl(i_{!}\,x\bigr)\,\operatorname{Todd}(X'/S) \qquad X'/S

Filtration sur K^{\bullet}_{X}(X'). le feuillet s'arrête sur ce titre : rien ne suit

R.R. des surfaces, et autres cas particuliers divers

titre pris du feuillet 39, qui ne porte que ces mots, de sa main : « R.R. des surfaces, et autres cas particuliers divers »

f : X \longrightarrow Y morphisme propre.

\begin{tikzcd}[column sep=large, row sep=small] K(X) \arrow[r, "f_{!}"] \arrow[d, "\widetilde{c}_{X}"'] & K(Y) \arrow[d, "\widetilde{c}_{Y}"] \\ \widetilde{A}(X) \arrow[d, "h_{X}"'] & \widetilde{A}(Y) \arrow[d, "h_{Y}"] \\ A(X) \otimes \mathbb{Q} \arrow[d, "\tau_{h}(X)"'] & A(Y) \otimes \mathbb{Q} \arrow[d, "\tau_{h}(Y)"] \\ A(X) \otimes \mathbb{Q} \arrow[r, "f_{*}"] & A(Y) \otimes \mathbb{Q} \end{tikzcd}

\tau_{h}(Y)\,\varphi_{Y}\bigl(f_{!}(\xi)\bigr) \;=\; f_{*}\bigl(\tau_{h}(X)\,\varphi_{X}(\xi)\bigr) \tag{1}

Exemples.

1) f une injection. Y alors donnant c^{d}_{Y}\bigl(f_{!}(\xi)\bigr) \;=\; f_{*}\bigl[\,c^{\ill{}}(\ill{})\,\bigr] et (1) pour le alors une formule meilleure, \ill{} \;=\; f_{*}\left[\, \frac{c^{q+d}\bigl(\struck{\ill{}}\ \widetilde{C}(\xi) \ast \lambda_{-1}\bigl(\widetilde{C}(T_{Y/X})\bigr)\bigr)} {(-1)^{q}\,c^{q}_{Y}(T_{Y/X})}\,\right] \tag{2} \varphi_{Y}\bigl(f_{!}(\xi)\bigr) \;=\; f_{*}\Bigl(\varphi_{X}(\xi)\,\tau_{h}(T_{Y/X})^{-1}\Bigr) \tag{1 bis} dans (2), la ligne inférieure est d'une encre bleue, écrite sous une barre : elle est lue ici comme le dénominateur d'une fraction, mais elle peut aussi bien être une variante portée après coup

(5.13) (\leqslant Notes précises) f_{!}\bigl(\tau_{X}(F)\bigr) \;=\; \tau_{Y}(F) .

2) f une surjection fibrée. X alors f_{!}\bigl(\tau_{X}(E)\bigr) \;=\; \sum_{i} (-1)^{i}\,\tau_{Y}\bigl(E^{(i)}\bigr) , E^{(i)} est le fibré vectoriel sur Y dont le i-ème de du foncteur de X \to Y. On a donc \varphi_{Y}\bigl(f_{!}(\tau_{X}(E))\bigr) \;=\; \sum_{i} (-1)^{i}\,\varphi_{Y}\bigl(E^{(i)}\bigr) . Dans le cas où E^{(i)} = 0 pour i > 0, plat. E(u) provenant d'un si remplace E coh. fermé dans une de X obtient ainsi \varphi_{Y}\bigl(E^{(i)}\bigr) dans \widetilde{C}_{Y}\bigl(E^{(i)}\bigr) projectif) 2 fortiori les cinq dernières lignes sont traversées par l'encre du verso et ne se laissent lire que par fragments